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专题2.18 解一元一次不等式（组）100题（培优篇）（专项练习）
1．解不等式 ，并求出其最小整数解；
2．解不等式组．
(1) (2) ―2＜1―0.2x＜ 0.6
3．已知方程组 中 为非正数， 为负数.
(1)求 的取值范围；
(2)在 的取值范围中，当 为何整数时，不等式 的解集为 ？
4．在关于x，y的方程组 中，若未知数x，y满足x＋y>0，求m的取值
范围，并在数轴上表示出来．
5．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：
6．能不能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．
7．若关于x的不等式组 的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
8．关于x的不等式组 只有5个整数解．求a的取值范围．
9．(1)解不等式： ，并写出它的正整数解；
(2)解不等式组10．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足不等式组 求出整数a
的所有值．
11．已知关于x的不等式组 有解，求实数a的取值范围，并写出该不等式
组的解集．
12．解不等式组，并把解集表示在数轴上，并写出其整数解． ．
13．(1)解不等式 － ≥x－ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
14．解关于x的不等式组： ，其中a为参数．
15．若二元一次方程组 的解x＞y，求k的取值范围．
16．若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围．
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来
(1) （2）
18．解不等式组
（1） （2）
19．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：(1) －x＞1； (2) ；
(3) ； (4)
20．如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集为 ，求关于x的不等式ax＞b的
解集．
21．已知方程组 的解是一对正数.
（1）求a的取值范围；
（2）化简： + .
22．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）5（x﹣1）≤3（x+1） （2） ﹣ ＞﹣2
（3）
23．求不等式组 的整数解．
24．阅读下列材料：
解答“已知 ，且 ， ，确定 的取值范围”有如下解，
解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ①
同理得： ． ②
由① ②得 ．∴ 的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
（ ）已知 ，且 ， ，求 的取值范围．
（ ）已知 ， ，若 ，且 ，求 得取值范围（结果用含 的式子
表示）．
25．若方程组 的解满足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范围．
26．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求满足条件的
的所有非负整数值．
27．解不等式组 ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，求出其非负
整数解.
28．解不等式（组）
29．（1）分解因式：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
30．已知关于x，y的不等式组 ,
（1）若该不等式组的解为 ，求k的值；
（2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围．
31．解不等式组 ，并求它的整数解．32．解不等式 ，把解集在数轴上表示出来并写出它的所有整数解.
33．解不等式（组）：
（1） ． （2）
34．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
35．如图，在数轴上被墨汁覆盖的整数部分恰好是关于x的不等式组 的所
有整数解．求m，n的取值范围．
36．试确定 的范围，使不等式组
（1）只有一个整数解；
（2）没有整数解．
37．已知关于x的不等式 ＜7的解也是不等式 －1的解，求a的取值范围．
38．解答下列各题：
（1）解不等式﹣x+1＜7x﹣3； （2）解不等式 ；（3）解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上．
（4）已知关于x的不等式组 ，恰好有两个整数解，试确定实数a的取值范
围．
39．解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的所有整数解.
40．解不等式组 ，并写出不等式组的整数解.
41．已知 ， 均为自然数，且满足 ，若对于某一给定的自然数 ，只有唯
一的一个自然数 使不等式成立，求所有符合要求的自然数 中的最大值和最小值.
42．已知关于x、y的方程组 的解都小于1，若关于a的不等式组 恰
好有三个整数解；
⑴ 分别求出m与n的取值范围；
⑵请化简： ．
43．解不等式组 ，并写出所有整数解.
44．阅读下列材料：
已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围
解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1．∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组 的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a﹣b＝3，且b≤1，求a+b的取值范围．
45．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组
的相伴方程.
（1）在方程 ①， ②， ③中，写出是不等式组
的相伴方程的序号 .
（2）写出不等式组 的一个相伴方程，使得它的根是整数: .
（3）若方程 都是关于 的不等式组 的相伴方程,求 的取值范围.
46．关于x的方程组 的解满足x为负数，y为正数，
（1）求 k的取值范围．
（2）化简｜k+5｜+｜k-3｜
47．关于x、y的方程组 的解是一组正整数，求整数m的值．
48．定义一种新运算“ ”；当 时， ；当 时， ．例
如： ， ．
（1）填空： ____________；
（2）若 ，则x的取值范围为____________；（3）已知 ，求x的取值范围．
49．阅读下列材料：
数学问题：已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围．
问题解法： ， ．
又 ， ， ．
又 ， ．①
同理得 ．②
由② ①得 ，
的取值范围是 ．
完成任务：
（1）在数学问题中的条件下，写出 的取值范围是_____．
（2）已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围；
（3）已知 ， ，若 成立，试确定 的取值范围（结果用含a的式子表
示）．
50．已知不等式 （x为未知数）的解都是不等式 的解，求a的取
值范围．
51．已知 ，求 的最大值和最小值．
52．【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
53．已知三个非负数a、b、c满足 ， ．若 ，记x
为m的最小值，y为m的最大值，求xy的值．
54． 计算：
（1）解方程组： ；
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
（3）已知：(x+1)(x+2)-______=6x+2，请计算______内应填写的式子．
55．已知关于 的方程组 的解 求 的取值范围．
56．已知不等式 的负整数解是方程2x-3=ax的解，试求出不等式组
的解集．
57．阅读下列材料：
解答“已知 ，且 ， ，试确定 的取值范围”有如下解法：
解：∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．…①
同理，可得： ．…②
①+②，得 ．即 ，
∴ 的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知 ，且 ，求 的取值范围；
（2）已知 ，且关于 的方程组 中 ．①求 的取值范
围；②求 的取值范围（结果用含 的式子表示）．
58．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识
的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组
的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求
解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一
个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，
我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握 了它们的解法．同学们，你们
能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解 集吗？ 例题：解一元二次
不等式 分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一
次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把 写成 的形式，
从面将 转化为 ，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等
式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① ②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式 的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式 的解集．求分式不等式 的解集．
求一元二次不等式 的解集．
59．对于有理数a，b，定义 的含义为：当 时， ；当 时，
．例如： ， ．
（1） ；
（2）求 ；
（3）已知 ，求k的取值范围．
60．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）= （a、b均为非零常数），这里
等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= =b．若 ．
（1）求a，b的值．
（2）解关于m的不等式：T（2m，3–4m）≤8．
61．已知关于 、 的方程组 的解满足 ．
（1）求 的取值范围；
（2）化简 ；
（3） 为何整数时，不等式 的解为 ．
62．解不等式组 ，并写出所有整数解．
63．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当n为非负整数时，若n－ ≤x＜n＋ ，则=n．如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，
<3.5>=<4.12>=4，….
