专题14一次函数中的最值问题（解析版）-重难点突破2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 14 坐标系中的最值问题 题型一 两点之间距离最值问题 1 ( 1．如图，点 A的坐标为 (1,0) ，点B在直线 yx 上运动，当线段 AB最短时，点B的坐标为 2， 1  ) 2 ． 【解答】解：先过点A作ABOB，垂足为点B，由垂线段最短可知，当B与点B重合时AB最短， 点B在直线 yx 上运动， AOB是等腰直角三角形， 过B作BC x轴，垂足为C， △BCO为等腰直角三角形， 点A的坐标为 (1,0) ， 1 1 1 OC CB OA 1 2 2 2 ， 1 1 (  ) B坐标为 2， 2 ， 1 1 (  ) 即当线段AB最短时，点B的坐标为 2， 2 ． 1 1 (  ) 故答案为： 2， 2 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点 A、 B分别在 x轴负半轴上和函数 yx 的图象上， AB4， CB AB，BC 2，则OC 的最大值为 ( )2 2 2 2 2 5 2 4 2 5 2 A． B． C． D． 【解答】解：连接AC 交 y 轴于点E，如图， 在RtABC中， AC  BA2 BC2  42 22 2 5， 则在AOC 中， AOC AOEEOC 90EOC�90 ， 故CAO90， OC�CA 则 ， 当且仅当点A与点O重合时，OC 为最大值， OC AC2 5， 故选：C． 题型二 线段和差的最小值 3．如图，在平面直角坐标系中，点 A(2,1) ， B(6,2) ，点P是x轴上一动点．求： ①PAPB的最小值及此时点P的坐标；② |PAPB| 的最大值及此时点P的坐标． A(2,1) 【解答】解：（1）点 ， 点A关于x轴的对称点A的坐标为 (2,1) ， 设直线AB的解析式为 ykxb(k 0) ，  3 k    8 2kb1  1  b 6kb2 ，解得  4， 3 1 y x 直线AB的解析式为 8 4， 2 x 当 y0 时， 3 ． 2 P( 3 ， 0) ； A(2,1) B(6,2)  ， ， AB (26)2 (12)2  73 ，即PAPB的最小值为 73； （2）解：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上． 设直线AB的解析式为 ykxb ， A(2,1) B(6,2)  ， ， 2kb1  6kb2 ， 1 k    8  5 b 解得  4 ． 1 5 y x 8 4 ， 1 5 0 x 令 y0 ，得 8 4， 解得x10． 点P的坐标是 (10,0) ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数 yx 图象上的一点，点 A的坐标为 (0,1) ，点B的坐 标为 (4,1) ，当PBPA取最小值时，点P的坐标为 (1,1) ． 【解答】解：在PAB中，PAPB AB， 当点P在线段AB上时，PAPB取得最小值，此时PAPB AB． 点A的坐标为 (0,1) ，点B的坐标为 (4,1) ， 直线AB的解析式为 y1 ． 当 y1 时，x1，当PBPA取最小值时，点P的坐标为 (1,1) ． (1,1) 故答案为： ． 3 ( 5．如图，已知点 A的坐标为 (0,1) ，点B的坐标为 2， 2) ，点P在直线 yx 上运动，当 |PAPB| 最 大时点P的坐标为 ( ) 5 5 (  ) A． (2,2) B． (4,4) C． 2， 2 D． (5,5) 【解答】解：作 A关于直线 yx 对称点C，易得C的坐标为 (1,0) ；连接BC，可得直线BC的方程为 4 4 y x 5 5 ； 求BC与直线 yx 的交点，可得交点坐标为 (4,4) ； 此时 |PAPB||PCPB|BC 取得最大值，其他 B C P不共线的情况，根据三角形三边的关系可得 |PCPB|BC ； 故选：B．1 y x4 6．如图，直线 2 与x轴、 y 轴分别交于点 A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点 P为OA上一动点，当PCPD的值最小时，点P的坐标为 (2,0) ． 【解答】解：作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PCPD值最小，如图． 1 y x4 令 2 中x0，则 y4 ， (0,4) 点B的坐标为 ； 1 1 y x4 x40 令 2 中 y0 ，则2 ，解得：x8， 点A的坐标为 (8,0) ． 点C、D分别为线段AB、OB的中点， C(4,2) D(0,2) 点 ，点 ． 点D和点D关于x轴对称， 点D的坐标为 (0,2) ． 设直线CD的解析式为 ykxb ，直线CD过点 C(4,2) ， D(0,2) ， 4kb2 k 1   b2 ，解得：b2 ， 直线CD的解析式为 yx2 ． 