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专题 1.3 锐角三角函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、三角函数概念的辨析
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（
）
A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
2．已知 中， 为 的对边， 为 的对边，若 与 已知，则下列
各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 与 ， ， 分别交于点E，G，F，且 ， ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
知识点二、求三角函数值
5．如图， 的三个顶点都在边长为1的格点图上，则 的值为（ ）A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则
sin∠DFC＝（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，已知E是正方形 中 边延长线上一点，且 ，连接 、 ，
与 交于点N，F是 的中点，连接 交 于点M，连接 ．有如下结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
知识点三、由三角函数值求边长
9．如图， 中， ， ， 的值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线
翻折，点落 在点 处，连结 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图：等腰 中， 是 上一点，若 ，则
（ ）．
A． B．2 C．1 D．12．如图①，在菱形 中， ，点 是 的中点，点 是对角线 上一动
点，设 ， ，图②是 关于 的函数图像，且图像上最低点 的坐标为
，则菱形 的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
知识点四、三角函数值的增减性
13．角 ， 满足 ，下列是关于角 ， 的命题，其中错误的是
（ ）
A． B． C． D．
14．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 ，阻力臂 ，如果动
力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是
（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
15．下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；③若关于x的方程
3x−m
=2的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中
x+2假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．下列结论中，不正确的是（ ）
A．
B． 中， ，则
C． 中， ，则
D． 中， ，则
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
17．在菱形ABCD中，过点A作AE与边BC垂直于点E，将△ABE沿直线AE折叠，若点
B恰好落在线段EC上（不与E，C重合），则∠B的度数可以是（ ）
A．36° B．60° C．75° D．100°
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线
段的比值一定与cosA相等的是（ ）
A． B． C． D．
19．红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（ ）
A．小于30° B．大于30°且小于45°C．等于30° D．大于45°且小于
60°
20．已知∠A为锐角，且sinA＜ ，那么∠A的取值范围是( )
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°
D．30°＜∠A＜90°
二、填空题
知识点一、三角函数概念的辨析
21．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，
则sinC=_____。
22．如图，在 中， ，将 沿 折叠，点 恰巧落在边 上的
处，折痕为 ，再将其沿 折叠，使点 落在 的延长线上的 处．若 与
相似，则相似比 ________．
23．如图，点 在 的正半轴上，且 于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 到
的位置，且点 的坐标为 ．若反比例函数 的图象经过 点，则
______．24．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…和 ， ， ，…分别在直线
和x轴上． ， ， ，……都是等腰直角三角形，如果点
，那么b的值是________； 的纵坐标是________．
知识点二、求三角函数值
25．如图，在 中， ， 是斜边 的中点， ，垂足为 ，若
， ，则 的值为________．
26． 中， ， ，则 __．
27．如图，在 中， 为 上一点，且 于 ，连结
，则 _____．28．如图， 中， 的垂直平分线分别交 于 两点，连
接 ，如果 ，那么 ______．
知识点三、由三角函数值求边长
29．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝ ，D是BC边上的一个动点（异于
B、C两点），过点D分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为E、F，则EF的最小值是
______．
30．如图，矩形ABCD中，AD＝2，E为CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D
恰好落在BC上，记为D′，再将△D′CE沿D′E折叠，若点C的对应点C′落在AE上，则AB
的长为___．31．如图， 中， ，将 绕A点顺时针方向旋转角
得到 ，连接 ， ，则 与 的面积之比等于
_______．
32．如图，折叠矩形 ，使D落在 边上的F处，若折痕 ，
则 _________．
知识点四、三角函数值的增减性
33．比较大小： ____ (填“ ”“ ”或“＞”)
34．对于锐角 __________ ．（填 ）.
