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专题 14 二元一次方程组参数问题的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、根据整数解求参数
类型二、根据解的情况求参数
类型三、根据解的关系求参数
压轴专练
类型一、根据整数解求参数
例1．已知关于 ， 的方程组 ，若方程组的解中 恰为整数， 也为整数，则 的值
为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】AD
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解．也考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解关于 、 的方程组得到 ，利用有
理数的整除性得到 ，从而得到满足条件的 的值．
【详解】解： ，
① ②得 ，
解得 ，
为整数， 为整数，
，的值为 或 ．
故选：AD．
变式1-1．关于 ， 的二元一次方程组 的解为正整数，则所有满足条件的整数 之和是
．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出 的值，再求和
即可，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解： ，
解得 ，
∵ ， 为正整数，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
变式1-2．已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，其中 ， 都是实数，且 ．
若 ， 均为正整数，则符合条件的整数 的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为 ，求出 、 的表达式，由
得出 、 等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：解方程组 得：，
，
解得： ，
，
，
整理得： ，
， 均为正整数，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
的值为 、 、 ，共 个；
故选：A．
变式1-3．已知：方程组 的解中， 是非负数， 是正数．求所有满足题意的整数 的和．
【答案】6
【分析】将 当成常数，解二元一次方程组组 ，根据题意得 ，求出 的范围即可
得到答案．【详解】解：解该方程组得 ，∵ ，
∴ ，解该不等式组得 ，
又∵k为整数 ，∴k =0，1，2，3，
则所有整数 的和为0+1+2+3 = 6．
【点睛】本题考查含参二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，读懂题意，根据要求正确求出
每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
变式1-4．已知关于x，y的方程组 ．
(1)请直接写出方程 的所有非负整数解．
(2)若该方程组的解也满足方程 ，求m的值．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思
路：消元．
（1）直接列举即可；
（2）先联立 求出x、y的值，再代入 求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴所有非负整数解有 ， ；（2）解：依题意得： ，
得 ，
把 代入①得：
解得
方程组 的解为：
把 代入到 得，
解得 ．
类型二、根据解的情况求参数
例2．若关于x，y方程组 有无数组解，则a与b的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组
有无数组解， 求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可．
【详解】解∶
，得 ，
∵方程组有无数组解，
∴ ， ，∴ ， ，
故选∶D．
变式2-1．关于x，y的方程组 有无数组解，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可① ②得 ，然后问题可求解．
掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
① ②得： ，
方程组有无数组解，
， ，
解得： ， ．
∴
故答案为： ．
变式2-2．若关于x，y的方程组 有无数组解，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数和算术平方根，熟知二元一次方程组有无
数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键．
根据题意可知方程 和方程 是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于 ， 的方程组 有无数组解，
∴方程 和方程 是同一个方程，
∴ ，∴ ，
故答案为：2．
变式2-3．要使方程组 有正整数解，则整数 有 个．
【答案】4
【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出
符合的整数a即可．
【详解】解： ，
把②代入①得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
即方程组的解是 ，
∵方程组 有正整数解，
∴ 或2或4或8，
解得： 或 或 或 ，即整数 有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关
于a的不等式组是解此题的关键．
变式2-4．若关于x，y的二元一次方程组 的解是整数，则满足条件的整数 的和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出 的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
【详解】解：解 ，得： ，
∵解是整数， 也是整数，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，满足题意，
∴满足条件的整数 的和为 ；
故答案为： ．
变式2-5．已知关于x，y的方程组 和 的解相同，求 的值．
【答案】 ；7
【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的
解，所以只需求出 的解，再代入 ，即可求出未知数的值．
【详解】解：根据题意得：方程组 ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∴ ，
把 代入方程组 ，得 ，
同理解得： ，
∴ 的值为 ， 的值为7．
类型三、根据解的关系求参数
例3．若关于 、 的方程组 的解满足 ，则 等于（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，以及代数式求值，将两方程相加得到
，然后代入求解即可．
【详解】解： ，
整理得： ，
得： ，即
，
，
解得： ，
故选：B．
变式3-1．已知关于 的二元一次方程组 的解 互为相反数，则 的值为
（ ）A．1 B． C．5 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到 ，得到
，求得 ，再得到 ，进一步计算即可得解．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解x、y互为相反数，