（1）填空：
①<π>=_____；
②如果<2x－1>=3，则实数x的取值范围为_______；
（2）举例说明＝＋不恒成立；
（3）求满足= x的所有非负实数x的值．
64．已知关于 的二元一次方程组 （ 为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用 的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足 ，求 的取值范围．
65．已知关于x的不等式组 的解集中恰好有两个整数，求m的取值范围．
66．已知关于 、 的二元一次方程组 (k为常数)．
(1)求这个二元一次方程组的解(用含k的代数式表示)；
(2)若 ，求k的值；
(3)若 ，设 ，且m为正整数，求m的值．
67．已知不等式 与 的解集相同，求a的值．
68．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）= （其中a、b均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= =b．
（1）已知T（2，1）=①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均
有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
69．已知关于 x 、 y 的方程组
（1）求该方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足 x＜0 ， y＞0 ，求 a 的取值范围．
70．已知关于x，y的方程组 的解都为正数．
（1）当a=2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知a+b=4，且b>0，z=2a-3b，求z的取值范围．
71．在 的不同范围下讨论不等式组 的解集．
72．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．
即：当n为非负整数时，如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2．＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞= (π为圆周率)， ；
②如果＜2x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为 ；
（2）求满足＜x x的所有非负实数x的值．
73．已知关于 的二元一次方程 ， 是不为零的常数．
（1）若 是该方程的一个解，求 的值；
（2）当 每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当 时， ；当 时， ． 若 ，求整数n的值．
74．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有
意义），则a，b应满足怎样的关系式？
75．在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5．
（1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值
是 ；
（2）求关于x的不等式组 的解集；
（3）如果关于x的不等式组 的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取
值范围．
76．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不
等式组的子集方程．
（1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组
的子集方程的序号： ；
（2）写出不等式组 的一个子集方程，使得它的解是整数： ；
（3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组 的子集方程，求m的取值范围．77．解不等式组 并写出这个不等式组的所有整数解．
78．阅读材料：
关于x，y的二元一次方程ax+by=c有一组整数解 ，则方程ax+by=c的全部整数解
可表示为 （t为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 解得 ．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为 和 ．
（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则 = ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
（3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．
79．定义新运算：x*y=ax+by，且1*2=0，（﹣1）*1=3．
（1）求a，b的值；
（2）若0 c*（c+3） 2，求c的取值范围；
（3）图中的数轴上墨迹恰好遮住了关于m的不等式|（2m﹣1）*（2﹣m）|＜n+1的所有整
数解，求整数n的值．
80．对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示
a，b，c这三个数中最小的数，如：，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
，min{﹣1，2，a}＝ ；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝ ；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝ ；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则 ”（填a，b，c的大
小关系）；
③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的
值．
81．定义：给定两个不等式组 和 ，若不等式组 的任意一个解，都是不等式组 的一
个解，则称不等式组 为不等式组 的“子集”．
例如：不等式组 是 的“子集”．
（1）若关于 的不等式组 是不等式组 的“子集”，则 的取值范围是
；
（2）已知 为不互相等的整数，其中 ，下列三个不等式组 ，
， 满足： 是 的“子集”， 是 的“子集”，求 的
值．
（3）已知不等式组 有解，且 是不等式组 的“子集”，则满足条
件的有序整数对 共有多少个？
82．阅读材料：形如 的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的
方法一，转化为不等式组求解，如 ；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得 ，然后同时除以2，得 ．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式 ；
（3）已知 ，求 的整数值．
83．若点 的坐标满足 ．
（1）当 ， 时，求点 的坐标；
（2）若点 在第二象限，且符合要求的整数 只有三个，求 的取值范围；
（3）若点 为不在 轴上的点，且关于 的不等式 的解集为 ，求关于
的不等式 的解集．
84．对 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常
数）．例如： ．
（1）已知 ．
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有3个整数解，求 的取值范围；
（2）当 时， 对任意有理数 都成立，请直接写出 满足的关
系式．
学习参考：① ，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的结果相加；② ，即多项式乘以多项式就是用一
个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
85．对于一个数x，我们用 表示小于x的最大整数，例如： ， ．（1）填空： ________， ________， ________；
（2）若a，b都是整数，且 和 互为相反数，求代数式 的值；
（3）若 ，求x的取值范围．
86．已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的一元一次不等式
的解集．
87．对 、 定义了一种新运算T，规定 （其中 ， 均为非零常数），这
里等式右边是通常的四则运算，例如： ，
已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ．
（3）若关于 的不等式组 恰好有4个整数解，求 的取值范围．
88．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被
不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）
覆盖．例如：不等式 被不等式 覆盖；不等式组 无解，被其他任意不等
式（组）覆盖．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式 覆盖的是______．
a． b．
c． d．
（2）若关于 的不等式 被 覆盖，求 的取值范围．（3）若关于 的不等式 被 覆盖，直接写出 的取值范围：
_____．
89．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当
一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；
当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
① ； ② ．
（2）若关于x的组合 是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合 是“无缘组合”；求a的取值范围．
90．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组 中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0
列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由 解得 又因为x＞1，y＜0所以 解得a的取值范围是
．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组 中，x＜0，y＞0，请直接
写出a+b的取值范围．91．已知 （a≠0）是关于x，y的二元一次方程组．
（1）求方程组的解（用含a的代数式表示）；
（2）若x﹣2y＞0，求a的取值范围；
（3）若x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，直接写出a的取值范围．
92．已知关于x、y的二元一次方程
（1）若方程组的解x、y满足 ，求a的取值范围；
（2）求代数式 的值．
93．阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2
即1＜x＜2②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是 ；x+y的取值范围是 ；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值．
94．（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数 ， 满足 ， ，且 ， ，求 的取值范围．
解：列关于 ， 的方程组 ，解得 ，又因为 ， ，所以，解得______；
（2）已知 ，且 ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， 满足 ， ，求 的取值范围．
95．请阅读求绝对值不等式 和 的解的过程．
对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于 的数的绝对值小于 ，所以
的解为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于 的数的绝对值大于 ，所以
的解为 或 ．
（1）求绝对值不等式 的解
（2）已知绝对值不等式 的解为 ，求 的值
（3）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，其中 是负
整数，求 的值．
96．对 ， 定义一种新的运算 ，规定： （其中 ）．已
知 ， ．
（1）求 、 的值；（2）若 ，解不等式组 ．
97．【发现问题】已知 ，求 的值．
方法一：先解方程组，得出 ， 的值，再代入，求出 的值．
方法二：将① ②，求出 的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将① ② ，可得 ．
令等式左边 ，比较系数可得 ，求得 ．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求 的值；
（2）对于方程组 利用方法二的思路，求 的值；
【迁移应用】
（3）已知 ，求 的范围．
98．解下列不等式（组）：
（1）3（1﹣x）＜2（x+9）并把解表示在数轴上；
（2）
99．根据要求解不等式或答题
（1） ；（2）若关于 的不等式组 有四个整数解，则 的取值范围是？
（3） ；
（4） ．
100．现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助
数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分．
解决问题：解不等式组 并利用数轴确定它的解集；
拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分.
（1）直接写出 的解集为 ；
（2）已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
参考答案
1．不等式的最小整数解为﹣2
【解析】
【详解】
试题分析：根据不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即
可求解不等式，然后取其最小整数解即可.
试题解析： ，
去分母，得6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），
去括号，得6+3x+3≥12﹣2x﹣14，
移项、合并同类项，得5x≥﹣11，
系数化为1，得 ．故不等式的最小整数解为﹣2．
点睛：此题主要考查了不等式的解法，解题关键是根据不等式的解法，先去分母，再去括
号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解不等式，然后取符合条件的数即可.
2．(1) －2≤x≤6;(2)
【解析】
【详解】
(1)解：解不等式① ，得x≥－2
解不等式② ，得x≤6
则不等式组的解集是：－2≤x≤6
(2) 把原不等式写成不等式组
解不等式① ，得X＜15
解不等式② ，得X＞2
因此，原不等式组的解集是：2＜X＜15
3．（1）a的取值范围是﹣2＜a≤3；（2）当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜
1．
【解析】
【分析】
(1)先解方程组得 ，再解不等式组 ；（2）由不等式的解推出
，再从a的范围中确定整数值.
【详解】
(1)由方程组：
，得
，
因为x为非正数，y为负数．所以 ，
解得 .
(2) 不等式 可化为 ,
因为不等式的解为 ，
所以 ，
所以在 中，a的整数值是-1.
故正确答案为（1） ;（2）a=-1.
【点拨】此题是方程组与不等式组的综合运用.解题的关键在于求出方程组的解，再解不等
式组；难点在于从不等式的解推出未知数系数的正负.
4．m<3
【解析】
【分析】
先根据加减消元法解含参数的二元一次方程组求出x,y,再根据x+y＞0,列出不等式,解不等式
即可求解.
【详解】
,
∵由①+②,得3x+3y=3﹣m,
∴x+y=1﹣ ,
∵x+y＞0,
∴1﹣ ＞0,
∴m＜3,
在数轴上表示如下：
．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组和解不等式,解决本题的关键是要熟练掌握二元一
次方程组的解法和不等式的解法.5．-2≤x＜-
【解析】
【详解】
试题分析：分别求解两个不等式，然后把不等式的解集表示在数轴上，再根据不等式解集
的确定求取不等式组的解集.