35．从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分：
（1）用“=＞”与“＜=”表示一种运算法则：（a=＞b）=﹣b，（a＜=b）=﹣a，如（2=＞
3）=﹣3，则（2010=＞2011）＜=（2009=＞2008）=________ （括号运算优先）
（2）用“＞”或“＜”号填空：sin40°cos50°﹣ ________ 0．（可用计算器计算）
36．已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是_______．知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
37．若α为锐角，且 ，则m的取值范围是______________．
38．如图，在 中， ， ，点 是 的中点， 是等腰直角三
角形， ，线段 与线段 相交于点 ，将 绕点 逆时针转动，点
从线段 上转到与点 重合的过程中，线段 的长度的取值范围______．
39．已知 ＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
40．函数 对任意实数 都有 ，且 是三角形的内角，则
的取值范围是________
三、解答题
41．如图，在 中， 是对角线 、 的交点， ， ，垂足分
别为点 、 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．
42．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接
EF．（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG= ，求AO
的长．
43．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝ ，cos C＝ ，AC＝ .求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．参考答案
1．D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的
正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝ ，则 ，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝ ，则b＝ ，故B选项错误；
cosB＝ ，则a＝ccosB，故D选项正确；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
2．C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
解：如图所示：tanA= ，
则a=btan∠A．
故选：C．
【点拨】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角
三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，故A正确，不符合题意；∵ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意；
又∵ ，
∴ ，即： ，故C错误，符合题意．
故选C．
【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判
定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．B
【分析】在直角三角形ADE中， ，求得AD，AE．再求得DE，
即可得到tan∠DBE．
解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t−2．
∴ ，
∴ ，
∴t＝5．
∴AE＝5−2＝3．
∴DE＝ ＝ ＝4．
∴tan∠DBE＝ ＝2．
故选：B．
【点拨】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．
5．B
【分析】根据网格的特点，找到 点所在网格的顶点 ，连接 ，通过勾股定理的逆定
理判断 是直角三角形，进而根据正弦的定义求得 的值．
解：如图，连接 ，根据网格的特点可知：
，
，
是直角三角形，
，
，
故选B
【点拨】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股
定理的逆定理的应用，证明是 是直角三角形解题的关键．
6．A
【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明
△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．
解：连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝ ，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3 ，
∵E为AB中点，
∴AE＝ AB＝ ＝3，
由勾股定理得，DE＝ ，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴ ，
∴DF＝ DE＝2 ，
∴sin∠DFC＝ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，
解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．
7．B
【分析】连接BC，AB= ，BC= ，AC= ，得到△ABC是直角三角形，从而求解．
解：如图，连接 ，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得， ， ，
∵ ，
∴△ABC是直角三角形，
∴ ．故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时
判断三角形形状是解题的关键．
8．D
【分析】（1）证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，
判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG⊥AE于G，根据等
腰直角三角形的性质、正切的定义求出tan∠FAG，根据相似三角形的性质判断③；根据三
角形的面积公式计算，判断④．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，
∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴ 1，
∴DN＝EN，故①结论正确；
∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，
∴∠BCE＝45°，BF CE BE，FB＝FE，BF⊥EC，
∴∠DCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∴∠ABF＝∠ECD，
∵ ， ，
∴ ，
∴△ABF∽△ECD，故②结论正确；
作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，∴ ，
∴tan∠FAG ，
∵△ABF∽△ECD，
∴∠CED＝∠FAG，
∴tan∠CED ，故③结论正确；
∵tan∠FAG ，
∴ ，
∴ ，
∴S S ，
△FBM △FCM
∵F是CE的中点，
∴S ＝S ，
△FBC △FBE
∴S ＝2S ，故④结论正确；
四边形BEFM △CMF
故选：D．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的
判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．
9．D
【分析】根据 ， ，可得 ,进而可得 ，进而可
得 ，根据已知条件设 ，则 ，求得 ，即可求得答案．
解： ， ，
，
，，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
．
故选D．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两
边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．
10．D
【分析】过点E作EH⊥CF于H，根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中
点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出 ，则
.
解：如图所示，过点E作EH⊥CF于H
由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点， ，
∴BE=CE=EF= ，
∴△EFC为等腰三角形
∴CF=2FH=2CH
∴∠EFC=∠ECF，AE= ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，∴ = = ，
∴
∴CF=2CH=
故选D.
【点拨】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠
的性质得到∠ECF=∠AEB.
