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专题 14 一元二次方程的根与系数的关系(基础题型)
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
【答案】D
【分析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后求解即可．
【详解】
由根与系数的关系可知， ，
∵一个根为-2，
∴另一根为 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．
2．已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】A
【分析】
利用 ， ，解答即可.
【详解】
解：.∵ 是方程 的两根，
∴ ， =7，
∴
∴=2 +7- +
=
=2+7
=9.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系： 求得即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为 ，则根据题意，得2 =-3，
解得 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
4．设关于 的方程 的两个实数根为 、 ，现给出三个结论：
① ；② ；③ 则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可.
【详解】
①∵方程 x2−(a+b)x+ab−1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x ≠x ；故①正确；
1 2
②∵x x =ab﹣1＜ab；故②正确；
1 2
③∵x +x =a+b，即（x +x ）2=（a+b）2；
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2 1 2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x 2+x 2＞a2+b2；故③错误；
1 2
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，完全平方公式，解题的关
键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.
5．已知方程 的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为x ，根据两根之积等于 ，即可得出关于x 的方程，解之即可得出结
1 1
论．
【详解】
解：设方程的另一个根为x ，
1
根据题意得：1×x =2，
1
则x =2．
1
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于 是解题的关键．
6．已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一个根为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
1 2
两根时，x +x ，x x = ．
1 2= 1 2
7．方程 的两根之和为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
8．已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】C
【分析】
根据韦达定理计算即可．
【详解】
即：∵α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β= =-1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了韦达定理，掌握知识点是解题关键．
9．若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程 有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
10．若关于 的方程 ，它的一根为3，则另一根为（ ）A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】
设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系： 是一元二次方程 的
两根时， ， ．
11．关于x的方程 有一个根为 ，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，方程显然有两个实数根，故而结合韦达定理即根与系数的关系解答即可；
【详解】
由题知：关于 的方程 有一个根为﹣1，另一根为 ；
∴ ，
解得： ，则另一根为5；
故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，重点在于熟练理解和掌握韦达定理的应用；
12．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（ ）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可得到 ．
【详解】
解：m，n是方程 的两个实数根，
∴ ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
13．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系得出方程的两根之和为 ，即可得出选项．
【详解】
解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方
程根与系数的关系.
14．若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系得出 、 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ； ．
则 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x ，x 是一元
1 2
二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， ， ，．
15．已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论中不一定正确的是（
）
A． B． C． D．方程必有一正根
【答案】B
【分析】
由题意利用一元二次方程根与系数的关系，得出结论．
【详解】
解：∵ 、 是关于 的方程 的两根，
∴ ， ， ，
∴ ，方程必有一正根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握 ， ，是解
题的关键，属于基础题．
16．关于x的一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，则c应满足的条件是（ ）A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
【答案】A
【分析】
由一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，利用一元二次方程的根的判别式列不等式，再解
不等式即可得到答案．
【详解】
解：根据题意 ＝42﹣4c≥0，解得c≤4．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．已知Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实
数根，那么 的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，进而即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程 的两个实数根分别是： ，
∴ ，
∵Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的面积=32÷2=16．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握 （a≠0）的两个实数根 ，满足 ，是解题的关键．
18．已知关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可．
【详解】
解：关于 的一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常数
项除以二次项系数的商．
19．关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个同号实数根 B．有两个异号实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于x的一元二次方程 可得： ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
设方程的两个根为 ，则根据韦达定理可得 ，
∴一元二次方程有两个异号实数根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判
别式及根与系数的关系是解题的关键．
20．如果x ，x 是两个不相等实数，且满足x 2﹣2x ＝1，x 2﹣2x ＝1，那么x 2+x 2等于（
1 2 1 1 2 2 1 2
）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
【答案】D
【分析】
由已知得出x ，x 是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，据此知x +x =2，x x =-1，将其
1 2 1 2 1 2
代入x 2+x 2=（x +x ）2-2x x 计算即可．
1 2 1 2 1 2
【详解】
解：∵x ，x 是两个不相等实数，且满足x 2-2x =1，x 2-2x =1，
1 2 1 1 2 2
∴x ，x 是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，
1 2
则x +x =2，x x =-1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2
1 2
=（x +x ）2-2x x
1 2 1 2
=22-2×（-1）
=4+2
=6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x ，x 是方程x2+px+q=0的两根时，
1 2
x +x =-p，x x =q．
1 2 1 2
21．关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系和根的判别式进行解答．
【详解】
解： 、△ ，则该方程有两个不相等的实数根．故本选
项不符合题意．
、设方程的两个跟为 ， ，则 ，故本选项符合题意．
、设方程的两个为 ， ，
则 ，
故本选项不符合题意．
、设方程的两个根为 ， ，则 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．
22．方程 的两个根为x ，x ，则 等于（ ）
1 2
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】
根据根与系数关系直接而计算即可．
【详解】
解：∵ 的两个根为x ，x ，
1 2
∴ = ．
故选：A【点睛】
本题主要考查根与系数关系，牢记公式是解题的关键．
23．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程解的概念得到 ，即 ，然后将原式变形为 ，从
而代入，并结合一元二次方程根与系数的关系求解
【详解】
解：∵ 、 是方程 的两个实数根
∴ ，
即
由
将 代入，
原式=
=
=
=
=
=
=故选：C
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的概念及一元二次方程的根与系数的关系，理解概念正确对原
式进行变形计算是解题关键．
24．下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A．2x2-4x+3=0 B．2x2-2x-3=0 C．2y2+4y-3=0 D．2t2-4t-3=0
【答案】D
【详解】
A中，由△=(-4)2-4×2×3=-8<0,故方程无实数根，故A错误；
B中，△=(-2)2-4×2×(-3)=28>0，则x +x =1；
1 2
C中，△=42-4×2×(-3)=40>0, 则x +x =-2；
1 2
D中△=(-4)2-4×2×(-3)=40>0，则x +x =2.
