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专题 03 数轴中的动点问题 专项讲练
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表
示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
题型1. 单动点问题
例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数
为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，
M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的
长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，
点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，
点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP+NP= AP+ BP= AB= ×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP-NP= AP- BP= AB= ×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式1．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知有理数 满足： ．如图，在数轴上，
点 是原点，点 所对应的数是 ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧）， ，
下列结论① ；②当点 与点 重合时， ；
③当点 与点 重合时，若点 是线段 延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若 为线段 的中点， 为线段 的中点，则线段 的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点
的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，解得 ， ，故①正确；
当点 与点 重合时，∵ ， ，∴ ，故②错误；
设点P表示的数是 ，当点 与点 重合时，点B表示的数是2，
， ， ，∴ ，故③正确；
设点B表示的数是 ，则点C表示的数是 ，
∵M是OB的中点，∴点M表示的数是 ，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是 ，
则 ，故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
题型2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴
上的一个点．
(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P
满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，
第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类
推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；
(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的
性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式2．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿
数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单
位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点
A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得
解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得n=95，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95
=1+2+3+…+95
==4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则 =48，
解得n=96，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|
=1+2+3+…+96
=
=4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，
弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．
题型3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表
示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值
为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，
在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、
Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3） 秒或 秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b
＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9
分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝ ；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝ ，
综上所述，第 秒或第 秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要
考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2022·四川阿坝·七年级期末）如图：在数轴上 点表示数 点示数 点表示数 是最大的负整数， 在 左边两个单位长度处， 在 右边 个单位处。 ； ； ；
若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数_ __表示的点重合；
点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别
以每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为
点 与点 之间的距离表示为 点 与点 之间的距离表示为 ，则 _ _， _
_， __ _；（用含 的代数式表示）
请问: 的值是否随着时间 的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变
化而改变，该值是21．
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据 在 左边两个单位长度处， 在 右边 个
单位处即可得出a、c的值；
（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；
（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两
点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；
（4））将（3）的结论代入 中，可得出 的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，
此题得解．
【详解】（1） b是最大的负整数，
在 左边两个单位长度处， 在 右边 个单位处
，
（2） 将数轴折叠，使得 点与 点重合
（3） 点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒 个单位长度和 个单位
长度的速度向右运动t秒钟过后，根据 得： ， ，
又 ， ，
点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点C表示的数为 ，
， ， ；
（4）由（3）可知：
，
的值为定值21．
故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的
变化而改变，该值是21．
【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是
解题的关键．
题型4.双动点问题（变速）
例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分
别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同
时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点
B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻
恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】 或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，
找到对应的边长关系，列出关于 的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝ ，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为 秒或30秒，
故答案为： 或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找
到等量关系，列出关于时间 的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
变式4．（2022·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示 ，点B表示20，动点P、Q分别从A、B
两点同时出发．
(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则
点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒；
(2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略
球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究：
①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度；
②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t．
【答案】(1)2，3
(2)①12个单位长度/秒；②2秒或 秒
【分析】（1）设P、Q的速度分别为2x，3x，由两点路程之和=两点之间的距离，列方程即可求解；
（2）解：①点Q第一次经过表示12的点开始到达原点用时4秒，再次到达表示12的点用时1秒，即可求
解；
②分两种情况：当P、Q都向左运动时和当Q返回向右运动时即可求解.