令 y0 ，则0x2，解得：x2， 点P的坐标为 (2,0) ． (2,0) 故答案为 ． 7．如图，一次函数 y2x4 的图象与 x轴、 y 轴分别交于点 A、B，点C是OA的中点，过点C作 CDOA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PCPD的最小值为 ( ) 5 2 2 2 22 A．4 B． C． D． 【解答】解：作点C关于 y 轴的对称点C，连接CD交 y 轴于点P，此时PCPD取得最小值，如图所示． 当 y0 时，2x40，解得：x2，(2,0) 点A的坐标为 ． 点C是OA的中点， OC 1，点C的坐标为 (1,0) ． 当x1时， y2x42 ， CD2． 点C，C关于 y 轴对称， CC2OC 2，PC PC， PCPDPCPDCD CD2 CC2 2 2． 故选：C． 8．如图所示，已知点 N(1,0) ，一次函数 yx4 的图象与两坐标轴分别交于 A，B两点，M ，P分别 是线段OB，AB上的动点，则PM MN 的最小值是 ( ) 5 2 2 4 2 A．4 B．5 C． D． 【解答】解：如图，点N关于OB的对称点 N(1,0) ，过点N作NP AB交OB于M ， 则PNPM MN 的最小值，直线AB的解析式为 yx4 ， 直线NP的解析式为 yx1 ，  3 x   2 yx4  5  y 由yx1 解得  2 ， 3 5 P( ) 2 ，2 ， yx4  ， A(4,0) B(0,4) ， ， OAOB， BAO45， PAN是等腰直角三角形，  AN5， 5 2 PN 2 ， 5 2 PM MN的最小值是 2 ． 故选：C． 9．在如图所示的平面直角坐标系中，点 P是直线 yx 上的动点， A(1,0) ， B(2,0) 是x轴上的两点，则 PAPB的最小值为 5 ．【解答】解：如图所示：作A点关于直线 yx 的对称点A，连接AB，交直线 yx 于点P， 此时PAPB最小， 由题意可得出：OA1，BO2，PAPA， PAPB AB 12 22  5． 故答案为： 5 ． 2 y x4 10．如图，直线 3 与x轴、 y 轴分别交于点 A和点B，点C在线段AB上，点D在 y 轴的负半轴 上，C、D两点到x轴的距离均为2． （1）点C的坐标为： (3,2) ，点D的坐标为： ； （2）点P为线段OA上的一动点，当PCPD最小时，求点P的坐标．2 2 x4 【解答】解：（1）由题意点C的纵坐标为2， y2 时， 3 ， 解得x3， C(3,2) ， 点D在 y 轴的负半轴上，D点到x轴的距离为2， D(0,2) ， (3,2) (0,2) 故答案为 ， ； （2）当C、P、D共线时，PCPD的值最小， 3kb2  设最小CD的解析式为 ykxb ，则有b2 ，  4 k   3 解得  b2 ， 4 y x2 直线CD的解析式为 3 ， 3 x 当 y0 时， 2 ， 3 P( 2 ， 0) ． 1 y x2 11．如图，一次函数 2 的图象分别与x轴、 y 轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等 腰RtABC，BAC 90．x x y  y ( 1 2 1 2) （ 可 能 用 到 的 公 式 ： 若 A(x 1， y 1 ) ， Bx 2， y 2 ) ， ① AB中 点 坐 标 为 2 ， 2 ； ② AB (x x )2 (y  y )2) 1 2 1 2 （1）求线段AB的长； （2）过B、C两点的直线对应的函数表达式． （3）点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PCPD有最小值？若存在，则求出此最小值； 若不存在，则说明理由． 1 y x2 【解答】解：（1）对于一次函数 2 ， 令x0，得到 y2 ，令 y0 ，得到x4，即 A(4,0) ， B(0,2) ， OA4，OB2， 则AB OA2 OB2 2 5； （2）过C作CE x轴，可得ECACAE 90，  BAC为等腰直角三角形， AC  AB，且BAC 90， CAEOAB90， ECAOAB， 在ECA和OAB中， ECAOAB  CEAAOB90  CA AB ACE BAO(AAS) ， CEOA4，AE OB2，即OE OA AE 6，点C的坐标为 (6,4) ． 设直线BC解析式为 ykxb ， b2  把 B(0,2) 与 C(6,4) 代入得：6kb4 ，  1 k   3 解得：  b2 ， 1 y x2 则直线BC解析式为 3 ； （3） ， 作出D关于直线AB的对称点D，连接CD，交直线AB于点P，此时CPDP最小， 点D为BC的中点， 06 24 ( ) 点D的坐标为 2 ， 2 ，即 D(3,3) ， 1 1 y x2 k  直线AB解析式为 2 ， 2 ， 直线DD的k 2，设直线DD的解析式为 ykxb ， 将k 2， D(3,3) 代入，解得b3， 直线DD解析式为 y2x3 ， y2x3   1 y x2  与直线AB解析式联立得： 2 ， x2  解得：y1 ，即两直线交点E坐标为 (2,1) ． D(x,y) 设 ，由中点坐标公式，得 x3 y3 2 1 2 ， 2 ， 解得x1， y1 ， D(1,1) ， CD (61)2 (41)2 5 2 则最小值为 ． 