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专题1.8 矩形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、坐标系下的矩形问题
1．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是
OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是
（ ）
A．（0，4） B．（0，5）
C．（0，3） D．（0，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是 ， ，点C为线段
的中点，则 的长等于（ ）
A． B． C．5 D．10
3．如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A
出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的
函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为12 B．AD边的长为4
C．当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D．ΔAOP的面积为3时，x的值为3或104．如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝
2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
类型二、折叠中的矩形问题
5．如图，把长方形纸片ABCD沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为 ，那么
下列说法错误的是（ ）
A． 是等腰三角形， B．折叠后 和 一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 和 一定是全等三角形
6．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片ABCD，使AD和BC
重合，得到折痕EF，把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过
点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察探究可以得到∠NBC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点C的坐标为 ，把矩形
沿 折叠，点 落在点 处，则点 的纵坐标为（ ）A．-2 B．-2.4 C．-2 D．-2
8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片 可以进行如下操
作：①把 翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为 ，点F在 边上；②把
翻折，点D落在 边上的点G处，折痕为 ，点H在 边上，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
类型三 矩形背景下的最值问题
9．如图， ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且
BD=DE，F是线△段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
10．如图， ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在
边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）
A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足 ＝ S ABCD，则点
矩形
P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC
重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与
EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④ BMG是等边三角形；⑤点P为线段BM上
一动点，点H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是 ．其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
类型四、旋转中的矩形问题
13．如图，矩形 的顶点 ， ， ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，将斜边为4，且一个角为30°的直角三角形AOB放在直角坐标系中，两条
直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将三角形AOB绕O点顺时针旋转120°得到
三角形EOC，则点D对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣ ） B．（ ，1） C．（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）
15．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB= ，对角线AC上有一点G（异于A，C），
连接 DG，将 AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF，则BF的长为（ ）
△ △
A． B．2 C． D．2
16．如图，矩形 的顶点 ，点D为 上一动点，将
绕点O顺时针旋转得到 ，使得点A的对应点 落在 上，当 的延长线恰好经
过点C时，点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
类型一、坐标系下的矩形问题
17．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点
A，BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，
则m的值为____．
18．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐
标为（12，5），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 _____．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ，
，点 是 的中点，点 在 边上运动，点 是坐标平面内的任意一点．若以 ，， ， 为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点 的坐标为___________．
20．如图，平面直角坐标系中，长方形 ，点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴
上， ， ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，且 ，
则点 坐标为______．
类型二、折叠中的矩形问题
21．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、
D分别落在 、 的位置，若 ，则 等于_________．
22．如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上任意一点，将
沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ，若 是直角三角形，则线段 的长为
________．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E是BC边上一动点，连接AE．将△ABE沿AE翻折得到△AEF，连接DF．当△ADF的面积为 时，线段BE的长为______．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将 沿AE翻折，
点B的对应点为F．若线段AF的延长线经过矩形一边的中点， ，则BE长
为_________．
类型三 矩形背景下的最值问题
25．如图，在矩形 中， ，点 是 上一点， ， 是 上
一动点， 、 分别是 ， 的中点，则 的最小值为______．
26．如图，在长方形 中，已知 ，点 是 边上一动点（点 不
与 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
_________．27．如图，矩形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同时出发，
以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动，当点 到达点 时，运动停止，过点
作直线 的垂线 ，垂足为点 ，连接 ，则 长的最小值为________．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，
将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，
则PB′+PC+PD的最小值为 ___．
类型四、旋转中的矩形问题
29．如图，将矩形 绕点 逆时针旋转 ，连接 ， ，当 为
______ 时 ．30．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A，C的坐标分别为 ， ，
将矩形 绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为 ．当点 落在x轴
的正半轴上时，点 的坐标为________．
31．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得
到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则 _______．
32．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点
．以点 为中心，顺时针旋转矩形 得到矩形 ，点 ， ， 的对应点
分别为 ， ， ．记 为矩形 对角线的交点，则 的最大面积为__．
三、解答题
33．在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片ABCD，如何用折纸的方法把 三等分？”
通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片ABCD，
使AD与BC重合，得到折痕EF，然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上的点
N，得到折痕BM和线段BN，如图所示．则BM和BN三等分 ．
请你对奋进组这种做法的合理性给出证明．
34．材料阅读
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为 ，端点B的坐标为 ，则线段AB中
点的坐标为 ，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点 、
为端点的线段中点坐标为 ．
(1)知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原
点，点E的坐标为 ，则点M的坐标为 ．
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有 ， ， 三点，另有一点D与点A、B、C构成平
行四边形的顶点，求点D的坐标．35．请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，
使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，
则 与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设 与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为
D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为 ；
(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值 ；
(3)求出 的最小值．参考答案
1．C
【分析】
由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在 中，由勾股定
理可求得 ，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在 中，由勾股定理即
可求得OD=3，继而求得点D的坐标.
