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专题2.19 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）
（专项练习1）
一、单选题
1．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应
的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
2．下列对二次函数y=x2﹣x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
3．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或2
5．已知点 在抛物线 上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线
y=ax2的图像与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．使关于 的二次函数 在 轴左侧 随 的增大而减小，且使得关于 的分
式方程程 有整数解的整数 的和为（ ）
A．5 B．1 C． D．
9．将二次函数 的图像向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图像的顶
点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．将二次函数 的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位．若平移后得到的
函数图像与直线 有两个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图像，使它的顶点与坐标原点重
合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于（﹣5，0）、（1，0）两点，将此二次函数图
像向右平移m个单位，再向下平移n个单位后，发现新的二次函数图像与x轴交于（﹣1，0）、
（3，0）两点，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
13．如图，以直线 为对称轴的二次函数 的图像与 轴负半轴交于 点，则一
元二次方程 的正数解的范围是（ ）．A． B． C． D．
14．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上．则m﹣n的最大值等于（
）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
15．二次函数 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点 ．将二次函数
的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，二次函数y＝x2﹣2x的图像与x轴交于点O、A，把O～A 之间的图像记为图像C ，
1 1 1
将图像C 绕点A 旋转180°得图像C ，交x轴于点A；将图像C 绕点A 旋转180°得图像C ，交
1 1 2 2 2 2 3
x轴于点A；…，如此进行下去，若P（2017，a）在某一段图像上，则a的值为（ ）
3
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论
错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2C．若A（x，m）、B（x，m）是抛物线上的两点，当x＝x＋x 时，y＝c
1 2 1 2
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x、x，且x＜x，则﹣1＜x＜5＜x
1 2 1 2 1 2
18．直线 经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）
A．
B．反比例函数 ，当 时的函数值 随 增大而减小
C．一元二次方程 的两根之和大于零
D．抛物线 的对称轴过第一、四象限
19．二次函数 的图像如所示，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，二次函数 的图像与 轴正半轴相交于 ， 两点，与 轴相交于
点 ，对称轴为直线 ，且 ，则下列结论：① ；
② ；
③ ；
④关于 的方程 有一个根为 ．
其中正确的结论个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝ 的图像如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图像
是（ ）
A． B． C． D．
22．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图像可以是（ ）
A． B． C． D．
23．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）A． B．
C． D．
24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图像和反比例函数y
＝ 的图像在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．若抛物线C ：y＝x2+mx+2与抛物线C ：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
1 2
26．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
27．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
28．当 时，二次函数 有最大值4，则实数 的值为________．
29．已知点A（4，y），B（ ，y），C（-2，y）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则
1 2 3y，y，y 的大小关系是_________.
1 2 3
30．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
31．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图像上，则b、c
的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
32．已知函数 ，当___________时，函数值y随x的增大而增大．
33．二次函数 （m，n是常数）的图像与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，
若将这条抛物线向上平移k个单位后（ ），图像与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角
形，则k的值为________．
34．把二次函数y＝x2+bx+c的图像向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的
抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为_______．
35．二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n是常数）的图像与x轴两个交点及顶点构成等边三角形，若
将这条抛物线向下平移k个单位后（k＞0），图像与x轴两个交点及顶点构成直角三角形，则k
的值是___．
36．把二次函数 的图像向左平移1个单位后经过点 ，则平移后所得到的抛物线表达
式是________．
37．如图，已知点A（3，3 ），点B（0， ），点A在二次函数y＝ x2+ x﹣9 的图
像上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图像于点C，则点C
的坐标为_________．38．将二次函数y＝x2+2x-3的图像绕原点旋转180°，若得到的新的函数图像上总有两个点在直线
y＝x-m上，则m的取值范围是____．
39．已知点A、B在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上（A在B右侧），且关于图像的对称轴直
线x＝2对称，若点A的坐标为（m，1），则点B的坐标为_______．（用含有m的代数式表
示）
40．已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴
的负半轴交于点 ，顶点为 ，作直线 ．点 是抛物线对称轴上的一点，若以 为圆心的圆
经过 ， 两点，并且和直线 相切，则点 的坐标为______．
41．如图，二次函数 的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3， )、点B( )、点C( )在该函数
图像上，则 ：⑤若方程 的两根为 ，且 ，则
其中正确的结论有__________． (只填序号)
42．二次函数 （ 、 、 为常数且 ）中的 与 的部分对应值如表：
-1 0 1 3
-1 3 5 3
给出以下结论：①二次函数 有最大值，最大值为5；② ；③ 时， 的值
随 值的增大而减小；④3是方程 的一个根；⑤当 时，
，则其中正确结论是_____．
43．已知二次函数 （ ）的图像如图所示，对称轴是 ，经过点 和点
．在下列五个结论中：① ；② ；③ ；④当 时， ；
正确的个数有______个．44．已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，有下列说法：①图像关于直线x＝1对称；②
函数y＝ax2+bx+c的最小值是﹣4；③﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根；④当x＞0时，
y随x的增大而增大；⑤b+c＜0．其中错误的序号是__．
