文档内容
专题1.3 正方形的性质与判定
【学习目标】
1.理解正方形的概念；
2探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题；
4.会证明正方形的判定定理；能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明；
5.能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明.
【知识梳理】
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形：
1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC
2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即
AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO
4）对称性：轴对称图形；中线对称图形
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，常见的判定思路为 ：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且
相等，
2）判定方法2（从菱形出发）：菱形+1个90°角，或菱形+对角线相等，
3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直，
4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等，
【高频考点精讲】
【高频考点1】正方形的性质（求角度、长度）
【例1】（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，
，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，
MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．80°
变式1.（2022•黄浦区九年级期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于
点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝ °．
例2.（2022·广东初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，
EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．
变式2.（2021·重庆中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD
上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB
的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．【高频考点2】正方形的性质（探究数量关系）
例2.（2022•西山区九年级期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E
是AC上一点，连接DE，过点A作AM⊥DE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）直接写出OE与OF的数量关系： ；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，
AM⊥DE于点M，AM交BD的延长线于点F，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，
并说明理由．
变式1.（2022•安阳县期末）四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点
E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．
（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．
（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证
明．变式2.（2022•天河区校级期中）如图，已知四边形 ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于
O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间
存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB
上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证
明．
【高频考点3】正方形的判定
例3.（2022·山东城阳·九年级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB
＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变
为正方形．下面组合错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
变式1.（2022•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于
点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF为正方形的是（
）
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF变式2.（2022•开原市校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个
作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BD
A．选①② B．选①③ C．选②③ D．选②④
【高频考点4】正方形的判定（证明类）
例4（2022•渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是
△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE
是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满
足 时，四边形ADCE是正方形．
变式1.（2022·山东高唐初三期末）如图，已知平行四边形 中，对角线 ， 交于
点 ， 是 延长线上的点，且 是等边三角形．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求证：四边形 是正方形．
变式2.（2022·广东潮安初三期末）如图，在正方形 中，动点 在 上， ，
垂足为 ， ．（1）求证： ；（2）当点 运动到 的中点时（其他条
件都保持不变），四边形 是什么特殊四边形？请说明，理由．
【高频考点5】正方形的判定与性质综合例5.（2022•天心区期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E
作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2√2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
变式1.（2022•南充九年级期中）如图，在矩形 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
变式2.（2022•余杭区九年级月考）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA
的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交
AD延长线于点P．（1）求证：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP＝BM+2FN．
【能力提升】
一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.（2022·广西初三期末）在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水
(如图)，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应（ ）
A．等边三角形 B．四边形 C．菱形 D．以上都不是
3．（2022·湖北初三期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE
＝67.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A．1 B． C．4-2 D．3 -4
4．（2021·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着
AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝
（ ）
A．4 ＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
5．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形
如图所示．过点 作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连结 ，
延长 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
6．（2022•洛阳三模）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF
＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（ ）
A．2 B．2√2 C．4√2−2 D．2√5−2
7．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE，
点F为线段DE上一动点，过点F作GH⊥DE交直线AD于点G，交直线BC于点H，连接
BG、BH，取BG、BH的中点M、N，连接MN，则点F在DE上移动时，线段MN的长（
）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
8．（2022·吉林白城·八年级期末）将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边
形ABCD，转动这个四边形，使它的形状改变，当 ，如图①测得 ，当
时，如图②则AC的长度为（ ）A． B．2 C． D．
9．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一
点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝ EC；②四边
形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021·陕西·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
，CE交BO于点E，过点B作 ，垂足为F，交AC于点G．现给出
下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（2022·广东珠海·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点、连接CE，交
BD于点F，若AD=BF，则∠DEF=_____°．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于
点F，连接FC，若 ，那么 的度数是_______．
13．（2022·江苏崇川初三期中）如图，正方形 的边长为 ，点 为 边上一点，
，点 为 的中点，过点 作直线分别与 ， 相交于点 ， .若
，则 长为______ .
14．（2022·河南·郑州一中国际航空港实验学校九年级期末）如图，正方形 中，点E为
边的中点，点P为边 上一个动点，连接 ，以 为对称轴折叠 得到 ，
点B的对应点为点F，若 ，当射线 经过正方形 边的中点（不包括点E）时，
的长为_____________．
15．（2021·无锡市南长实验中学初三二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线
BD上的两个动点，且EF＝ ，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为__________.16．（2022·四川广元·八年级期末）如图，点P是正方形 的对角线 上一点，
，垂足分别为点E，F，连接 ，给出下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ 一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是
________________．
三．解答题（共6小题，每题6分，共36分）
17．（2022·山西初三期末）如图所示 ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，
DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC
△
＝8，求CE的长．
18．（2021·安徽芜湖市·九年级期末）如图1，点 为正方形 内一点， ，
现将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 （点 的对应点为点 ），延长
交 于点 ．
（1）如图1，求证：四边形 是正方形；（2）连接 ．①如图2，若 ，求证： 为 的中点；②如图3，若 ， ，试求 的长．
19．（2021·泸县·八年级期末）如图，点D为 的边BC的中点，过点A作 ，且
，连接DE，CE．（1）求证： ；（2）若 ，判断四边形ADCE的
形状，并说明理由；（3）若要使四边形ADCE为正方形，则 应满足什么条件？（直接
写出条件即可，不必证明）．
20．（2022·扬州市江都区初三期中） 在正方形ABCD中．（1）如图1，点E、F分别在
BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，
∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相
交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求
△ABO的周长．21．（2021·四川成都·八年级期末）如图1，四边形 是正方形，点 在边 上任意一
点（点 不与点 ，点 重合），点 在 的延长线上， ．（1）求证： ；
（2）如图2，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 ， 与 交于点 ，
与 交于点 ．与 交于点 ．①若 ，求 的度数；②用等式表示线段
， ， 之间的数量关系，并说明理由．
22．（2021·湖北武昌·八年级期末）如图，四边形 是边长为 的正方形， 为线段
上一动点， ，垂足为 ．（1）如图 ，连接 交 于点 ，若 ，求
的长；（2）如图 ，点 在 的延长线上，点 在 上运动时，满足 ，
①连接 ， ，判断 ， 的数量关系并说明理由；
②如图 ，若 为 的中点，直接写出 的最小值为 ．
