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专题 14 一元一次方程的应用 1(行程,配套,工程,销售,比赛,方案)
考点一 用一元一次方程解决行程问题 考点二 用一元一次方程解决配套问题
考点三 用一元一次方程解决工程问题 考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题
考点五 用一元一次方程解决比赛问题 考点六 用一元一次方程解决方案选择问题
考点一 用一元一次方程解决行程问题
例题：（2022·湖南省隆回县第二中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距400千米，甲、乙两车从A地
向B地运送货物．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时80千米，甲车先出发0.5小时后乙
车才开始出发．
(1)乙车出发几小时后，才能追上甲车？
(2)追上乙车时，距离B地还有多远？
【答案】(1)1.5小时
(2)280千米
【分析】（1）设乙车出发x小时后，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）先求出相遇时，乙车走的路程，再用400减去该路程即可求解．
（1）
解：设乙车出发x小时后，才能追上甲车．
依题意得：60×0.5+60x＝80x，
解得：x＝1.5．
答：乙车出发1.5小时后，才能追上甲车．
（2）
解：400﹣80×1.5
＝400﹣120
＝280（千米）．
故追上乙车时，距离B地还有280千米远．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．【变式训练】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用
32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离 的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据顺水速度－水流速度=静水速度，逆水速度+水流速度=静水速度，列出方程即可．
【详解】解：设两码头距离x，根据题意得出：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握静水速度与逆水速度和顺水速度以
及与水速之间的关系．
2．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发
相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲
出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（ ）
A．70米/分钟 B．80米/分钟 C．90米/分钟 D．100米/分钟
【答案】D
【分析】根据题意可算出甲、乙两人的速度之和，设甲的速度为 米 分，可表达出乙的速度，根据题意可
列出方程，从而求解即可．
【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人的速度之和为 （米 分），
设甲的速度为 米 分，则乙的速度为 米 分，
根据题意可知， ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用 行程问题，解题的关键是根据相遇问题得出甲、乙的速度和．
二、填空题
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习） 两地相距450千米，甲、乙两车分别从
两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．
【答案】2
【分析】根据两车相向而行的等量关系，列出方程得出两车相遇的时间即可．【详解】解：设经过x小时两车相遇，可得：
，
解得： ．
故答案为：2
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键史以路程作为等量关系列方程求解．
4．（2022·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）一列火车匀速通过长500m隧道，若火车从开始进入隧
道到完全开出隧道共用30秒，而整列火车完全在隧道里的时间是20秒，求这列火车的长为________．
【答案】100m
【分析】设火车的长度为xm，可用火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒和整列火车完全在隧道
里的时间是20秒表示火车的速度列方程求解．
【详解】解：设火车的长度为xm，根据题意得：
解得：x=100，
所以这列火车的长是100m．
故答案为：100m
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是用两个时间表示出火车的速度列方程．
三、解答题
5．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着
东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表
示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
【答案】(1) ，
(2)小刚用5分钟可以追上小明．
【分析】（1）根据路程 速度 时间可解决问题；
（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程 速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
结论．
【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了 米，小明走了 米，
故答案为： ， ；（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，
根据题意得： ，
解得： ．
答：小刚用5分钟可以追上小明．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程 速度 时间列出关于x的一元一次方程是解
题的关键．
6．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个
单位，B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位．
(1) ______， ______．
(2)P，Q是数轴上的两个动点，P点从A出发，速度2个单位每秒，同时Q点从B点出发，速度1个单位每
秒，若两点相向而行，经过一段时间在C点相遇，求出点C表示数．
(3)在（2）的条件下，经过几秒钟，P，Q两点相距6个单位长度．
【答案】(1) ，
(2)
(3)经过6秒或10秒时，P，Q两点相距6个单位长度
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可；
（2）设经过t秒P、Q两点相遇，根据P、Q相遇时，P、Q所走的路程即为 的长列出方程求解即可；
（3）设经过t秒，P，Q两点相距6个单位长度，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，则
，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个单位，
∴ ；
∵B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：设经过t秒P、Q两点相遇，
由题意得 ，
解得 ，
∴点C表示的数为 ；（3）解：设经过t秒，P，Q两点相距6个单位长度，
由题意得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴经过6秒或10秒时，P，Q两点相距6个单位长度．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，一元一次方程的应用，正确理解题意熟知数轴
上两点距离公式是解题的关键．
7．（2022·福建·大同中学七年级期中）已知： 是关于x的二次多项式，且a、
b、c满足 ．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
(1)则 _____________， _____________， _____________．
(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别
以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为 ，点A与点B
之间的距离表示为 ．设运动时间为1秒，请问： 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，
请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称A，C两点在折线数