45．函数 的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，其中 ．以下结论
正确的是___________．
① ；②函数 在 和 处的函数值相等；③函数 的图像
与 的函数图像总有两个不同交点；④函数 在 内既
有最大值又有最小值．
46．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图像在﹣1≤x≤2时有且只有一个公
共交点，那么常数b的值应为_____．
47．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜
m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
48．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线
y=ax2+bx+c的对称轴为______．三、解答题
49．已知二次函数 与一次函数 ．
（1）当 时，求这两个函数图像的交点坐标；
（2）若二次函数 的图像的顶点恰在一次函数 的图像上，求 应满足的条
件；
（3）若这两个函数的图像经过的象限完全相同，请直接写出 应满足的条件．
50．如图，抛物线F： 的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点
B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：
，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了 ，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．参考答案
1．B
【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果.
解：∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关
键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随
x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，
y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
2．C
解：【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-
，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关
键.
3．C
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．抛物线 的顶点坐标为（h，k），对称轴为
x＝h．
4．D
分析：利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值
1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x=0，x=2．
1 2
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，
故选D．
点睛：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图像上点的
坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
5．A
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
解：当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y =−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；所以 .
故选A
【点拨】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图像的情况
6．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a= ，
观察图像可知 ≤a≤3，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．C
解：分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图像的开口方向、根据顶点式方程确
定其图像的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图像的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图像在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
8．C
【分析】根据二次函数 在y轴左侧y随x的增大而减小可得 ，求出
，再根据分式方程 有整数解可以求得a的所有可能性，从而可以求得所有
符合条件的a的和．解：∵关于x的二次函数 在y轴左侧y随x的增大而减小， ∴ ，
解得，a≤2，
解分式方程 ，得：
，
，
当 时，
x= ，
则使得关于x的分式方程 有整数解的整数a的值为5，3，2，0，-1， -3，
由 可得：
又∵a≤2，
∴a的整数值为-3，0，2，
∴-3+0+2=-1，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是要熟练掌握二次函数
的性质.
9．A
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函数关系式，再求出其顶
点坐标即可；
解：∵二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为： ，
∴ 平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的平移变换以及求顶点坐标，正确掌握知识点是解题的关键；
10．A【分析】先求出平移后二次函数的解析式，再联立 ，得 ，然后根据判
别式＞0，即可得到答案．
解：二次函数 的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可
得： ，
联立 ，可得： ，即： ，
∵平移后得到的函数图像与直线 有两个交点，
∴ ，解得： ，
故选A．
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数图像的交点问题，联立二次函数与一次函数，得到一
元二次方程，是解题的关键．
11．B
【分析】通过配方求出抛物线顶点坐标，再求出顶点坐标到原点的最短距离即可
解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1
=
∴抛物线的顶点坐标为
∴顶点到原点的距离为：
设
故此函数的顶点坐标为 ，
当 时，函数 取最小值为 ，
故抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标 到原点的最短距离为：因此平移的最短距离为：
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是能熟练运用配方法或顶点坐标公式求出
抛物线的顶点坐标．
12．A
【分析】根据平移前后抛物线对称轴的变化即可得到答案；
解：∵二次函数图像交x轴于(﹣5，0)、(1，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为 ，
∵新的二次函数图像与x轴交于(﹣1，0)、(3，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为x= ，
∴原抛物线向右平移了3个单位，即m=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与x轴的交点以及抛物线的平移，根据题意得出平移前后抛物
线对称轴的变化是解题的关键；
13．C
【分析】先根据图像得出对称轴左侧图像与 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴 ，可
以算出右侧交点横坐标的取值范围．
解：∵二次函数 的对称轴为 ，
而对称轴左侧图像与 轴交点横坐标的取值范围是 ，
∴右侧交点横坐标的取值范围是 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左
侧图像与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
14．C
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性
质，即可求出m﹣n的最大值．
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上，
∴a＝0，∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
15．C
【分析】设将二次函数 的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
；根据旋转的性质，得 的图像的顶点坐标是 ，且图像与
轴交于点 ，得 ，再通过列方程并求解，即可得到 表达式并转换
为顶点式，即可得到答案．
解：设将二次函数 的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点
∴ 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像及解析式、旋
转的性质，从而完成求解．
16．D
解：由题意A（2，0），A（4，0），
1 2
2017÷4=504余1，
∴P（2017，a）在的抛物线的图像与坐标轴交于（2016，2018）开口向上，
∴解析式为y=（x﹣2016）（x﹣2018），
当x=2017时，y=﹣1，
∴a=﹣1.