解：∵点B的坐标为（10，8），
∴AO=BC=10，AB=OC=8，
由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，
在 中，由勾股定理得： ，
∴OE=AO-AE=10-6=4，
设OD=x，则DE=CD=8-x，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
∴OD=3，
∴点D的坐标是（0，3）.
故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键.
2．C
【分析】
根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案．
解：∵A，B两点的坐标分别是（8，0），（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∵点C为AB的中点，
∴OC= AB= ×10=5，
故选：C．
【点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌
握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
3．C
【分析】
过点P作PE⊥AC于点E，根据ΔAOP的边OA是一个定值，OA边上的高PE最大时是
点P分别与点B和点D重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断．
解：A、过点P作PE⊥AC于点E，当点P在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到
点B时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0，而y= 中，OA为定值，所以y是先
增大后减小，在B点时面积最大，在C点时面积最小； 观察图②知，当点P与点B重合
时，ΔAOP的的面积为3，此时矩形的面积为：4 3=12，故选项A正确；
B、观察图②知，当运动路程为7时，y×的值为0，此时点P与点C重合，所以有
AB+BC=7,
又AB∙BC=12，解得：AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3，但AB<BC，所以AB=3，
BC=4，根据四边形ABCD为矩形，所以AD=4，故选项B正确；
C、当x=2.5时，即x<3，点P在边AB上
由勾股定理，矩形的对角线为5，则OA=2.5，所以OA=AP，△AOP是等腰三角形，
但△ABC是三边分别为3，4，5的直角三角形，故∠BAC不可能为60°，从而△AOP不是等边三角形，故选项C错误；
D、当点P在AB和BC边上运动时，点P与点B重合时最大面积为3，此时x的
值为3；
当点P在边CD和DA上运动时，PE逐渐增大，到点D时最大，然后又逐渐减小，
到点A时为0，而y= 也是先增大再减小，在D点时面积最大，在A点时面积最小；
所以当点P与点D重合时，最大面积为3，此时点P运动的路程为AB+BC+CD=10，即
x=10，所以当x=3或10时，ΔAOP的面积为3，故选项D正确．
故选：C．
【点拨】本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、
解方程等知识，关键是确定点P到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时
善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口．
4．B
【分析】
先连接 ，取其中点 ，连接 、 ，根据点D、E为线段AC、AO的中点求出
DE的长，再根据斜中线定理求出BE的长，当当 、 、 三点在同一条直线上时，BD
值最大，求出结果即可．
解：如下图所示，连接 ，取其中点 ，连接 、 ，
∵点D、E为线段AC、AO的中点，
∴ ,
又∵AB⊥x轴于点B，
∴
∴ ，
当 、 、 三点在同一条直线上时，BD值最大，此时 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到
两点之间线段最短．
5．B
【分析】
根据长方形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，
推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得A,C,D正确；无法判
断∠ABE和∠CBD是否相等．
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，
∵折叠
∴ ，
，
在△AEB和△ ED中，
，
∴△AEB≌△ ED（AAS），
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形，
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等．
故其中正确的是A，C，D．
故选B【点拨】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于应注意折叠是一种对称变换，它属
于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
6．C
【分析】
BM交EF于P，如图，根据折叠的性质得∠BNM=∠A=90°，∠2=∠3，EF∥AD，
AE=BE，则可判断EP为 BAM的中位线，利用平行线的性质得∠1=∠NBC，根据斜边上
的中线性质得PN=PB=PM△，所以∠1=∠2，从而得到∠NBC=∠2=∠3，然后利用
∠NBC+∠2+∠3=90°可得到∠NBC的度数．
解：BM交EF于P，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线
段BN，
∴∠BNM＝∠A＝90°，∠2＝∠3，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，
∴EF∥AD，AE＝BE，
∴EP为 BAM的中位线，∠1＝∠NBC，
∴P点为△BM的中点，
∴PN＝PB＝PM，
∴∠1＝∠2，