∴ ∴ ，
∴ ，∴ ，解得 ，
故选：C．
变式4-2．若关于 、 的方程组 和 有相同的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含 的两个方程联立，求得 的
值，联立含有 的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得 的值，再代入代数式中求解即可，理
解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
【详解】解：联立方程： ，
得： ，
得： ，
得： ，解得： ，
把 代入 得 ，解得： ，
因此，方程组的解为 ，将 代入得，
，
得： ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
变式4-3．若关于 的二元一次方程组 与方程组 有相同的解，则 的值
为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组，
是解题的关键．
联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】联立得： ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，
∴方程组的解为 ，
把 代入得： ，即 ，
得： ，解得： ，
把 代入④得： ，
∴ ，
故答案为：51．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用整体思想求解是解题的关键．
将两式作差，得到 ，易得 ，再结合 即可解答．
【详解】解： ，
由 得 ，即 ，
∵
∴ 。
故选A．
2．若方程组 的解中 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题通过将方程组中的两个方程相加，消去参数 ，得到 的表达式，再结合已知条件 ，
直接求解 的值；
【详解】解：原方程组为：
将方程 和方程 相加，得：
整理得：
两边同时除以5，得到：已知 ，代入上式得：
解得：
因此， 的值为 ，
故选：B；
3．若方程组 的解 、 的值互为相反数，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，方程组的解 、 的互为相反数，即 ．将此关系代入方程组，解关于k的方
程即可．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型．
【详解】解：
∵ 、 的值互为相反数，∴ ，
将 代入②，得： ，解得 ，
∴ ，
将 ， 代入①，得：
，
，解得 ，
因此，k的值为 ．
故选：C．
4．若关于x、y的方程组 的解满足 ，则m等于（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法可得 ，再
由 得到 ，解方程即可得到答案．【详解】解：
整理得： ，
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．若方程组 的解互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据
方程组的解互为相反数，得到 ，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】解：根据题意得： ，即 ，
代入方程组得： ，
整理得 ，
可得 ，
解得： ．
故答案为： ．
6．关于x，y的方程组 ，下列说法正确的是 （填序号）．
x，y，m的和为定值；
①当x为整数时，m和y也为整数；
②当y为整数时，m和x也为整数．
③【答案】
【分析】①本题③主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出 ，从而判断①的正误；根据
①中求出的 ，x为整数，判断 是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根
据①中求出的 ，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可．
【详解】解： ，
①＋②得： ，
，
把 代入①得：
，
，
，
①的说法正确；
，x为整数，
为整数，
当 时， 也是整数，
当x为整数时，m和y不一定为整数，
②的说法错误；
，y为整数，
为整数，
为整数，
，
也是整数，
③的说法正确；
综上可知：说法正确的是①③，
故答案为：①③．
7．已知关于x、y的方程组 和 有相同的解，求：
(1)它们相同的解；(2) 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键．
根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含
未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分
别组成方程组求出a、b的值即可．
【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组 和 有相同的解，
∴联立 ，
解得 ．
（2）解：∵ 也是方程 的解，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
8．关于x，y的方程组 （n是常数）．
(1)当 时，直接写出第一个方程 的所有非负整数解；
(2)当 时，该方程组的解也满足 ，求m；
(3)当 时，如果方程组也有整数解，求整数m．【答案】(1) ，
(2)
(3) 或0
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定
的值是解题关键．
（1）①根据 ， 为非负数即可求得方程 的所有非负整数解；
（2）先解方程组 ，然后将 ， 的值代入方程 中即可获得答案；
（3）将 代入原方程组，利用加减消元法得到 ，再根据方程组有整数解，且 为整数，分
情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ， 为非负整数，
∴方程 的所有非负整数解为
， ；
（2）∵根据题意可得 ，
解得 ，
将 代入 中，
解得 ；
（3）当 时，原方程组可化为 ，
由 ，可得 ，
整理可得 ，∵方程组有整数解，且 为整数，
∴ 或 ，
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）．
综上所述，整数 的值为 或0．
9．已知关于 的方程组 的解和 的解相同．求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题
意的理解能力．
根据题意可得方程组 的解和 的解相同，求出方程组 的解，再代入
得到关于a，b的方程组，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解和 的解相同，
∴方程组 的解和 的解相同，
解方程组 得： ，把 代入 得： ，解得： ，∴ ．
10．已知关于 ， 的方程组 与 有相同的解．
(1)请求出这个相同的解；
(2)求 ， 的值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
（1）联立两方程组中不含a，b的方程求出相同的解即可；
（2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出a与b的值即可．
【详解】（1）根据题意，得： ，
解得： ；
（2）将 代入方程组，得： ，
解得： ．