试题解析：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ． 在同一条数轴上表示不等
式①②的解集，如图：
所以，原不等式组的解集是 ．
6．能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2
【解析】
【详解】
试题分析：根据已知不等式的解集得出1﹣a＜0， =2，求出方程的解即可．
试题解析：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2，
∴1﹣a＜0， =2，
解得：a= ，
经检验a= 是方程 =2的解，
即能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．
点睛：本题考查了不等式的性质，解一元一次方程，解一元一次不等式的应用，解此题的
关键是得出1-a＜0， =2，题目比较好，难度适中．
7．2
【解析】
【详解】
试题分析：先把mn当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集是2≤x＜5相比较得出关于mn的方程组，求出m、n的值即可．
试题解析：解： ，由①得，x≥m+n；
由②得，x＜ ，∵不等式组的解集为2≤x＜5，∴ ，把①代入②
得， =5，解得m=7，把m=7代入①得，n+7=2，解得m=﹣5，∴m+n=7﹣5=2．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．﹣6＜a≤ ．
【解析】
【详解】
试题分析：先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范
围．
试题解析：解： ，解（1）得x＜20，解（2）得x＞3﹣2a，由上可得3﹣
2a＜x＜20，∵不等式组 只有5个整数解，即19，18，17，16，15；
∴14≤3﹣2a＜15，解得﹣6＜a≤﹣ ．
点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解
的个数，确定含a的代数式的取值范围．
9．（1）x＝1（2）无解
【解析】
【详解】
试题分析：（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解
集．
试题解析：解：（1）去分母得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5），3x﹣9≥4x﹣10，3x﹣4x≥﹣
10+9，﹣x≥﹣1，x≤1，所以不等式的正整数解为x=1；
（2） ，由①得：x≥1，由②得：x＜－7，∴原不等式组无解．
点睛：本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式的整数解等等知识点，能求
出不等式的解集是解此题的关键．
10．整数a的所有值为－1，0，1，2，3.
【解析】
【详解】
试题分析：用加减消元法解出方程组，然后把所求x、y的值代入不等式组，解关于a的不
等式组即可得出答案．
试题解析：解： ，①×2﹣②，得：3x=6a，解得：x=2a，将x=2a代入①，
得：10a+2y=5a，解得：y=﹣ a，∴方程组的解为 ．将 代入不等式组
，得： ，解得：﹣2＜a＜ ，∴整数a的所有值为﹣1、0、1、
2、3．
点睛：本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是熟练掌
握解方程组和不等式组的步骤和方法．
11．a＜－6， ≤x＜－2.
【解析】【详解】
试题分析：根据题意，分别求解两个不等式的解集，然后根据不等式有解求解a的取值范
围，并写出不等式组的解集即可.
试题解析：解不等式3x－a≥0，得x≥ ，
解不等式 (x－2)＞3x＋4，得x＜－2，
由题意，得 ＜－2, 解得a＜－6，
∴不等式组的解集为 ≤x＜－2.
12．2，3
【解析】
【详解】
试题分析：分别解两个不等式，然后确定不等式组的解集，再表示在数轴上，取整数解即
可.
试题解析：解不等式x﹣3≤0，得：x≤3，
解不等式 + ＞1，得：x＞ ，
∴不等式组的解集为： ＜x≤3，
将不等式解集表示在数轴上如图：
则该不等式组的整数解为2，3．
13．（1）x≤－1，解集在数轴上表示见解析；（2）原不等式组无解.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据不等式的解法，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为
1，解不等式，再表示在数轴上即可；
（2）分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，并表示在数轴上.
试题解析：(1) 解：原不等式化简为：2x－4－9x－15≥6x－4＋2x，解得x≤－1，解集在数轴上表示为：
(2) 解：由①得x≥4，由②得x＜1，∴原不等式组无解．
14．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：求出不等式组中每个不等式的解集，分别求出当 时、当
时、当 时、当 时a的值，结合不等式的解集，即可
求出在各段的不等式组的解集．
试题解析：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵当 时，a=0，
当 时，a=0，
当 时，
当 时，
∴当 或 时，原不等式组无解；当 时，原不等式组的解集为
当 时，原不等式组的解集为：
15．
【解析】
【分析】
解含有参数k的二元一次方程组，然后根据x＞y的关系列不等式求解即可求解k的取值范
围.
【详解】
解：
①+②得2x=k+5
解得x=
代入②可得y=
因为x＞y
所以 ＞
解得k＞- .
16．
【解析】
【详解】
试题分析：首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以
确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
试题解析：
解不等式①可得x＜21
接不等式②可得x＞2-3a所以不等式组的解集是2-3a＜x＜21，
因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．
所以可以得到16≤2-3a＜17，
解得-5＜a≤- ．
17．（1） ;（2）
【解析】
【详解】
试题分析：根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为
1，即可求解.
试题解析：（1）
x-2（x-1）≥8（x-2）
x-2x+2≥8x-16
x-2x-8x≥-16-2
-9x≥-18
x≤2
用数轴表示为：
（2）
3 ＜7x
-3x+15＜7x
-3x-7x＜-15
-10x＜-15
x＞
用数轴表示为：18．（1） ;（2）
【解析】
【详解】
试题分析：分别求解两个不等式，然后根据不等式组解集的确定：都大取大，都小取小，
大小小大取中间，大大小小无解，求解出不等式组的解集即可.
试题解析：（1）
解不等式①得x≥1
解不等式②得x＞4
所以不等式组的解集为x＞4.
（2）
解不等式①得x＜2
解不等式②得x≥-1
所以不等式组的解集为-1≤x＜2.
19．(1) x＞2，数轴见解析；
(2) x≤4，数轴见解析；
(3)－1＜x≤4，数轴见解析；
(4)－1≤x＜ ，数轴见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数
化为1，解得x的取值范围，并表示在数轴上即可；
（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解
得x的取值范围，并表示在数轴上即可；（3）分别解两个一元一次不等式，然后根据不等式组解集的确定方法求解，再表示在数轴
上即可；
（4）分别解两个一元一次不等式，然后根据不等式组解集的确定方法求解，再表示在数轴
上即可.
试题解析：（1） －x＞1
5x-1-3x＞3
5x-3x＞3+1
2x＞4
x＞2
数轴表示为： .
（2）
3x-6≤2（7-x）
3x-6≤14-2x
3x+2x≤14+6
5x≤20
x≤4
数轴表示为： .
（3）
解不等式①得x＞-1
解不等式②得x≤4
所以不等式组的解集为-1＜x≤4.
数轴表示为： .（4）
解不等式①得x≥-1
解不等式②得x＜
所以不等式组的解集为：－1≤x＜ .
数轴表示为： .
20．关于x的不等式 的解集为 ．
【解析】
【详解】
试题分析：根据已知不等式的解集，即可确定 的值以及a的符号，从而得出不等式ax>b
的解集．
试题解析：
原不等式可化为 .
而该不等式的解集为 ，
所以 ，且 .
， ， ， ，所以 .
因为 ，所以 ， ， 所以 .
在 中，因为 ，所以 ，即 .
所以关于x的不等式 的解集为 ．
21．（1）－ ＜a＜2（2）a+3【解析】
【分析】
（1）解含有字母参数a的方程组，然后根据解是一对正数得到不等式，解不等式即可；
（2）根据（1）中a的取值范围，判断出2a+1和a-2的符号，再根据绝对值的意义求解即
可.
【详解】
（1）解方程组，得 由题意，得 解得－ ＜a＜2.
（2）由（1），得2－a＞0，所以 + ＝2a+1+2－a＝a+3.
22．（1）x≤4；（2）x＜﹣2；（3）﹣1≤x＜2
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即
可求解，并在数轴上表示出来；
（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可
求解，并在数轴上表示出来；
（3）分别求解不等式组中的两个不等式，然后通过画数轴求出解集即可.
试题解析：（1）5（x﹣1）≤3（x+1）
5x﹣5≤3x+3
5x﹣3x≤3+5
2x≤8
x≤4，
在数轴上表示不等式的解集是： ；
（2）2（x﹣1）﹣3（x+4）＞﹣12
2x﹣2﹣3x﹣12＞﹣12
2x﹣3x＞﹣12+12+2
﹣x＞2
x＜﹣2，
在数轴上表示不等式的解集为：；
（3）
∵解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：
．
23．﹣2，﹣1，0，1，2，3
【解析】
【详解】
试题分析：先把不等式组变为一般不等式组，然后分别求解两个不等式，求出不等式组的
解集，确定出其整数解即可.
