文档内容
专题13：平行线的证明
考点一：定义与命题
题型一：命题
例1．下列句子是不是命题？
（1）延长线段 到点 ； （2）两点之间线段最短；
（3） 与 不相等； （4）2月份有4个星期日；
（5）用量角器画 ； （6）任何数的平方都不小于0吗？
【答案】见详解
【分析】根据命题的定义对各语句进行判断．
【详解】解：（1）延长线段 到点 ，它为描述性语言，不是命题；
（2）两点之间线段最短；它是命题； （3） 与 不相等；它是命题；
（4）2月份有4个星期日；它是命题； （5）用量角器画 ；它为描述性语言，不是命题；
（6）任何数的平方都不小于0吗？它为疑问句，不是命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式．有些命
题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【练习1】判断下列句子是否是命题：
（1）0是偶数；
（2）两个锐角的和是钝角；
（3）画两个相等的角；
（4）同旁内角互补；
（5）所有的质数都是奇数吗？
（6）两条直线相交，只有一个交点．
【答案】（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题．
【分析】看每一句话是否为判断一件事情的语句得到是否为命题．
【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题；
（3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题；（5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题；
故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题．
【点睛】此题考查命题与定理，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部
分，结论为由条件得到的结论．
题型二：命题的条件与结论
例2．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 ，那么 ”的形式．
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）三角形内角和等于 ．
【答案】见详解
【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果 ，那么 ”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，
进而得出答案即可．
【详解】解：（1）命题的条件是两直线平行，结论是内错角相等；
如果两条直线平行，那么内错角相等；
（2）命题的条件是三个角是一个三角形的内角，结论是它的和等于 ；
如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于 ．
【点睛】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果 那么 ”的形式．“如果”后面接题
设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那
么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
【练习2】（1）命题“如果 ， ，那么 ”的题设是 ，结论是 ，它是
命题．
【答案】 ， ； ；真．
【分析】根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项即可作
答．
【详解】解：“如果 ， ，那么 ”的题设是： ， ．结论是 ，
是真命题．
故答案为： ， ； ；真．
【点睛】本题主要考查了命题的定义，命题分为题设和结论两部分，对于以“如果 ，那么 ”形式叙述
的命题，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
（2）把下面的命题改写成“如果 ，那么 ”形式：内错角相等，两直线平行 ．
【答案】如果内错角相等，那么两直线平行．
【分析】找出各命题的题设与结论，再写成“如果 ，那么 ”的形式即可．
【详解】解：将命题：内错角相等，两直线平行改写成“如果 ，那么 ”形式：如果内错角相等，那么两直线平行，
故答案为：如果内错角相等，那么两直线平行．
【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果 ，那么 ”的形式，这时，“如果”后面接的
部分是题设，“那么”后面接的部分是结论是解答此题的关键．
（3）命题分为题设和结论两部分，把命题“等角的补角相等”改写成“如果 ，那么 ”的形式为
．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那
么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等，
故写成“如果 那么 ”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是
条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
题型三：判断命题的真假及举反例
例3．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）邻补角是互补的角；
（3）同旁内角互补．
【答案】见详解
【分析】（1）利用特殊角可说明命题为假命题；
（2）利用邻补角的定义判断；
（3）通过画图说明命题为假命题．
【详解】解：（1）假命题．反例为： 与 的和为 ；
（2）真命题；
（3）假命题．反例为：如图， ．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
例4．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．
（1）将这命题改写成“如果 那么 ”的形式
（2）写出这命题的题设和结论．
（3）判断该命题的真假
【答案】见详解
【分析】（1）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（2）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（3）根据命题的真假判断即可．
【详解】解：（1）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两
个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．
（2）题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数．
（3）该命题是假命题．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，根据学过的性质准确找出命题的条件和结论是正确改写的关键．
【练习3】（1）以下命题中：①倒数等于它本身是 1；②绝对值等于它本身的数是0；③相反数等于它本
身的数是0；④平方等于它本身的数是 ；⑤立方等于它本身的数是 ．正确的命题有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据倒数、相反数、绝对值、平方和立方的概念判断即可．
【详解】解：①倒数等于它本身是 ，故本小题说法错误；
②绝对值等于它本身的数是0和正数，故本小题说法错误；
③相反数等于它本身的数是0，本小题说法正确；
④平方等于它本身的数是0和1，故本小题说法错误；
⑤立方等于它本身的数是0和 ，故本小题说法错误；
故选： ．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握倒数、相反数、绝对值、平方和立方的概念是解题的关键．
（2）命题“同位角相等”是 ．（填“真命题”或“假命题” ．