故选D.
17．D
【分析】根据二次函数的性质即可判断A；根据对称轴得到b＝﹣4a，经过点（﹣1，0）得到c＝
﹣5a，从而求得a+c＝﹣4a，即可判断B；由抛物线的对称性得到 ，结合x＝x+x，即
1 2
可判断C；利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断D．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x，m）、B（x，m）是抛物线上的两点，
1 2∴抛物线对称轴 ，
∴2x＝x+x，
1 2
∵x＝x+x，
1 2
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图像与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x＞﹣1，x＜5，如图，
1 2
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x 和x，且x＜x，则﹣1＜x＜x＜5，故D错误．
1 2 1 2 1 2
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性
质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．B
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系
数的关系作答．
解：直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则a＜0，b＜0．A、 ，故A错误；
B、∵ab＞0，∴反比例函数 ，当 时的函数值 随 增大而减小，故B正确；
C、∵元二次方程 的两根之和= ，故C错误；
D、抛物线 的对称轴为直线 ，经过二、三象限，故D是错误的．
故选：B．
【点拨】本题主要考查一次函数、反比例函数、一元二次方程，二次函数等知识的综合应用能力，
掌握一元二次方程根与系数的关系、二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
19．B
【分析】结合题意，根据二次函数图像开口朝向，得 ；根据二次函数对称轴的性质，得 ；
根据二次函数和y轴的交点，得 ；结合二次函数的图像及和x的交点个数，根据二次函数判
别式的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，二次函数开口向下
∴ ，即选项A错误；
根据题意，得 ，
∴
∴ ，即选项B正确；
根据题意，得：当 时， ，即选项C错误；
∵二次函数 与x轴有两个不同的交点
∴ ，即选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、二次函数判别式的
性质，从而完成求解．
20．C
【分析】由二次函数图像的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从
而可判断①；由图像可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
解： 由图像开口向下，可知a＜0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，
所以 ＞0，
所以b＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
由图像可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
故②错误；
由图像可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，
故③正确；
假设方程的一个根为x= ，
把x= 代入方程可得 ，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，
故④正确； 综上可知正确的结论有三个，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质．熟练掌握图像与系数的关系以及二次函数与方程、
不等式的关系是解题的关键．
21．A
【分析】根据一次函数和反比例函数图像可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大
致位置即可．解：由一次函数和反比例函数图像可得， ，
可知抛物线开口向下，对称轴直线 ，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图像、反比例函数的图像以及二次函数的图像，解题的关键是根
据一次函数与反比例函数的图像找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图
像与系数的关系是解题的关键．．
22．A
【分析】二次函数图像与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图像与系数的关系可
找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
解：解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图像经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像、一次函数图像以及一次函数图像与系数的关系，根据二次
函数的图像找出每个选项中k的正负是解题的关键．
23．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本
选项有可能．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像．熟记一次函数、二次函数的图像的性质是解题
的关键．
24．D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正
负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性
质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，
再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
25．5．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x换成-x，y不变，化简即可得出答
案.