2 y x4 12．在平面直角坐标系中，一次函数 3 的图象与x轴和 y 轴分别交于 A、B两点．动点P从点 A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中 A、 Q 两点关于点P对称，以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN ．设运动时间为t秒．如图①． （1）当t 2秒时， OQ 的长度为 2 ； 2 y x4 （2）设MN 、PN 分别与直线 3 交于点C、D，求证：MC NC； （3）在运动过程中，设正方形 PQMN 的对角线交于点E，MP与 QD 交于点F ，如图②，求OF EN的 最小值． 2 y x4 【解答】解：（1）在 3 中，令 y0 ，得x6， OA6， t 2， APPQ2 ， OQ6222 ， 故答案为：2； APPQt （2） ， OQ62t ， PQMN 四边形 是正方形， PQQM MN PN t ， 3 C(6 t M(62t,t) ， N(6t,t) ， 2 ， t) ， 3 1 CM (6 t)(62t) t 2 2 ， 3 1 CN (6t)(6 t) t 2 2 ， CM CN ； （3）作矩形NEFK ，则EN FK ， N(6t,t)  ， 点N的运动轨迹是直线 yx6 ， NQ yx6 NK NQ  直线 ， ， 点K在直线 yx6 上，  OF EN OF FK ， 当O，F ，K 三点共线时，OF EN OF FK 的值最小，如图， 作 OH QN 于H ，PQN PQt 在等腰直角三角形 中， ， QN  2t ， HN QN QH  2t( 2t3 2)3 2 ， OF EN 的最小值为：HEEN HN 3 2 ． 题型三 周长最小值问题 13．如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 (2,7) ，点B的坐标为 (5,0) ，点C是 y 轴上一个动点，且 点A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点C的坐标是 ( ) (0,2) (0,5) (0,7) (0,9) A． B． C． D． 【解答】解：作点A关于 y 轴的对称点A，连接AB交 y 轴于点C，此时CACB最小，如图所示． (2,7) 点A的坐标为 ，点A的坐标为 (2,7) ． 设直线AB的解析式为 ykxb(k 0) ， 2kb7  将 A(2,7) ， B(5,0) 代入 ykxb ，得：5kb0 ， k 1  解得：b5 ， 直线AB的解析式为 yx5 ． 当x0时， y1055 ， 点C的坐标为 (0,5) ． 故选：B． 14．如图，直线 yx1 与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，点D，E分别是直线AB， y 轴上的动点，则CDE的周长的最小值是 ( ) 10 5 10 2 5 2 A． B． C． D．【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F ，关于AO的对称点G ，连接FG 分别交AB、OA于点D、 E，此时三角形CDE的周长最小， 直线 yx1 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点， 1 C( B(1,0) ， 2， 0) ， 1 3 OG BG BO1， 2 ， 2， 易得ABC 45， BCF 是等腰直角三角形， 1 BF BC  2， 由轴对称的性质，可得DF DC，EC EG ， CDE 的周长CDDECE DF DEEGFG， 此时DEC 周长最小， 1 3 10 FG BF2 BG2  ( )2 ( )2   RtBFG中， 2 2 2 ， 10 CDE周长的最小值是 2 ． 故选：B． 15．如图所示，已知点 C(2,0) ，直线 yx6 与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA 上的动点，当CDE的周长取最小值时，点D的坐标为 ( )7 10 8 ( ( ) A． (2,1) B． (3,2) C． 3， 2) D． 3 ，3 【解答】解：如图，点C关于OA的对称点 C(2,0) ，点C关于直线AB的对称点C， 直线AB的解析式为 yx6 ， 直线CC的解析式为 yx2 ， yx6 x4   由yx2 解得：y2 ， 直线AB与直线CC的交点坐标为 K(4,2) ，  K 是CC中点， C(6,4) 可得 ． 