文档内容
专题 2.2 基本不等式
题型一 直接法求最值
题型二 配凑法求最值
题型三 “1”的代换求最值
题型四 消参法求最值
题型五 商式求最值
题型六 对勾函数求最值
题型七 利用基本不等式证明不等式
题型八 利用基本不等式解决实际问题
题型九 基本不等式与其余知识的综合应用
题型一 直接法求最值
例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足 ，那么 的
最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据重要不等式 即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由 ，可得 ，当且仅当 或 时等号成立.
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，当 取最大值时，则 的值为
（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据已知 使用基本不等式，整理求出 取最大值时的 和 值，
再得出结果.
【详解】由已知 可得 ，
则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ， ，
此时 .故选：B．
练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数 、 满足 ，
则当 取最大值时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得 取最大值时 的值.
【详解】因为正实数 、 满足 ，则 ，可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
故选：A.
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】D
【分析】利用基本不等式由 可得 ，可得充分性不成立；当 时可
得必要性不成立，即可得出结果.
【详解】根据基本不等式可得 ，即 ，可得 ，
所以充分性不成立；
若 ，可令 满足 ，此时 ；
即必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式运算求解.
【详解】∵ ，则 ，∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故函数 的最小值为4.
故选：D.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 （ ）的值域为
，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【分析】根据 的值域求得 ，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】由于二次函数 （ ）的值域为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：B
练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】B
【分析】可通过已知条件，先找到 与 的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，
消掉 ，从而得到关于 的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.
【详解】由已知， ， 均为正数， ，故 ，即 ，所以
，当且仅当 时等号成立.
故选：B.
题型二 配凑法求最值
例3．（2023·上海·高三专题练习）函数 在区间 上的最小值为_____________．
【答案】 ．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知 ，求函
数 的最小值；
（2）已知 ，求函数 的最大值.
【答案】（1）4；（2） .
【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；
（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.
【详解】（1） 时， ，根据基本不等式，
可得：
当 ，即 时取得等号，
故 时， 取得最小值是4；
（2） ，故 ，
根据基本不等式可得： ，
当 ，即 时取得等号，故 时，
的最大值是 .
练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足 ，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】将函数变形为 ，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】由题意 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以函数 的最小值为 .
故选：A
练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是 的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ， ，所以A选项不符合.
B选项， ，
当且仅当 时等号成立，所以B选项不符合.
C选项，对于函数 ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立.
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
综上所述， 的最小值是 ，符合题意.D选项， ，
，
当且仅当 时等号成立，所以D选项符合.
故选：CD
练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知 ，函数
的最大值是__．
【答案】 /0.125
【分析】由基本不等式 ，得 ，由此即可求出函数
的最大值．
【详解】 ，
∴ ,
当且仅当 时，即 时等号成立，
因此，函数 的最大值为 .
故答案为: .
练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知 ，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.
【详解】 ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．故答案为：
练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 对 恒成立，则a的取
值范围是__________， 的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得 ，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当 时，不等式 对 不恒成立，不符合题意（舍去）；
当 时，要使得 对 恒成立，
则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
因为 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
故答案为： ； .
题型三 “1”的代换求最值
例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数 ， 满足 ．则 的最小
值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，
所以， 的最小值为27．
故选：C
例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线 过点 ，则 的最小
值为______．
【答案】 /【分析】由直线 过点 ，可得 ，利用基本不等式“1”的
代换，求出最小值．
【详解】∵直线 过点 ，
．
，当且仅当 ，即
， 时取等号．
的最小值为 ．
故答案为： ．
练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的
最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得 ，再结合换底公式，以及基本不等式
“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为6.
故选：B.
练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数 满足
，则 的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
【答案】B
【分析】根据对数的运算法则，求得 ，且 ，利用 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
即 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．32 C． D．
【答案】D
【分析】将 化为 ，再用“1”的代换，乘以 ，展开后用基
本不等式即可求得最小值，注意取等条件.
【详解】解：因为 ，所以 ，
则
，因为 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 （舍）或 时取等，
故 的最小值为 .
故选：D
练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 ，则 的最小值
是______．
【答案】【分析】变形条件等式得 ，然后展开，利用基
本不等式求最小值.
【详解】 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
的最小值是 .
故答案为： .
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数 ，且 ，则 的最
小值为___________.
【答案】 /0.5
【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.
【详解】 ，
，
，
当且仅当 时，取等号.
故答案为： .
题型四 消参法求最值
例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知 ，且 ，则 的最小值为
__________.
【答案】
【分析】先对已知式子变形得 ，然后代入 中，整理后利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
，
（当且仅当 时取等号），
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若 ，且 ，则
的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题得 ，分 ， 两种情况解决即可.
