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专题 14 坐标系中的最值问题
题型一 两点之间距离最值问题
1．如图，点 的坐标为 ，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，动点 、 分别在 轴负半轴上和函数 的图象上， ，
， ，则 的最大值为
A． B． C． D．
题型二 线段和差的最小值
3．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，点 是 轴上一动点．求：
① 的最小值及此时点 的坐标；
② 的最大值及此时点 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，点 是正比例函数 图象上的一点，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，当 取最小值时，点 的坐标为 ．
5．如图，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，点 在直线 上运动，当 最
大时点 的坐标为
A． B． C． ， D．
6．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 、 分别为线段 、 的中点，点为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 ．7．如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 是 的中点，过点 作
于 交一次函数图象于点 ， 是 上一动点，则 的最小值为
A．4 B． C． D．
8．如图所示，已知点 ，一次函数 的图象与两坐标轴分别交于 ， 两点， ， 分别
是线段 ， 上的动点，则 的最小值是
A．4 B．5 C． D．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，点 是直线 上的动点， ， 是 轴上的两点，则
的最小值为 ．10．如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，点 在 轴的负半轴
上， 、 两点到 轴的距离均为2．
（1）点 的坐标为： ，点 的坐标为： ；
（2）点 为线段 上的一动点，当 最小时，求点 的坐标．
11．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边在第二象限内作等
腰 ， ．
（ 可 能 用 到 的 公 式 ： 若 ， ， ， ， ① 中 点 坐 标 为 ， ； ②
（1）求线段 的长；
（2）过 、 两点的直线对应的函数表达式．
（3）点 是 中点，在直线 上是否存在一点 ，使得 有最小值？若存在，则求出此最小值；
若不存在，则说明理由．12．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于 、 两点．动点 从点
出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 作匀速运动，到达点 即停止运动．其中 、 两
点关于点 对称，以线段 为边向上作正方形 ．设运动时间为 秒．如图①．
（1）当 秒时， 的长度为 ；
（2）设 、 分别与直线 交于点 、 ，求证： ；
（3）在运动过程中，设正方形 的对角线交于点 ， 与 交于点 ，如图②，求 的
最小值．
题型三 周长最小值问题
13．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是 轴上一个动点，且
点 ， ， 三点不在同一条直线上，当 的周长最小时，点 的坐标是A． B． C． D．
14．如图，直线 与两坐标轴分别交于 ， 两点，点 是 的中点，点 ， 分别是直线 ，
轴上的动点，则 的周长的最小值是
A． B． C． D．
15．如图所示，已知点 ，直线 与两坐标轴分别交于 、 两点， 、 分别是 、
上的动点，当 的周长取最小值时，点 的坐标为
A． B． C． ， D． ，
16．如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶点 在坐标原点，顶点 ， 分别在 轴， 轴的正
半轴上， ， ， 为边 的中点， 是边 上的一个动点，当 的周长最小时，点的坐标为 ．
题型四 胡不归问题
17．如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点
在直线 上，且 的横坐标为3， 是线段 上的点（不和端点重合），连接 ，一动点 从点
出发沿线段 以每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到 后停止，
当点 的坐标是 时，点 在整个运动过程中用时最少．
18．如图，点 ， ， ， ， 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点
从点 出发，沿线段 以每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到
后停止，要使点 在整个运动过程中用时最少，求点 的坐标．19．如图1在平面直角坐标系中，点 的横坐标为4，直线 经过点 ，与 轴， 轴，分别交
于 ， 两点，直线 经过点 ，点 两点．
（1）求直线 的表达式；
（2）请从 ， 两题中任选一题作答．
．在图1中点 为直线 上一动点，连接 ，一动点 从点 出发沿线段 以每秒 个单位长度的
速度向终点 运动，求点 在运动过程中所用的最短时间．
．如图2，点 为线段 上一动点，连接 ．一动点 从点 出发，沿线段 以每秒2个单位长度
的速度运动到点 后，再沿线段 以每秒 个单位长度的速度运动到终点 ，求点 在整个运动过程
中所用的最短时间．20．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点．直线
与 交于点 且与 轴， 轴分别交于 ， ．
（1）求出点 坐标，直线 解析式；
（2）如图2，点 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从 出发，沿线段 以每秒1个
单位的速度运动到点 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到点 停止，求点 在整个运动过程
中所用最少时间时点 的坐标；
（3）如图3，平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，求点 坐标．21．如图1，在平面直角坐标系中将 向下平移3个单位长度得到直线 ，直线 与 轴交于点 ；
直线 与 轴、 轴交于 、 两点，且与直线 交于点 ．
（1）填空：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）直线 的表达式为 ；
（3）在直线 上是否存在点 ，使 ？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从 出发，沿线段 以每秒1
个单位的速度运动到点 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到点 后停止，求点 在整个运动
过程中所用时间最少时点 的坐标．22．如图1，在平面直角坐标系中，点 的横坐标为4，直线 经过点 ，分别与 、 轴交于
点 、 两点．直线 经过点 及点 ．
（1）求出直线 的解析式．
（2）在直线 上是否存在点 ，使 与 的面积相等，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，点 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒2
个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，求 点在整个运动过程
的最少用时．
题型五 移花接木（逆等线最值）
23．在 中， ， ， ，点 、 在 、 边上，且 ，则
的最小值 ．24．如图， 为等边 的高， 、 分别为线段 、 上的动点，且 ，当 取
得最小值时， ．
25．如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点， ， 、 分别为线段
和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当 的值最小时，则 点的坐标为
A． B． C． D．
26．如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点， ， 、 分别为线段
和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ，当 的值最小时，则 点的坐标为 ，
．题型六 其他最值问题
27．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，则称这
个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是
有界函数，其边界值1．若函数 的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则
的取值范围是 ．
28．阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： ，如图，建立平面直角坐标系，点 是 轴上
一点则 可以看成点 与点 的距离， 可以看成点 与点 的距离，所以
原代数式的值可以看成线段 与 长度之和，它的最小值就是 的最小值．
设点 关于 轴的对称点为 ’，则 ’，因此，求 的最小值，只需求 ’ 的最小
值，而点 、 间的直线段距离最短，所以 ’ 的最小值为线段 ’ 的长度．为此，构造直角
三角形 ’ ，因为 ’ ， ，所以 ’ ，即原式的最小值为 ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的
距离之和．（填写点 、 的坐标）（2）代数式 的最小值为 ．