试题解析：由题意可得不等式组 ，
由（1）得x≤3，
由（2）得x≥﹣2，
其解集为﹣2≤x≤3，
所以不等式组 的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3．
24．(1) 1＜x+y＜5;(2) a+2＜x+y＜-a-2.
【解析】
【详解】
整体分析：
（1）先分别确定x，y的取值范围，再根据等式的性质确定x+y的范围；（2）先分别用含
a的式子确定x，y的取值范围，再根据等式的性质用含a的式子确定x+y的范围；解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3.
∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1.
∵y＜1，∴-1＜y＜1.…①
同理得：2＜x＜4.…②
由①+②得-1+2＜y+x＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5.
（2）∵x-y=a，∴x=y+a.
∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1.
∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…①
同理得：a+1＜x＜-1.…②
由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)，
∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2.
25．－8＜k＜0.
【解析】
【详解】
整体分析：
观察方程的特征，x，y的系数之和相等，则可以把两个方程相加后，用含k的式子表示出
x+y，再代入到－1＜x＋y＜1求解.
解：
①+②得：
4x+4y=k+4，
所以x+y= ，
因为－1＜x＋y＜1，
所以－1＜ ＜1，
解得－8＜k＜0.
26．满足条件的 的所有非负整数值为：0，1，2．
【解析】
【详解】
分析：在方程中把m看成是已知数，用含m的代数式表示出x，y，再代入不等式x＋y＜3中，得到关于m的一元一次方程，求非负整数解.
详解： ，
①＋②得： ，
∴ .
把 代入②得 ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以满足条件的 的所有非负整数值为：0，1，2．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，这种类型题的一般解
法是在二元一次方程组中把m看成是已知数，分别用含m的式子表示出x和y，再代入到
不等式中求解.
27．在数轴上表示解集见解析，非负整数解为0，1，2，3.
【解析】
【详解】
分析：根据不等式的性质，先求出每个不等式的解集，然后，再求其公共部分，然后把不
等式组的解集表示在数轴上即可．
详解：由①得，x≥-1，
由②得，x<4，
故原不等式组的解集为-1≤x<4.
在数轴上表示如图.
非负整数解为0，1，2，3.
点睛：本题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示其解集，求不等式的公共
解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
28．﹣3.5≤x＜0.2【解析】
【详解】
分析：根据一元一次不等式的解法，分别求解两个不等式，然后根据不等式组的解集的确
定方法求解即可.
详解：解不等式5x+5≥3x﹣2，得：x≥﹣3.5，
解不等式1﹣2x＞3x，得：x＜0.2，
则不等式组的解集为﹣3.5≤x＜0.2．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
29．（1）（x﹣y）（x+y）；（2）﹣2＜x≤3
【解析】
【详解】
分析：（1）根据提公因式法，可分解因式；
（2）根据解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的公共部分，
可得答案．
解：（1）原式=（x﹣y）（x+y）；
（2）解不等式①1，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①②在数轴上表示如图
，
不等式组的解集是﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查了因式分解，确定公因式（x﹣y）是解题关键．
30．(1) k=﹣4 ;(2) ﹣4＜k≤﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出不等式组的解集，把问题转化为方程即可解决问题；
（2）根据题意把问题转化为不等式组解决；
详解：(1)由①得：
由②得：
∵不等式组的解集为
∴
解得k=−4
(2)由题意
解得
点睛：考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的求法
是解题的关键.
31．整数解为1，2，3
【解析】
【详解】
分析：根据不等式的性质，先求出每个不等式的解集，然后求其公共部分，再把不等式组
的解集表示在数轴上即可．
详解：
. ，
由①得：x＜4，
由②得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
则不等式组的整数解为1，2，3．
点睛：此题主要考查了不等式组的解法，关键是合理利用不等式组的解集的确定方法判断
其解集，判断解集的方法：都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
32．-2、-1、0、1、2.
【解析】
【详解】
分析：根据一元一次不等式的解法，分别求解两个不等式，然后根据不等式组的解集的确定方法求解即可.
详解：解不等式①得：x＜3，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集是 ，
在数轴上表示为：
∴不等式组的整数解有：-2、-1、0、1、2.
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
33．(1) x＞-4.5．(2)无解.
【解析】
【分析】
（1）利用一元一次不等式的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
解不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
（1）去分母，得2（2x+1）-（2-x）＞3（x-1）-6，
去括号，得4x+2-2+x＞3x-3-6，
移项，得4x+x-3x＞-3-6-2+2，
合并同类项，得2x＞-9，
系数化为1，得x＞-4.5．
（2）解：
由①得y＞3，由②得y≤-1．
故原不等式组无解．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
34．1＜x≤4
【解析】【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：
由①得x＞1
由②得x≤4.
故此不等式组的解集为：1＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于
等于号的点要用实心圆点．
35． ＜m≤ ，2≤n＜
【解析】
【详解】
试题分析：
由数轴上的信息可知，该不等式组的整数解有：-1，0，1，2四个，解不等式组可得其解集
为： ，结合其有上述四个整数解可得： 及 ，
解这两个不等式组即可求得m、n的取值范围.
试题解析：
解不等式 得： ；
解不等式 得： ；
由图可知原不等式组的整数解有：-1，0，1，2四个，
∴ 且 ，
解得： ， .点睛：本题解题的要点是：由原不等式组有整数解可确定其解集为： ，
由数轴上的信息可知，其最小的整数解是-1，由此可得到m的取值应满足：
；其最大整数解为2，由此可得到n应满足： ；这样就可求得
m、n的取值范围了.
36．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）解不等式组,表示出解集,根据只有一个整数解即可确定c的取值范围,
（2）当不等式组解集“大大小小”时表示不等式组无解.
【详解】
（1）
由①得 ；由②得 ．
因为原不等式组只有一个整数解，则不等式的解集为 ，且这个唯一的整数必为
，故 ．
（2）要使不等式组没有整数解，则 ．
【点拨】本题考查了不等式组含参问题,中等难度,会根据结果的不同逆推解集情况是解题关
键.
37．－ ≤a＜0
【解析】
【分析】
解关于x的不等式 ，可得其解为x ；
而已知关于x的不等式 7的解也是不等式 的解，故a＜0，所以不等式
7的解是x＞7a；从而得到7a ；
解可得a ；结合a＜0，可得答案．
【详解】关于x的不等式 ，解得：x ．
∵关于x的不等式 7的解也是不等式 的解，故a＜0，所以不等式 7
的解集是x＞7a．
所以7a ，解得：a ．
∵a＜0，∴ a＜0．
【点拨】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成已知数，求
得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以
一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
38．（1） ； （2）x≤﹣2；（3）x≤﹣1；（4）﹣ ＜a≤0．
【解析】
【分析】
（1）移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（4）首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以
得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】
解：（1）﹣x﹣7x＜﹣3﹣1，
﹣8x＜﹣4，
x＞ ；
（2）2（1﹣2x）≥4﹣3x，
2﹣4x≥4﹣3x，
﹣4x+3x≥4﹣2，
﹣x≥2，
x≤﹣2；
（3）3（x+1）﹣2（x﹣2）≤6，
3x+3﹣2x+4≤6，3x﹣2x≤6﹣3﹣4，
x≤﹣1，
将解集表示在数轴上如下：
（4）解不等式3+4（x+1）＞1，得：x＞﹣ ，
解不等式a﹣ ＞﹣1，得：x＜2a+1，
∵不等式组恰有2个整数解，
∴0＜2a+1≤1，
解得：﹣ ＜a≤0．
【点拨】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
39． ，数轴上表示略，不等式组的所有整数解为-1,0,1,2
【解析】
【分析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可．
【详解】
解：由①得： ,
由②得： ，解得： ，
解集为： .
不等式组的所有整数解为-1,0,1,2.