∴∠NBC＝∠2＝∠3，
∵∠NBC+∠2+∠3＝90°，
∴∠NBC＝30°．
故选C．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．
7．B【分析】
由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及
等角对等边得到BE＝OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形
对应边相等得到DE＝AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的
长，即可确定出D坐标．
解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，
∴∠DBO＝∠BOA，
∴BE＝OE，
在△ODE和△BAE中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8−x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42＋x2＝（8−x）2，
解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED＝ OD•DE＝ OE•DF，
∴DF＝
∴点 的纵坐标为- =-2.4，
故选：B.【点拨】此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟
练掌握折叠的性质是解本题的关键．
8．A
【分析】
利用翻折不变性可得 ，推出 ， ，设 ，在
中， ，可得 ，设 ，在 中，
，可得 ，由此即可解决问题．
解： 四边形 是矩形，
， ， ，
由翻折不变性可知： ， ， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，在 中有： ，
，
设 ，在 中， ，
，
，，
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用
参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】
过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，当DF⊥FH时，DF取得最小值，
据此求解即可．
解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图：
∵BD=DE，EF=FC，
∴BG=GE，EH=HC，
当DF⊥FH时，DF取得最小值，
此时，四边形DGHF为矩形，
∴DF=GH= BE+ EC= BC=2．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
10．B
【分析】
根据三角形斜边中线的性质求得 ， ，由当 、 、 在
同一直线上时， 取最小值，即可求得 的最小值．
解： 中， ， ， ，，
，点 、 分别是 、 的中点，
， ，
当 、 、 在同一直线上时， 取最小值，
的最小值为： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确 、 、
在同一直线上时， 取最小值是解题的关键．
11．C
【分析】
首先由 ，得出动点 在与 平行且与 的距离是2的直线 上，作
关于直线 的对称点 ，连接 ，连接 ，则 的长就是所求的最短距离．然后在直角
三角形 中，由勾股定理求得 的值，即 的最小值．
解：设 中 边上的高是 ．
，
，
，
动点 在与 平行且与 的距离是2的直线 上，如图，作 关于直线 的对
称点 ，连接 ，连接 ，则 的长就是所求的最短距离．
在 中， ， ，
，即 的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，
两点之间线段最短的性质．得出动点 所在的位置是解题的关键．
12．B
【分析】
①根据折叠的性质得出AE=BE，AB=BN，∠NEB=90°，再根据含30度的直角三角形
判定定理即可得出∠ENB＝30°，即可得出∠ABN＝60°；
②根据折叠的性质得出∠ABM＝∠NBM＝30°，设AM=x，根据勾股定理即可求出AM
的值；
③直接根据矩形的性质即可得出；
④根据∠ABM＝30°，得出∠MBG＝∠BMA＝60°，再根据折叠的性质和等量代换即可
得出△BGM是等边三角形；
⑤根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH＝BE，结合题意得出PE＝PH，再根据
三点共线时值最小及勾股定理即可判断．
解：由折叠可知，AE=BE，AB=BN，∠NEB=90°，
在Rt△BEN中，
∵BN＝AB＝2BE，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ABN＝60°，故①正确；
由折叠可知，∠ABM＝∠NBM＝30°，
设AM=x，则BM=2x，
x2+22=(2 x)2，
∵x＞0，
解得：x= ，即 ，故②错误；
∵∠ABG＝90°，
∴AB⊥CG，故③正确；
∵∠ABM＝30°，
∴∠MBG＝∠BMA＝60°，
由折叠可知，∠BMG＝∠BMA＝60°，
∴∠MBG＝∠BMG＝∠MGB＝60°,
∴△BGM是等边三角形，故④正确，
连接PE．∵点H是BN的中点，
∴BH＝BE＝1，
∵∠MBH＝∠MBE，
∴E、H关于BM对称，
∴PE＝PH，
∴PH+PN＝PE+PN，
∴E、P、N共线时，PH+PN的值最小，
EN＝ = ，故⑤正确，
故选为B．
【点拨】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判断、
轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
13．D
【分析】
过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，
求出∠COE=45°，OC=4 ，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F，由旋转得