连接CC与AO交于点E，与AB交于点D，此时DEC 周长最小， 设直线CC的解析式为 ykxb ，  1 k  2kb0  2  6kb4 ，解得  b1 ， 1 y x1 直线CC的解析式为 2 ，  10 x  1   3 y x1   2 8 y 解  yx6 得  3 ， 10 8 D( ) 3 ，3 ， 故选：D．16．如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A，B分别在x轴， y 轴的正 半轴上，OA2，OB4，D为边OB的中点，E是边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，点E 2 ( ,0) 的坐标为 3 ． 【解答】解： OB4，D为边OB的中点， OD2， D(0,2) ， 如图，作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE ． 若在边OA上任取点E与点E不重合，连接CE、DE、DE 由DECEDECECDDECEDECE， 可知CDE的周长最小． 在矩形OACB中，OA2，OB4，D为OB的中点， BC 2，DODO2，DB6，  OE//BC， Rt △DOE∽Rt△DBC ， OE DO   BC DB ，2 OE  3， 2 ( 点E的坐标为 3， 0) ， 2 ( 故答案为： 3， 0) ． 题型四 胡不归问题 3 y xb 17．如图，在平面直角坐标系中，点 A(1,0) ，直线 3 交x轴于点 B(3,0) ，交 y 轴于点C，点D 在直线BC上，且D的横坐标为3，E是线段BD上的点（不和端点重合），连接 AE，一动点M 从点A 出发沿线段AE以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到D后停止， 4 3 (1, ) 当点E的坐标是 3 时，点M 在整个运动过程中用时最少． 【解答】解： 如图，过点D作 DH  y 轴， y 轴点H ．过点E作EF DH ，交DH 延长线于点F ． 动点M 从点A出发沿线段AE以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到D后停止 AE ED t   点M 在整个运动过程的用时 1 2 ， 3 y xb 点 B(3,0) 在直线 3 上， 3 0 (3)b 3 ，解得b 3， 3 y x 3 直线BD的解析式为： 3 点C的坐标为： (0, 3) CO 3 tanCBO  BO 3 CBO30 BCODEF 60 EF 1 cosDEF   ED 2 ED EF  2 AE ED t    AEEF 1 2 ，即点M 在整个运动过程所用的时间是线段AE与EF 的长度之和， 当A、E、F 三点共线时，AEEF取得最小值． 点A的横坐标与点E的横坐标相等，点E在直线l上 3 4 3 y 1 3 点E的坐标为： 3 3 4 3 (1, ) 点E的坐标为 3 4 3 (1, ) 故答案为： 318．如图，点 A(2,0) ， B(4,0) ， C(5 ， 3 3) ，D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点P 从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿线段DC以每秒2个单位的速度运动到C 后停止，要使点P在整个运动过程中用时最少，求点D的坐标． 【解答】解：如图，作CH x轴于H ， CJ  y 轴于J ，DT CJ 于T ． A(2,0) B(4,0) C(5 3 3)  ， ， ， ， PA2，OB5，OH 5，CH 3 3，BH 9， CH 3 3 3 tanCBH    在RtCHB中， BH 9 3 ， CBH 30，  CJ //BH ， JCDCBH 30， DTC 90， 1 DT  CD 2 ， 1  AD CD ADDT 点P在整个运动过程中的时间 2 ， 根 据 垂 线 段 最 短 可 知 ， 当 A， D， T 共 线 ， ADCT 时 ， 时 间 最 小 ， 此 时 3 AD ABtan306 2 3 3 ， D(2 2 3) 此时 ， ． 19．如图1在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线 l 1 :yx2 经过点D，与x轴， y 轴，分别交 于A，B两点，直线 l 2 :ykxb 经过点 C(1,0) ，点D两点． l （1）求直线 2的表达式； （2）请从A，B两题中任选一题作答． A．在图1中点P为直线 l 2上一动点，连接BP，一动点H 从点B出发沿线段BP以每秒 5 个单位长度的 速度向终点P运动，求点H 在运动过程中所用的最短时间． B．如图2，点P为线段AD上一动点，连接CP．