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，把每个不等式的解集在数轴上表
示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；＜”，“＞”要用空心圆点表示．
40．-1，0，1.
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，然后再确定整数解.
【详解】
解：
由①得：x＜2
由②得x≥-1
所以不等式组的解集为：-1≤x＜2
则不等式组的整数解为：-1，0，1.
【点拨】本题考查了解不等式组并确定整数即，其中解不等式组是正确解答本题的关键.
41． 的最大值为84，最小值为13.
【解析】
【分析】
由题意可得： ，整理得： ①，也可得 ②，根据对
于某一给定的自然数n，k的值只有一个，可得出n的最大值，再由①可得n＞7，然后依次
试验n=8、9、10…，即可得出n的最小值．
【详解】
， ，
，即 .
为自然数，且对于给定的 来说， 的值只有一个，
，
， .
当 时，代人①得 .
只能取唯一的一个 ， 的最大值为84.又由 ，得 .
当 时， ，没有符合条件的整数 ，
当 时， ，也没有符合条件的整数 .
当 时，分别有：
， ， 均不符合条件.
当 时， ，存在符合条件的 .
为符合条件的最小值.
综上所述， 的最大值为84，最小值为13.
【点拨】本题考查了函数的最值问题，解答此类竞赛类题目，关键是灵活变通，本题的灵
活之处在与由 得出 ，难度较大．
42．（1） （2）2m-2n-6
【解析】
【分析】
(1)解关于x、y的不等式组，得﹣3＜m＜1 .同理可以得出﹣5≤a≤ . 由于原不等式组恰
好有三个整数解，则-3≤ ＜-2，解得-4≤n＜﹣ .
(2)由m、n的取值范围得出m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0，从而化简得出最后结果.
【详解】
（1） ，
①+②得：2x=m+1，即x= ＜1；
①﹣②得：4y=1﹣m，即y= ＜1，
解得：﹣3＜m＜1；由 a+2≥1得a≥﹣5，
2n-3a≥1得a≤ .
所以﹣5≤a≤ .
原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤ ＜-2，
解得-4≤n＜﹣ .
（2）∵﹣3＜m＜1，
∴m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0
原式=m+3﹣(1-m)-(2n+8)=2m-2n-6．
【点拨】本题是考查解不等式组、绝对值的化简、算术平方根的化简、相反数的综合性题
目,是中考常出现的题型.理解关于a的方程组恰好有三个整数解是解决本题的关键.
43．-1≤x＜1；-1和0.
【解析】
【分析】
先分别解两个不等式，然后在求其公共部分，即为不等式组的解集.
【详解】
解：
由①得：x≥-1
由②得：x＜1
所以该不等式组的解集为：-1≤x＜1
所以不等式组的整数解为：-1和0.
【点拨】本题的考查了一元一次不等式组的解法，即分别求出各不等式的解集，然后再确
定其公共部分，即为不等式组的解集.其中确定公共部分是解答的关键.
44．(1) ;(2) .
【解析】【分析】
（1）首先表示出x，y的值，进而利用方程组的解都为正数进而得出答案；
（2）利用a-b=3，且b<1，分别得出a，b的取值范围进而得出答案.
【详解】
解：（1）
①×2+②得：3x=9a-6
解得：x=3a-2
把x=3a-2代入②得：y=a+1，所以，方程组的解为：
∵方程组的解都为正数
∴ 解得： .
解得不等式的解集为： .
(2)∵a-b=3
∴a=b+3，
又∵ .
∴b+3
∴b
又∵b≤1，
∴ ③
同理可得： ④
③+④得：
∴a+b的取值范围是： .
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组以及二元一次方程组的解，正确得出b的取值范围是解题关键.
45．（1）③；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案.
【详解】
（1）由不等式组 得， ，
由 ，解得，x＝ ，故方程① 不是不等式组的相伴方程，
由 ，解得，x＝ ，故方程② 不是不等式组 的相伴方程，
由 ，解得 x＝2，故方程③ 是不等式 的相伴
方程，
故答案为③；
（2）由不等式组 ，解得， ，则它的相伴方程的解是整数， 相伴
方程x=1
故答案为 ；
(3)解不等式组 得
方程 都是不等式组的相伴方程
【点拨】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和
一元一次不等式组的技能是解题的关键.
46．（1）k＞-4；（2）｜k+5｜+｜k-3｜=8.【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式分别表示x、y；再利用x为负数，
y为正数，即可求得k的取值范围；
（2）利用（1）求得的k的取值范围，化简绝对值即可.
【详解】
解：（1）
①+②得，3x=6k-3
解得x=2k-1，
代入②解得y=k+4，
∵x为负数，y为正数，
∴2k-1＜0，k+4＞0
由 2k-1＜0解得，k＜ ，
由k+4＞0解得，k＞-4，
所以，k的取值范围是-4＜k＜ ；
（2）∵-4＜k＜ ；
∴k+5＞0，k-3＜0
∴｜k+5｜+｜k-3｜=（k+5）+[-（k-3）]= k+5+3-k=8
【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及化简绝对值，难度适中，熟练掌握
相关知识点是解题关键.
47．m＝5
【解析】
【分析】
解方程组得出 ，由x、y均为整数得出关于m的不等式组，解之求得m的范围，
再由m的整数且x、y为整数可得答案．
【详解】解：解方程组得 ，
∵x、y均为正整数，
∴ ，
解得 ＜m＜6，
∵m为整数，
∴m＝4或5，
当m＝4时，
当m＝5时， ，
∵x、y均为整数，
∴m＝5．
【点拨】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x，y都为正数，则解
出x，y关于m的式子，最终求出m的范围，即可知道整数m的值．
48．（1）-10；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x-4≥x+6，解之可得；
（3）由题意可得分类讨论：当 和 时两种，分别求解可得；
【详解】
解：（1） ．
故答案为：–10．
（2）∵ ，∴ ，解得 ．
故答案为： ．
（3）由题意知：当 时，
解得： .
当 时，
解得 ．
∴x的取值范围: 或 ．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义
是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
49．（1） ；（2） 的取值范围是 ；（3） 的取值范围
是 ．
【解析】
【分析】
（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；
（2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解；
（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关
于x、y的不等式存在解集．
【详解】
（1） ，
．
，
，
．
故答案为 ．
（2） ，
．
又 ，，
．
又 ，
，
．
同理得 ，
，
的取值范围是 ．
（3） ，
．
又 ，
，
．
又 ，
，
．
当 时， ．
同理得 ，
，
∴当 时， 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，
注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．
50．
【解析】
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，然后根据两个不等式的解的关系列出不等式，即可求出答
案.
【详解】
解：∵ ，
，∴ ，
．
又∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
则 ，
．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
51．最大值是4，最小值是 ．
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，然后结合绝对值的意义，进行分类讨论，进而求出最大值和最小值.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
．
令 ，求得 ，所以零点值： ．
①当 时， ．
∴ ．
②当 时， ．
．
当 ，原式的最小值是 ．
综上所述， 的最大值是4，最小值是 ．【点拨】本题考查了解一元一次不等式，化简绝对值，以及绝对值的意义，解题的关键是
熟练掌握绝对值的意义，利用分类讨论的思想进行解题.