1 1∠COC =75°，求出∠C OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．
1 1
解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD BC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵ ， ， ，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4 ，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F，
1 1
由旋转得∠COC =75°，
1
∴∠C OF=30°，
1
∴C F= OC = OC=2 ，
1 1
∴OF= ，
∴点C 的坐标为 ，
1
故选：D．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，
熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
14．A
【分析】
根据题意画出 AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的 A′OB′，连接OD，OD′，过D′
作DM⊥y轴，由旋△转的性质得到∠DOD′＝120°，根据AD＝△BD＝OD＝2，得到∠AOD度数，
进而求出∠MOD′度数为30°，在直角三角形OMD′中求出OM与MD′的长，即可确定出D′
的坐标.
解：根据题意画出 AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的 A′OB′，连接OD，OD′，
过D′作DM⊥y轴， △ △
∴∠DOD′＝120°，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝OD＝ AB＝2，
∴∠BAO＝∠DOA＝30°，
∴∠MOD′＝30°，
在Rt OMD′中，OD′＝OD＝2，
△
∴MD′＝1，OM＝ = ，
则D的对应点D′的坐标为（1，﹣ ），
故选：A.【点拨】此题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，30度角
所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，正确掌握旋转的性质得到对应的旋转图
形进行解答是解题的关键.
15．A
【分析】
过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°， AGD绕点A 逆时针旋转
60°得到 AEF，得∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四边形ABCD是△矩形，∠BAD=90°，得到
△
∠FAH=30°，在Rt AFH中，FH= AF=1，由勾股定理得AH= ，得到
△
BH=AH+AB=2 ，再由勾股定理得BF= ．
解：如图，过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠FHA=90°，
∵ AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF
∴∠△FAD=60°，AF=AD=2， △
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°
∴∠BAF=∠FAD+ ∠BAD=150°
∴∠FAH=180°－∠BAF=30°
在Rt△AFH中，FH= AF=1由勾股定理得
AH=
在Rt△BFH中，FH=1，BH=AH+AB=2
由勾股定理得
BF=
故BF的长 ．
故选：A
【点拨】本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线．
16．B
【分析】
当 的延长线恰好经过点C时， ，即可求出 的坐标，再求出 的解析
式即可；
解：当 的延长线恰好经过点C时，
过 作 于E
∵
∴
由旋转可得：
∴
∵∴ ，解得
∴
∴ 的坐标为
∴ 的解析式为
∵矩形
∴D点纵坐标与A一致为3
∵D在 上
∴D点坐标为
故选：B．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，求出 的坐标是解题
的关键．
17．-3
【分析】
先由BA⊥x轴，BC⊥y轴得到四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得直线l过矩
形OABC的中心点，再由点B和点O的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入
直线l的解析式求得m的值．
解：∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴四边形OABC是矩形，
∵直线l将四边形OABC分为面积相等的两部分，
∴直线l过矩形OABC的中心点，
∵点B（3，3），点O（0，0），
∴矩形OABC的中心点为（ ， ），（中点坐标公式）
将中心点（ ， ）代入y＝mx﹣2m得， m﹣2m ，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过
直线l平分四边形OABC的面积得到直线l经过矩形OABC的中心点．
18．（0，2.4）##（0， ）
【分析】
过D作DE⊥AC于E，根据矩形的性质和B的坐标求出OC＝AB＝5，OA＝BC＝12，
∠COA＝90°，求出OD＝DE，根据勾股定理求出OA＝AE＝12，AC＝13，在Rt△DEC中，
根据勾股定理得出DE2+EC2＝CD2，求出OD，即可得出答案．
解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（12，5），
∴OC＝AB＝5，OA＝BC＝12，∠COA＝90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD＝DE，
由勾股定理得：OA2＝AD2﹣OD2，AE2＝AD2﹣DE2，
∴OA＝AE＝12，