【详解】由题知， ，且 ，即
所以 ，
当 时， ，即 ，此时 ，
所以 的最大值为1，
当 时， ，当且仅当 时取等号，此
时 ；
所以 的最大值为 .
综上， 的最大值为 .
故答案为：练习16．（2023·全国·高三专题练习）设 ，且 ，则 （ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最大值为 D．有最大值为
【答案】A
【分析】对 变形得到 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，故 ，
即 取等号.
故选：A.
练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】 ， ，
， ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
的最小值为1，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到 是解题的关键.
练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数 满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】用 来表示 得 ，代入得 ，再利用基本不等式即可求出最小
值.
【详解】 , ，则有 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
故选：B.
练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足 ，则
的最小值为______； 的最大值为______．
【答案】 /
【分析】利用基本不等式，结合换元法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质进行
求解即可.
【详解】因为正数a，b满足 ，
所以有 ，当且仅当 时取等号，
即 时取等号；
由 ，而 ，因此 ，
令，因为 ，
所以方程 在区间 内有解，
设 ，
或 ，
解得 ，
因此 的最大值为 ，
故答案为： ；
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合一元二次根的分布性质求解是解题的关键.
练习20．（2023·浙江·二模）若 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用基本不等式结合 求得 ，将 整理变形为
，令 ，结合二次函数知识即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
由 可知 ，
所以 ，
令 ，则 ，
函数 在 单调递增，在 单调递减
故 ，即 的取值范围是 ，
故答案为：
题型五 商式求最值
例9．（2023·全国·高三专题练习）设 ,则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】首先由等式把 转化为 ，再应用常数分离得到 ，最后应
用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意 ，所以 ，
得到 ，
当且仅当 ，即 时， 等号成立，则 的最小值为 ．
故选：A.
例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）3；（2） ；（3）10.
【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不
等式（1,、2）或利用函数单调性求最值.
【详解】（1）
∵ （当且仅当 ，即x=1时取“=”）
即 的最小值为3；（2）令 ，则 在 是单增，
∴当t=2时，y取最小值 ；
即y的最小值为
（3）令 ，则 可化为：
当且仅当t=3时取“=”
即y的最小值为10
练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是6.
故选：A
练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求 ，当且仅当 时等号成立，化简
已知即可求解.【详解】解：因为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，
即y的最大值是 .
故选：D.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的最小值是______．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以函数 的最小值是
故答案为: .
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 最大值为
______．
【答案】
【分析】由 且 ，可得 ，可得 ，再将 化为
后利用基本不等式求解即可．
【详解】解：由 且 ，可得 ，代入 ，又 ，
当且仅当 ，即 ，
又 ，可得 ， 时，不等式取等，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在 ，使 成
立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】依题意 ，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：依题意存在 ，使 成立，即存在 ，使得
，即 ，因为 ，所以 ，当且仅
当 ，即 时取等号，所以 ，即 的最大值
为 ，所以 ，即 ；
故答案为：
题型六 对勾函数求最值
例11．（2023·高三课时练习）设 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得 和 时 的取值范围，
即可得答案.
【详解】设函数 ，则当 时， 单调递增，此时；
当 时， 单调递减，此时 ，
故 ，则 的取值范围是 ，
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于 的 的解集是 ，
则（ ）
A．
B．
C．关于 的不等式 的解集是
D． 的最小值是
【答案】AB
【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，结合韦达定理可求得 ，
， ，由此可确定AB正确；结合一元二次不等式的解法可知C错误；将
化为 ，根据对勾函数单调性可确定 ，知D错误.
【详解】对于A， 的解集为 ， ，且 和 是方程
的两根，A正确；
对于B，由A得： ， ， ，
，B正确；
对于C，由 得： ，
即 ，解得： ，
即不等式 的解集为 ，C错误；
对于D， ，
，在 上单调递增， ，D错误.
故选：AB.
练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数 的值域是 ，则函数
的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对勾函数的单调性求值域.
【详解】令 ，则 ，
由对勾函数的性质可知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又当 时， ，当 时， ，
故 的值域为 .
故选：B
练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数 的定义
域为 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数变形为 ，利用对勾函数的单调性求得 的值域，结合
不等式的性质即可求解.
【详解】 ，定义域为 ，且 ，取 ，则化简得
令 ， ，
利用对勾函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；
，即 ， 时，
又 ，所以， 时，函数 的值域为
故选：C
练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于 的不等式 的解集为
，其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据不等式 的解集求出 的值和 的取值范围，在代入 中利用
对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】由 的解集为 ，
则 ，且 ， 是方程 的两根，
由根与系数的关系知 ，
解得 ， ，当且仅当 时等号成立，
故 ， 设 ，
函数 在 上单调递增，
所以
所以 的最小值为5.