52．（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．
【解析】
【分析】
（1）模仿材料的计算方法，即可求出答案；
（2）根据已知算式求出y、x的范围，再求出答案即可．
【详解】
解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴x y的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出x、y的范围是解此题的关键，注意：求解过程类似．
53．
【解析】
【分析】
将两个方程联立成方程组，看作关于a，b的方程求解，可得 ，根据a，b，c
均是非负数，建立不等式组，求出c的取值范围，然后再求 的取值范围即可得到
m的最大值与最小值，再求xy即可．
【详解】
解：联立得 ，
解得 ．
由题意知：a，b，c均是非负数．
则 ，解得 ．
，
．
，
．
．
【点拨】本题考查不等式组的应用，根据题意用c表示出a和b，并求出c的取值范围是解
题的关键．
54．（1）n=2，m=3；（2） 2≤x≤5，图见解析；（3）(x2-3x)。【解析】
【分析】
（1）利用加减法即可求得；
（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
（3）利用减法法则可得减数所表示的式子．
【详解】
（1）
②-①得：4n=8，
n=2，
把n=2代入①得：2m-2=4，
m=3，
则方程组的解为： ；
（2）
解①得x≤5，
解②得x≥2．
则不等式组的解集是2≤x≤5．
在数轴上表示不等式组的解集是：
（3）∵(x+1)(x+2)=x2+3x+2，
∴x2+3x+2-(6x+2)=x2+3x+2-6x-2=x2-3x，
故答案为：x2-3x．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组和一元一次不等式组的解法：解
一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解
集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
55．
【解析】
【分析】先求出方程组的解即且m表示出x、y，再由 列出关于m的不等式组，解不等式组即
可求出m的取值范围．
【详解】
解:
+ 得 ,
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解 得 ，
解 得不等式组无解，
∴ 的取值范围是 .
【点拨】本题考查了由二元一次方程组的解满足某个条件求参数，也涉及到解一元一次不
等式，解决本题的关键是由二元一次方程组的解满足的条件列出不等式组．
56． ．
【解析】
【分析】
求出不等式得负整数解，求出a的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：∵ ，
4-5x-2＜12，-5x＜10，
x＞-2，
∴不等式的负整数解为-1，
把x=-1代入2x-3=ax得：-2-3=-a，
解得：a=5，
把a=5代入不等式组得 ，
解不等式组得：
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查
学生的计算能力．
57．（1） ；（2）① ，②
【解析】
【分析】
（1）仿照阅读材料求出x+y的取值范围；
（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出a和a+b的取值范围．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .…①
同理，可得 .…②
①+②，得 ，即 ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ；
（2）解方程组得， ，
∵ ，
∴ ， ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ .
【点拨】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式
的解法、理解阅读材料是解题的关键．
58．（1）x＞4或x＜-4；（2） ；（3）0＜x＜ ．
【解析】
【分析】
（1）由题意将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式
组求解即可；
（3）根据题意将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可.
【详解】
解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）
∴x2-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得① ② ，解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4．
（2）∵
∴ 或
解得： .
（3）∵2x2-3x=x（2x-3）
∴2x2-3x＜0可化为 x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或 ，
解不等式组①，得0＜x＜ ，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2-3x＜0的解集为0＜x＜ ．
【点拨】本题考查一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经
过加工得到解决此类问题的方法．
59．（1） ；（2）0；（3）
【解析】
【分析】
（1）比较-1与2的大小，得到答案；
（2）比较x2+1与0的大小，得到答案；
（3）根据-2k+5与-1的大小，确定k的取值范围；
【详解】
解：根据题意，
（1）∵ ，
∴ ；
故答案为： ；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
解得： ；
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的
关键．
60．（1） （2）m≥
【解析】
【分析】
（1）根题意把 分别代入式子，列出方程组，解方程即可得出答案.
（2）由（1）得T（x，y）= ，然后代入T（2m，3–4m）≤8，得出一元一次不等式，
计算即可得出答案.
【详解】
（1）根据题意得： ， ，
整理得出： ，
解得： ；
（2）由（1）得T（x，y）= ；由题意得： ≤8
2m+9－12m≤24
m≥
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式，弄清题目的新运算是解
题的关键.
61．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范围；
（2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，化简绝对值，合并同类项即可；
（3）根据不等式以及不等式的解可确定 ，再结合（1）可进一步确定k的取值范
围，取整数解即可．
【详解】
解：（1） ，
①+②得： ，即 ，
又∵ ，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）由 可得 ，
两边同时除以 得到 ，
不等号的方向改变，故 ，解得 ，
由（1）可知 ，故 ，
故 =-1时满足条件．
【点拨】本题考查解方程组，解不等式组，化简绝对值和求不等式组的整数解．（1）中掌握整体思想是解题关键；（2）中理解正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0是解决此题的关键；（3）中熟记不等式的三个性质，并且能根据不等式的
性质进行分析是解题关键．
62．- ＜x＜3，所有整数解是-1，0，1，2．
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
：解不等式 ，得： ，
解不等式组 ，得： ，
则不等式组的解集为- ＜x＜3，
所以不等式组的整数解为-1，0，1，2．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
63．（1）3； ；（2）见解析；（3）0、 、 ．
【解析】
【分析】
（1）①π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；
②如果精确数是3，那么这个数应在2.5和3.5之间，包括2.5，不包括3.5，让2.5≤2x-1＜
3.5，解不等式即可；
（2）举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（3） x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k- 和k+ 之间，包括k- ，
不包括k+ ，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
【详解】
解：（1）①∵π≈3.14，
∴<π>=3；②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：
≤x＜ ；
（2）举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；
（3）∵x≥0， x为整数，设 x=k，k为整数，
则x＝ k，
∴＜ k＞＝k，
∴k− ≤ k＜k+ ，k≥0，
∵0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0， ， ．
【点拨】考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五
入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n- ≤x＜n+ ，则＜x＞=n．
64．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）将(1)解出的解代入x+y>5得到关于k的不等式，再求解即可．
【详解】
解：（1）①+②得 -1
代入①得（2）方程组的解满足
所以
∴
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，掌握二元一次方程和一元
一次不等式的解法是解答本题的关键．
65．2＜m≤3
【解析】
【分析】
先解出不等式组x的解集，是含有m的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”设
出两个整数解为n，n+1，列出关于m，n的不等式组，解出m范围，再根据两个解集的范
围大小，列出n的不等式，从而求出确定的n，再反带回列出的关于m，n的不等式组，即
可求出m的取值范围．
【详解】
解：由题意得： ，
令整数的值为n，n+1，有： ，n+1＜m+2≤n+2．
故 ，
∴n﹣1＜3n﹣5且3n﹣8＜n，
∴2＜n＜4，
∴n＝3，
∴
∴2＜m≤3．
【点拨】本题难点在于给出的是整数解而不是确切的数字，所以设出两个整数解为n，n+1，列出关于m，n的不等式组，是本题的突破口．
66．（1） ；（2） 或 ；（3）1或2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意直接利用加减消元法进行计算求解即可；
（2）由题意根据 和 以及 （n为整数）得到三个关于k的方程，
求出k即可；
（3）根据题意用含m的代数式表示出k，根据 ，确定m的取值范围，由m为正整数，
求得m的值即可．
【详解】
解：（1） ，
①+②得： ，解得： ，
①-②得： ，解得： ，
∴二元一次方程组的解为： .
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，解得： ；
∵ ， ，
∴ ，即 ，解得： ；
∵ （n为正整数）， ，∴ 为偶数，即 ，解得： ；
当 时， ，为奇数，不合题意，故舍去．
综上 或 .