11．B
【分析】过D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA= ，设DH=m，则BH=5m，AB=6m，根据三
角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，可得AB=6 ，从而可得6m=6 ，解得
m，即可得到答案．
解：过D作DH⊥AB于H，如图：
Rt△BDH中，tan∠DBA= ，
∴ = ，
设DH=m，则BH=5m，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，∴∠A=45°，AB= AC=6 ，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=m，AD= m，
∴AB=AH+BH=6m，
∴6m=6 ，解得m= ，
∴AD= m=2．
故选B．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是设DH=m，用含m的代数式表示AB，
从而列方程求解．
12．D
【分析】连接DP根据轴对称性质 ，由两点间线段最短可知D、P、E共线时
PE+PB最小，然后根据Q点的坐标，得到PC和DE的长，再利用∠D=120°，可得△ABD
为等边三角形，利用锐角三角函数求出EB，得到AB的长即可．
解： 、D关于直线AC对称，
连接DP， ，
，（点E，D，P三点共线）
的值最小，
，， ，
∵四边形ABCD为菱形，DB为对角线，∠D=120°，
∴∠ADB=∠CDB= ，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵点E为AB中点，
∴ED⊥AB，
∴∠EDB=30°，
∴tan∠EDB=
∴
∴AB=2BE=4．
故选D．
【点拨】本题查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，以及最短路径
和函数图象问题，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及最短路径和函数
图象问题，是解题的关键．
13．C
【分析】由角 ， 满足 ，确定锐角三角函数的增减性， 随 的增大
而增大， 随 的增大而减小， 随 的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确
定答案．
解：角 ， 满足 ， 随 的增大而增大， 随 的增大而减小，
随 的增大而增大，
A.∵ ,∴0< < ,选项A正确，不合题意；
B．∵ ,∴ ,选项B正确，不合题意；C． ， ， ， ，选项C不正确，符
合题意；
D． ， ， ， ，选项D正确，不
符合题意．
故选择：C．
【点拨】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值
的特殊关系是解题关键．
14．A
【分析】根据杠杆原理及 的值随着 的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得
答案．
解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时 的度数越来越小，此时 的值越来越大，
又∵动力臂 ，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相
关知识是解决本题的关键．
15．C
【解析】
【分析】分析是否为假命题，需要分别分析各题设是否能推出正确结论，不能推出正确结
论的，即假命题．
解：①两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题；
②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα，所以②是真命题；
3x−m
③关于x的方程 =2的解是x=4+m，
x+2因为x＜0，
∴4+m＜0，
解得m＜-4，且m≠-6，即③是假命题；
④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以④是假命题．
所以假命题是①③④，3个．
故选C．
【点拨】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义与增减性逐一进行判断即可.
解：A.正确， ，锐角的角度越大，其余弦值越小，故选项错
误；
B.正确，同角的正弦值与余弦值的平方和等于1，故选项错误；
C.正确， ，故选项错误；
D.错误，AB= ，故选项正确.
故选D.
【点拨】本题考点：锐角三角函数的定义与增减性.
17．C
【分析】在Rt△ABE中，得BE＝AB•cosB，则2BE＝2AB•cosB，根据点B恰好落在线段EC
上，则有cosB＜ ，可得60°＜∠B＜90°．
解：如图：当∠B为锐角时，
在Rt△ABE中，
BE＝AB•cosB，
∴2BE＝2AB•cosB，
∵点B恰好落在线段EC上，
∴2BE＜BC，
即2AB•cosB＜BC，∴cosB＜ ，
∴∠B＞60°，
∴60°＜∠B＜90°，
当∠B为钝角时，折叠后B'不可能落在线段EC上，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、翻折的性质、以及三角函数的知识，证明出cosB＜
是解题的关键．
18．C
【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．
解：∵ 是 的中位线
∴点 、 分别是 、 的中点
∵
∴
∴
∴
故选：C
【点拨】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以
及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
19．B
【分析】过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据三
角函数的定义得到 ，再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论．解：如图，过 作 于
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角
函数的增减性是解题的关键．
20．A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求出sin30°= ，根据当∠A是锐角时，其正弦随角度的
增大而增大，
解：∵∠A为锐角，且sin30°= ，
又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，
∴0°＜A＜30°，
故选：A．
【点拨】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角
时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小．21．
【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利
用锐角三角函数定义求出sinC的值即可.
