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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 14 反比例函数的图形和性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022九上·杭州开学考）已知函数y （k为常数，且k＞0，x＞0），函数y 的图象和函
1 2
数y 的图象关于直线y＝1对称．
1
①函数y 的图象上的点的纵坐标都小于2．②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y 的最大值为a，
2 1
则在此取值范围内，y 的最小值必为2﹣a．则下列判断正确的是（ ）
2
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【完整解答】解：如图，
函数 （k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数 图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，∵函数y 的图象和函数y 的图象关于直线y＝1对称，
2 1
∴y 的最大值小于2，
2
∴函数y 的图象上的点的纵坐标都小于2，故①正确；
2
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y 的最大值为a，则其对应点为（m，a），
1
∴点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2−a），
∴在此取值范围内，y 的最小值必为2−a，故②正确，
2
故答案为：A.
【思路引导】根据题意画出函数图象，可得到函数y的最小值大于0；再根据函数y 的图象和函数y 的图
2 1
象关于直线y＝1对称，可知y 的最大值小于2，可对①作出判断；利用已知可得到点（m，a）关于直线y
2
＝1的对称点为（m，2−a），由此可得到y 的最小值，可对②作出判断；由此可得答案.
2
2．（2分）（2021九上·长沙期末）下列函数中，当 时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：A、 ， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意；
B、 ， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意；
C、 ，k=-5＜0，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意；
D、 ，k= ＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】y=kx+b（k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
y= （k≠0），当k>0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，
图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此一一判断得出答案.3．（2分）（2021九上·长沙期末）若点 ， ， 在双曲线
上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解： ，
反比例函数 图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大
点 ， 在第二象限， 在第四象限，
， ， ，
，
，
.
故答案为：D.
【思路引导】根据反比例函数的解析式可知其图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增
大，据此进行比较.
4．（2分）（2021九上·平昌期中）如图， 中， ， ，点 在
反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，
则 的值为（ ）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】D
【完整解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∵点 在反比例函数 的图象上
∴
∴
∴ ，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故答案为：D.
【思路引导】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，由平行线的性质可得
∠CEO=∠BFO=90°，根据同角的余角相等可得∠ECO=∠FOB，证明△COE∽△OBF∽△AOD，根据已知
条件结合相似三角形的性质可得 ，根据反比例函数k的几何意义可得S =1，进而求出
BOF
△
S ，再次利用反比例函数k的几何意义就可求出k的值.
COE
△
5．（2分）（2020九上·崇川月考）已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO
并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的
位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA= ，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC：DO=OE：AD=OC：AD，
∴EC= DO，OE= AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（ b，- a），
∵点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，
∴k=（- a）× b= -3ab= -3.
故答案为：C.【思路引导】连接OC，则OA=OB，由等边三角形的性质可得OC⊥AB，∠OCA=30°，则OC：OA=
，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，由同角的余角相等可得
∠OAD=∠COE，证明△DOA∽△ECO，由相似三角形的性质表示出EC、OE，设点A（a，b），则
DO=a，AD=b，ab=1，则点C的坐标为（ b，- a），代入y＝ （x＞0）中求解可得k的值.
6．（2分）（2020九上·桂林月考）如图，已知 的一边 平行于 轴，且反比例函数
经过 顶点 和 上的一点 ，若 且 的面积为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：延长AB交y轴于点D，过点A作AF⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，如图：由题意，∵点B、C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵CE∥AF，
∴△OCE∽△OAF，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
易证四边形OFAD是矩形，
∴ ，
∴ ，
解得： ；故答案为：C.
【思路引导】延长AB交y轴于点D，过点A作AF⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，由反比例函数的几何意义，
得 ，由 且 的面积为 ，得 ，根据相似三角形
的面积的比等于相似比的平方得出 ，然后根据矩形的性质得到 ，即可得到答
案.