轴上的路程为 三段的和．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”
向右运动，在 段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单
位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为
t秒．
①当 时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当 时，点P和点O在折线
数轴上相距_____________个单位长度；当 时，点P和点Q在折线数轴上相距_____________个单位长
度．②当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？
③在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此
时t的值．
【答案】(1) ， ，
(2) 的值不随着时间t的变化而改变，其值是 ；
(3)①4，2.5，5；②当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是 ；③t的值是2
【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c；
（2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计
算即可；
（3）①由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数和距离；
②由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为11.5秒，确定相遇点M对应的数是6.5；
③由路程、速度、时间三者关系，根据 求出t的值．
【详解】（1）解：∵ 是关于x的二次多项式，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ 且 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）解： 的值不随着时间t的变化而改变，其值是 ，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向
右运动，
∴点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∴ ， ．
；
（3）解：①∵当 时， ，
∴点P和点O在折线数轴上相距 个单位长度；
∵当 时， ，
∴点P和点O在折线数轴上相距 个单位长度；∵当 时， ， ，
∴点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度．
故答案为：4，2.5，5；
②依题意得： ，
解得： ，
故当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是 ；
③依题意得： ，
解得： ．
故t的值是2．
【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的
应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．
考点二 用一元一次方程解决配套问题
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16
个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用______张铁皮制作盒身，正
好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．
【答案】90
【分析】设用x张铁皮制作盒身，则用 张铁皮制作盒底，根据一个盒身与两个盒底配成一个罐头
盒，可以得出盒底的数量等于盒身数量的2倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设用x张铁皮制作盒身，则用 张铁皮制作盒底，得，
，
解得 ，
所以用90张铁皮制作盒身，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产
1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】要列方程首先要根据题意找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母=每天生产的螺丝的2倍，从
而列出方程．
【详解】解：设x名工人生产螺丝，则生产螺母的工人为 名．
每天生产螺丝 个，生产螺母 ；
根据“恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套”，
得出方程： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等
关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
二、填空题
2．（2022·全国·七年级单元测试）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面
40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌
面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
【答案】
【分析】设用x立方米木料做桌面，则用 立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌腿列出方程即
可．
【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则用 立方米木料作桌腿，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．三、解答题
3．（2022·全国·七年级专题练习）某车间每天能制作甲种零件400只，或者制作乙种零件200只，1只甲
种零件需要和3只乙种零件配成一套．现要在49天内制作最多的成套产品，则甲乙两种零件各应制作多少
天．
【答案】甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【分析】可设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作（49﹣x）天，本题的等量关系为：3×甲种零件数=
乙零件数．由此可得出方程求解．
【详解】解：甲种零件应制作 天，则乙种零件制作 天．
解这个方程，得
．
答：甲种零件应制作7天，乙种零件应制作42天．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系列出方程．
4．（2022·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比
男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
(1)该工厂有男工、女工各多少人？
(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮
男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人
(2)调12名女工帮男工制作盒底
【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有 人，利用总人数是88人列方程求解即可．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有 人，
由题意得： ，
解得： ，
女工： （人），
答：该工厂有男工36人，有女工52人．
（2）设调y名女工帮男工制作盒底，由题意得： ，
解得 ．
答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键．
5．（2022·浙江·七年级专题练习）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙
种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，
那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排 天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．
工效（个/天） 天数（天） 数量（个）
甲种零
450 x ②
件
乙种零
300 ① ③
件
【答案】① ，② ，③ ；安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
【分析】设应安排 天生产甲零件，根据题意求得安排 天生产乙种零件，共生产甲种零件 ，
生产乙种零件 ，根据每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，使得恰好配套，则甲种零件