【答案】假命题
【分析】根据平行线的性质进行判断即可．【详解】解：根据平行线的性质知：两直线平行，同位角相等，
故原命题错误，是假命题，
故答案为：假命题．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度不大．
【练习4】指出下命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例．
（1）邻补角是互补的角；
（2）同位角相等．
【答案】见详解
【分析】将命题写成“如果 ，那么 ”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，
“那么”后面写结论．
【详解】解：（1）邻补角是互补的角的题设是两个角是邻补角，结论是这两个角互补，是真命题；
（2）同位角相等的题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，为假命题，
反例：如图， 和 是同位角，但 ．
．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式．有些命
题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
考点二：平行线的判定与性质
题型一：平行线的判定
例5．（1）如图， ， ， ，则 时， ．
【答案】
【分析】当 时， ，首先证明 ，再证明 ，进而得到 ．
【详解】解：当 时， ；
理由： ， ， ，
， ，， ， ．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的
位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ．
其中能判断 的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断即可．
【详解】解： ， ， ， ，
， ， ， ，
所以能判断 的是① ，③ ，④ ，故选： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②
内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
【练习 5】（1）如图，下列条件：① ，② ，③ ，④
，⑤ ．其中能判断 的是A．①③④⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③
【答案】
【分析】根据平行线的判定得出即可．
【详解】解： ， ； ， ；
， ， ， ；
， ，
所以能判断 的是① ，③ ，④ ，⑤ ．
故选： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②
内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
（2）如图，在下列条件中，能使 的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
【详解】解： ，根据“内错角相等，两直线平行”可判定 ，不能判定 ，
故 不符合题意；
，不能判定 ，故 不符合题意；
，根据“内错角相等，两直线平行”可判定 ，故 符合题意；
，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定 ，不能判定 ，故
不符合题意；故选： ．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”
是解此题的关键．
题型二：平行线的性质
例6．（1）如图所示，直线 和 被直线 所截， ， ，则 ．【答案】
【分析】先根据图可知： 和 互补，求出 的度数，再根据 即可得到本题答案．
【详解】 ， ， ，
又 ， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了补角的知识，题目比较简单，属于基础题．
（2）如图，把一张长方形纸片沿 折叠，已知 ，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质由 得到 ，再根据折叠的性质得 ，然后
根据平角的定义可计算出 ．
【详解】解： ， ，
长方形纸片沿 折叠， ，
．故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线
平行，同位角相等．也考查了折叠的性质．
【练习6】（1）如图，已知 ， ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知和邻补角互补易得 ，则 ，所以 ，再根据对顶角相等可得
的度数，即可求出 的度数．【详解】解：如图，
， ， ， ， ，
， ．故选： ．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．要灵活
应用，同时考查了邻补角与对顶角的性质．
（2）如图，已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】利用平行线的判定定理可得 ，由平行线的性质定理可得结果．
【详解】解：如图，
， ，又 ， ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，判断出 是解答此题的关键．
（3）如图，有一张四边形纸片 ， ，将它沿 折叠，点 落在点 处，点 落在 边
上的点 处，若 ，则 等于 ．【答案】
【分析】根据平行线的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，然
后根据平角的定义求解即可．
【详解】解： ， ，由折叠的性质可得 ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
题型三：演绎推理
例7．填空并完成以下证明：已知，如图， ， ， 于 ，求证： ．
证明： （已知）
．
（已知）
．
（已知）
．（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
．
【答案】见详解
【分析】先根据垂直的定义得出 ，再由 得出 ，故可得出 ，根
据 得出 ，所以 ，由平行线的性质即可得出结论．
【详解】证明： （已知），
．
（已知），
（同位角相等，两直线平行），
．（两直线平行，内错角相等）．（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
，（两直线平行，同位角角相等）
．
故答案为： ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ； ．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
【练习7】阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ， ，试说明 ．
证明： ，
， ，
又 ， ，
，
即 ，
， ．
【答案】见详解
【分析】由两直线平行同位角相等得 ，根据角的和差证明 ，最后由同位角
相等，证明 ．
【详解】证明：如图所示：（已知），
，（两直线平行，同位角相等），
又 （已知），
（等式的性质），
（角的和差），
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题综合考查平行线的判定与性质，角的和差，等式的性质等相关知识点，重点掌握平行线的判
定与性质，难点是一题多解，几种不同方法证明两直线平行．
考点三：三角形内角和定理
题型一：三角形外角的性质
例8．（1）如图， ， ， ， 的关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形外角的性质可得 ，再根据等式的性质转化可求解．
【详解】解：如下图，由三角形外角的性质可得： ， ，