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 的中点与坐标原点重合，点 是
轴上一点，连接 、 .若 平分 ，反比例函数 的图象经过
上的两点 、 ，且 ， 的面积为12，则 的值为（ ）
A．－4 B．－8 C．－12 D．－16
【答案】B
【完整解答】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF∥CG，∵CE=DE，
∴DF=FG，EF= CG，
∵反比例函数 的图象经过CD上的两点C、E，
∴S ＝S ＝ |k|，
OCG OEF
△ △
∴ OG•CG= OF•EF，
∴OF=2FG，
∴DF=FG=OG，
∴S ＝ S ，
OEF ODE
△ △
∵Rt ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，
∴OC△=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CB平分∠OCD，
∴∠OCB=∠DCB，
∴∠OBC=∠DCB，
∴CD∥OB，
∴S =S =12，
OCD ACD
△ △∵CE=DE，
∴S ＝ S =6，
ODE OCD
△ △
∴S ＝ S ＝ ×6＝4，
OEF ODE
△ △
∴ |k|=4，
∵k＜0，
∴k=-8.
故答案为：B.
【思路引导】连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，证明CD∥AB，推出
S =S =12，求得△ODE的面积，再证明DF=FG=OG，得S ＝ S .
ACD OCD OEF ODE
△ △ △ △
8．（2分）（2019九上·成都月考）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝
（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF
垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S、S、S，
1 2 3
则（ ）
A．S＝S+S B．S＞S＝S C．S＞S＞S D．SS＜S2
1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3
【答案】B
【完整解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝ （k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F
∴
∴
∴
故答案为：B．
【思路引导】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
9．（2分）（2019九上·益阳月考）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点
A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 与正方形ABCD有公共点，
则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【答案】C
【完整解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标
是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线 经过点（1，1）时，k=1；当
双曲线 经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．
故答案为：C．
【思路引导】先求出点A的坐标，再求出点C的坐标，分别求出双曲线经过点A和点C时的k的值，即可
求出k的取值范围.10．（2分）（2019九上·章丘期中）如图，在 轴正半轴上依次截取
，过点 、 、 、…… 分别作 轴的垂线，与反
比例函数 交于点 、 、 、…、 ，连接 、 、… ，过
点 、 、…、 分别向 、 、…、 作垂线段，构成的一系列直角三角形
（图中阴影部分）的面积和等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】∵
∴设 （1， ）， （1， ）， （1， ）… （1， ）
∵ 、 、 、…、 在反比例函数 的图像上
∴
∴∴
∵
∴
…
∴
因此答案选择B.
【思路引导】由 可设 点的坐标为（1， ）， 点的坐标
为（1， ）， 点的坐标为（1， ）… 点的坐标为（1， ），把x=1，x=2，x=3代入
反比例函数的解析式即可求出 的值，再由三角形的面积公式可以得出 …
的值，即可得出答案.
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2021九上·肃州期末）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且
AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 .【答案】2
【完整解答】解：如图，延长BA交y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线 上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形的面积为3－1＝2.
故答案为：2.
【思路引导】延长BA交y轴于点E，根据反比例函数“k”的几何意义可得S =1，S =3，然
四边形AEOD 四边形BEOC
后根据S =S -S 进行计算.
四边形ABCD 四边形BEOC 四边形AEOD
12．（2分）（2021九上·永定期末）若双曲线 在第二、四象限，则直线y=kx-2不经过第
象限.
【答案】一
【完整解答】解：∵双曲线 在第二、四象限，
∴k<0，
∴直线y=kx-2经过二、三、四象限，不经过第一象限.
故答案为：一.【思路引导】双曲线 中，当k<0时，图象的两支分别位于第二、四象限，k＞0，图象的
两支分别位于第一、三象限；直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系，k＞0时，直线必经
过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原
点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交，据此判断即可得出答案.