由勾股定理得：AC＝ ，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝CD2，
即OD2+（13﹣12）2＝（5﹣OD）2，
解得：OD＝2.4，
所以D的坐标为（0，2.4），
故答案为：（0，2.4）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理
得出关于OD的方程是解此题的关键．
19． 或 或
【分析】当以 ， ， ， 为顶点的四边形是边长为5的菱形时，有三种情况，分
，点 在点 的左侧； ； ，点 在点 的右侧，结合矩
形的性质和勾股定理可求得点 的坐标．
解：有三种情况：
（1）如答图①所示， ，点 在点 的左侧．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；
（2）如答图②所示， ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；（3）如答图③所示， ，点 在点 的右侧．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴此时点 坐标为 ，此时 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ；
故答案为 或 或 ．
【点拨】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论
的思想是解题关键．
20．
【分析】
过点 作 ，过点 作 ，并延长 交 延长线于点 ，设
，根据三角形全等得到 ，则 ，求出直线 解析式，
代入点 求出 ，即可求解．
解：过点 作 ，过点 作 ，并延长 交 延长线于点 ，如下
图：则 ，∴ ，
∴
在矩形 中， ，
∴
∴四边形 为矩形
∴ ， ，
∴
∵
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
设直线 解析式为
由题意可知 ，代入 得， ，解得 ，
又∵点 在直线 上，∴
解得 ，即
∴
∴点 坐标为
故答案为
【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等
腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解．21．30°##30度
【分析】
根据矩形的性质得出AD∥BC，根据平行线性质得出∠BFE=∠DEF，根据折叠性质得出
∠D′EF=∠DEF=75°即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∵∠BDE=75°，
∴∠DEF=75°，
∵四边形EDCF沿EF折叠得到四边形ED′C′F，
∴∠D′EF=∠DEF=75°，
∴∠AED′=180°-∠D′EF-∠DEF=180°-75°-75°=30°．
故答案为：30°．
【点拨】本题考查矩形性质，平行线性质，折叠性质，掌握矩形性质，平行线性质，
折叠性质是解题关键．
22．4或
【分析】
是直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，利用勾股定理求出
AC，利用折叠性质得出 ，当 是直角三角形时，只能得到 ，
推出点A，F，C共线，则 ；当点F落在矩形的AD边上时， 为正方形，
利用勾股定理计算CF．
解：分两种情况，
（1）当点F落在矩形内部时，如下图所示，连接AC，在 中， ， ，
，
将 沿 折叠，使点 落在点 处，
，
当 是直角三角形时，只能得到 ，
点A，F，C共线，即点B落在对角线AC上的点F处，
， ，
；
（2）当点F落在矩形的AD边上时，如下图所示，
由题意， ， ，
为正方形，
， ，
，
综上，CF的长为4或 ，
故答案为：4或 ．
【点拨】本题考查折叠问题、矩形性质、勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质
——折叠前后两图形全等，即对应线段相等、对应角相等，注意分情况讨论是解题的关键．23．
【分析】
过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方
程求解即可．
解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，
由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，
∵△ADF的面积为 ，
∴ ，
∵AD＝5，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABN=∠BAN=∠AMN=90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴ ，∠BNM=90°，AB=MN=3，
∴FN=MN-FM=2，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．
24． 或 或2
【分析】
主要分三种情况进行讨论：①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，②当线段AF
的延长线经过AD的中点时，③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，进行一一求解
即可．
解：分三种情况讨论，
①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，如图1，此时BG=CG=2，
图1
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt ABG中，AB=BG=2，
△
∴AG= ，∠AGB=45°，
∴FG= ，EF=FG，
∴BE=EF=FG= ；
②当线段AF的延长线经过AD的中点时，如图2，此时BE=CE=2，
图2
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AF=2，
③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，如图3，此时DG=CG=1，