一动点H 从点C出发，沿线段CP以每秒2个单位长度 的速度运动到点P后，再沿线段PD以每秒2 2个单位长度的速度运动到终点D，求点H 在整个运动过程 中所用的最短时间．A(2,0) B(0,2) D(4,6) C(1,0) 【解答】解：（1）由题意 ， ， ， ， kb0  则有4kb6 ， k 2  解得b2 ，直线 l 2的解析式为 y2x2 ； （2）A，点P在 l 2上，点H 从点B出发沿线段BP以每秒 5 个单位长度的速度向终点P运动， 当BP最短时，即BPCD时，运动的时间最短， 如图1，过D作DGx轴于G ，连接BC， D(4,6)  ， DG6，OG4， C(1,0)  ， OC 1，CG3， 在RtDGC中， DGC 90， CD DG2 CG2  62 32 3 5， A(2,0) B(0,2) C(1,0)  ， ， ， AC 3，OB2， 1 1 S  ACOB 323 ACB 2 2 ， S 9 同理， ACD ， S S S 936 BCD ACD ABC ， 4 5 263 5  BCD的边C顶上的高为 5 ， 4 5 4  5 s 运动的时间为 5 5 ， 4 点H 在运动过程中所用的最短时间为5 ；B、如图2，过点D作x轴的平行线，与过A作 y 轴的平行线交于点G 过P作PM DG于M ， A(2,0) D(4,6)  ， ， AG6，DG6， GAD45，  AGDG，PM DG， AG//PM ，PMD90，MPD45， PM MD， 在RtPMD中，PD 2PM ， 由题意得，动点H 运动的路径为折线CPPD， CP PD 1 PD 1   (CP ) (CPPM) 运动时间为 2 2 2 2 2 2 ， 要使点H 在整个运动过程中所用的最短时间，需满足折线CPPM 的长度最短， 过C作CN DG于N， 则CN 与直线AD的交点 Q 为满足条件的点P， 1 1 CN  63s 运动时间为2 2 ， 点H 在整个运动过程中所用的最短时间为3s． 20．如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 1 :yx5 与 x轴， y 轴分别交于 A， B两点．直线 l 2 :y4xb 与 l 1交于点 D(3,8) 且与x轴， y 轴分别交于C，E．（1）求出点A坐标，直线 l 2解析式； （2）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点 Q 从C出发，沿线段CP以每秒1个 单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒 2 个单位的速度运动到点D停止，求点 Q 在整个运动过程 中所用最少时间时点P的坐标； （3）如图3，平面直角坐标系中有一点 G(m,2) ，使得 S CEG S CEB，求点G 坐标． 【解答】解：（1） yx5 与x轴， y 轴分别交于A，B两点， (5,0) (0,5) 则点A、B的坐标分别为： 、 ， 将点D的坐标代入 y4xb 并解得：b4， l :y4x4 故直线 2 ； l :y4x4 C(1,0) （2）直线 2 ，则点 ， 直线 l 1 :yx5 ，则直线 l 1的倾斜角为45，过点D作x轴的平行线l，过点C作CH l 交于点H ，CH 交直线 l 1于点P，则点P为所求， CP PD 2 t   PC PDPCPH CH 1 2 2 ， 直线 l:y8 ，则点P的横坐标为：1， P(1,6) 则点 ； （3）①点G 在CE 的右侧时， 过点B作直线CE 的平行线r ，直线r 于直线 y2 交于点G ，则点G 为所求， S S 此时 CEG CEB，理由：平行线间的距离相等，两个三角形属于同底等高，故面积相等． 则直线r 的表达式为： y4x5 ，3 x m 当 y2 时， 4 ， 3 G( 故点 4， 2) ， ②点G 在CE 的左侧时， 15 G( 同理可得：点 4 ， 2) ； 3 15 G( ( 故点G 的坐标为： 4， 2) 或 4 ， 2) ． 21．如图1，在平面直角坐标系中将 y2x1 向下平移3个单位长度得到直线 l 1，直线 l 1与x轴交于点C； 直线 l 2 :yx2 与x轴、 y 轴交于A、B两点，且与直线 l 1交于点D． （1）填空：点A的坐标为 (2,0) ，点B的坐标为 ； l （2）直线 1的表达式为 ； （3）在直线 l 1上是否存在点E，使 S AOE 2S ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H 从C出发，沿线段CP以每秒1 个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒 2 个单位的速度运动到点D后停止，求点H 在整个运动 过程中所用时间最少时点P的坐标． 