(1)
解：设P、Q的速度分别为2x，3x，
由题意，得：6（2x+3x）=20-（-10），
解得：x=1，
故2x=2，3x=3，故答案为：2，3；
(2)
解：① ， ．
答：点Q碰到挡板后的运动速度为12个单位长度/秒．
②当P、Q都向左运动时，
解得： ．
当Q返回向右运动时，
解得： ．
答：P、Q两点到原点距离相等时经历的时间为2秒或 秒．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清
题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示
的数的差的绝对值．
题型5.多动点问题
例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|
a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到
B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，
点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问
的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段
PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3） 的值没有发生变化，理由见
解析.【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；
（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示
， ，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分
别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出
的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，
∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则 ， ，
∵CA=CB，∴ ，
当 ，无解；
当 ，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3） 的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；
则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴ ，为定值，
即 的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
变式5．（2022·全国·七年级课时练习）如图一，已知数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动
点 从 出发，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒(1)线段 __________．
(2)当点 运动到 的延长线时 _________．（用含 的代数式表示）
(3)如图二，当 秒时，点 是 的中点，点 是 的中点，求此时 的长度．
(4)当点 从 出发时，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点 表示的数为：_________（用含 的代数式表示），
点 表示的数为：__________（用含 的代数式表示）．
②存在这样的 值，使 、 、 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出 值．
______________．
【答案】(1) (2) (3) (4)① ； ② 秒或 秒或 秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数
的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用 点P运动路程－ 可求解；
（3）当 秒时，根据路程＝速度×时间，得到 ，所以 ，再 由点 是 的中
点，点 是 的中点，利用中点的定义得到 ， ，最后由 即可得到结论．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个
动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴
上两点间距离公式，则点 所表示的数是点 的运动路程加上点 所表示的数，点 所表示的数是点 的
运动路程加上点 所表示的数即可．
②结合①的结论和点 所表示的数，分三种情况讨论即可．
(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴ ．
故答案为：14
(2)∵在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿
射线 的方向向右运动，运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
(3)∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方
向向右运动，
当 秒时， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
∴此时 的长度为 ．
(4)①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，另一个动
点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴ ， ，
∴点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
故答案为： ；
②结合①的结论和点 所表示的数，可知：
点 表示的数为 ，点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，分以下三种情况：
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 为 秒或 秒或 秒时， 、 、 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注
意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
题型6. 新定义问题
例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B
的距离2倍，我们就称点C是 的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是
1，那么点C是 的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就
不是 的美好点，但点D是 的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为 ，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是 ，6.5，11，其中是 美好点的是________；写出 美好点H
所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为
M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条
件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过
程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符
合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在
满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左
侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4
或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题，属于中考创新题目．
变式6．（2022·全国·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则
C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福
中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为
8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动， 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中
心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当
经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2 -4+（8-2 +1）=6，
故当经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=
时间×速度，认真理解新定义．
课后专项训练：