图3
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt ADG中，AD=4，DG=1，
△
∴ ，
∴ ，
设BE=x，则EF=x，CE=4-x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： 或 或2．
【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是
解决本题的关键．
25．
【分析】根据题意可知，本题考查的是“两定一动”问题，求线段和最小，即“将军饮马”问
题，以此进行解题即可．
解：如图所示，作EH⊥BC，交BC于H，作AB，CD的中点M、N，连接MN，作Q
点关于MN的对称点 ，
∵P为EF的中点，
∴P点的运动轨迹在线段MN上，
∴ 最小时，F与 点重合，
∵ ，EH⊥BC，
∴BH=AE=3，DC=EH=2，
∵Q为AE的中点，
∴QE= ，
∴在 中， ，
即 最小值为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是“将军饮马”问题，从几何问题中提取对应模型，并进行
解题是本题的关键．
26．4
【分析】
根据对称性得到AB＝AM＝6，在 中根据三角形三边关系可得 ，
所以当A，M，C三点共线时，CM最短，求解即可．
解：连接AM，AC，如图所示：∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝6，
在 中根据三角形三边关系可得： ，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝ ，
∴CM＝AC-AM=10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、三角形三边关系、矩形
性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定CM的取值范围．
27．4
【分析】
因为EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF⊥BC时，
即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合，即可求解．
解：∵动点 、 分别从点 、 同时出发，以相同的速度分别沿 、 向终点 、
移动，
∴AE=CF
∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，
∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与
F重合，
∴CP=
故答案为：4
【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P的位置是解题的关键．
28．【分析】
将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′．由作图可知，
△PDP′，△DCC′都是等边三角形，推出DP＝PP′，由CP＝P′C′，推出PB′＋PD＋PC＝PB′
＋PP′＋P′C′，根据EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，可得结论．
解：将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′，由题意，
AE＝EB＝EB′，
∴点B′在 上运动，
由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，
∴DP＝PP′，
∵CP＝P′C′，
∴PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，
∵EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，
如图，连接 ， 交于点 ，
中，又
∴PB′＋PP′＋P′C′≥12＋ -4，
∴PB′＋PP′＋P′C′≥8＋ ，
∴PB′＋PC＋PD的最小值为8＋ ，
故答案为：8＋ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短，等
边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线．
29．60
【分析】
连接 ，过 作 于 ，交 于 ，根据等腰三角形的性质与判定得
， ，进而得到 垂直平分 ，证得 为等边三角形便可．
解：连接 ，过 作 于 ，交 于 ，如下图，
要使 ，则 ， ，
，
，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
，
垂直平分 ，
，
由旋转性质知， ，，
是等边三角形，
，
故当 为 时， ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，关键
是证明 垂直平分 ．
30．
【分析】
连接 ， ，证明 ，可得 ，即可求解．
解：如图，连接 ， ，
由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，
由旋转可知 ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ，
∴ 坐标为（4,0），
故答案为：（4,0）．
【点拨】本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关
是证明 ．
31．
【分析】根据题意构造并证明 ，通过全等得到 ，再
结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；
解：如图，延长DH交EF于点k，
∵H是 的中点
又
则
故答案为：
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转
的性质正确构造全等三角形是解题的关键．
32．
【分析】
首先根据矩形的性质求出AB，进而得出BK，AD，再根据旋转的性质判断△ 的
面积最大，最后根据三角形的面积公式得出答案.