， ．故选： ．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．（2）已知 中， ， ， 的外角度数之比为 ，则这个三角形是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】根据比例设三个外角分别为 、 、 ，然后根据三角形的外角和等于 列出方程，然后求
解即可．
【详解】解：设三个外角分别为 、 、 ，则 ，解得 ，
三个外角分别为 ， ， ， 三个内角分别为 ， ， ，
这个三角形为钝角三角形．故选： ．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的外角和定理，根据比例，利用“设 法”求解更加简便．
【练习8】（1）如图，在 中， ，点 在 的延长线上， ，则 是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质得出 ，再代入求出答案即可．
【详解】解： ， ， ，故选： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）如图，在 中， ，点 为边 上一点，连结 ．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解： ， ， 是 的一个外角，
， ．故选： ．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角之和．
题型二：三角形内角和定理
例9．（1）如图，在 中， ， ， 是 边上的高， 是 的平分线，则
的度数为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可求 ，再根据 是 的平分线， 是
边上的高，三角和内角和定理即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ，
是 的平分线， ，
是 边上的高， ，
在 中 ， ， ， ，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关
键．
（2）如图，直线 ，将三角形 的直角顶点 放在直线 上，若 ，则 的
度数为A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作直线 ．由平行线的性质和判定，可得到 、 、 、 、 间关系，利
用角的和差关系计算可得结论．
【详解】解：过点 作直线 ．
， ． ， ．
， ， ． ．故选： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，过点 作直线 的平行线，利用平行线的性质把分散的角联系起来是
解决本题的关键．
【练习9】（1）在 中，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中， ， ，所以根据三角形内角和定理可知：
即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ，故选： ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角和内角和定理并正确应用是解决本题的关键．
（2）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据对顶角线段得到 ，再根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：如图，， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
（3）如图，直线 ，在 中，点 在直线 上，若 ， ，则 ．
【答案】23
【分析】现根据平角定义得出 的度数，再由平行线的性质求出 ， 的度数．
【详解】
解：过 点做
， ． ．
． ．
． ．
， ． ． ．
【点睛】主要考查运用平行线的性质推理角相等，由直角三角形两锐角互余求角的度数．
（4）如图，若 、 分别是 、 的三等分线，也就是 ， ，
，则 ．
【答案】144
【分析】根据三角形的内角和定理求出 ，求出 ，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解： ，
，
， ， ，
，故答案为：144．
【点睛】本题考查了三角形的内角，能求出 是解此题的关键．
1．下列命题是假命题的是
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】D
【分析】根据平行线的判定和性质以及对顶角的性质判断即可．
【详解】解： 、同位角相等，两直线平行，是真命题，本选项不符合题意．
、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意．
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，本选项不符合题意．
、两直线平行，同旁内角相等，是假命题，应该是同旁内角互补，本选项符合题意．
故选： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
2．如图， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据对顶角相等得到 ，结合 ，得到 ，即可判定 ，根据平行线的性
质得出 ，再根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
， ， ， ， ，
， ，
， ，故选： ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同位角相
等”是解题的关键．
3．如图，给出下列条件① ；② ；③ 且 ；其中能推出
的条件个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】利用内错角相等两直线平行，等量代换，同旁内角互补，两直线平行即可得到结果．
【详解】解：① ，可判定 ，不能判定 ；
② ，可判定 ；
③ 可得 ，再由 ，可得 ，可判定 ．
所以能推出 的条件个数是2个，故选： ．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角
相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
4．如图，在 中， ，沿图中虚线 翻折，使得点 落在 上的点 处，则 等于A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得 ，再根据翻折知 ， ，即可求出
的值．
【详解】解： ， ，
翻折， ， ，
， ，故选： ．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．
5．如图，已知 ，在 中 ， ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，延长 交直线 于 ．利用平行线的性质，求出 ，利用三角形的外角的性质求出
即可．
【详解】解：如图，延长 交直线 于 ．
， ， ，故选： ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．6．下列命题中：
①带根号的数都是无理数；
②直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④已知三条直线 ， ， ，若 ， ，则 ．
真命题有 （填序号）．
【答案】②④
【分析】根据无理数、垂线段、平行线的判定进行判断即可．
【详解】解：①带根号的数不一定都是无理数，如 ，原命题是假命题；
②直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短，是真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
④已知三条直线 ， ， ，若 ， ，则 ，是真命题；
故答案为：②④．
【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据无理数、垂线段、平行线的判定解答．