的数量乘以5等于乙种零件的数量乘以3，据此列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设应安排 天生产甲零件，根据题意求得安排 天生产乙种零件，共生产甲种零件
，生产乙种零件 ，
依题意得方程
解得：
答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
故答案为：① ，② ，③
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）某玩具厂有工人84人，平均每人每天生产如图所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之家”，要使每
天生产的大玩具熊、小玩具熊刚好配家成“快乐之家”，则应安排生产大玩具熊、小玩具熊的人数分别为
多少人？
【答案】安排生产大玩具熊的人数为64人，则安排生产小玩具熊的人数为20人．
【分析】设安排生产大玩具熊的人数为x人，则安排生产小玩具熊的人数为（84-x）人，根据“平均每人
每天生产如图所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之
家”，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设安排生产大玩具熊的人数为x人，则安排生产小玩具熊的人数为（84-x）人，根据题意得：
，
解得： ，
则84-x=20，
答：安排生产大玩具熊的人数为64人，则安排生产小玩具熊的人数为20人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成，用1m3钢材可
做40个A部件或200个B部件，现要用6 钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B
部件，恰好能使这种仪器刚好配套？
【答案】应用4 钢材做A部件，2 钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．
【分析】设应用 钢材做A部件，（6-x） 钢材做B部件，然后根据等量关系列出方程，求解即可．
【详解】解：设应用 钢材做A部件，（6-x） 钢材做B部件，
根据题意得，5×40x=2×200（6-x）
解得x=4
6-x=2．
答：应用4 钢材做A部件，2 钢材做B部件，恰好能使这种仪器刚好配套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．考点三 用一元一次方程解决工程问题
例题：（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时
检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
【答案】用10小时可以完成检修．
【分析】首先设两人合作x小时可以完成整条管道的检修，由题意得等量关系：师傅x小时的工作量+徒弟
x小时的工作量=300米，再根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设用x小时可以完成检修，
17x+13x=300
x=10．
答：用10小时可以完成检修．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方
程．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时
间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用工作效率乘工作时间等于工作量列代数式，甲队工作量加乙队工作量等于1列方程．
【详解】两队合作需要x天完成，由题意得， ，即（ ）x=1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，甲
乙两队的工作量与总工作量的关系．
2．（2022·全国·七年级专题练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲
单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
【答案】D
【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的
工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据题意得： 1，
解得：x＝4．
即完成这项工程共耗时4天．
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做
5小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一共用了x
小时，则所列的方程为______．
【答案】
【分析】首先根据题意，知甲、乙的工作效率分别是 、 ．再根据先由甲单独做5小时，然后乙加入
进来合做完成工程，来列方程即可．
【详解】解：根据题意，得
甲先做了 ，
然后甲、乙合做了 ．
则有方程： ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是掌握：工作量 工作效率 工作
时间．
4．（2022·全国·七年级课时练习）有9个人用14天完成了一件工作的 ，而剩下的工作要求在4天内完成，
在他们工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人．
【答案】12
【分析】设至少需要增加 人，由题意得： ，计算求解即可．
【详解】解：设至少需要增加 人由题意得：
解得：
∴至少需要增加12人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
5．（2022·全国·七年级开学考试）一项工程，如果甲队单独做5天可以完成全工程的 ；如果乙、丙两队
合做2天可以完成全工程．三队合做多少天可以完成全工程？
【答案】三队合做 天可以完成全工程
【分析】可设三队合做x天可以完成全工程，根据工作总量是单位“1”，列出方程计算即可求解．
【详解】解：设三队合做x天可以完成全工程，依题意有
，
解得x＝ ．
故三队合做 天可以完成全工程．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，掌握工作效率、工作总量、工作时间三者之间的关系是解决问题
的关键．
6．（2021·广东·中山市黄圃华洋学校七年级阶段练习）将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单
独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．
(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？
(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？
【答案】(1)需 小时完成这项工作任务的一半
(2)还需 小时才能完成这项工作
【分析】（1）将总工作量看作“1”，然后由工作时间= ÷工作效率和作答；
（2）设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，根据“乙做90分钟的工作量+甲、乙合作工作x小时
的工作量=1”列出方程并解答．（1）
解：
＝
＝
＝ （小时）．
故需 小时完成这项工作任务的一半；
（2）
解：设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，依题意有：
，
解得x= ．
故还需 小时才能完成这项工作．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用效率×时间=工作量1得出是解题关键．
考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题
例题：（2022·福建泉州·七年级期末）一种商品的售价为120元，由于购买的人多，商家便提价25%销售，
但提价后，商品滞销，商家只好再降价x%，使商品售价恢复到了原价，那么x%＝( )．
A．25 B．20 C．25% D．20%
【答案】D
【分析】根据“原价×（1+25%）×（1-降价x%）=原价”列一元一次方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：
120（1+25%）×（1-x%）=120
解得：x%=20%．
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、找出题目中的等量关系、列出方程是解答本题
的关键．【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某商品的原价为x元，降价25%后，售价是120元，
则原价是__________元．
【答案】160
【分析】设原价是x元，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设原价是x元，