解：∵ A（5，0），B（0，3），∴ ， .
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵矩形 是由矩形 旋转得到，
∴ ，
如图，
当点 在 的延长线上时，△ 的面积最大，
最大面积 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转变换等，确定三角形的最大面
积是解题的关键．
33．见分析
【分析】
设BM、EN交于点P，通过折叠及直角三角形斜边上的中线性质证明
PA=PB=PM=PN，即可证明BM和BN三等分 ．
解：设BM、EN交于点P，∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴EF垂直平分AB
∴PA=PB
∴
∵
∴
∴PA=PB=PM
即P是BM中点
∵折叠纸片，使点A落在EF上的点N
∴ ，
∴PA=PB=PM=PN
∴
∵EF∥BC
∴
∴
即BM和BN三等分
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角
形斜边上的中线性质．
34．(1)
(2)（1，-1）或（﹣3，5）或（5，3）
【分析】
（1）知识运用：由矩形的性质得出OM=EM，M为OE的中点，由线段中点坐标公式
即可得出结果；（2）能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为
对角线时，由平行四边形的性质对角线互相平分，中点公式，即可得出结果．
解：(1)
知识运用：
∵矩形ONEF的对角线相交于点M，
∴OM＝EM，M为OE的中点，
∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），
∴点M的坐标为（ ， ），
即点M的坐标为（2， ）；
故答案为（2， ）；
(2)
能力拓展：
如图所示：
设D的坐标为
有三种情况：①当AB为对角线时，
∵A（﹣1，2）， ，C（1，4）， ，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为（1，-1），
②当BC为对角线时，∵A（﹣1，2）， ，C（1，4）， ，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为（5，3）．
③当AC为对角线时，
∵A（﹣1，2）， ，C（1，4）， ，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为：（﹣3，5），
综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，-1）或（﹣3，5）或（5，3）．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质等相关知识，
关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
35．(1)3 (2)3 (3)
【分析】
（1）作AE l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得△CPA’是等腰直角三角形，
然后得到△BEA’是等腰直角三角形，从而求得A’B的值；
（2）作AE l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A’E，然后根据勾股定
理即可求得A’B，从而求得AP＋BP的值；
（3）设AC＝5m−3，PC＝1，则PA＝ ；设BD＝8−5m，PD＝3，则PB＝
，结合（2）即可求解．
(1)
解：作A’E l，交BD的延长线于E，如图3，
∵AA’⊥l，BD⊥l，
∴DE⊥A’E
∴四边形A’EDC是矩形，
∵CP＝ AC＝1∴CP＝ A’C
∴△CPA’是等腰直角三角形，
∴∠CA’P=45°
∵A’E l，
∴∠CA’E=90°
∴∠BA’E=45°
∴△BEA’是等腰直角三角形，
∵A’E=CP+DP=3
∴BE=A’E=3
∴A’B=
∴AP+BP= A’B=3
故答案为：3 ；
(2)
作A’E l，交BD的延长线于E，如图3，
∵AA’⊥l，BD⊥l，
∴DE⊥A’E
∴四边形A’EDC是矩形，
∴A’E＝DC＝6，DE＝A’C＝AC＝1，
∵BD＝2，∴BD＋AC＝BD＋DE＝3，
即BE＝3，
在Rt△A’BE中，A’B＝ ，
∴AP＋BP＝A’P＋BP＝A’B＝3 ，
故答案为：3 ；
(3)
如图3，设AC＝5m−3，PC＝1，则PA＝ = ；
设BD＝8−5m，PD＝3，则PB＝ = ，
∵DE＝AC＝5m−3，
∴BE＝BD＋DE＝5，A’E＝CD＝PC＋PD＝4，
∴PA＋PB的最小值为A’B＝ ，
∴ 为 ．
【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应
用是解题的关键．
