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专题 1.8 正方形半角模型
【例题精讲】
【例1】在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ．
（1）将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 （如图① ，求证： ；
（2）若直线 与 ， 的延长线分别交于点 ， （如图② ，求证：
．
【解答】（1）证明： 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，
， ， ， ，
，
，
即 ，
在 和 中， ，
；
（2）证明：连接 ，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
，，
，
，
，
，
，
，
同理： ，
，
，
，
，
．
【题组训练】
1．如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且 ．求证：
矩形 是正方形．【解答】解： 四边形 是矩形，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
矩形 是正方形．
2．如图，在正方形 中， 、 分别是 、 边上的点， ．
（1）如图（1），试判断 ， ， 间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若 于点 ，试判断线段 与 的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）解： ；理由如下：
如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，在 和 中，
，
，
， ，
故 ，
在 和 中，
，
，
，
即 ；
（2） ，理由如下：
四边形 为正方形，
， ，
把 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图2，， ， ，
而 ，
点 在 的延长线上，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
．
3．如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
矩形 是正方形．
（2）解： 由（1）可知： ，
又 ， ，
由勾股定理得， ，
四边形 是正方形，
．
4．正方形 的边长为 6， ， 分别是 ， 边上的点，且 ，将
绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．【解答】（1）证明： 逆时针旋转 得到 ，
， ，
、 、 三点共线，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
，且 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ，
则 ．5．（1）如图①，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接
，求证： ．
（2）如图②，点 ， 在正方形 的对角线 上， ，猜想 、 、
的数量关系，并说明理由．
【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， ，
如图①：延长 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2） ，
理由如下：
如图②，将 绕点 顺时针旋转 ，可得 ，
由旋转的性质可得 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
．
6．（1）如图1，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，求证：
；
（2）如图2，四边形 中， ， ， ，点 、 分
别在边 、 上，则当 与 满足什么关系时，仍有 ，说明理
由．
【解答】证明：（1）如图1：把 绕点 逆时针旋转 至 ，
则 ，
， ， ，
又 ，即 ，
，在 和 中，
，
．
．
又 ，
，
；
（2）当 时，仍有 ，
理由如下：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
即 ．
7．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）
（1）如图1，在正方形 （四条边都相等，每个内角都是 中， 是 上一点，
是 上一点， 是 延长线上一点，且 ， ．求证：
．
（2）如图 2，已知： 平分 ， ， ， ．求证：
．
【解答】证明：（1）在正方形 中， ，
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，在 和 中， ，
，
，
，
；
（2）延长 到 使 ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
．
8．（1）如图1的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长
到点 ，使 ，连接 ， ．求证： ；
（2）如图 2，等腰 中， ， ，点 ， 在边 上，且．若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：在正方形 中，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图，过点 作 ，垂足为点 ，截取 ，使 ．连接 、
．， ， ．
， ．
在 和 中，
，
．
， ．
， ，
．
于是，由 ，
得 ．
在 和 中，
，
．
．
在 中，由勾股定理，得 ．
．
， ，
，
．
9．如图，四边形 是正方形，点 是 边上的动点（不与点 、 重合），将射线
绕点 按逆时针方向旋转 后交 边于点 ， 、 分别交 于 、 两点．
（1）当 时，求 的度数；
（2）设 ，试用含 的代数式表示 的大小；（3）点 运动的过程中，试探究 与 有怎样的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
，
，
；
（2） 四边形 是正方形，
，
，
，
；
（3） ，理由如下：
延长 至 ，使 ，连接 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
又 ，
，
， ，
，又 是 与 的公共边，
，
．
10．如图，在正方形 中， 是 边上一点， 是 延长线上一点， ．
（1）求证： ；
（2）若点 在 边上，且 ， ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：由（1）得： ，
，
，
即 ，
又 ，
，
在 中，
，，
．
11．如图， 中， ， ， 外角平分线交于点 ，过点 分别作
直线 ， 的垂线， ， 为垂足．
（1）求证：四边形 是正方形．
（2）已知 的长为6，求 的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形 中， ，一条
高是 ，长度为6， ，则 3 或 1 2 ．
【解答】（1）证明：作 于 ，如图1所示：
则 ，
， ，
，
四边形 是矩形，
， 外角平分线交于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形；
（2）解： 四边形 是正方形，
，
在 和 中， ，，
，
同理： ，
，
，
设 ， ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
整理得： ，
；
（3）解：① 是锐角三角形时，如图2所示：
把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 、 交于点 ，
由（1）（2）得：四边形 是正方形， ， ， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；
②当 是钝角三角形时，过 作 交 延长线于 ，如图3所示：
则 ，
由①得： ，，
设 ， ，则 ，
的面积 ，
，
①，
在 中，由勾股定理得： ②，
由①②得： ，
，
即 ；
综上所述， 为3或12，
故答案为：3或12．12．（1）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 上一点， ，
那么 与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图 2，在四边形 中，
， ， ， 是 上一点，且 ，
，求 的长？
【解答】解：（1） ．
如图1，延长 至 ，使 ，连接 ，
四边形 为正方形，
， ，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图2，过点 作 ，交 的延长线于 ．
，
，
，
，
， ，
四边形 是正方形，
，
，，
，
设 ，由（1）知 ，
，
，
在 中： ，
，解得 ，
．
13．如图，在正方形 中，点 、 分别为边 、 上两点， ，过点
作 ，且点 为边 延长线上一点．
① 吗？说明理由．
②若线段 ， ，求线段 的长度．
③若 ， ．求线段 的长度．
【解答】解：①全等．
证明： 四边形 为正方形
， ，
在 和 中， ， ，
．
②解： ，
，在 和 中
， ，
．
．
③设 ，则 ．
，
．
在 中，依据勾股定理可知： ，即 ，
解得： ．
．
14．如图， 中， ， ， 外角平分线交于点 ，过点 分别作
直线 ， 的垂线， ， 为垂足．
（1） 4 5 （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形 是正方形．
②若 ，求 的长．
（3）如图（2），在 中， ，高 ， ，则 的长度是
（直接写出结果不写解答过程）．【解答】解：（1） ，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为：45；
（2）①作 于 ，如图1所示：
则 ，
， ，
，
四边形 是矩形，
， 外角平分线交于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形；
②设 ，
，
，
由①得四边形 是正方形，
，
在 与 中，
，
，
，
同理， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
的长为2；
（3）解：如图2所示：
把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 、 交于点 ，
由（1）（2）得：四边形 是正方形， ， ， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，即 ；
故答案为： ．16．如图，已知正方形 的边长为 6， ， 分别是 、 边上的点，且
，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证：
（2）若 ，求 的长．
【解答】解：（1） 逆时针旋转 得到 ，
，
、 、 三点共线，
， ．
，
， ，
，
．
（2）设 ，
，且 ， ，
，
．
在 中，由勾股定理得 ．即 ，
解得： ，即 ．
．
17．设 、 分别在正方形 的边 ， 上滑动保持且 ， 于
点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的周长．
【解答】证明：（1）延长 到 ，使 ，
在正方形 中， ， ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
， ，
而 ，
．
解：（2）．
18．如图，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若点 在 上，且 ，则 成立吗？为什么？
【解答】（1）证明：在正方形 中，
，
．
．
（2）解： 成立．
理由是： 由（1）得： ，
，
，即 ，
又 ， ．，
．
．
．
19．正方形 的边长为3， 、 分别是 、 边上的点，且 ．将
绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
【解答】解：（1）证明： 逆时针旋转 得到 ，
，
、 、 三点共线，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
；
（2）设 ，
，且 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ，
则 ．