由题意得： ，
解得： ，
故答案为：160．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程是关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利 ，
则这件商品的进价是___________元．
【答案】
【分析】设这件商品的进价为x元，根据利润=销售价格 进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【详解】解：设这件商品的进价为x元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：这件商品的进价为 元．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由售价
找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）童趣玩具店的玩具凭优惠卡可打八折，陈冬用优惠卡
买了一个玩具，省了9.6元，这个玩具原价是______元．
【答案】48
【分析】设这个玩具原价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设这个玩具原价是x元，根据题意得：
，
解得： ，
答：这个玩具原价是48元．故答案为：48
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型
4．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%
后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为______元．
【答案】
【分析】设每刀书法毛边练习纸的成本价为x元，利用按成本价提高40%后标价得出标价，再利用标价的
九折出售列出方程求解即可．
【详解】解：设每刀书法毛边练习纸的成本价为x元，
则标价为： ，
列方程得： ，
解得 ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元一次方程的问题——销售问题，根据问题找到等量关系列方程是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）某超市出售一种礼品混合糖是由 两种糖果按一定比例配制而成，其
中A糖果的进价为15元/千克， 糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物
价上涨，A糖果进价上涨20%， 糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，
打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是
____．
【答案】40%
【分析】先根据A糖果进价上涨20%， 糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，求出配制比例，
从而求出涨价前的利润，再求出涨价后的成本，继而求出利润率．
【详解】解：A糖果的进价为15元/千克， 糖果的进价为10元/千克，
涨价后，A糖果进价上涨20%，变为18元； 糖果进价上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，
设每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克，
则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），
涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），
解得：x= 千克，100-x= 千克，
即二者的比例是：A：B=1：6，
则涨价前每千克的成本为 元，销售价为 元，
利润为6元，
原料涨价后，每千克成本变为 元，成本的25%=3元，保证利润为6元，
则利润率为：6÷（12+3）=40%．
故答案为40%．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用——销售盈亏问题，求出两种糖果的配比是解题的关键．
6．（2022·上海市梅陇中学期中）某种商品按成本提高 后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结
果这种商品每件亏损了64元，问这件商品成本多少元？（亏损=成本 售价）
【答案】1600元
【分析】首先设这件商品的进价是x元，根据题意可得等量关系： ×进价×打折＝进价+利润，根
据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设这件商品进价x元，依题意有：
，
，
解得 ．
答：这件商品进价1600元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）某商场在“十一”黄金周投入13800元资金
购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售，这样，500箱矿泉水在“十一”黄金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
【答案】(1)该商场购进甲种矿泉水300箱，则购进乙种矿泉水200箱
(2)该商场可获得利润4080元
【分析】（1）投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，可设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购
进乙种矿泉水 箱，再根据总成本=单成本×数量列方程计算即可；
（2）利用总利润=（售价-成本）×数量的等量关系列式计算即可．
【详解】（1）解：设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水 箱，
，
，
解得 ，
，
答：该商场购进甲种矿泉水300箱，则购进乙种矿泉水200箱；
（2）解： （元）
答：该商场可获得利润4080元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，如何根据等量关系列方程是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为
；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432
元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)60，
(2)购进甲商品40件，乙商品10件(3)13或14件
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得 ，最后求和即
可．
【详解】（1）解： （元），
所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为 ．
故答案为：60， ．
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，
由题意得， ，
解得： ，则 ．
答：购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）解：设第一天购买乙种商品a件，
依题意得， ，
解得 或4.5（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得， ，
解得 或9（舍去），
所以第二天购买甲种商品8或9件，
（件）或 （件）．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关
键．
9．（2022·全国·七年级专题练习）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为
售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品
多少件？
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 售价打九折
超过600元 其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
【答案】(1)60， 30， 60
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件
【分析】(1) 根据甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价，所以售价=进价×（1+50%）乙种商品每件
的利润为售价-进价，求出售价和利润率；
(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50-x)件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； .