13．（2分）（2021九上·平阴期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的边 与x轴的正半
轴重合， ， 轴，对角线 交于点M．已知 ， 的面积为
4．若反比例函数 的图象恰好经过点M，则k的值为 ．
【答案】
【完整解答】解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴ ，
∵S ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵D△B⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴ ，
∴OH＝ OB，
∴S MOH＝ ×S OBM＝ ，
△ △
∵ ＝ ，
∴k＝ ，
故答案为： ．【思路引导】过点M作MH⊥OB于H．证明△ADM∽△BOM，可得 ，从而求出
S ＝9，易求MH∥DB，可得 ，求出OH＝ OB，继而得出S MOH＝
BOM
△
△
×S OBM＝ ，根据反比例函数系数k的几何意义可得 ＝ ，求出k值即可.
△
14．（2分）（2021九上·禅城期末）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一点，AB垂直于
x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝ ．
【答案】3
【完整解答】解：∵点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，
∴ ，
∵△OAB的面积为6．
∴ ，即 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P（a，4）也在此函数的图象上，∴ ，解得： ．
故答案为：3
【思路引导】根据反比例函数k的几何意义可得 ，再将点P（a，4）代入 求解即可。
15．（2分）（2021九上·阳东期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣4m＝0有两个不相等的实数根，则反比例函
数y 的图象分别位于第 象限．
【答案】一、三
【完整解答】∵一元二次方程x2﹣4x﹣4m=0有两个不等的实数根，
∴ =b2﹣4ac=16+16m＞0，
∴m＞﹣1，
∴m+2＞1，
∴反比例函数y= 的图象所在的象限是第一、三象限，
故答案为：一、三
【思路引导】先利用一元二次方程根的判别式列出不等式 =b2﹣4ac=16+16m＞0，求出m＞﹣1，即可得
到m+2＞1，再利用反比例函数的图象与系数的关系可得答案。
16．（2分）（2021九上·三元月考）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），
∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线
l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的
取值范围是 .【答案】4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4
【完整解答】解：当点O′与点A重合时，
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后是O′B′，
AP=OP，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），
即当P的坐标是（4，0）时，直线O´B´与双曲线有交点O′；
当B′在双曲线上时，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等边三角形，
∴BP=B′P=t﹣2，∴CP= （t﹣2），B′C= （t﹣2），
∴OC=OP﹣CP= t+1，
∴B′的坐标是（ t+1， （t﹣2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2 ，
∴A（2，2 ），
∵A和B′都在双曲线上，
∴（ t+1）• （t﹣2））=2×2 ，
解得：t=±2 ，
∴t的取值范围是4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4.
故答案为：4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4.
【思路引导】当点O'与点A重合时，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变
换后是O′B′，得出AP=OP，结合∠AOB=60°，得出△AOP是等边三角形，根据等边三角形的性质求出点P
的坐标，进一步解直角△AOB，根据A和B′都在双曲线上，建立关于t的代数式求解，即可得出t的范围.
17．（2分）（2021九上·泰山期中）如图，在x轴正半轴上依次截取OA ＝AA＝AA…A A（n为正整
1 1 2 2 n﹣1 n
数），过点A、A、A、…、A 分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝ （x＞0）交于点P、P、
1 2 3 n 1 2
P、…、P，连接PP、PP、…、P P，过点P、P、…、P 分别向PA、PA、…、P A 作垂线段，
3 n 1 2 2 3 n﹣1 n 2 3 n 1 1 2 2 n﹣1 n﹣1
构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是【答案】
【完整解答】设OA ＝AA＝AA＝…＝A A＝1，
1 1 2 2 3 n﹣1 n
∴P(1，y)，P(2，y)，P(3，y)，…P(n，y)，
1 1 2 2 3 3 n n
∵P，P，P…P 在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
1 2 3 n
∴y＝1，y＝ ，y＝ …y＝ ，
1 2 3 n
∴S＝ ×1×（y﹣y）＝ ×（1﹣ ），
1 1 2
S＝ ×1×（y﹣y）＝ ×（ ﹣ ），
2 2 3
S＝ ×1×（y﹣y）＝ ×（ ﹣ ），
3 3 4
…
S ＝ （ ﹣ ），
n﹣1
∴S+S +S +…+S ═ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝ ．
1 2 3 n﹣1
故答案为： ．【思路引导】设OA ＝AA＝AA＝…＝A A＝1，得出P(1，y)，P(2，y)，P(3，y)，…P(n，y)，
1 1 2 2 3 n﹣1 n 1 1 2 2 3 3 n n
再根据P，P，P…P 在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，得出y＝1，y＝ ，y＝ …y＝
1 2 3 n 1 2 3 n
，推出S 的的答案，从而得出S、S、…，从而得出S ＝ （ ﹣ ），即可得出答案。
1 2 3 n﹣1
18．（2分）（2021九上·来宾期末）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线
的交点 ，分别交 ， 于点 、 .若四边形 的面积为12，则 的值为
.
