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专题 2.2 函数的解析式与定义域、值域
【新高考专用】
题型一 具体函数的定义域的求解
1
1．（2024·海南·模拟预测）函数f (x)=√2− x+ 的定义域为( )
x−1
A．(−∞,1] B．(1,2] C．(−∞,2] D．(−∞,1)∪(1,2]
【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可
【解答过程】由题知¿,解得x⩽2且x≠1
1
即函数f (x)=√2− x+ 的定义域为(−∞,1)∪(1,2]
x−1
故选：D.
11
2．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数f(x)= ，则函数y=f(x)−f(13−x)的定义域为
√x−2
（ ）
A．20，解得x>2.
√x−2
要使函数y=f(x)−f(13−x)有意义，
则¿，解得20
f(x)
所以y= 的定义域是(−2,5].
√x+2
故选：D.
7．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数y=f(x+1)的定义域是[−2,3]，则y=f(x−1)的定义域是
[0,5] .
【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.
【解答过程】由函数y=f(x+1)的定义域是[−2,3]，得−2≤x≤3，则−1≤x+1≤4，
由−1≤x−1≤4，解得0≤x≤5，
所以y=f(x−1)的定义域是[0,5].
故答案为：[0,5].
8．（2024·湖北武汉·二模）已知函数f (2x+1)的定义域为[−1,1)，则函数f (1−x)的定义域为 (−2,2] .
【解题思路】借助函数定义域的定义计算即可得.
【解答过程】由函数f (2x+1)的定义域为[−1,1)，则有2x+1∈[−1,3)，
令−1≤1−x<3，解得−20在R上恒成立.
当m=0时， 4>0在R上恒成立，
当m≠0时，则满足¿，解得00的值域为 ( −∞,− √2+2] ∪ ( − 1 ,+∞ )
x2−6x+7 4 7
．【解题思路】由题意分析可得关于x的方程yx2−(6 y+1)x+7 y+1=0有正根，分y=0和y≠0两种情
况，结合二次函数分析求解.
x−1
【解答过程】因为y= ，整理得yx2−(6 y+1)x+7 y+1=0，
x2−6x+7
可知关于x的方程yx2−(6 y+1)x+7 y+1=0有正根，
若y=0，则−x+1=0，解得x=1，符合题意；
若y≠0，则x2− ( 6+ 1) x+7+ 1 =0，
y y
可得¿或¿，
1 1 1 1 √2+2
解得 <−7或 ≥2√2−4且 ≠0，则− 0或y≤− ；
y y y 7 4
1 √2+2
综上所述：y>− 或y<− ，
7 4
即函数y= x−1 ，x>0的值域为 ( −∞,− √2+2] ∪ ( − 1 ,+∞ ) .
x2−6x+7 4 7
( √2+2] ( 1 )
故答案为： −∞,− ∪ − ,+∞ .
4 7
题型七 根据函数的值域或最值求参数
25．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数f (x)=√ax2+x+1的值域为[0,+∞)，则实数a的取值范围
为（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B．{0}∪ ,+∞
4 4
[ 1] [1 )
C． 0, D． ,+∞
4 4
【解题思路】对a分a=0,a≠0两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值
范围即可.
【解答过程】①a=0时，f (x)=√x+1，值域为[0,+∞)，满足题意；
②a≠0时，若f(x)=√ax2+x+1的值域为[0,+∞)，
1
则¿，解得00时，g(x)=4ax2+(8−4a)x+1，该函数为开口向上的二次函数，令Δ≥0，则
(8−4a) 2−4×4a≥0，整理可得a2−5a+4≥0，即(a−1)(a−4)≥0，解得a≤1或a≥4，此时符合题意.
综上，可得a∈[0,1]∪[4,+∞).
故选：D.
27．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知函数f(x)=√kx2−4x+3的值域为[0,+∞)，则实数k的取值范
[ 4]
围为 0, ．
3
【解题思路】根据函数f(x)=√kx2−4x+3的值域为[0,+∞)，可得[0,+∞)是函数y=kx2−4x+3的值域
的子集，再分k=0和k≠0两种情况讨论即可.
【解答过程】因为函数f(x)=√kx2−4x+3的值域为[0,+∞)，
所以[0,+∞)是函数y=kx2−4x+3的值域的子集，
当k=0时，y=−4x+3∈R，符合题意，
当k≠0时，4
则¿，解得00)，若函数
[ 1+√13]
f (x)的值域为[−9,0]，则实数a的取值范围是 1, ．
2
【解题思路】首先化简函数f (x)=x2−2ax+a2−9=(x−a) 2−9，根据f (a)=−9，f (a−3)=0，列不等式
求实数a的取值范围.