(3)分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分
别列方程求解即可．
（1）
由题意得，
甲种商品每件售价为：
40×(1 + 50%) = 60(元)，
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30(元)，
乙种商品的利润率为 ×100% = 60%，
故答案为： 60， 30， 60．
（2）
设购进甲种商品x件，则购进甲种商品(50-x)件，根据题意，得
40x+ 50(50- x) = 2100，
解得x=40，
乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10(件)
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）设小梅购买乙种商品a件，则共需(80a)元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504
解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，
600×0.82+0.3(80a-600)=504，
解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，
∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求
解．
10．（2022·浙江·七年级专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙
种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
【答案】(1)40，60%；
(2)购进甲种商品40件；
(3)小丽购买商品的原价是560元或640元
【分析】（1）根据进价＝售价 利润，利润率＝利润÷进价，列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；
（3）设小丽购买商品的原价是y元，分两种情况讨论，①小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600
元，②小丽购买商品的原价超过600元，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：甲种商品每件进价为 ；乙种商品的利润率为 ，
故答案为：40，60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，
由题意得： ，
解得： ，
答：购进甲种商品40件；
（3）解：设小丽购买商品的原价是y元，
①若小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，
由题意得： ，解得： ，
②若小丽购买商品的原价超过600元，
由题意得： ，
解得： ，
答：小丽购买商品的原价是560元或640元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一
元一次方程．
考点五 用一元一次方程解决比赛问题
例题：（2022·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）足球比赛的记分规则：胜一场得 分，平一场得
分，负一场得 分．某队打了 场，负 场，共得 分，那么这个队平了（ ）
A． 场 B． 场 C． 场 D． 场
【答案】B
【分析】设共胜了 场，本题的等量关系为：胜的场数 平的场数 负的场数 总得分，解方程即
可得出答案．
【详解】解：设共胜了 场，则平了 场，
由题意得： ，
解得： ，即这个队胜了 场．
则平了 场，
故选：B．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数 平的场数
负的场数 总得分，难度一般．
【变式训练】
1．（2021·广东惠州·七年级期末）某次数学测试共20道选择题，答对一道得5分，答错或不答倒扣2分．
小明在这次考试中得了79分，则他答对了____道题．
【答案】17
【分析】设小明答对y道题，根据得分79分，构建方程求解．
【详解】解：设小明答对y道题，根据题意得
5y-（20-y）×2=79，
解得y=17，
答：小明答对17道题．
故答案为：17．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题．
2．（2021·福建·莆田砺志学校七年级阶段练习）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错
一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了60分，他一共做对了_________题.