【解答】解：（1）直线 l 2 :yx2 ，令 y0 ，则x2，令 y0 ，则x2，(2,0) (0,2) 故答案为 、 ； y2x1 l l y2x2 （2） 向下平移3个单位长度得到直线 1，则直线 1的表达式为： ， y2x2 故：答案为： ； S 2S （3） AOE ABO ， y 2OB4 E ， 将 y E 4 代入 l 1的表达式得：42x2，解得：x3或1， (3,4) (1,4) 则点E的坐标为 或 ； （4）过点P、C分别作 y 轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H 、H，HC 交BD于点P， 1 PH  2PD 直线 l 2 :yx2 ，则ABO45HBD， 2 ， PC PD   PH PC 点H 在整个运动过程中所用时间 1 2 ， 当C、P、H 在一条直线上时，PH PC最小，即为CH6，点P坐标 (1,3) ， 故：点H 在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标 (1,3) ． 22．如图1，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线 l 1 :yx2 经过点D，分别与x、 y 轴交于 点A、B两点．直线 l 2 :ykxb 经过点D及点 C(1,0) ．l （1）求出直线 2的解析式． （2）在直线 l 2上是否存在点E，使ABE与ABO的面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请 说明理由． （3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H 从点C出发，沿线段CP以每秒2 个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2 2个单位的速度运动到D后停止，求H 点在整个运动过程 的最少用时． A(2,0) B(0,2) D(4,6) C(1,0) 【解答】解：（1）由题意 ， ， ， ， kb0  则有4kb6 ， k 2  解得b2 ， l y2x2 直线 2的解析式为 ． （ 2 ） 存 在 ． ① 当 点 E在 线 段 CD上 时 ， 如 图 1 中 ， 作 OE//AB交 CD于 E． AB//OE ， S S ABE ABO， 直线OE的解析式为 yx ， yx x2   由y2x2 ，解得y2 ， E(2,2) ． yx4 x6   ②当点E在线段CD的延长线上时，由y2x2 ，解得y10 ， E(6,10) ． (2,2) (6,10) 综上所述，满足条件的点E坐标为 或 ． （3）如图2中，作DM //AC，PH DM 于H ，CHDM 于H交AD于P．PC PD 1 PD t    (PC ) 由题意H 点在整个运动过程的时间 2 2 2 2 2 ， A(2,0) B(0,2)  ， ， OAOB， MDABAO45， PD PH  2 ， 1 t  (PCPH) 2 ， 1  CH3s 根据此线段最短可知，点H 与H共线时，t的值最小，最小值 2 ， H 点在整个运动过程的最少用时为3s． 题型五 移花接木（逆等线最值） 23．在 ABC 中， ABC 60， BC 8， AC 10，点 D、 E在 AB、 AC 边上，且 ADCE，则 CDBE的最小值 2 61 ． 【解答】解：如图作CK //AB，使得CK CA．作BGKC交KC的延长线于G ． CK //AB， KCE A，  CK CA，CE AD， CKE CAD， CDKE， CDBE EK EB�BK  ， CDBE 的最小值为BK 的长， 在RtBCG中， G90，BC 8， 1 CG BC 4 2 ，BG4 3， BK  GK2 BG2  142 (4 3)2 2 61 在RtKBG 中， ． 故答案为2 61． 24．如图，AD为等边ABC 的高，E、F 分别为线段AD、AC 上的动点，且 AECF ，当BF CE取 得最小值时，AFB 10 5 ． 【解答】解：如图1，作CH BC ，且CH BC ，连接BH ，连接FH ，  ABC是等边三角形，ADBC， AC BC，DAC 30， AC CH ，  BCH 90，ACB60， ACH 906030，DAC ACH 30，  AE CF， AEC CFH(SAS) ， CEFH ，BF CE BF FH ， 当F 为AC 与BH 的交点时，如图2，BF CE的值最小， 此时FBC 45，FCB60， AFB105， 故答案为：105． 55 AB:y x 55 25．如图，已知直线 3 分别交x轴、 y 轴于点B、A两点， C(3,0) ，D、E分别为线段 AO和线段AC 上一动点，BE 交 y 轴于点H ，且ADCE．