解：过A作AD垂直于BC于D，
则AD=2，AC= ，
∴sinC= .
故答案为 .
【点拨】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键.
22．
【分析】根据 与 相似，得到 ，又 ，得到
，设 为 ，再根据三角函数的定义求得 、 ，即可求解．
解： 与 相似，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 为 ，
则 ， ，
∴
故答案为【点拨】此题考查了相似三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握相关基本性质是解题
的关键．
23．
【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的
度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．
解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD＝90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠B′BD＝90°−60°＝30°．
∵点B′的坐标为（1，1），
∴OD＝ B′D＝1，
∴BB′＝2B′D＝2，BD＝
∴ ，AB＝BB′＝2，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数
的定义得出A点坐标是解答此题的关键．24． （ ）2020
【分析】利用待定系数法可得b的值，确定一次函数的解析式，设直线 与x轴的
交点为G，过点A，A，A 分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由条件可求得
1 2 3
，再根据等腰三角形可分别求得AD、AE、AF，可得到A，A 的纵坐
1 2 3 2 3
标坐标，找出规律得A 的纵坐标，进而即可求解．
n
解：∵ 在直线 上，
∴ ，解得：b= ，
∴直线的解析式为： ，
设直线 与x轴的交点为G，
令y＝0可解得x＝−4，
∴G点坐标为（−4，0），
∴OG＝4，
过点A，A，A 分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
1 2 3
∵△ABO为等腰直角三角形，
1 1
∴AD＝OD，
1
∵OB=2AD=2，
1 1
∴GB=2+4=6，
1
又∵点A 在直线 上，
1∴tan∠AGO= = ，即 ，
1
解得： AE＝ ＝（ ）1，则OE＝OB＋BE＝ ，
2 1 1
∴A（ ， ），OB＝5，
2 2
同理可求得：AF＝ ＝（ ）2，则OF＝5＋ ＝ ，
3
∴A（ ， ），
3
∴当A 时其纵坐标为（ ）n−1，即： 的纵坐标是：（ ）2020，
n
故答案是： ，（ ）2020．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的纵坐
标的变化规律是解题的关键，注意观察数据的变化．
25．
【分析】先求解 再证明 利用勾股定理求解
再利用余弦的含义可得答案.
解： ， 是斜边 的中点， ，
，故答案为：
【点拨】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的
应用，求解锐角的余弦，熟练的运用勾股定理求值是解题的关键.
26．
【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出 的长，根据勾股定理求出 的
长，再根据锐角三角函数的定义即可求出 的值．
解：如图，等腰 中， ， ，
过 作 于 ，则 ，
在 中， ， ，则，
，
故 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化
到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
27．
【分析】作 ，将 的值转化为 与 的比，根据题中所给的条件，在
直角三角形中解题，根据角的正切值与三角形边的关系，代入三角函数进行求出 与
的长．
解：如图，作出 ，垂足为 ，则 ，
设 ，则 ， ，
，，
．
，
， ，
， ，
．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了比例线段性质和锐角三角函数的概念，熟悉相关性质是解题的关键．
28．
【分析】先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC=2，∠AED=90°，
∵∠A=45°,
∴∠ACD=45°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴ ，
∴AB= ，∴tan∠BCD= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和
正切函数的定义是解题关键．
29．
【分析】连接AD，先由锐角三角函数定义求出AC＝6，则AB＝8，再证四边形AEDF是矩
形，则EF＝AD，当AD⊥BC时，AD的值最小，然后由面积法即可求解．
解：如图，连接AD，
在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝ ＝ ，
∴AC＝ BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝8，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时EF最小值＝AD＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是三角形的动点问题，熟练掌握相似三角形和勾股定理是解题的关键．
30．【分析】由折叠的性质得到 ，能得到 ，再用平角的性质得
到 ，再由 ，得到 ，可以求出 ，最后可以
求出 ．
解：如图：
由折叠的性质得：
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ 中，
∴
故答案为：【点拨】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的性质，三角函数，掌握它们的性质是解题
的关键．
31．
【分析】先根据正切三角函数的定义可得 ，再根据旋转的性质可得
，从而可得 ，然后根据相似三角形
的判定可得 ，最后根据相似三角形的性质即可得．
解： 在 中， ，
，
由旋转的性质得： ，
，
在 和 中， ，
，
，
即 与 的面积之比等于 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相
似三角形的判定与性质是解题关键．
32．10
【分析】根据tan∠EFC= ，设CE=3k，在RT△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据
∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继
而代入可得出答案．
解：∵tan∠EFC= ，设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE= =5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC= ，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，