【答案】17
【分析】设他一共做对了 题，则他做错了 题，根据得分规律和他得了60分建立方程，解方程即
可得．
【详解】解：设他一共做对了 题，则他做错了 题，
由题意得： ，
解得 ，
即他一共做对了17题，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜
一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜___________场．
【答案】6
【分析】设甲胜了x场，则平了 场，根据“共赛10场，甲队保持不败，得22分”列出方程并解答．【详解】解：设甲队胜了x场，
由题意得： ，
解得 ，
答：甲队胜了6场，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
4．（2022·全国·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者
的最终得分为72分．则x＝________．
【答案】6
【分析】根据题意可直接进行列方程进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为：6
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级专题练习）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，
负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
【答案】6
【分析】设国安队所胜场数为x场，则负场数为 x场，平场数为（11-x- x）场，由题意：胜一场记2分，
平一场记1分，负一场记0分，结果共得14分，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设国安队所胜场数为x场，则负场数为 x场，平场数为（11-x- x）场，
依题意得：2x+ x×0+（11-x- x）×1=14，
解得：x=6，
答：国安队共胜了6场．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出一元一次方程．
6．（2022·全国·七年级专题练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，
某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平 场，利用总得分 获胜场次数 打平场次数，即可得出一元
一次方程，解方程即可求得答案．
【详解】设该队获胜x场，则平 场，
依题意得： ，解得： ．
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）
球队 场次 胜场 负场 总积分
A 12 11 1 23
B 12 10 2 22
C 12 9 3 21
D 11 8 3 19
E 11 15
(1)观察积分榜，填空∶球队胜一场积___，负一场积 _____分；
(2)根据比赛规则，请求出E队进行了的11场比赛中，胜、负各多少场？
(3)此次篮球比赛，E球队共参加 14场比赛．试猜想E球队在接下来的比赛中，会不会出现胜场总积分等
于负场总积分的2倍，如果会，说出是第几场？共胜多少场？并通过计算验证你的猜想；如果不会，说明
理由．
【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分
(2)胜了4场，负7场
(3)E队进行到14场的比赛中共胜7场，就会出现．
【分析】（1）根据表格进行分析即可得出结果；
（2）可设E队进行了11场比赛中，胜了x场，则负（11−x）场，从而可列出方程，解方程即可；
（3）对E队进行分析．即可得出结果．（1）
由A得：23＝11×2＋1×1，由B队得：22＝10×2＋2×1，
则胜一场积2分，负一场积1分，
故答案为：2，1；
（2）
设E队进行了11场比赛中，胜了x场，则负（11−x）场，依题意得：
2x＋（11−x）＝15，
解得：x＝4，
11−4＝7（场），
答：E队进行了的11场比赛中，胜4场，负7场；
（3）
可以．
当E队在进行到第14场的比赛中共胜7场，出现胜场总积分等于负场总积分的2倍．
胜场积分
负场积 ， ．
所以E队进行到14场的比赛中共胜7场，就会出现．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，明确总积分等于胜场积分与负场的和是解答的关键．
考点六 用一元一次方程解决方案选择问题
例题：（2022·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责
买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40
人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．
【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析
(2)一班的人数为45人，详见解析
【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可；
（2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程： ，解方程即可．
（1）解：由题意可知，方案1费用为： （元），
方案2费用为： （元），
综上所述，方案1比较省钱；
（2）
设一班的人数为a人，
由题意列方程为： ，
解得：a=45，
答：一班的人数为45人．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，重点在于根据题意列出方程．
【变式训练】
1．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领
带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西
装和领带都按定价的 付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（ ）．
(1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款
________元（用含x的代数式表示）；
(2)若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】(1) ，
(2)方案①
(3)先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带
【分析】（1）根据题意分别列出代数式并整理即可得到答案；
（2）把 分别代入（1）中的两个代数式，求出结果后比较即可；
（3）综合运用两种优惠方案，得出更加省钱的方案，即先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按
方案②购买10条领带，算出费用即可．
【详解】（1）解：按方案①购买需付费为： 元；
按方案②购买需付费为： 元．
（2）解：由题意得当 时，
方案①需付费为： 元，方案②需付费为： 元，
，
按方案①购买较为合算．
（3）解：先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，
共需费用为： 元，
，
当 时，此方案更省钱．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及最佳方案选择问题，理解方案①中买一套西装送一条领带是解题的
关键．
2．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）两种移动电话记费方式表
全球通 神州行
月租费 50元 0
本地通话
0.40元/分 0.60元/分
费
(1)一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
【答案】(1)一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算
【分析】（1）设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，根据两种通讯方式的收费标准，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，即可分别求出选择两种通讯方式的可通话时间，
比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，
根据题意得： ，
解得： ．
答：一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；
（2）解：选择全球通的可通话时间为 （分钟），
选择神州行的可通话时间为 （分钟）．
∵ ，
∴选择全球通较合算．答：若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则选择全球通较合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）根据两种通讯方式的收费标准结合本地通话费180元，分别求出选择两种通讯方式的可通话时间．
3．（2022·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生
赠送一份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以
上）优惠方案：方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购
买的学习用品全部按售价打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用
品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
【答案】(1)45份
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）设该校需要购买x份学习用品，根据两种方案付款相同列出方程，解方程即可；
（2）分别求出方案一和方案二的花费，然后进行对比即可．
【详解】（1）解：设该校需要购买x份学习用品，由题意得： ，
解得： ．
答：该校需要购买45份学习用品．
（2）解：方案一： （元），
方案二： （元），
∵ ，
∴选择方案二，
答：选择方案二优惠．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是找出题目中的等量
关系，列出方程．
4．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张
阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活
动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?
