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专题1.8 直角三角形（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在锐角 中， ，BD，BE分别是 的高和角平分线，点F在
CA的延长线上， 交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论：
① ；② ；③ ；④
.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度
数是（）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
3．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的
一点，且FA＝FG＝FC，GH⊥CD于H.下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；
③S△AFG＝S△CFG；④若∠EGH︰∠ECH＝2︰7，则∠EGF＝50°.其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④
4．△ABC的三边的长a、b、c满足： ，则△ABC的形状为（
）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．△ABC的三边分别为 ，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（ ）
① ;② ;③ ∠A＝∠B ∠C; ④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ;⑤;⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣
bc，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 的正方形网格中， 的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
8．如图， 中， 且 ， 为 外一点，连接 ，过 作
交 于点 ， 为 上一点且 ，连接 ， ．将线段 绕点
逆时针旋转 到线段 ，连接 分别交 、 于点 、 ，连接 、 ．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若
， ， ，则 ．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（
）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
10．如图，已知 中， 点 是边 上一点，点 分别是边 和
延长线上的点， 线段 的延长线和射线NF的反向延
长线交于点 ，若 ．则 ______．
11．如图所示，在等腰 中， ，点D为射线 上的动点， 且
与 所在的直线交于点P，若 ，则 和 的数量关系为
_______．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为DC，AC边上的高，连接DE，过
点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是____．13．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC
外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ是等边三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP
沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长
是_________．
15．如图，已知直线 与 轴交于点 与直线 交于点 ，点 为 轴
上的一点，若 为直角三角形，则点 的坐标为__________．16．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点
上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．
17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的
大小关系为：∠ABC_____∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
18．如图，在 中， 是 边中点， ， ，则 的长是
_____________．
19．如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为________20．如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝2 ，则正三角形ABC的面
积为_____．
21．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿
着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则
OC的长度的最大值是________．
22．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两
个三角形的边上运动，若 ，则PA的长为_____．
23．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
三、解答题
24．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1
cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在 中， ， 是角平分线， 是高， 、
相交于点 .求证： ；
（变式思考）如图2，在 中， ， 是 边上的高，若 的外角
的平分线交 的延长线于点 ，其反向延长线与 边的延长线交于点 ，则
与 还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在 中， 上存在一点 ，使得 ， 的平分线
交 于点 . 的外角 的平分线所在直线 与 的延长线交于点 .直
接写出 与 的数量关系.26．己知:如图①，直线 直线 ，垂足为 ，点 在射线 上，点 在射线 上(
、 不与 点重合)，点 在射线 上且 ，过点 作直线 .点 在点 的
左边且
(1)直接写出的 面积 ;
(2)如图②，若 ，作 的平分线交 于 ，交 于 ，试说明
;
(3) 如图③，若 ，点 在射线 上运动， 的平分线交 的延长线于点 ,在点 运动过程中 的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.
27．已知，在 中， ，点 为边 的中点， 分别交 ，
于点 ， ．
（1）如图1，①若 ，请直接写出 ______；
②连接 ，若 ，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ，试探究线段 和 之间的数量关系，并说明理由．
28．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D
点．
(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．
① ②参考答案
1．A
【分析】
根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐
角互余等知识，一一判定即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，故①正确；
∵BE平分 ，
， ，
，
，故②正确；
，
，
，
，
由①得 ，
，
，
，故③正确；为锐角，
，
又 ，
，
，
，故④错误，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直
角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是准确识图，灵活运用所学知识解决问题．
2．B
【分析】
①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直
角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．
【详解】
①如图1，
△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选B.
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐
角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．
3．A
【详解】
试题分析：灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三
角形的面积公式、角平分线的性质进行分析．
①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA= ∠BAC+ ∠ACD= ×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S =S ；
△AFG △CFG
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180度．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°× =40°，∠ECH=180°× =140度．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG= ∠ECH=70°，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的．
考点：多边形内角与外角；平行线的性质；三角形的面积
点评：此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、
等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念．
4．D
【分析】
由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由
的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【详解】
∵
又∵
∴
∴
∴
∴△ABC为直角三角形
故选：D．
【点拨】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟
练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．5．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵ ，得 ，符合勾股定理逆定理，则①正确；
∵ ，得到 ，符合勾股定理逆定理，则②正确；
∵∠A＝∠B ∠C，得∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ，故④正确；
∵ ，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；
∵ ，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；
∴能构成直角三角形的有5个；
故选择：D.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌
握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.