解： 抛物线C ：y＝x2+mx+2与抛物线C ：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称
1 2
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为5
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
26．1 5
解：二次函数配方，得： ，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
27．10
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．
28．2或【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函
数的增减性列方程求解即可．
解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图像能分类讨论是解题的关键．
29．y>y>y.
3 1 2
解：试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y=3,y=5-4 ,y=15,∴y >y>y.
1 2 3 3 1 2
考点：二次函数的函数值比较大小.
30．﹣3＜x＜1
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另
一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图像可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
31．＜
解：试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开
口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+10，∴b<0，∵c<0，∴b+c＜0，正确．
故答案为：④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，其中a符号由抛物线的开口方向决定；当对称
轴在y轴的左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴的右侧时，a与b异号；c的符号由抛物线与y
轴的交点决定．
45．①④．
【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
解：∵顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∵函数 的图像与 轴交于点 ，
∴-1-（2+1）=-4，另一交点坐标为（-4,0）
设抛物线解析式为
代入坐标得
解得：
∴
∵
故a= ＜0，b= ＜0，c= ＞0
∴ ，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数 在 处的函数值相等，故②错误；由图可知函数 的图像与的函数 图像无交点，故③错误；
当 时，x=-1时，函数 有最大值，
∵-1+3＜3+1
∴x=3时，函数有最小值 ，故④正确；
故答案为①④．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求
解．
46．﹣3≤b＜0或b＝1
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，分情况确定临界点是解题的关键．
47．0＜a＜1．
【分析】求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值
小于1，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，
∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像
上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
48．x=-
【分析】根据一次函数的图像上点的坐标特征，把 、 、 代入两个解析式，且利用 和
时， 的值相等，从而建立方程组求出 、 的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式
求解即可．
解：如图可知，当 时， ，得
当 时，
①当 时， ②当 且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图像建立方程组，求出 、 的等量关系式．
49．（1）（1，-1）或（2,0）；（2） 或 ；（3） 或
【分析】（1）将 代入两个函数解析式中并联立，求出方程组的解，即可求出结论；
（2）先求出二次函数 的图像的顶点坐标，然后代入一次函数解析式中，即可求出结
论；
（3）由解析式可得二次函数 的图像必过（0，0），然后根据a、b的取值范围分类讨
论，分别画出对应的图形，即可得出结论．
解：（1）当 时，
联立
解得： 或
∴这两个函数图像的交点坐标为（1，-1）或（2,0）；
（2）二次函数 的图像的顶点坐标为（ ， ）
将（ ， ）代入 中，得
整理，得
∴解得 或
∴若二次函数 的图像的顶点恰在一次函数 的图像上， 应满足的条件为：
或 ；（3）二次函数 的图像必过（0，0），
当 时，一次函数过第一、二、三象限，二次函数过第一、二、三象限，如下图所示，
此时符合题意；
当 时，一次函数过第一、三象限，二次函数过第一、二象限，如下图所示，此时不符
合题意；
当 时，一次函数过第一、三、四象限，二次函数过第一、二、四象限，如下图所示，
此时不符合题意；
当 时，一次函数过第一、二、四象限，二次函数过第一、三、四象限，如下图所示，此时不符合题意；
当 时，一次函数过第二、四象限，二次函数过第三、四象限，如下图所示，此时不符
合题意；
当 时，一次函数过第二、三、四象限，二次函数过第二、三、四象限，如下图所示，
此时符合题意；
综上：若这两个函数的图像经过的象限完全相同， 或 ．
【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握联立方程求交点坐标、二次函数的
图像及性质和一次函数的图像及性质是解题关键．50．（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝
1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐
标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进
而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于
b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形
OABC是个平行四边形，已知了OA BC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的
长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解
析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，
如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形
AOCB是个直角梯形．
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴ =
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛
物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′： ，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴ =
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线 ，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵ ，∴ ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（ ，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为 ．
又∵抛物线F′经过点D（ ，0），
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴b:b′= ．
②由①得，抛物线F′为 ．
令y=0，则 ．
∴ ．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（ ，0）．
设直线OP的解析式为 ．
∵点P的坐标为（ ），
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴ ．
∴ ．
∵点P的横坐标为 ，
∴点B的横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴点B的坐标为 ．
∴BC OA，AB OC．（或BC OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点拨】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况
等重要知识点．