1 2
故选D.
点睛：根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x +x =- ，
1 2 1 2
x x = ．
1 2
25．方程 的两根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：若方程的两根为x ，x ，
1 2
所以x ＋x ＝5．
1 2
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，
1x ，则x ＋x ＝− ，x •x ＝ ．
2 1 2 1 2
26．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x ，x ，且满足x ＋x
1 2 1 2
＝x ·x ，则k的值是()．
1 2
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系及x +x =x x ，得出关于k的方程，解方程并用根的判别
1 2 1 2
式检验得出k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系，得x +x =-k，
1 2
因为x x =4k2-3，又x +x =x x ，
1 2 1 2 1 2
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k= 或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得：− ≤k≤ ，故k=-1舍去，
∴k= ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的
判别式进行检验．
27．对于一元二次方程 ，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根【答案】A
【分析】
先找出 ，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵ ，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握<0，一元二
次方程没有实数根是关键．
28．若2＋ ，2－ 是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（
）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求解m、n的值，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
，
∴ ；故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解
题的关键．
29．已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的定义，得 ，结合根与系数的关系，得 + =3，进
而即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握
（a≠0）的两根为 ， ，则 + = ， = ，是解题的关键．
30．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 ，将其代入 中即可得出答案．
【详解】
解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ =2022-1=2021．
故选：B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关
系找出 是解题的关键．
31．设m、n是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】
由于m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且
m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【详解】
解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解
题是一种经常使用的解题方法．
32．若方程 的两个实数根分别为 、 ，则 等于A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接由根与系数的关系公式求解即可．
【详解】
∵一元二次方程 有解时，两根之和 ，
∴对于原方程， ，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本结论并灵活运用是解题关键．
33．已知关于x的一元二次方程 有一个根是x =3，则另一个根x 是
1 2
（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
利用根与系数的关系即可求出另一根．
【详解】
解：∵方程 有一个根是x =3，另一个根x ，
1 2
∴3+x = =4，即x =1，
2 2
即方程另一根x 是1．
2
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关键是解本题的关键．
34．关于一元二次方程2x2﹣5x＝2的根的判定中，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
先把方程化为 再计算 ＞ 从而可
得答案．
【详解】
解：
＞
原方程有两个不相等的实数根．
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
35．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．9 B．－9 C．1 D．－1
【答案】A
【分析】
先根据根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代入的方法计算即可
求解．
【详解】
解：根据题意得： ， ，
所以 ．
故选：A．【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．
36．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则a+b﹣2ab等于（ ）
A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系求得 、 的值，然后将其代入所求的代数式并
求值．
【详解】
解：∵a，b是一元二次方程 的两个根，
∴由韦达定理，得 ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两根分别为
， ，则 ， ，熟记基本结论是解题关键．
37．关于x的一元二次方程x2＋ax－3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系计算即可；
【详解】
∵一元二次方程x2＋ax－3＝0的一个根是x＝1，∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键．
38．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是_____．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系计算．
【详解】
解：由题意可得： ，
∴ = ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
39．已知方程 的两个解分别为 ， ，则 ______．
【答案】24
【分析】
根据根的系数的关系得到 ， ，再把原式因式分解即可代入求解．
【详解】
∵方程 的两个解分别为 ， ，∴ ， ，
∴ ．
故答案为：24．
【点睛】
此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知一元二次方程根的系数的关系．
40．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 ______．
【答案】1
【分析】
直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若 是方程 ( )的两
根，则 ， ．
41．已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若
，则 ______．
【答案】【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求出 以及 ，然后根据条件变形代入求解即
可．
【详解】
由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
42．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是
______．
【答案】-3．
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到 ，则 ，根据根与系数的
关系得出 ，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程
的两根时， ，也考查了一元二次方程的解．
43．已知关于x的方程 （m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根 、 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）-1
【分析】
（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到
一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=(m+1)2得出不论m为何实数，△≥0成立，
即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得出“x +x = ，x •x = ”，整体代入即可得出结论．
1 2 1 2
【详解】
（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为-x-1=0，
∴x=-1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，△=(m-1)2-4m(-1)=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）解：∵x ，x 是方程的两个实数根，
1 2
∴x +x =- ，x •x =- ，
1 2 1 2
∴x +x +x x =- - =-1．
1 2 1 2