【解答过程】f (x)=x2−2ax+a2−9=(x−a) 2−9，则有f (a)=−9，f (a−3)=0，
由x∈[a−3,a2] (a>0)，f (x)∈[−9,0]，
1+√13
所以¿ ，解得1≤a≤ ，
2
[ 1+√13]
所以实数a的取值范围是 1, .
2
[ 1+√13]
故答案为： 1, .
2
题型八 分段函数及其应用
[ 1 ]
29．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数f (x)=¿，若f (x)值域为 − ,2 ，则实数c的取值范围是
4
（ ）
[ 1 ]
A．[−1,0] B． − ,0
2
[ 1] ( 1]
C． −1,− D． −∞,−
2 21
【解题思路】根据分段函数f (x)的解析式、f (x)的值域、y=− (x≤2),y=x2−x(x≤2)的图象来求得a的
x
取值范围.
【解答过程】当x=2时，f (2)=4−2=2,f (x)=x2−x= ( x− 1) 2 − 1 ≥− 1 ，
2 4 4
[ 1 ] 1 1
∵f (x)值域为 − ,2 ,∴当x1时，x+1>2，f (x)∈(2,+∞)，则有(−∞,2]⊆¿，分类讨论此时函数的值域即可.
【解答过程】函数f(x)=¿的值域为R，
当x>1时，x+1>2，f (x)∈(2,+∞)，
则有(−∞,2]⊆¿，
a=0时，f(x)=−2x,x≤1，不合题意，
由二次函数的性质可知，a>0时不合题意，
2 1 (1) 1
故a<0，又由 = <0<1，故x∈(−∞,1]时，f(x) =f =− ≥2，
2a a max a a
1
解得− ≤a<0.
2
[ 1 )
所以a的取值范围是 − ,0 .
2
[ 1 )
故答案为： − ,0 .
2
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
x2
A．f (x)=x，g(x)= B．f (x)=√x2，g(x)=x
x
C．f (x)=|x|，g(x)=−x D．f (x)=x+1，g(t)=t+1【解题思路】根据若两函数的定义域相同，对应关系相同，则这两函数为同一个函数逐个分析判断即可.
【解答过程】对于A，因为f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为¿，
所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误；
对于B，f(x)，g(x)的定义域都为R，因为f (x)=√x2=|x|≠g(x)，
所以两函数不是相等函数，所以B错误；
对于C，f(x)，g(x)的定义域都为R，因为f (x)=|x|=¿与g(x)=−x解析式不同，
所以这两个函数不是相等函数，所以C错误；
对于D，因为f(x),g(t)的定义域都为R，且对应关系相同，所以f(x),g(t)是相等函数，
所以D正确，
故选：D.
(1) 3
2．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数f (x)满足f (x+ y)=f (x)+f (y)+2xy,f = ，则f (100)=
2 4
（ ）
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
【解题思路】赋值得到f (x+1)−f (x)=2x+2，利用累加法得到f (x+99)−f (x)=198x+9900，令x=1
得到f (100)−f (1)=10098，赋值得到f (1)，从而求出答案.
1
【解答过程】f (x+ y)=f (x)+f (y)+2xy中，令y= 得，
2
( 1) (1) 3
f x+ =f (x)+f +x=f (x)+x+ ，
2 2 4
( 1) 1 3 ( 1) 5
故f (x+1)=f x+ +x+ + =f x+ +x+ ，
2 2 4 2 4
3 5
故f (x+1)=f (x)+x+ +x+ =f (x)+2x+2，
4 4
其中f (x+1)−f (x)=2x+2，①
f (x+2)−f (x+1)=2(x+1)+2=2x+4，②
f (x+3)−f (x+2)=2(x+2)+2=2x+6，③
……，
f (x+99)−f (x+98)=2(x+98)+2=2x+198，
上面99个式子相加得，
99×(2+198)
f (x+99)−f (x)=99×2x+2+4+⋯+198=198x+
2=198x+9900，
令x=1得f (100)−f (1)=198+9900=10098，
( 1) 3 1 (1) 1 3 3 1 3
f x+ =f (x)+x+ 中，令x= 得f (1)=f + + = + + =2，
2 4 2 2 2 4 4 2 4
故f (100)=10098+f (1)=10100.
故选：C.
f(x−1)
3．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数y=f(x)的定义域是[−4,5]，则y= 的定义域是（ ）
√x+2
A．[−2,4] B．[−2,6] C．(−2,4] D．(−2,6]
【解题思路】根据抽象函数的定义域可得f(x−1)满足−3≤x≤6，结合根式的意义即可求解.
【解答过程】因为函数f(x)的定义域为[−4,5]，
所以f(x−1)满足−4≤x−1≤5，即−3≤x≤6，
又x+2>0，即x>−2，
所以¿，解得−20和
2 x+ x
x
x<0两种情况结合基本不等式可求出t的取值范围，从而可求出f(x)的值域，再由高斯函数的定义求出
y=[f (x)]的值域.