【答案】4
【完整解答】∵ 、 、 位于反比例函数图象上，
∴ ， ，
过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，∴四边形ONMG是矩形，
∴ ，
∵ 为矩形 对角线的交点，
∴ ，
∵函数图象在第一象限，
∴ ，
∴ + +S = ，
四边形ODBE
解得： .
故答案为4
【思路引导】 从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|
的关系， 根据 + +S 列出等式求出k值．
四边形ODBE
19．（2分）（2020九上·大理期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作
轴，垂足为B，交反比例函数 的图象于点C．点P为y轴上一点，连接PA，
PC，则 的面积为 ．【答案】6
【完整解答】解：
连接OA和OC
∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等
∵点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，AB⊥x轴
1 2
∴S =S -S =6
AOC OAB OBC
△ △ △
∴△APC的面积为6
【思路引导】连接OA和OC，利用三角形的面积公式即可得到△AOC的面积等于△AOC的面积，结合反
比例函数中系数k的几何意义，求出答案即可。
20．（2分）（2020九上·龙华期末）如图，已知直线y=kx与双曲线y= 交于A B两点，将线段AB绕
1
点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y= 经过点C，则 的值是 。【答案】
【完整解答】解：连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠OCE=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵ 直线y=kx与双曲线y= 交于A、B两点，
1
∴OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BCO=30°，
∴ ，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∴∠OBD=∠COE，
∴△OBD∽△COE，
∴ ，
∵S = ，S = ，
OBD OCE
△ △∴ ，
∴ .
故答案为： .
【思路引导】连接OC，BC，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据旋转的性质得出
△ABC是等边三角形，根据反比例函数和一次函数的对称性得出OA=OB，得出OC⊥AB，∠BCO=30°，
得出 ，再证出△OBD∽△COE，得出 ，利用反比例函数系数k的几何意义
得出S = ，S = ，从而得出 .