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上
对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据数轴上两点之间的距离为丨a-b丨求解即可．
【详解】解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝丨2﹣（﹣3）丨＝5，
∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，
∴P在A，B之间，
∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上两点间距离的表示是解答的关键．
2．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第
一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点
出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类
推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20
A．7 B．10 C．14 D．19
【答案】C【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左
侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答．
【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4；
第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为4 6= 2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为 2+9=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为7 12= 5；
第5次移动后表示的数为 5+15=10；
第6次移动后表示的数为10 18= 8；
…；
当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，
第n次移动后表示的数是 ，
当 时，
解得，n= （不符合题意，舍去）．
当移动次数为偶数时，对应的数是 2， 5， 8，…，
第n次移动后表示的数是 ，
当 时，
解得，n=14．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的
关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上点 O是原点，点 A、B．、C．表示的数分别是﹣12、
8、14．若 点 P从点 A出发以 2 个单位/秒的速度向右运动，其中由点 O运动到点 B．期间速度变为原
来的 2 倍，之后立刻恢复原速，点 Q从点 C．出发，以 1 个单位/秒的速度向左运动，若点 P、Q同时
出发，则经过__秒后，P、Q两点到点 B的距离相等．
【答案】7.6或10##10或7.6【分析】设经过t秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，先分别求出点P、Q经过t秒后点P、Q表示的数，
再分P在点B的左边和在点B的右边，由P、Q两点到点 B的距离相等列方程求解即可．
【详解】解： 设经过t秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，
由题意，AO=12，OB=8，BC=14－8=6，点P到达O点的时间为12÷2=6秒，此时点C到达B点，故t＞6，
即Q在B的左边，
当P在点B的左边时，P表示的数为4（t－6）=4t－24，C表示的数为14－t，
由PB=CB得：4t－24=14－t，解得：t=7.6；
当P在B的右边时，由于点P到达点B的时间为6+8÷4=8秒，故点P表示的数为8+2（t－8）=2t－8，C表
示的数为14－t，
由PB=CB得：（2t－8）－8=8－（14－t），解得：t=10，
综上，经过7.6或10秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，
故答案为：7.6或10．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程，熟练掌握数轴上的动点
问题是解答的关键．
4．（2021·重庆·西南大学附中七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将
数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差
的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动
点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原
来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个
单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后
继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当 秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动
到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）15；（2） 秒或 秒；（3）存在， 或 或
【分析】（1）当 秒时，求出点 和点 在数轴上相距的长度单位，点 和点 在数轴上相距的长度
单位，据此求出 、 和谐距离即可；
（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点
在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；
（3）分六种情况：①当点 在 ，点 在 上运动时， ②当点 在 ，点 在 上运动时，③
当点 ，点 在 上运动时， ④当点 在 ，点 在 上运动时， ⑤当点 在 ，点 在
上运动，且点 没有返回时，⑥当点 在 ，点 在 上运动，且点 返回时，分别列出方程，然
后求解即可．
【详解】解：（1）当 秒时，点 和点 在数轴上相距 个长度单位，即点 在数轴上表示的
点是
点 和点 在数轴上相距 个长度单位，即点 在点 的位置上，在数轴上表示的点是12，
则 、 和谐距离是： 个单位长度；
（2）如图示：
点 运动到点 位置时，用的时间是： 秒，
当点 在折线数轴上运动4秒时，则在 上的运动时间是 秒，在 上的运动时间是 秒，
则 ，
∴ ，
设点 ，点 在在 上的运动时间是 ，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得： ，
解得： ，∴总用时是： 秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得： ，
解得： ，
∴总用时是： 秒；
综上所述，当运动 秒或 秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
根据题意可知，点 在 上的运动，并没返回时，使用的时间是 秒，点 在
上的运动，使用的时间是 秒，
可得，点 在到达点 时，继续返回运动了2秒，
①当点 在 ，点 在 上运动时，依题意得：
解得： ，不合题意，舍去；
∵点 在到达点 时，使用的时间是 秒，先于点 在 上运动，
②当点 在 ，点 在 上运动时，依题意得：
解得： ；
③当点 ，点 在 上运动时，依题意得：
解得： ；
④∵点 在到达点 时，使用的时间是 秒，先于点 到达点 ，
当点 在 ，点 在 上运动时，
无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故不存在这样的时间 ；⑤当点 在 ，点 在 上运动，且点 没有返回时，依题意得：
解得： ，不合题意，舍去；
⑥当点 在 ，点 在 上运动，且点 返回时，依题意得：
解得： ；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间 是：
或 或 ；
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的
关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．
5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足
，b满足 ，点P位于该数轴上．
(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB；
(2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且 ，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p；
(3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个
单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若
能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由．