7．（1）写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题是： ．
（2）把命题“互补两角的和是 ”，改写成“如果 ，那么 ”的形式： ．
【答案】见详解
【分析】（1）根据逆命题的概念解答即可；
（2）根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．
【详解】解：（1）命题“如果 ，那么 ”的逆命题是：“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果 ，那么 ；
（2）把命题“互补两角的和是 ”，改写成“如果 ，那么 ”的形式：如果两个角互补，那么这两
个角的和为 ，
故答案为：如果两个角互补，那么这两个角的和为 ．
【点睛】本题考查的是命题的概念、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另
一个命题的逆命题；命题写成“如果 ，那么 ”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那
么”后面解的部分是结论．
8．如图，若 ， ，则 ．【答案】
【分析】由对顶角相等得到 与 相等，等量代换得到 ，利用同位角相等两直线平行得到 与
平行，利用两直线平行同旁内角互补得到 与 互补，根据 的度数即可求出 的度数．
【详解】解： 与 是对顶角， ，
， ， ， ，
， ．故答案为 ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，以及对顶角与邻补角，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题
的关键．
9 ． 如 图 ， ， ， 有 下 列 结 论 ： ① ； ② ； ③ ； ④
．其中正确的有 ．（只填序号）
【答案】①②④
【分析】由条件可先证明 ，再证明 ，结合平行线的性质及对顶角相等可得到
，可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
又 ， ， ， ，
又 ， ，故①②④正确，
由条件不能得出 ，故③不一定正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
10．如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若 ，则 ．【答案】
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，求出 的值，再利用三角形的内角和
定理求出 的值．
【详解】解： 平分 ， 平分 ， ， ，
，
在 中， ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是将三角形的内角和定
理和角平分线的性质相结合，注意整体思想的应用．
11．如图，在 中， ，点 在 上，将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处
若 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】解： ， ，
是由 翻折得到， ，
， ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
12．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
（1）两直线相交有几个交点？
（2）直角都相等；
（3）同角或等角的补角相等；
（4）如果 ，那么 ， ；
（5）两直线平行，内错角相等．
【答案】见详解
【分析】根据命题的定义对（1）进行判断；根据命题的定义和直角的定义对（2）进行判断；根据命题的
定义和补角定义对（3）进行判断；根据命题的定义和反例对（4）进行判断；根据命题的定义和平行线的
性质对（5）进行判断．【详解】解：（1）两直线相交有几个交点？它不是命题；
（2）直角都相等，它是命题，它为真命题；
（3）同角或等角的补角相等；它是命题，它为真命题；
（4）如果 ，那么 ， ；它是命题，但它为假命题，例如： ， ；
（5）两直线平行，内错角相等．它是命题，它为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果 ，那么 ”的形式，这时，“如果”后面接的部分是
题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．
要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．完成下面推理过程，并在括号中填写推理依据：
如图， 于点 ， 于点 ， ，试说明： 平分 ．
证明： ，
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
又 （已知）
平分
【答案】见详解
【分析】根据平行线的判定推出 ，根据平行线的性质得出 ， ，求出 ，
根据角平分线的定义得出即可．
【详解】解： ， ， （垂直定义），
（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
（已知）， （等量代换）， 平分 （角平分线定义），
故答案为： ； ； ；两直线平行，同位角角相等；两直线平行，内错角相等； ；等量代换；角平分线的定义．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，
②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
14．如图， ，直线 与 ， 分别相交于点 ， ， 平分 ， 平分 ．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】见详解
【分析】（1）根据平行线的性质，由 得到 ，再根据角平分线定义得
，然后计算出 ，根据垂直的定义即可得到 是直角
三角形；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可．
【详解】解：（1） ， ，
又 平分 ， 平分 ， ，
是直角三角形；
（2） 是直角三角形， ， ，
又 平分 ， ．
【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
15．如图， 平分 ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ；求 的度数．【答案】见详解
【分析】（1）利用外角定理以及 ，可得 ，又由角平分线的定
义可得 ；
（2）设 ，则 ， ，则 ，在三角形 中根据三角形内
角和为 建立方程求解 即可得到答案．
【详解】解：（1） ， ，
平分 ， ， ，
， ．
（2）设 ，则 ， ，
， ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、外角定理、角平分线的定义，注意方程思想的运用．
16．如图，直线 分别与直线 、 交于点 、 ，且 ． 的角平分线 交直线
于点 ， 的角平分线 交直线 于点 ．
（1）请直接写出直线 与 的位置关系；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的度数．
【答案】见详解
【分析】（1）由对顶角相等可得 ，从而有 ，即可得 ；
（2）求出 ，根据平行线的判定得出 ，求出 ，根据平行线的判定得出
即可；
（3）根据平行线的性质得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：（1） ，理由如下：
， ， ， ；
（2）由（1）知 ， ，的角平分线 交直线 于点 ， 的角平分线 交直线 于点 ，
， ， ， ．
（3） ， ， ， ，
， ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