由勾股定理得AE= = k=5 ，
解得：k=1，
∴BC=10×1=10；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；解答本题关键是根据三角
函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
33．
【分析】根据三角函数的性质得 ，即可比较它们的大小关系．
解：∵
∴
故答案为：<．
【点拨】本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键．
34．
【分析】根据锐角三角函数正弦、余弦、正切之间的关系，列示解决即可.
解：
角是锐角，
故答案是＞.
【点拨】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三个锐角函数之间的关系是解决本题的关键.35．2011 ＜
【解析】
【分析】（1）首先认真分析找出规律，然后再代入数值计算．
（2）根据cosα=sin（90°-α）和三角函数的增减性计算．
解：（1）（2010=＞2011）与（2009=＞2008）都符合公式：（a=＞b）=-b，
∴（2010=＞2011）=-2011，
（2009=＞2008）=-2008，
∴（2010=＞2011）＜=（2009=＞2008）=（-2011）＜=（-2008），
（-2011）＜=（-2008）符合公式（a＜=b）=-a，
∴（-2011）＜=（-2008）=2011．
（2）∵90°＞40°＞0°，
∴cos50°=sin（90°-50°）=sin40°，
∴原式=（sin40°）2﹣ ，
又∵（sin40°）2＜（sin45°）2= ，
∴（sin40°）2＜ ，
即（sin40°）2﹣ ＜0．
【点拨】（1）解决此类问题时，主要运用等量代换思想，即要看准用哪一个数字代替哪一
个字母．
（2）考查了锐角三角函数的关系和增减性．
36．0＜tanB≤
【解析】
【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据
tan60°= 和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．
根据题意，知：
0°＜∠B≤60°．又tan60°= ，
∴0＜tanB≤ ．
故答案为: 0＜tanB≤
【点拨】此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数
值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键．
37．
【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值
范围.
解：α是锐角，且且 ，
则有0＜ ＜1，
解得， ＜m＜ .
故答案为 ＜m＜ .
【点拨】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的
余弦值＜1”是解决本题的关键.
38．
【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，
DQ有最大值为3，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．
解：∵BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=BD=3，
∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，
∴DE=CD=3，
∵线段EF与线段AB相交于点Q，
∴点Q在EF上运动，∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，
如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，
∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴DQ的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问
题是本题的关键．
39．20°＜∠A＜30°．
解：∵ ＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
40．
【分析】因为cosθ＞0，所以只要△＜0，函数值恒为正．由△＜0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围．
解：由题意得：
即： ，
（2cosθ-1）（cosθ+2）＞0，
解得cosθ＞ ，
又因为0°＜θ＜180°，
所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．
故答案是：0°＜θ＜60°．
【点拨】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正
余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值．
41．（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得 ，由ASA证得 ，即
可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结
果．
解：（1）证明：在 中，
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵ ，∴
∵
∴
在 中， ， .
【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；
熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
42．（1）证明见解析；（2）AO=1．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合
一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再
根据tanG= 即可求出AO的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO= BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD= ，∴AO=1
【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性
质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
43．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝ .解：（1）如图，作AE⊥BC，
∴CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1， ，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴ ．