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）分类讨论；（2）结合
根与系数的关系找出x +x = ，x •x = ．本题属于基础题，难度不大
1 2 1 2
44．已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程的两根相互为相
反数？并求出此时方程的解．
【答案】m=-2；
【分析】
先由两根互为相反数得出两根之和为0，即 ，据此可得 的值，代入方程，
求变形方程的根即可．
【详解】
解：∵关于 的方程 两根相互为相反数，
∴ ，
解得 ，
∴方程变形为 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数
关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．
45．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根互为相反数，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）-2
【分析】
（1）计算出判别式的值得到△=5m2+28＞0，于是利用判别式的意义可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到m+2=0，解得m=-2．
【详解】
解：（1）证明：∵△=b2-4ac=（m+2）2+4（m2-m+6）=5m2+28＞0，
∴无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根互为相反数，
∴两根之和为0
∴m+2=0，
解得m=-2．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关
系是解答此题的关键．
46．已知方程 是关于 的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 ，求 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析；（2） 的值为 ，方程的另一个根为
【分析】
（1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可；
（2）方程的另一个根为 ，则结合条件运用“韦达定理”分别建立等式求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
∴对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为 ，根据题意得：
，解得： ．
∴ 的值为 ，方程的另一个根为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握根的判
别式和根与系数的关系是解题关键．
47．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【答案】（1）k＞－1；（2）
【分析】
（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，可得：4－4×1×（－k）＞0，
再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得： 再
解方程可得答案．
【详解】
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，
＞
∴k＞－1；（2） 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是
解题的关键．
48．已知关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x ，x 满足 ，求k的值．
1 2
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，可得 ，再列不等式，解
不等式即可得到答案；
（2）由根与系数的关键可得： 再代入 解
方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1） 关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根x ，x ，
1 2
，
（2）由根与系数的关系可得：或 ，
不合题意，舍去，取
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握
以上知识是解题的关键．
49．若关于x的一元二次方程 有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．
【答案】b的值为3，方程另一根为x=2．
【分析】
将x=1代入方程x2﹣bx+2=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+2=0，
解得：b=3，
把b=3代入方程得：x2﹣3x+2=0，
设另一根为m，可得1+m=3，
解得：m=2，
则b的值为3，方程另一根为x=2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，记牢公式并灵活运用是解题关键．50．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，且 为整数，求 的值．
【答案】（1） ；（2）m=-1或m=0
【分析】
（1）根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用m表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m的不
等式，则可求得m的取值范围，再求其值即可．
【详解】
解：（1）由题可得，
方程有两个不相等的实数根，
即 ．解得
（2）由根与系数的关系可得
， ．
即 ，解得
由（1）可得
又 为整数，
或
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
51．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x ，x 满足x 2+x 2＝16，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k＜1；（2）k＝﹣1．
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式 ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即
可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及x 2+x 2＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出
1 2
k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【详解】
解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴ ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣2（k﹣1），x x ＝k2﹣1．
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝16，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
1 2 1 2
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k ＝5，k ＝﹣1．
1 2
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
52．如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 ，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如： ， 是
方程 的两根，求 的值．
解法可以这样：
因为 ， ，
所以 ．
请你根据以上解法解答下题：
设 ， 是方程 的两根，求：
（1） 的值；
（2） 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x +x = ，x x = ，将其代入到 中，求出
1 2 1 2
结果即可；
（2）将x +x = ，x x = 代入到（x -x ）2=（x +x ）2-4x x 即可得．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】
（1）根据题意，可得x +x = ，x x = ，
1 2 1 2∴ ；
（2）(x -x )2=(x +x )2-4x x = ．
1 2 1 2 1 2
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x ，x ，则有x +x =
1 2 1 2
，x •x = ．
1 2
53．关于x的一元二次方程 －x＋p－1＝0有两实数根 、 ．
（1）求p的取值范围；
（2）若p=0，求 的值；
（3）若[2＋ （1－ ）][2＋ （1－ ）]＝9，求p的值．
【答案】（1） ；（2）-3；（3）-4．
【分析】
（1）一元二次方程有实数根， 根据判别式的公式代入即可求p的取值范围；
（2）将p=0代入 －x＋p－1＝0化简，再根据根与系数的关系得出 与 之间的关系，
进一步可求得 的值，代入即可求解；
（3）将等式变形，结合四个等式： ， ，代入求p，
结果要根据p的取值范围进行检验．
【详解】（1） x的一元二次方程 －x＋p－1＝0有两实数根
即
解得：
p的取值范围为： ；
（2）将p=0代入 －x＋p－1＝0，
即 －x－1＝0
，
（3）由[2＋ （1－ ）][2＋ （1－ ）]＝9，得
、 为一元二次方程 －x＋p－1＝0有两实数根
，
即或
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．
54．已知关于 的方程 ．
（1）不解方程，判断该方程根的情况；
（2）设方程的两实数根分别为 、 ，若 ，试求m的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
∵b2-4ac=9+4m2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实数根分别为 、 ，则有： ，
∴ ，解得： ，
把 代入方程得： ，
解得： ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
韦达定理是解题的关键．