（3）∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵m为正整数，
∴m=1或2．
【点拨】本题考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题
的关键．
67．
【解析】
【分析】
先把a当作已知条件表示出x的取值范围，再根据两不等式的解集相同求出a的值即可．
【详解】
解：解不等式 得，x＜- ；
由不等式ax-3＞2x得，（a-2）x＞3，
∵两不等式的解集相同，
∴a-2＜0，
∴x＜ ，
∴ =-
解得 ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题
的关键．
68．（1）①a＝2，b＝1；② ；（2）a＝ b．
【解析】
【分析】
（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）＝T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
【详解】
解：（1）①根据题意得：T（2，1）= ①， ②，
联立①②，解得：a＝2，b＝1；
②根据题意得： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m＝-1，0，1,．
∴ ，
解得： ；
（2）由T（x，y）＝T（y，x），得到 ，
整理得：（x2−y2）（2a−b）＝0，
∵T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴2a−b＝0，即a＝ b．【点拨】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数
解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
69．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法求解可得；
（2）根据题意列出关于a的不等式组，解之可得．
【详解】
解：（1） ，
②-①，得：x= 2a+1，
将x= 2a+1代入①，得： 2a+1 y= a 1，
解得y= a+2，
所以方程组的解为 ；
（2）根据题意知
，
解不等式 2a+1＜0，得a＞ ，
解不等式 a+2＞0，得a＜2，
解得： ＜a＜2．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
70．（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）将a代入得到一个二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得；
（2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“解都为正数”建立不等式组，然后解不
等式组即可得；
（3）先根据 求出a的取值范围，再根据 化简z，由此即可得．
【详解】
（1）当 时，方程组为
① ②得：
解得
将 代入①得：
解得
则此方程组的解为 ；
（2）
③ ④得：
解得
将 代入③得：
解得
则此方程组的解为
方程组的解都为正数
解得 ；
（3） ，且
解得
结合（2）的结论得：
将 代入 得：故 ．
【点拨】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，
熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键．
71．当 时，原不等式组的解集 ； 当 时， 原不等式组无解．
【解析】
【分析】
先解关于x的不等式组，然后根据解集的规律讨论．
【详解】
解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ．
当 时，即 时，原不等式组的解集 ；
当 时，即 时， 原不等式组无解．
【点拨】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
72．（1）①3，2；② x ；（2）x=0， ， ．
【解析】
【分析】
（1）①π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；1.7＜ ＜1.8，＜＞=2；
②如果精确数是3，那么这个数应在2.5和3.5之间，包括2.5，不包括3.5，让2.5≤2x-1＜
3.5，解不等式即可；
（2）设 k，k为整数，则 ，由＜x＞=k,可得不等式组，解之即可求得整数k的
值，进而求得x的非负实数的值．
【详解】
（1）①＜π＞=3； 2；②由题意得：2.5≤2x﹣1＜3.5，
解得： x ；
故答案为：（1）①3；2；② x ．
（2）∵x≥0， 为整数，
设 k，k为整数，则x ，
∴ k，
∴k ，k≥0．
∵0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0， ， ．
【点拨】考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五
入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果 ，则＜x＞=n．
73．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）由二元一次方程组的解可求出答案；
（2）任取两个k的值，不妨取k=1，k=2，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可；
（3）由题意得到方程组，求出k与n的关系式，求出n的取值范围即可得出答案．
【详解】
解：（1）把 代入方程 ，得
解得： ．
（2）任取两个 的值，不妨取 ， ，得到两个方程并组成方程组．解得：
即这个公共解是
（3）依题意，得
解得 ．
由 ≤k＜ ，得
≤ ＜ ，
解得 ＜ ≤ ，
当 为整数时， ．
【点拨】本题考查了二次一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，
熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
74．（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜- ；（2）a=2b．
【解析】
【分析】
（1）①按题意的运算可得方程组 ，即可求得a、b的值；②按题意的运算可得不等式组 ，即可求得p的取值范围；
（2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ；
【详解】
（1）①由题意可得 ，解得 ；
②由题意得 ，解得 ，因为原不等式组有2个
整数解，所以 ， 所以 ；
（2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ，
所以ax+2by-1= ay+2bx-1,
所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,
所以a=2b
75．（1）3；（2）m﹣1≤x＜m+1；（3）m＞6或m≤1．
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
（3）由已知得出m-1＞5或m+1≤2，解之可得答案．
【详解】
解：（1）点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是5﹣2＝3，
故答案为：3；
（2）解不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1，解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1，
则不等式组的解集为m﹣1≤x＜m+1；
（3）∵关于x的不等式组 的解集中每一个x值都不在线段AB上，
∴m﹣1＞5或m+1≤2，
解得：m＞6或m≤1．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
76．（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1．
【解析】
【分析】
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】
解：（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3，
解方程2x+1＝0，得：x＝﹣ ，
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2，
解不等式组： ，
得： ＜x＜ ，
所以不等式组： ，
子集方程是①③，
故答案为：①③；
（2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2，
解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣ ，
则不等式组的解集为：﹣ ＜x＜2，∴其整数解为：﹣1、0、1，
则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0．
故答案为：2x﹣2＝0；
（3）解关于x的不等式组 的得：m＜x≤m+2，
∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组 的子集方程，
∴0≤m＜1．
【点拨】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义
是解题的关键．
77． ；
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【详解】
解：
∵由①，得 ，
由②，得 ，
∴原不等式组的解集为： ，
∴原不等式组的所有整数解为： ．
【点拨】本题考查的知识点是解一元一次不等式组及求其整数解，解决此类问题的关键是
正确解得一元一次不等式组的解集．
78．（1）-1；（2）t=-2，-1，0，1；（3）13组
【解析】
【分析】
（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；（3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论．
【详解】
解：（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，6-6y=11，
解得y=-1，
∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为： （t为整数），则θ=-1，
故答案为-1；
（2）方程2x+3y=24一组整数解为 ，则全部整数解可表示为 （t为整数）．
因为 ，解得-3＜t＜2．
因为t为整数，
所以t=-2，-1，0，1．
（3）方程19x+8y=1908一组整数解为 ，
则全部整数解可表示为 （t为整数）．
∵ ，解得 ＜t＜12.5．
因为t为整数，
所以t=0，1，2，3，4，5，67，8，9，10，11，12，
∴方程19x+8y=1908的正整数解有13组．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，理解题意、掌握解题
方法是本题的关键．
79．（1） ， ；（2） ；（3）整数n的值为14或15
【解析】
【分析】
（1）利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得
到a与b的值；（2）把a与b的值代入新定义，表示不等式组，变形后表示出解集即可；
（3）根据题中的新定义列出不等式组，解不等式组求得m的正整数解，再得到关于n的
不等式组，解之确定整数n的值即可．
【详解】
（1）依题意，有 ，
解得 ；
∴ ， ；
（2）由（1）得x*y=﹣2x+y，
∵0＜c*（c+3）＜2，
∴0＜﹣2c+（c+3）＜2，
解得1＜c＜3；
（3）∵|（2m﹣1）*（2﹣m）|＜n+1，
∴|﹣2（2m﹣1）+（2﹣m）|=|﹣5m+4|＜n+1，
∴﹣n﹣1＜﹣5m+4＜n+1，
解得 ＜m＜ ，
∴数轴上墨迹遮住的整数有﹣2，﹣1，1，0，1，2，3，
∴ ＜m＜ 的整数解为﹣2，﹣1，1，0，1，2，3，
由 解得 ，
∴13＜n≤15，
∴整数n的值为14或15．
【点拨】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，一元一次不等式组的整数
解，弄清题中的新定义、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
80．（1）-4；（2） ；（3）①1；②a＝b＝c；③-4
【解析】
【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的M{a、b、c}表示这三个数的平均数，min{a、b、c}表示a、b、c这
三个数中的最小数，列出方程组即可求解．
【详解】
（1）∵﹣22＝﹣4，2﹣2＝ ，20130＝1，
∴min{﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由题意得： ，
解得：0≤x≤1，
则x的取值范围是0≤x≤1；
故答案为0≤x≤1；
（3）①M{2，x+1，2x}＝ ＝x+1＝min{2，x+1，2x}，
∴ ，
∴ ，
∴x＝1．
②若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则a＝b＝c；