OBD OCE
△ △
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（6分）（2020九上·桐城期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行
线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．
【答案】解：连接 ， ．∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
【思路引导】根据平行线的性质得出 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限
求得K即可。
22．（6分）（2019九上·天心期中）如图，已知双曲线 （x＞0）经过长方形OABC的边AB的中
点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．
【答案】如图，连接OB，因为点F为长方形OABC的边AB的中点，所以 ，
又因为E、F都是双曲线 上的点，
设E（a，b）、F（m，n），
所以 ，
，
所以 ，
所以 ．
因为S ＝2，
四边形OEBF
所以 ，
即 ，
解得k＝2．
【思路引导】设出点E和点F的坐标，根据反比例函数k的几何意义，即可得到三角形的面积，求出k的
值即可。
23．（6分）（2021九上·密云期末）如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经
过点A（4，1），点B（x，y）是该函数图象上的一个动点．（1）（3分）求反比例函数的表达式；
（2）（3分）当y>1时，结合图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：设反比例函数表达式为
∵其图象经过点A（4，1）
∴k=4
∴反比例函数表达式为
（2）解：当y>1时，结合图象可知x的取值为：0＜x＜4．
【思路引导】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式即可；
（2）结合函数图象求解即可。
24．（9分）（2021九上·沈河期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正
半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y＝3x的图象经过点D，反比例函数 的图
1
象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3．
（1）（1分）点D的坐标是 ；（2）（2分）求tan∠EOB的值；
（3）（3分）观察图象，请直接写出满足y＞3的x的取值范围；
2
（4）（3分）连接DE，在x轴上取一点P，使 ，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，
请直接写出线段PQ的长．
【答案】（1）(1，3)
（2）解：∵反比例函数 的图象经过点D，
∴k=1×3=3
∴
∵E点的横坐标为1+3=4
∴E（4，y），代入 得到EB=
∴tan∠EOB=
（3）
（4） 或
【完整解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长AB=3
∴AD=3
∵D点在正比例函数y＝3x上
1
设D（x，3），代入y＝3x得3=3x
1
解得x=1
∴D
故答案为： ；（3）如图，根据图象可得 ＞3时，图象在直线y=3的上方，
∴x的取值为0＜x＜1
（4）当点P在线段AB上时，如图1，设AP=m，则PB=3-m
∵S =S -S -S =
PDE 梯形ABED ADP PBE
△ △ △
= =
解得m=3
∴OP=1+3=4
∴点P（4，0）
当x=4时，
∴Q（4， ）
∴PQ=当点P在线段AB的延长线时，如图2，设AP=m，则PB=m-3
∵S =S -S -S =
PDE ADP 梯形ABED PBE
△ △ △
= =
解m=5
∴OP=1+5=6
∴点P（6，0）
当x=6时，
∴Q（6， ）
∴PQ=综上，PQ的长为 或 ．
【思路引导】（1）由正方形的性质可得AD=AB=3，可得点D的纵坐标为3，将其代入y＝3x中求出x
1
值，即得点D坐标；
（2）将点D坐标代入 中求出k值，即得 ，求出点E的横坐标为1+3=4 ，将其代
入 中求出x= ，即得EB= ，由tan∠EOB= 即可求解；
（3） 由图象可知当0＜x＜1时，图象在直线y=3的上方，据此即可求解；
（4）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在线段AB的延长线时，据此分别求出Q的坐标
即得结论.
25．（7分）（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降
低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶
中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程
中水温不低于20℃．（1）（3分）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）（4分）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）解：停止加热 分钟后，设 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
当 时，解得： ，当 时， ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
当加热烧水时，设 ，
由题意将 点坐标 代入上式得 ，
解得： ，当加热烧水时，函数关系式为 ；
当停止加热时 与 的函数关系式为 ； ；
（2）解：把 代入 ，得 ，
因此从水壶中的水烧开 降到 可以泡茶需要等待 分钟．
【思路引导】（1）将点D的坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求出解析式，确定点C以及点
B的坐标，求出一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，求出答案即可。
26．（8分）（2022·庐江模拟）如图， ， 是一次函数 与反比例函数