当BDBE的值最小时，则H 点的坐标为 ( )55 (0, ) 2 (0,5) (0,4) (0, 55) A． B． C． D． A(0, 55) B(3,0) C(3,0) 【解答】解：由题意 ， ， ， AB AC 8， 取点 F(3,8) ，连接CF ，EF ，BF ． C(3,0)  ， CF //OA， ECF CAO，  AB AC ，AOBC， CAOBAD， BADECF ， 在ECF 和DAB中， CF  AB8  BADECF  ADEC ， ECF DAB(SAS) ， BDEF ， BDBE BEEF ， BEEF�BF  ， BDBE 的最小值为线段BF 的长， 当B，E，F 共线时，BDBE的值最小，4 y x4 直线BF 的解析式为： 3 ， H(0,4) ， 当BDBE的值最小时，则H 点的坐标为 (0,4) ， 故选：C． 55 AB:y x 55 26．如图，已知直线 3 分别交x轴、 y 轴于点B、A两点， C(3,0) ，D、E分别为线段 AO和线段AC 上一动点，BE 交 y 轴于点H ，且ADCE，当BDBE的值最小时，则H 点的坐标为 (0 ， ) 4 ． A(0, 55) B(3,0) C(3,0) 【解答】解：由题意 ， ， ， AB AC 8，取点 F(3,8) ，连接CF ，EF ，BF ． C(3,0)  ， CF //OA， ECF CAO，  AB AC ，AOBC， CAOBAD， BADECF ， 在ECF 和DAB中， CF  AB8  BADECF  ADEC ， ECF DAB(SAS) ， BDEF ， BDBE BEEF ， BEEF�BF  ， BDBE 的最小值为线段BF 的长， 当B，E，F 共线时，BDBE的值最小， 4 y x4 直线BF 的解析式为： 3 ， H(0,4) ， 当BDBE的值最小时，则H 点的坐标为 (0,4) ， 故答案为4．题型六 其他最值问题 27．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M 0，对于任意的函数值 y ，都满足 M剟y M ，则称这 个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是 yx1(a剟x b,ba) 有界函数，其边界值1．若函数 的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则 b的取值范围是 1b�3 ． 【解答】解： k 1， y 随x的增大而减小， 当xa时，a12，解得a1， 而xb时， yb1 ， 2剟b1 2 ， 且ba， 1b�3 ． 1b�3 故答案为 ． 28．阅读材料：x2 1 (x3)2 4 例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解： x2 1 (x3)2 4  (x0)2 1 (x3)2 2 ，如图，建立平面直角坐标系，点 P(x,0) 是x轴上 (x0)2 1 A(0,1) (x3)2 2 B(3,2) 一点则 可以看成点P与点 的距离， 可以看成点P与点 的距离，所以 原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PAPB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A’，则PAPA’，因此，求PAPB的最小值，只需求PA’ PB的最小 值，而点A、B间的直线段距离最短，所以PA’ PB的最小值为线段A’ B的长度．为此，构造直角 三角形A’ CB，因为A’ C 3，CB3，所以A’ B3 2，即原式的最小值为3 2 ． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (x1)2 1 (x2)2 9 P(x,0) (2,3) （1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A、B的坐标） （2）代数式 x2 49 x2 12x37的最小值为 ． (x1)2 1 (x2)2 32 【解答】解：（1）原式化为 的形式， (x1)2 1 (x2)2 9 P(x,0) A(1,1) B(2,3) 代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 或 (2,3) 的距离之和， (2,3) (2,3) 故答案为 ， ； (x0)2 72  (x6)2 1 （2）原式化为 的形式，P(x,0) A(0,7) B(6,1) 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的距离之和， 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A，则PAPA， PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短， PAPB的最小值为线段AB的长度， A(0,7) B(6,1)  ， A(0,7) ，AC 6，BC 8， AB AC2 BC2  62 82 10， 故答案为：10．