③根据②得：2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，
解得：x＝﹣3，y＝﹣1，
则x+y＝﹣4．
故答案为：①1；②a＝b＝c；③﹣4．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理
解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．
81．（1） ；（2） ；（3）10个
【解析】
【分析】（1）不等式组 的解集为 ，根据“子集”的定义确定出 的范围即可；
（2）根据题意可得 ，再根据 为互不相等的整数确定出各自的值，
代入原式计算即可求解；
（3）由题意可得 ， 且 ，分类讨论即可．
【详解】
解：（1）不等式组 的解集为 ，
关于 的不等式组 是不等式组 的“子集”，
；
（2） ， ， ， 为互不相等的整数，其中 ， ，
， ， 满足： 是 的“子集”且 是 的“子集”，
∴ ，
， ， ， ，
则 ；
（3）不等式组 整理得： ，
由不等式组有解得到 ，即 ，
∵M是 的“子集”，
， ，即 ， ，
再根据 可得：
当 时，满足条件的m的值为5，4，3；
当 时，满足条件的m的值为5，4，3；
当 时，满足条件的m的值为4，3；
当 时，满足条件的m的值为3；当 时，满足条件的m的值为3；
满足条件的有序整数对 有10个．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
82．（1）见解析；（2） ；（3） 或
【解析】
【分析】
（1） ，转化为不等式组 ；
（2）根据方法二的步骤解答即可；
（3）根据方法二的步骤解答，得出 ，即可得到结论．
【详解】
解：（1） ，
转化为不等式组 ；
（2） ，
不等式的左、中、右同时减去3，得 ，
同时除以 ，得 ；
（3） ，
不等式的左、中、右同时乘以3，得 ，
同时加5，得 ，
的整数值 或 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，参照方法二解不等式组是解题的关键，应用的
是不等式的性质．
83．（1）（-3，0）；（2）0≤b＜1；（3）t＞
【解析】【分析】
（1）解方程组得 ，当a=1，b=1时， ，即可得出答案；
（2）解方程组得 ，由点P在第二象限，得x=a-4＜0，a-b＞0，则a＜4，a＞b，
由题意得出a=1，2，3，得出0≤b＜1即可；
（3）由（1）得x=a-4，y=a-b，P（a-4，a-b），由题意得出y=a-b≠0，a≠b，由不等式的解
集得关于z的方程yz+x+4=0的解为z= ，得出b= a，求出a＞0，解不等式即可．
【详解】
解：（1）解方程组 得： ，
当a=1，b=1时， ，
∴点P的坐标为（-3，0）；
（2）若点P在第二象限，则x=a-4＜0，a-b＞0，
∴a＜4，a＞b，
∵符合要求的整数a只有三个，
∴a=1，2，3，
∴0≤b＜1，
即b的取值范围为0≤b＜1；
（3）由（1）得：x=a-4，y=a-b，P（a-4，a-b），
∵点P为不在x轴上的点，
∴y=a-b≠0，
∴a≠b，
∵关于z的不等式yz+x+4＞0的解集为z＜ ，
yz＞-（x+4），
∴y＜0，则z＜ ，∴ ，
代入 得：5a=2b，且a＜b，
∴a＜ a，
∴a＞0，
∵at＞b，
∴at＞ a，
∴t＞ ．
【点拨】本题是综合题，考查了二元一次方程组的解法、点的坐标特征、一元一次不等式
的解法等知识；本题综合性强，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法
是解题的关键．
84．（1）① ；②42≤a＜54；（2）m=2n
【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得 ，
解得 ，
②由题意得 ，
解不等式①得p＞-1．解不等式②得p≤ ，
∴-1＜p≤ ，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤ ＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点拨】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会
用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
85．（1）9， ，0；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）根据 的定义即可得；
（2）先根据 的定义可得 、 ，再根据相反数的定义可得
，从而可得 ，然后代入求值即可得；
（3）设 ，从而可得 ，再分 三种情况，分别解绝对
值方程求出k的值，然后根据 的定义即可得．
【详解】
（1） ， ， ，
故答案为：9， ，0；
（2） 都是整数，，
和 互为相反数，
，即 ，
则 ，
，
，
；
（3）设 ，则 ，
由 得： ，
因此，分以下三种情况：
①当 时，
，
解得 ，符合题设；
②当 时，
，
即此时没有符合条件的k值；
③当 时，
，
解得 ，符合题设；
综上， 或 ，
即 或 ，
则 或 ．
【点拨】本题考查了代数式求值、相反数、解绝对值方程、一元一次不等式组的解，较难
的是题（3），利用换元法将 替换为 是解题关键．86．
【解析】
【分析】
结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜
0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵关于 的不等式 的解集为
∴a+3b＜0，
∴a＜-3b，8a＝-12b，即2a+3b＝0
∵a+3b＜0， ，
∴a＞0，b＜0
∴ 的解集为：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不
等式的性质，从而完成求解．
87．（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据题中的新定义列出关于 与 的方程组，求出方程组的解即可得到 与 的值；
（2）利用题中的新定义将 ， 代入计算即可；
（3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，
确定出 的范围，再解不等式组即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
解得： ；
（2）由（1）得：
∴ ；
（3）根据题意得： ，
由①得： ；由②得： ，
不等式组的解集为 ，
不等式组恰好有4个整数解，即 ，1，2，3，
，
解得： ．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法
则、理解新定义的意义是解本题的关键．
88．（1）c，d；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别解出不等式（组），再判断a,b,c,d是否符合题意；
（2）根据题意，列出关于m的不等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，①不等式组无解；②不等式有解，满足题目中的定义，据此列出不
等式组，即可求解．
【详解】（1）由 ，解得： ，故a不符合题意；
由 ，解得： ，故b不符合题意；
由 ，解得： ，故c符合题意；
由 解得： ，无解，故d符合题意；
故选：c，d；
（2）由 ，解得： ，
∵关于 的不等式 被 覆盖，
∴ ，即 ，
故填： ；
（3）① 无解，
即： ，
解得： ；
② 有解，即 ，
解得： ，
且不等式 被 覆盖，
即 ，
解得： ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故填： 或 ．
【点拨】本题考查解一元一次不等式（组），解题关键是明确题意，根据题意列出不等式
（组）．
89．（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<【解析】
【分析】
（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【详解】
解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
② ，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式 ，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜ ．
∵-13在x＜ 范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式 ，得：
x＞a，∵关于x的组合 是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程 ，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝ ，
解不等式 +1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合 是“无缘组合，
∴ <-3a+2，
解得：a< ．
【点拨】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的
理解．
90．（1）0＜a＜2；（2）①2＜x+y＜6；②3-m＜a+b＜4-m．
【解析】
【分析】
（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组 得： ，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到
a+b的取值范围．
【详解】解：（1） ，
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y=a，则 ，
解得： ，
∵x＞3，y＜1，
∴ ，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组 得： ，
∵x＜0，y＞0，
∴ ，
解得：1.5＜a＜2，
∵a-b=m，a+b=2a-(a-b)
3-m＜a+b＜4-m．
故答案为：3-m＜a+b＜4-m．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组
是解此题的关键．91．（1） ；（2）a＜﹣ ；（3）﹣ ≤a≤ 且a≠0．
【解析】
【分析】
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将（1）的结果代入x﹣2y＞0，解一元一次不等式即可；
（3）分类讨论，分 和 两种情况讨论，列一元一次不等式组即可解决问题．
【详解】
解：（1） ，
①+②得：3x+3y＝6，
∴x+y＝2③，
①﹣③得：x＝1﹣2a，
②﹣③得：y＝1+2a，
∴方程组的解为 ；
（2）∵x﹣2y＞0，
∴1﹣2a﹣2（1+2a）＞0，
∴1﹣2a﹣2﹣4a＞0，
∴﹣6a＞1，
∴a＜﹣ ；
（3）①当a＞0时，x＝1﹣2a＜1，y＝1+2a＞1，
∴ ，
∴0＜a≤ ；
②当a＜0时，x＝1﹣2a＞1，y＝1+2a＜1，
∴ ，∴﹣ ＜a＜0；
综上，﹣ ≤a≤ 且a≠0．
【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式（组）的应用，正
确的计算是解题的关键．
92．（1）01①
2
解：（1）{ ，
a−2
<2②
2
解不等式①得： ，
解不等式②得：a<2，
不等式组的解集为03， ，
a+4
>3
2
{ ，
a−4
<1
2
解得：22或x−3<−2，
解得 或 ；
（2）∵|2x−1|0②
3 5
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜ ，
∴不等式组的解集为-1≤x＜ ．
{2x<3(x−3)+1①
（2） 3x+2
>x+a②
4
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，
11 5
解得− ≤a＜− ；
4 2
（3） ，移项，得mx−2x>n−1，
合并同类项，得(m−2)x>n−1，
n−1
当m＞2时，x＞ ；
m−2
n−1
当m＜2时，x＜ ；
m−2
（4） ，
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为−2(x+1)+x>3(2−x)，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为2(x+1)+x>3(2−x)，
2
解得x＞ 与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
3
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为2(x+1)−x>3(2−x)，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为2(x+1)−x>3(x−2)，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式与不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握一元一
次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
100．3≤x<5；−2