6．B
【分析】
先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求
出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．
【详解】
∵b2+c2＝2b+4c﹣5
∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0
∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝1，c＝2．
又∵a2＝b2+c2﹣bc，
∴a2＝1+4﹣2＝3，∴ 或 （舍）
∵ ，
∴△ABC是以1和 为直角边的直角三角形，
∴△ABC的面积为： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三
角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．
7．C
【分析】
连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证 为直角三角形，
而AM=BM，即 为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
连接AB
∵ ， ，
∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明 为直角
三角形．8．C
【分析】
先证明 ，得到对应边相等，对应角相等，依次得出①正确和③错误，
由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正确，由三角形的三边关系，可以得出④正
确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定⑤正确．
【详解】
解:∵ ， ，
∴ ，
又∵ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
，即 ，故④正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故③错误；如图，连接 ，
若 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故选：C．
．
【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角
形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转
化，能构造直角三角形进行求解等．
9．B
【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出 ，即可得到三角形的形状.
【详解】
∵a+b=10，ab=18，
∴ =（a+b）2-2ab=100-36=64，
∵,c=8，
∴ =64，∴ = ，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件
求出 是解题的关键.
10．
【分析】
设∠FNG=∠PNB=x°，则∠FNP=(180-2x)°求出∠B=40°，表示出∠APN=∠BPM=(40+ x)°，
进而表示出∠NPQ=（100-2x）°，最后利用三角形外角定理即可求出∠Q．
【详解】
解：设∠FNG=∠PNB=x°，则∠FNP=(180-2x)°，
∵ ，
∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°，
∴∠APN=∠BPM=(40+ x)°，
∴∠NPQ=180°-2(40+ x)°=（100-2x）°，
∴∠Q=∠FNP-∠NPQ=(180-2x)°-（100-2x）°=80°，
故答案为：80°．
【点拨】本题主要考察了利用三角形外角定理和直角三角形两锐角互余，进行角的代换，
从而求出角的度数，其中设出合适的角用x表示，进而把其他角表示出来，是解题关键．
11． 或
【分析】
分两种情况：①当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，可
证△ADC≌△EAM和△BCP≌△EMP，可得PC=PM，CD=AM，由等腰三角形的性质及线段的
和差关系可求解；②当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点N，同
理①的方法可进行求解．
【详解】
解：①当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，∵等腰 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠DAC+∠EAM=90°，
∴∠ADC=∠EAM，
∵AD=AE，
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴CD=MA，AC=EM，
∴EM=BC，
∵∠BPC=∠EPM，∠BCP=∠EMP，
∴△BCP≌△EMP（AAS），
∴PC=PM，
∵CD=AM，AC=3PC，AC=BC，
∴设PC=PM=x，
∴AC=BC=3x，
∴CD=AM=5x，
∵CD=BD+BC，
∴BD=2x，
∴ ；
②当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点N，同理①可易证 ， ，
∴PC=PN，
∵CD=AN，AC=3PC，AC=BC，
∴设PC=PN=x，
∴AC=BC=3x，
∴CD=AN=x，
∵CD=BC-BD，
∴BD=2x，
∴ ；
故答案为 或 ．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰
直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12． ，
【分析】
延长 至 ，使 ，交 于 ，连接 ，根据题意证明 ，推出
，利用 证明 ，得出 ，
，再利用 证明 ，得出 ， ，
证出 ，即可得出结论．
【详解】
解： ，且 ；理由如下：
如图，延长 至 ，使 ，交 于 ，连接 ，
， 分别为 ， 边上的高，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
即 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
为 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，， ，
，
，
，
，
，且 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角
形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴△BPQ是等边三角形，①正确.
∴PQ=BP=4，
即△PQC是直角三角形，②正确.
∵△BPQ是等边三角形，∵△BQC≌△BPA，
∴∠APB=∠BQC，
③正确.
即 ④错误.
故答案为①②③.
14．4或3
【分析】
分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性
质即可得到结论．
【详解】
解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC= AC=4，如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的
关键．
15．(2，0)或（5，0）【分析】
先求出A，再求出 ，解得 ，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点
C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】
与 轴交于点 ，
∴y=0，x=-1，
∴A(-1，0)，
直线 与直线 交于点 ，
，
解得 ，
∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，
∴BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，
∴BC⊥AB，
，k=1，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB= ，
AC= =6，AO=1，
CO=AC-AO=5，
C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．
故答案为：（2，0）或（5，0）．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问
题是关键．
16．2
【分析】
连接AD、CD，由勾股定理得： ， ，
，得出AB＝DE＝BC， ，由此可得△ABD为直
角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明
△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性
得出DF＝DG＝2即可的解.
【详解】
连接AD、CD，如图所示：由勾股定理可得，
， ， ，
∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC ， ，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，
∴ ，
在△ABC和△DEB中，
，∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠BAC＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，
∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练
掌握勾股定理和过股定理的逆定理.