故选：C
练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数
有（ ）．A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对A：根据余弦函数的有界性分析运算；对B：换元结合二次函数分析运算；对
C：换元结合对勾函数分析运算；对D：利用基本不等式分析运算.
【详解】对A：∵ ，则 ，
故 的最小值为3，当且仅当 时取到最小值，A正确；
对B：令 ，则 ，
故 的最小值为3，当且仅当 ，即 时取到最小值，B正确；
对C：令 ，且 在 上单调递减，故 ，
故 的最小值为 ，C错误；
对D： ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为3，D正确.
故选：ABD.
练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 有最小值 B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则 有最大值 D．若 ，则 有最大值
【答案】AC
【分析】分 和 两种情况，结合均值不等式即可得出结果.
【详解】当 时， ，当且仅当
时，等号成立；故A正确，B错误；
当 时，
，
当且仅当 时，等号成立；故C正确，D错误；
故选：AC.题型七 利用基本不等式证明不等式
例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设 ， ， 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ，则 ，根据
， ， ，即可得证；
（2）由已知得若证 ，即证 ，再根据 ，
， ，即可得证.
【详解】（1）由 ，得 ，
又由基本不等式可知当 ， ， 均为正数时， ， ， ，
当且仅当 时，上述不等式等号均成立，
所以 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立；
（2）因为 ， ， 均为正数，
所以若证 ，
即证 ，
又 ， ， ，当且仅当 时，不等式等号均成立，
则 ，
即 ，当且仅当 时等号成立.
例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)见解析；
(2)见解析﹒
【分析】(1)a－2＞0，将原式构造成 即可用基本不等式求解；
(2)利用 即可证明﹒
(1)
，
，当且仅当 时取等号；
(2)
，
∴
，当且仅当a＝b时取等号﹒
练习31．已知 ， ， ，证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.
（2）根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）解法一：由柯西不等式得：
，
当 时，等号成立．所以原式得证．
解法二：当 时，等号成立．即 ．
（2）解法一：由 及 ．
即 ．
当 时，等号成立．所以 .
解法二：因为 ，
所以：
．
又 ， ，所以：
，当 时，等号成立．
所以， ．
练习32．已知 ， ，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出 的最小值．
（2）化简已知得 ，即 ，利用
基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，即 的最小值是2．
（2）证明：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．当且仅当 时，等号成立
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将 的证明转化为
的证明，其中 是解题关键，本题考查不等式的证明，基
本不等式的应用，属于较难题.
练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数
的最大值；
（2）已知 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可；
（2）运用基本不等式进行证明即可.
【详解】（1）令 ，
由 ，
因为 ，所以由 ，当且仅当 时取等号，即 时，函数有最大值 ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号.
练习34．已知 ，且 ，求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．
（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．
【详解】（1）证明：因为 ，且 ，所以 ，当且仅当
时取等号，所以 ；
（2）证明： ， ， ，
，当且仅
当 ，即 时，等号成立，
，即得证．
练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明： .
【答案】证明见解析.
【分析】根据 ，得到 ，进而开方得到答案.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，当且仅当a=1时取“=”.
题型八 利用基本不等式解决实际问题
例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车
市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联
新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成
本 （万元），当月产量不足40台时， （万元）；当月产量不小于40台时，
（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．
【答案】(1) ， ；
(2)月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．
【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y（万元）关于月产量x
（台）的函数关系式；
（2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可.
【详解】（1）当 时，
， ，
当 时，
， ，
所以月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式为 ，
；
（2）当 ， 时，
， 时，该函数取最大值为224，
当 ， 时，
，
当且仅当 时，等号成立，
综上所述，月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，
它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 的十字形地
域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为 元 ；在四个相同的矩形（图中阴
影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元 ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为 元 ．受地域影响，AD的长度最多能达到 ，其余边长没有限制．
(1)设总价为 （单位：元），AD长为 （单位： ），试建立 关于 的函数关系式；
(2)当 为何值时， 最小？并求出这个最小值．
【答案】(1) ，
(2)当 时，S最小，最小值为118000元
【分析】（1）先设 ，又 ，建立等式找出 得关系计算 即可；
（2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件.
【详解】（1）设 ，又 ， ，
则 ，∴ ，
∴
（2）由（1）得 ，
利用均值不等式得 ，
当 时，即 时等号成立，
所以当 时，S最小，最小值为118000元.
练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一
边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【答案】矩形面积最大为48平方米
【分析】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【详解】由题意所示 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
函数的对称轴为 ，
∴当 时，面积取得最大值，为 ，
（或者：由于 ，所以 ，当且仅
当 ，即 时取等号.）
∴矩形面积最大为48平方米．
练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总
共 万件（ ），其成本为 （万元/万件），其广告宣传总费用为 万元，
若将其销售价格定为 万元/万件．
(1)将该批产品的利润 （万元）表示为 的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【答案】(1) ，
(2)宣传费用为 万元时，利润最大为 万元．
【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；
（2）利用基本不等式求最值.