1
【解答过程】显然，f (0)= ．
2
(x+1) 2 1 2(x+1) 2−(x2+1) x2+4x+1 1 2
f (x)= − = = = +
当x≠0时， x2+1 2 2(x2+1) 2(x2+1) 2 1．
x+
x
1 1 √ 1
令t=x+ ，当x>0时，t=x+ ≥2 x⋅ =2，当且仅当x=1时等号成立，
x x x
1 1 1 1 1 3
则0< ≤ , a时，f (x)=x2−2≥−2，
要使f (x)的值域为R，需a3−2≥−2，即a≥0，与a<0矛盾．
若a≥0，则当x>a时，f (x)=x2−2>a2−2．若f (x)的值域为R，
则a3−2≥a2−2，即a=0或a≥1，
可取a的一个值为1，答案不唯一，满足a=0或a≥1的数都可以．
故答案为：1(答案不唯一)．
√x+a
13．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数f(x)= 定义域为[−2,+∞)，则实数a= 2 ；实数b的取
x−b
值范围是 (−∞,−2) ．
【解题思路】利用函数的定义域求解即可.√x+a
【解答过程】函数f(x)= ，故¿，即¿
x−b
√x+a
函数f(x)= 的定义域为[−2,+∞)，故a=2,b<−2.
x−b
故答案为：2；(−∞,−2).
( 1)
14．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在R上的f (x)满足f − ≠0，且对于任意的x,y∈R，有
2
f (x+ y)+f (x)f (y)=4xy，则f (0)= −1 .
【解题思路】令x= y=0得f (0)=−1或f (0)=0，排除f (0)=0即可.
【解答过程】在f (x+ y)+f (x)f (y)=4xy中，令x= y=0，有f (0)+[f (0)] 2 =0，解得f (0)=−1或f (0)=0
，
( 1)
若f (0)=0，则在f (x+ y)+f (x)f (y)=4xy中，令x=0，有f (y)=0恒成立，但这与f − ≠0矛盾，
2
所以只能f (0)=−1，经检验符合题意.
故答案为：−1.
四、解答题
15．（2024·江西九江·模拟预测）若f(x)的定义域为[−4,4]，求g(x)=f(2x+1)+f(x2 )的定义域．
【解题思路】由题意列出不等式组解之即得.
【解答过程】由函数y=f(x)的定义域为[−4,4]，则要使函数g(x)=f(2x+1)+f(x2 )有意义，
−4≤2x+1≤4
则{ ，
−4≤x2≤4
3
解得−2≤x≤ ,
2
3
∴函数g(x)=f(2x+1)+f(x2 )的定义域为[−2, ].
2
16．（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域：
1
(1)求y= +(2x−1) 0+√4−x2 的定义域；
x−1
(2)f(x)=√−x2+4x+5的值域；
【解题思路】（1）根据题意由¿求解；
（2）令t=−x2+4x+5，由y=√t求解.【解答过程】（1）解：由题意得：¿，
1
解得−2≤x≤2且x≠1且x≠ ，
2
1}
所以函数的定义域为¿且x≠1且x≠ .
2
（2）由题意得t=−x2+4x+5=−(x−2) 2+9，
所以y=√t∈[0,3]，
所以函数f(x)的值域是[0,3].
17．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知f(x)是二次函数，且满足
f(0)=1,f(x+1)−f(x)=2x，求f(x)解析式;
（2）已知f(x+1)=2x2+3x+2，求f(x)的解析式;
（3）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3，求f(x)的解析式.
【解题思路】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）.
【解答过程】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
因为f(0)=1，所以c=1，则f(x)=ax2+bx+1.
由题意可知:f(x+1)−f(x)=a(x+1) 2+b(x+1)+1−(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x，
对照系数可得¿，解得¿.
所以f(x)=x2−x+1.
（2）令x+1=t，则x=t−1，
所以f(t)=2(t−1) 2+3(t−1)+2=2t2−t+1.
所以f(x)=2x2−x+1.
（3）设f(x)=kx+b(k≠0)，
因为f(f(x))=x+3，所以k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+3，
对照系数可得¿，解得¿，
3
所以f(x)=x+
.
218．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=||x−2|−|x+1||．
(1)求f (x)的值域；
1
(2)求不等式f (x)≤ x+1的解集．
2
【解题思路】（1）分类讨论去绝对值即可求解函数的值域；
（2）由（1）中的分类讨论结果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.
【解答过程】（1）当x≥2时，f (x)=|(x−2)−(x+1)|=3．
当x≤−1时，f (x)=|(2−x)−(−x−1)|=3．
当−1