图象的两个交点， 轴于点 ， 轴于 点．
（1）（2分）根据图象直接回答：在第二象限内，当 取何值时， ？
（2）（3分）求一次函数解析式及 的值；
（3）（3分） 是线段 上一点，连接 ， ，若 和 面积相等，求点 的坐标．
【答案】（1）解： ，即： ，即一次函数 的图象在反比例函数 图象的上面，
∵ ， ，
∴当 时，
（2）解：∵ 图象过 ，∴ ，
∵ 过 ， ，
{ 1
−4a+b=
∴ 2，
−a+b=2
1
{ a=
2
解得， ，
5
b=
2
∴一次函数解析式为；
（3）解：由题意知： ， ， ， ，
设P（x， ），过P作 轴于M， 轴于N，∴ ， ， ， ，
∵ 和 面积相等，
∴ ，即： ，
解得 ，
∴P（ ， ），
【思路引导】（1）在第二象限内，当y-y>0时，一次函数的图象必然在反比例函数的图象的上方；
1 2
（2）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（3）设出点P坐标，可分别表示出点P到边AC、BD的距离，联立方程即可。
27．（8分）如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数 的图象相交于点A（4，n），与
轴相交于点B．
（1）（1分）填空：n的值为
，k的值为 ；
（2）（3分）以AB为边作菱形ABCD，使点C在 轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）（3分）考察反比函数 的图象，当 时，请直接写出自变量 的取值范围．
【答案】（1）解：把点A（4，n）代入一次函数y= x﹣3，可得n= ×4﹣3=3；；把点A（4，3）代入反比例函数y= ，可得3= ，解得k=12;
（2）解：∵一次函数y= x﹣3与x轴相交于点B， ∴ x﹣3=0，解得x=2，∴点B的坐标为（2，0）;
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，在Rt ABE中，AB=
△
= = ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC= ，∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF=BE=2，DF=AE=3;∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+ ，
∴点D的坐标为（4+ ，3）
（3）解：当y=﹣2时，﹣2= ，解得x=﹣6．
故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．
【思路引导】（1）把点A（4，n）代入一次函数y= x﹣3，可得n的值；把点A（4，3）代入反比例函数y= ，可得k的值；
（2）求出一次函数y= x﹣3与x轴的交点B的坐标（2，0）;如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过
点D作DF⊥x轴，垂足为F再根据勾股定理，菱形的性质，得出△ABE≌△DCF（ASA），由全等三角形
的性质求出答案。
（3）当y=﹣2时，﹣2= ，解得x=﹣6．故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0.
28．（10分）（2021九上·长沙期末）对于一个函数给出如下定义；对于函数y，若当 ，函数
值y满足 ，且满足 ，则称此函数为“k属合函数”.例如：正比例函数
，当 时， ，则 ，求得： ，所以函数
为“2属合函数”.
（1）（3分）一次函数 为“1属合函数”，求a的值.
（2）（3分）反比例函数 ，且 ）是“k属合函数”，且
，请求出 的值；
（3）（4分）已知二次函数 ，当 时，y是“k属合函数”，求
k的取值范围.
【答案】（1）解：当a＜0时，一次函数的y随着x的增大而减小，
∵1≤x≤3，
∴3a-1≤y≤a-1，
∵一次函数y=ax-1（a＜0，1≤x≤3）为“1属合函数”，
∴（a-1）-（3a-1）=1×（3-1），∴a=-1；
（2）解：∵反比例函数y= ，k＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属合函数”，
∴ ，
∴ab=1，
∵a+b= ，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=2021-2=2019；
（3）解：∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴是：直线 ，
∴当-1≤x≤1时，y是“k属合函数”，
∴当x=-1时，y=a2-4a-3，
当x=1时，y=a2+8a-3，
当x=a时，y=4a2+2a，
①如图1，当a≤-1时，
当x=-1时，有y =a2-4a-3，
max
当x=1时，有y =a2+8a-3，
min
∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，
∴k=-6a，
∴k≥6；
②如图2，当-1＜a≤0时，当x=a时，有y =4a2+2a，
max
当x=1时，有y =a2+8a-3，
min
∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k，
∴ ，
∴ ；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x=a时，有y =4a2+2a，
max
当x=-1时，有y =a2-4a-3
min
∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k，
∴ ，
∴ ；
④如图4，当a＞1时，当x=1时，有y =a2+8a-3，
max
当x=-1时，有y =a2-4a-3，
min
∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k，
∴k=6a，
∴k＞6；
综上，k的取值范围为k≥ .
【思路引导】（1）利用“k属合函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k属合函数”的定义得出ab=1，最后利用完全平方公式即可得出结论；
（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属合函数”的定义即可得出结论.