【答案】(1)她选择B店铺购买，理由见解析
(2)A店铺： 元，B店铺： 元
(3)张阿姨在双11”当天购买5条被子，两家店铺的费用相同
【分析】（1）分别计算出去两个店铺购买被子的费用即可得到答案；
（2）根据两个店铺的优惠方案列出对应的代数式即可；
（3）令（2）中所求的2个代数式相等得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，去A店铺需付款： 元，
去B店铺需付款： 元，
∵ ，
∴她选择B店铺购买；
（2）解：由题意得，去A店铺需付款： 元，
去B店铺需付款： 元；
（3）解：由题意得 ，
解得 ，
答：张阿姨在双11当天购买5条被子，两家店铺的费用相同．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列
出对应的式子是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办
公室需要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时
间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级
技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有
40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程
队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
【答案】(1)30平方米
(2)选择方案一：全部由甲工程队粉刷，计算过程见解析
【分析】（1）设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，再根据一天5名一级技工去粉刷了8个办公
室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米
的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面列出方程求解即可；
（2）分别求出两个方案需要的花费即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，
由题意得 ，
解得 ，
∴每个办公室需要粉刷的墙面面积为30平方米；
（2）解：方案一的化花费： 元，
方案二花费： 元，
∵ ，
∴选择方案一：全部由甲工程队粉刷．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出对应的方程和
式子是解题的关键．
6．（2022·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利
500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能
力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同
时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可
行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；
方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利较多，为什么？
【答案】第二种方案获利较多，理由见详解
【分析】方案一：根据制成奶粉每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶粉，（4-x）天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出
利润，比较即可得到结果．
【详解】解：第二种方案获利较多，理由如下：
方案一：最多生产4吨奶粉，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：4×2000+(10-4)×500=11000（元）；
方案二：设生产x天奶粉，则生产（4-x）天酸奶，
根据题意得：x+3(4-x)=10，
解得：x=1，
∴3天生产酸奶，加工的鲜奶3×3=9吨，设生产1天奶粉，加工鲜奶1吨，
则利润为：1×2000+3×3×1200=2000+10800=12800（元），
∴12800-11000=1800．
得到第二种方案可以多得1800元的利润．
即第二种方案获利较多．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．
7．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫
方式一 65 160 0.20 免费
方式二 100 380 0.25 免费
（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月
按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；
(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，
请说明理由．
(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
【答案】(1)73，100，420
(2)存在， 或 分钟
(3)每月通话时间小于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱
【分析】（1）根据“方式一”的计费方式，可求得通话时间200分钟时的计费，“方式二”的计费方式，
可求得通话时间200分钟时的计费，主叫通话时间为 分钟，根据按方式二计费需110元列出方程，解方程即可；
（2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：① ；② ；③ ；
（3）根据（2）所求即可得出结论．
（1）
解：若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需： （元 ，
设按方式二计费需100元，
设主叫通话时间为 分钟，根据题意得
，
解得 ．
答：主叫通话时间为420分钟．
故答案为73，100；420；
（2）
解：①当 时，不存在；
②当 时，设每月通话时间为 分钟时，两种计费方式收费一样多，
，
解得 ，符合题意；
③当 时，设每月通话时间为 分钟时，两种计费方式收费一样多，
，
解得 ，
故存在某主叫通话时间 或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
（3）
解：结合（2）知，当通话时间 或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；
当每月通话时间少于335分钟时， ，故选择方式一省钱；
当每月通话时间大于560分钟时， ，故选择方式一省钱；
当每月通话时间多于335分钟且小于560分钟时， 故选择方式二省钱．
综上所述：当每月通话时间少于335分钟或大于560分钟时，选择方式一省钱．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系列出方程，再求解．