【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22
(2)点P对应数为-18或者
(3)第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合，不能移动到与点B重合理由见解析
【分析】（1）根据平方的非负性和解一元一次方程即可求出a、b从而求出AB；
（2）先求出C点表示的数，然后根据PB=2PC，得到 ， ，由此求解即可；
（3）根据题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，点P第 （k为正整数）次移动后，P
在原点左边距离原点 的位置，由此求解即可．
(1)解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ，
∴ ，
∵点C与点A的距离为24个单位长度，
∴点C表示的数为-16，
∵PB=2PC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
(3)
解：由题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，
∵点A表示的数为8，
∴点P在第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合；
根据题意可知点P第 （k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点 的位置，
∴ ，解得 不符合题意，
∴点P不能运动到B点；
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，熟知相关知识是解题的关键．
6．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动
到达A点，再向右移动 到达B点，然后再向右移动 到达C点，数轴上一个单位长度表示 ．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为 ，则 _______ ．
（3）若点A沿数轴以每秒 匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为 ？
（4）若点A以每秒 的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒 、 的速度匀速向右移动。
设移动时间为t秒，试探索： 的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，
请直接写出 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 秒或 秒；（4）不变化，值为 ．
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；
（4）表示出 ，再相减即可解题．
【详解】解：（1）如图，
（2）
故答案为： ；
（3）①当点A在点C的左侧时：
②点A在点C的右侧时：所以，经过 或 秒后点A到点C的距离为3cm，
（4）BA= ，CB=
的值不会随着 的变化而变化，BA-CB = ．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分
别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位
长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，
求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；（2） ；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得 ， ，再
由 ，得到 ，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情
况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴综上所述，当 ，t=1或18．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知
识是解题的关键．
8．（2022·广东实验中学七年级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，
且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为 ，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应
的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左
运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
【答案】（1）3；（2）存在， 或 ；（3）不变，值为 ．
【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系
式即可求出AB；
（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后
代入关系式PA＋PB＝PC即可解答；
（3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和
BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值．
【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，
又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a＋2＝0，b﹣1＝0.
∴a＝﹣2，b＝1.
∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，
∴AB＝|﹣2﹣1|＝3
答：AB的长为3；
（2）存在点P，使得PA＋PB＝PC．
设点P对应的数为x，
当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2，
∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，
PB＝|1﹣x|＝1﹣x，
PC＝| ﹣x|＝ ﹣x．
∵PA＋PB＝PC，
∴﹣2﹣x＋1﹣x＝ ﹣x．
解得：x＝﹣ ．
当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1，
∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，
PC＝| ﹣x|＝ ﹣x．
∴x＋2＋1﹣x＝ ﹣x．
解得：x＝﹣ ．
当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意．
综上，点P对应的数为﹣ 或﹣ ；
（3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
由（1）知：AB＝3，
由（2）知：BC＝ ﹣1＝ ，
∴AB﹣BC＝ ．
∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动，
∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3.
∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝（9﹣4）t＋（ ﹣1）＝5t＋ ．
∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋ ）＝ ．
∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合
已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键．
9．（2021·四川·成都市三原外国语学校七年级阶段练习）如图， 在数轴上所对应的数为 ．
（1）点 与点 相距4个单位长度，则点 所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点 以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 以每秒2个单位长度沿数
轴向右运动，当点 运动到 所在的点处时，求 ， 两点间距离．（3）如图，若点 对应的数是10，现有点 从点 出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一
点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为 秒．在运动过程中， 到 的距离、
到 的距离以及 到 的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时 的值；若没有，
请说明理由．
【答案】（1） 或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或 或6或3
【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可．
（2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可．
