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专题 14 一元一次方程的应用 1(行程,配套,工程,销售,比赛,方案)
考点一 用一元一次方程解决行程问题 考点二 用一元一次方程解决配套问题
考点三 用一元一次方程解决工程问题 考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题
考点五 用一元一次方程解决比赛问题 考点六 用一元一次方程解决方案选择问题
考点一 用一元一次方程解决行程问题
例题：（2022·湖南省隆回县第二中学七年级阶段练习）已知A，B两地相距400千米，甲、乙两车从A地
向B地运送货物．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时80千米，甲车先出发0.5小时后乙
车才开始出发．
(1)乙车出发几小时后，才能追上甲车？
(2)追上乙车时，距离B地还有多远？
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用
32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离 的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）甲、乙两人分别从相距2000米的A，B两地步行出发
相向而行，两人速度保持不变，若两人同时出发，则他们10分钟之后相遇；若乙比甲先出发4分钟，则甲
出发8分钟之后，甲乙两人相遇，则甲的速度为（ ）
A．70米/分钟 B．80米/分钟 C．90米/分钟 D．100米/分钟
二、填空题
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习） 两地相距450千米，甲、乙两车分别从
两地同时出发，相向而行．甲车速度120千米/时，乙车速度为105千米/时，经过_____小时两车相遇．
4．（2022·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）一列火车匀速通过长500m隧道，若火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒，而整列火车完全在隧道里的时间是20秒，求这列火车的长为________．
三、解答题
5．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着
东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，
(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表
示）
(2)则小刚用几分钟可以追上小明？
6．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个
单位，B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位．
(1) ______， ______．
(2)P，Q是数轴上的两个动点，P点从A出发，速度2个单位每秒，同时Q点从B点出发，速度1个单位每
秒，若两点相向而行，经过一段时间在C点相遇，求出点C表示数．
(3)在（2）的条件下，经过几秒钟，P，Q两点相距6个单位长度．
7．（2022·福建·大同中学七年级期中）已知： 是关于x的二次多项式，且a、
b、c满足 ．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
(1)则 _____________， _____________， _____________．
(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别
以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为 ，点A与点B
之间的距离表示为 ．设运动时间为1秒，请问： 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，
请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称A，C两点在折线数
轴上的路程为 三段的和．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”
向右运动，在 段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单
位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为
t秒．①当 时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当 时，点P和点O在折线
数轴上相距_____________个单位长度；当 时，点P和点Q在折线数轴上相距_____________个单位长
度．
②当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？
③在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此
时t的值．
考点二 用一元一次方程解决配套问题
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16
个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用______张铁皮制作盒身，正
好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．
【变式训练】
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产
1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，
可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2022·全国·七年级单元测试）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面
40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌
面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
三、解答题
3．（2022·全国·七年级专题练习）某车间每天能制作甲种零件400只，或者制作乙种零件200只，1只甲种零件需要和3只乙种零件配成一套．现要在49天内制作最多的成套产品，则甲乙两种零件各应制作多少
天．
4．（2022·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比
男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
(1)该工厂有男工、女工各多少人？
(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮
男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
5．（2022·浙江·七年级专题练习）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙
种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，
那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排 天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．
工效（个/天） 天数（天） 数量（个）
甲种零
450 x ②
件
乙种零
300 ① ③
件
6．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）某玩具厂有工人84人，平均每人每天生产如图
所示的大玩具熊10个或小玩具熊16个，2个大玩具熊和1个小玩具熊正好配成一套“快乐之家”，要使每
天生产的大玩具熊、小玩具熊刚好配家成“快乐之家”，则应安排生产大玩具熊、小玩具熊的人数分别为
多少人？7．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成，用1m3钢材可
做40个A部件或200个B部件，现要用6 钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B
部件，恰好能使这种仪器刚好配套？
考点三 用一元一次方程解决工程问题
例题：（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）师傅和徒弟两人检修一条长300米的管道，师傅每小时
检修17米，徒弟每小时检修13米，现两人同时合作，用多少时间可以完成检修？
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时
间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲
单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
3．（2022·全国·七年级课时练习）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时．现在先由甲单独做
5小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．完成整个工程其中乙一共用了多少小时？若设乙一共用了x
小时，则所列的方程为______．
4．（2022·全国·七年级课时练习）有9个人用14天完成了一件工作的 ，而剩下的工作要求在4天内完成，
在他们工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人．
5．（2022·全国·七年级开学考试）一项工程，如果甲队单独做5天可以完成全工程的 ；如果乙、丙两队
合做2天可以完成全工程．三队合做多少天可以完成全工程？
6．（2021·广东·中山市黄圃华洋学校七年级阶段练习）将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单
独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？
(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？
考点四 用一元一次方程解决销售盈亏问题
例题：（2022·福建泉州·七年级期末）一种商品的售价为120元，由于购买的人多，商家便提价25%销售，
但提价后，商品滞销，商家只好再降价x%，使商品售价恢复到了原价，那么x%＝( )．
A．25 B．20 C．25% D．20%
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某商品的原价为x元，降价25%后，售价是120元，
则原价是__________元．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利 ，
则这件商品的进价是___________元．
3．（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）童趣玩具店的玩具凭优惠卡可打八折，陈冬用优惠卡
