文档内容
专题1.2 矩形的性质与判定
【学习目标】
1.了解矩形的概念，经历矩形特殊性质的探究过程，掌握矩形的特殊性质；
2.利用矩形的特殊性质解决问题；
3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；
4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
5.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
【知识梳理】
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形：
1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC
2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO
4）对称性：轴对称图形；中心对称图形
5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为
斜边BD的中点，则AO= BD（或AO=OB=OD）
矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如
下：
1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°
2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°
3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分
【高频考点精讲】
【高频考点1】矩形的性质（求角度、长度）
例1.（2022·重庆市初三期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A
作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°．
变式1.（2022•苏州九年级期中）已知：如图，在矩形 ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC=√2，则∠ECD＝ °．
例2.（2022•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝
1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线
段PD的长度是 ．
变式1.（2022·河南初三期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,
那么△ECD的面积是 （ ）
A．2 B． C． D．
【高频考点2】矩形的性质（斜边中线）
例2．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，在 和 中，
， ， 是 的中点，连接 ， ， ，若
，则 的面积为（ ）
A．12 B．12.5 C．15 D．24
变式2.（2022•海淀区八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中
线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC
的长为（ ）A．6√3 B．3√10 C．8 D．6
变式2.（2021·四川南充市·中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，
H分别是BE，BC，CE的中点，AF 3，则GH的长为________．
【高频考点3】矩形的判定
例3.（2022·江苏无锡市·九年级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
变式1.（2022·北京市初三期中）如图，在平行四边形 中， 、 是 上两点，
，连接 、 、 、 ，添加一个条件，使四边形 是矩形，
这个条件是( )
A． B． C． D．
变式2.（2022•阳谷县初三期末）在四边形ABCD中，AC，BD交于点O．在下列各组条件
中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
【高频考点4】矩形的判定（证明类）
例4.（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图， 是 的中线， ，且，连接 ， ．（1）求证： （2）当 满足什么条件时，
四边形 是矩形？并说明理由．
变式1.（2022•连云港模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：
△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形 EGCF是矩形？
请说明理由．
变式2.（2022•成都市九年级期中）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点
A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，
并加以证明．
【高频考点5】矩形中的最值问题
例5.（2022•鄂州八年级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分
别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ．变式1.（2021·江苏·仪征市第三中学八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，
E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
变式2.（2022.湖北中考模拟）如图，长方形 ，长 ，宽 ，点P是
边上的一个动点，连结 、 ，则 的面积为________， 的最小值
是__________． 的最小值是______________．
【能力提升】
一．选择题1．（2022·江苏南京·八年级期中）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（
）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
2．（2022·山西初三期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下
面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角
3．（2022·江苏省泰兴市初三期中）如图，在平行四边形 中， 、 是 上两
点， ，连接 、 、 、 ，添加一个条件，使四边形 是矩
形，这个条件是( )
A． B． C． D．
4．（2022·江苏徐州·八年级月考）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D
是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的
△
最小值是( )
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
5．（2021·西安市九年级开学考试）如图，在矩形 中，点 ， 分别在边 ，
上，且 ，将矩形沿直线 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处，
则 的长为（ ）
A．9 B．8 C． D．
6.（2022•天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
7．（2021·吉林松原市·前郭县一中九年级一模）如图所示，点 是矩形 的对角线
的中点，点 为 的中点．若 ， ，则 的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
8．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别
落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（
）
A． B． C． D．
9．（2021·江苏宿迁·中考真题）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，
已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2021·达州市·九年级期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分
交BC于点E， ．连接OE，则下面的结论：① 是等边三角形；
② 是等腰三角形；③ ；④ ；⑤ ，其中正
确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
11．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点
O作 ，交AD于点E，过点E作 ，垂足为F， ， ，
，则矩形ABCD的面积为________．
12．（2021·绵阳市·九年级专题练习）如图，矩形 中， ， ，将矩形
绕点 顺时针方向旋转后得到矩形 ，若边 交线段 于 ，且
，则 的值是______．
13．（2022·成都初三月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动
点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为_____．
14．（2022·湖北初三模拟）如图，将矩形 绕点 顺时针旋转50°，得到矩形
，点 ， ， 在一条直线上，连接 ，则 的度数为_______．15．（2022•泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，
PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小
值为 ．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形
内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
三．解答题
17．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点
重合．点 落在点 处．已知 ， ．（1）求证： 是等腰三角形；（2）
求线段 的长．
18．（2022·湖南九年级月考）如图1将长方形纸片 的一边 沿着 向下折叠，
使点 落在边 上的点 处．（1）试判断线段 与 的关系，并说明理由；（2）
如图2，若 ，求 的长；19．（2021·江苏·中考真题）如图，点C是BE 的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB AE，求证：四边形ACED是
矩形．
20.（2022·河南九年级期中）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接
AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若
∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
21.（2022•鄂州期中）如图，△ABC中，点 O是AC 边上的一个动点，过点 O作直线
MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
22．（2022·福建三元·八年级期中）在长方形 中，AB=5，BC=3，将长方形绕点 顺时针旋转α(0°<α<90°)，得到长方形AEFG．（1）如图1，当点 落在
边上时，延长 交 于点 ，求证：EM=AE；（2）如图2，当GC=GB时，求α
的值；（3）如图3，当点 落在线段CF上时， 与 交于点 ，求△ADN的面积．
23．（2022·广西九年级期末）如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P
从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接
AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的
值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存
在，请说明理由．