【详解】（1） ， ；
（2） ，，
，
当 即宣传费用为 万元时，利润最大为 万元．
练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最
核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款
新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产 台 需要另投入
成本 （万元），当年产量 不足45台时， 万元，当年产量 不
少于45台时， 万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为
万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
(1)求年利润 （万元）关于年产量 （台）的函数关系式；
(2)年产量 为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是
多少万元？
【答案】(1)
(2)当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.
【详解】（1）当 ， 时，
；
当 ， 时，
；
综上所述：
（2）当 ， 时， ，则当 时， 的最大值为650；
当 ， 时，（当且仅当
，即 时等号成立）；
∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.
练习39．（2022·高三课时练习）用 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通
部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．
【答案】
【分析】设长方体长为 m，高为 m，依题意，可求得 ，利用基本不等式
可求得 ，从而可得车厢的最大容积．
【详解】设长方体长为 m，高为 m，则有 ，即 ．
∵ ，当且仅当 时，取等号
∴ ，即 ，解得
∴
∴ ，当且仅当 时，等号成立
∴车厢的最大容积是
故答案为： ．
练习40．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中
欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地
面面积为 ，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为
6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.
【答案】
【分析】设房屋的长为 ，由题可得总造价 ，再利用基本
不等式即得；
【详解】设房屋的长为 ，则宽为 ，则总造价
，当且仅当 ，即 时
取等号，故当长等于 ，宽等于 时，房屋的最低总造价为 元.
故答案为： .
题型九 基本不等式与其余知识的综合应用
例17．（2023·浙江·二模）记 为正数列 的前 项和，已知 是等差数列.
(1)求 ；
(2)求最小的正整数 ，使得存在数列 ， .
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得 ，即得 ，即可得答案；
（2）利用（1）中结论可得 ，结合基本不等式求得 ，验证后即
得答案.
【详解】（1）由题意 是等差数列，设其公差为d，
则 ，
则 ，故 .
（2）由（1）可知 ，一方面 ，
故 ，当且仅当 时， 取等号，
由于m为正整数，故 ，
另一方面， 时， ﹐ 满足条件，
综上所述，正整数m的最小值是3．
18．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知平面向量 满足 且
，当向量 与向量 的夹角最大时，向量 的模为______．
【答案】
【分析】由 可平方求得 ，利用向量夹角公式可化简得到 ，
采用换元法，令 ，结合基本不等式可求得 ，根据取等条件可确
定 .
【详解】 ， ， ，即 ；设向量 与向量 的夹角为 ，
，
令 ，则 ，
（当且仅当 ，即 时取等号）；
当 最大时， 最小，此时 ，解得： .
故答案为： .
练习41．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）
呈现周期性变化，经研究可用 来描述，若潮差（最高水位与最低水位
的差）为3米，求 的取值范围.
【答案】
【分析】利用辅助角公式可得 ，进而利用基本不等式求出结果.
【详解】由题意可知 （ 为辅助角），
由题意可得 ，
故 ，
由 ，得 ，
解得 .
故a+b的取值范围为 .
练习42．（2021·北京·高三强基计划）在 中，角A，B，C的对边长分别为a，b，
c，且 ，则 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
【答案】C【分析】利用基本不等式可得 ，从而可求三角形的周长.
【详解】注意到 ，
结合均值不等式，可得 且 ，因此 的周长为 ．
故选：C.
练习43．（2023·全国·高三专题练习）若 且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简 ，得 ，得 ，
将 变形后分子、分母同除以 ，转化为关于 的式子，利用基本不等式求
得 ，即可得解．
【详解】由 ，得 ，得 ，
则 ，
因为 ，
因为 ，所以 ，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，所以 ，所以 的最小值是 ，
故选：B
练习44．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在 中，若向量 在 上的投影
向量为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， 上的高为 ，可用 表示出 ，利用两角和差正切公
式可得 ，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】设 ， 上的高为 ，
在 上的投影向量为 ， ， ，
（当且仅当
时取等号），
， ， ， ， ，
.
故选：C.
练习45．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知正项等比数列 的前n项和为
，若S＝8．则 （ ）
4
A．有最小值 B．有最大值
C．小于 D．大于
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为 ，求出 ，再求出
，再换元利用基本不等式求解.
【详解】解：设等比数列的公比为 ，由题得 ，
所以 ，
解得 ，
，
令 ，则 .
所以 .
（当且仅当 时等号成立），所以 有最大值 .
故选：B