（3）由题可知： 点表示的数为 ， 点表示的数为 ，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类
讨论，分别求出①当 时，②当 时，③当 时对应的t的值．
【详解】（1）点 在点 左侧时，
为： ，
点 在点 右侧时，
为： ，
综上所述，点 对应的数为 或2．
（2）①当 对应的数为 时，
： 个单位， （秒），
： ，
∴ ；
②当 对应的数为2时，
： 个单位， （秒），
： ，
．综上所述， ， 两点之间的距离为4或12．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知： 点表示的数为 ，
点表示的数为 ，
∴ ，
，
，
，
分三种情况：
①当 时，
为 中点或 与 重合，
若 为 中点，如图，
则 ，
即 ，
解得 ，
若 与 重合，如图，
则 ，
即 ，
解得 ．
②当 时，
为 中点或 ， 重合，
若 为 中点，如图，则 ，
即 ，
解得 ，
若 ， 重合，则 （不合题意）
③当 时，
为 中点或 ， 重合，
若 为 中点，如图，
则 ，
即 ，
解得 ，
若 ， 重合，
则 ，
即 ，
解得 ．
综上所述，当 或4或 或6或3时，线段 ， ， 中存在两条线段相等．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思
想的运用是解题关键．
10．（2022·四川·达州市第一中学校七年级期中）已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M
点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点．
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒
向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数；
（3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒
向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？【答案】（1）30；（2）15；（3）20秒
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果；
（2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数；
（3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即可．
【详解】解：（1）-10+40=30，
∴点N表示的数为30；
（2）40÷（3+5）=5秒，
-10+5×5=15，
∴点D表示的数为15；
（3）40÷（5-3）=20，
∴经过20秒后，P，Q两点重合．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相遇问题和追击问题之间的数量关系．
11．（2021·山东·夏津县万隆实验中学七年级期中）如图在数轴上 点表示数 ， 点表示数 、 、 满
足 ；
（1）点 表示的数为______；点 表示的数为______；
（2）若在原点 处放一挡板．一小球甲从点 处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另小球乙从点 处
以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方
向运动，设运动的时间为 （秒）．
①当 时，甲小球到原点的距离＝_______；乙小球到原点的距离＝________．
当 时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=______．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由，若能，请直接写出甲，乙两小
球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】（1）-2，4；（2）①3，2；5，2；②t= 秒或t=6秒．
【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；
（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵|a+2|+|b-4|=0；
∴a=-2，b=4，
∴点A表示的数为-2，点B表示的数为4，
故答案为：-2，4；
（2）①当t=1时，
∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离=3，
∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离=4-2=2，
故答案为：3，2；
当t=3时，
∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离=5，
∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球2秒钟向左运动4个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2
个单位，
∴乙小球到原点的距离=2．
故答案为：5，2；
②当0＜t≤2时，得t+2=4-2t，
解得t= ；
当t＞2时，得t+2=2t-4，
解得t=6．
故当t= 秒或t=6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
故答案为：t= 秒或t=6秒．
12．（2022·四川·成都市新都区新川外国语学校七年级期中）如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为
﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2
秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直
到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，
求t的值．
【答案】（1）8；（2）4或10；（3）t的值为 和
【分析】（1）由数轴上点B在点A的右侧，故用点B的坐标减去点A的坐标即可得到AB的值；
（2）设点C表示的数为x，再根据AC=3BC，列绝对值方程并求解即可；
（3）点C位于A，B两点之间，分两种情况来讨论：点C到达B之前，即23时，然后列方程并解方程再结合进行取舍即可.
【详解】解：（1）∵数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6
∴AB＝6﹣（﹣2）＝8
答：AB的值为8．
（2）设点C表示的数为x，由题意得
|x﹣（﹣2）|＝3|x﹣6|
∴|x+2|＝3|x﹣6|
∴x+2＝3x﹣18或x+2＝18﹣3x
∴x＝10或x＝4
答：点C表示的数为4或10．
（3）∵点C位于A，B两点之间，
∴点C表示的数为4，点A运动t秒后所表示的数为﹣2+t，
①点C到达B之前，即2＜t＜3时，点C表示的数为4+2（t﹣2）＝2t
∴AC＝t+2，BC＝6﹣2t
∴t+2＝3（2t﹣6）
解得t＝
②点C到达B之后，即t＞3时，点C表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t
∴AC＝|﹣2+t﹣（12﹣2t）|＝|3t﹣14|，BC＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6
∴|3t﹣14|＝3（2t﹣6）解得t＝ 或t＝ ，其中 ＜3不符合题意舍去
答：t的值为 和
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，列一元一次方程和绝对值方程进行求解，是解答本题的关键.
13．（2022·湖南永州·七年级期末）如下图，数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示
的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在
数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D
出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2
个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为
“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：
(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；
(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？
(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对
应的数．
【答案】(1)2.5
(2)15
(3)
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路
线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；
（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3