买了一个玩具，省了9.6元，这个玩具原价是______元．
4．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）一刀书法毛边练习纸，按成本价提高40%
后标价，促销活动中按标价的九折出售，每刀售12.6元，则每刀书法毛边练习纸的成本价为______元．
5．（2022·全国·七年级课时练习）某超市出售一种礼品混合糖是由 两种糖果按一定比例配制而成，其
中A糖果的进价为15元/千克， 糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物
价上涨，A糖果进价上涨20%， 糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，
打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是
____．
6．（2022·上海市梅陇中学期中）某种商品按成本提高 后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结
果这种商品每件亏损了64元，问这件商品成本多少元？（亏损=成本 售价）
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级阶段练习）某商场在“十一”黄金周投入13800元资金
购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）甲 24 36
乙 33 48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折，乙种矿泉水打八五折出售，这样，500箱矿泉水在“十一”黄
金周结束时全部售完，该商场可获得利润多少元？
8．（2022·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为
；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432
元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
9．（2022·全国·七年级专题练习）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为
售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品
多少件？
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 售价打九折超过600元 其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
10．（2022·浙江·七年级专题练习）丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙
种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
考点五 用一元一次方程解决比赛问题
例题：（2022·湖南·衡阳市船山英文学校七年级阶段练习）足球比赛的记分规则：胜一场得 分，平一场得
分，负一场得 分．某队打了 场，负 场，共得 分，那么这个队平了（ ）
A． 场 B． 场 C． 场 D． 场
【变式训练】
1．（2021·广东惠州·七年级期末）某次数学测试共20道选择题，答对一道得5分，答错或不答倒扣2分．
小明在这次考试中得了79分，则他答对了____道题．
2．（2021·福建·莆田砺志学校七年级阶段练习）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错
一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了60分，他一共做对了_________题.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜
一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜___________场．
4．（2022·全国·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．
答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
5．（2022·全国·七年级专题练习）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，
负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
6．（2022·全国·七年级专题练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体
育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，
某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
7．（2022·全国·七年级专题练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）
球队 场次 胜场 负场 总积分
A 12 11 1 23
B 12 10 2 22
C 12 9 3 21
D 11 8 3 19
E 11 15
(1)观察积分榜，填空∶球队胜一场积___，负一场积 _____分；
(2)根据比赛规则，请求出E队进行了的11场比赛中，胜、负各多少场？
(3)此次篮球比赛，E球队共参加 14场比赛．试猜想E球队在接下来的比赛中，会不会出现胜场总积分等
于负场总积分的2倍，如果会，说出是第几场？共胜多少场？并通过计算验证你的猜想；如果不会，说明
理由．
考点六 用一元一次方程解决方案选择问题
例题：（2022·河北保定·七年级期末）周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责
买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40
人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由；
(2)一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数．【变式训练】
1．（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领
带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西
装和领带都按定价的 付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（ ）．
(1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款
________元（用含x的代数式表示）；
(2)若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
2．（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）两种移动电话记费方式表
全球通 神州行
月租费 50元 0
本地通话
0.40元/分 0.60元/分
费
(1)一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
(2)若某人预计一个月内使用本地通话费180元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
3．（2022·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生
赠送一份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以
上）优惠方案：方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购
买的学习用品全部按售价打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用
品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
4．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活
动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，
同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办
公室需要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时
间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级
技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有
40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工
程队，要来粉刷墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程
队粉刷；若使得总费用最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
6．（2022·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）某乳制品厂有鲜牛奶10吨，若直接销售，每吨可获利
500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能
力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3吨；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1吨（两种加工方式不能同
时进行）．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可
行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，剩余鲜牛奶直接销售；
方案二：将一部分鲜牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利较多，为什么？
7．（2021·广东惠州·七年级期末）下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫
方式一 65 160 0.20 免费
方式二 100 380 0.25 免费
（月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费）
(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需____元，按方式二计费需____元；李华某月
按方式二计费需110元，则李华该月主叫通话时间为_____分钟；
(2)是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，
请说明理由．
(3)直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