17．=
【分析】
连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求
得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【详解】
解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．【点拨】本题考查了网格中对几何图形的理解与分析的问题，涉及到了勾股定理及其逆定
理和等腰直角三角形的相关知识，解决本题的关键是牢记相关性质与公式，以及熟练运用
即可．
18．
【分析】
延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理
逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．
【详解】
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，
∵ 是 边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中， ，
∴BC＝2BD＝ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是
解决本题的关键．
19．6
【分析】
延长AD至E,使AD=DE,构建△ADC≌△EDB，利用勾股定理的逆定理证出BE和CA是
△ABD和△ADC的高线，利用三角形面积公式求解.
【详解】
解：延长AD至E,使AD=DE=2，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC,
∵∠ADC=∠EDB,
∴△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=3，∠CAE=∠E
∵AB=5，BE=3，AE=4，
∴△AEB是直角三角形，∠E=90°,
∴BE⊥AE,CA⊥AE,
∴S = S + S = .
△ABC △ABD △ACD
即△ABC的面积为6.
故答案为：6.
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，以及全等三角形的判定与性质，构建全等模型即
辅助线的作法是解答此题的关键.
20．7
【详解】
试题解析：∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，∴把△CPA绕点C逆时针旋转60°可得到△CDB，
如图，作CH⊥BD于H，
∴CD=CP=2 ，∠PCD=60°，BD=AP=2，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠PDC=60°，PD=CP=2 ，
在△PDB中，PB=4，BD=2，PD=2 ，
∵22+（2 ）2=42，
∴BD2+PD2=PB2，
∴△PDB为直角三角形，
∴∠PDB=90°，
∴∠CDH=180°-90°-60°=30°，
在Rt△CDH中，CH= CD= ，DH= CH=3，
∴BH=BD+DH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2=52+（ ）2=28，∴正三角形ABC的面积= BC2= ×28=7 ．
21．5
【详解】
试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE= AB，利用勾股定
理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE= AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最
大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，
22．1或 或 ．
【分析】
根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，
当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解．
【详解】
∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，
∴AC＝BD＝ ＝5，
当点P在这AB边上时，∵ ，AB＝4，
∴PA＝1；
当点P在这AD边上时，∵ ，
∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2，
解得PA＝ ；当点P在这AC边上时，
PE＝ AP，AE＝ AP，BE＝4﹣ AP，
∵ ，
∴ ，
∴5PA2+4PA﹣10＝0，
解得PA＝ （舍去），PA＝ ．
故PA的长为1或 或 ．
故答案为：1或 或 ．
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平
方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用．
23．17，144，145
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出
第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，
所以有 ，解得 ， ，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点拨】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
24．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，
解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN= BM列方程求解可
得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM= BN列方程求解可得．
【详解】
解 (1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝ BM，即2x＝ (30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝ BN，即30－x＝ ×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
25．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF、再根据直角三角形的性
质和等角的余角相等即可得出 = ；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得
∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE，由此可证
∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CAE=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点拨】本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，
等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等
和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
26．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所以S = CD•OC，（2）利用
△BCD
∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．
（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出
∠ABC=2∠H，即可得答案．
详解：（1）S = CD•OC= ×3×2=3．
△BCD
（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直线MN⊥直线
PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF=∠OBE．
∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP=2∠DAC．∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC．
∵∠H+∠HCA=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴ = ．点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求
解．
27．（1）①45°；②见解析；（2） ，理由见解析
【分析】
（1）①利用直角三角形两个锐角相加得 和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性
质结合题干已知即可解题．
②延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），再利
用全等的性质，可知 ，即可知道 ，所以 ，根据题干
又可得到 ，所以 ，从而得出结论．
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，从而可证明 ≌ （SAS），
再利用全等的性质，可知 ， ，根据题干即可证明
≌ （HL），即得出结论．
【详解】
（1）①∵ ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为 ．②如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ．
如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ．
∴ ≌ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和
性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
28．(1)∠EFD＝ ∠C－ ∠B.（）成立，理由见解析.【分析】
先根据AE平分∠BAC推出∠BAE= ∠BAC= [180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求
出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．
【详解】
解：(1)∠EFD＝ ∠C－ ∠B.
理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝ ∠BAC.
由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋ ∠BAC，
故∠B＋ ∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在△ABC中，由三角形内角和定理得
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
即 ∠C＋ ∠B＋ ∠BAC＝90°②.
②－①，得∠EFD＝ ∠C－ ∠B.
(2)成立．
理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋ ∠BAC，
故∠B＋ ∠BAC＋∠EFD＝90°①.
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即 ∠B＋ ∠BAC＋ ∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝ ∠C
－ ∠B.
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题
时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
