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专题1.8 矩形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、坐标系下的矩形问题
1．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是
OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是
（ ）
A．（0，4） B．（0，5）
C．（0，3） D．（0，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是 ， ，点C为线段
的中点，则 的长等于（ ）
A． B． C．5 D．10
3．如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A
出发，沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，ΔAOP的面积为y，y与x的
函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为12 B．AD边的长为4
C．当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D．ΔAOP的面积为3时，x的值为3或104．如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝
2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
类型二、折叠中的矩形问题
5．如图，把长方形纸片ABCD沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为 ，那么
下列说法错误的是（ ）
A． 是等腰三角形， B．折叠后 和 一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 和 一定是全等三角形
6．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片ABCD，使AD和BC
重合，得到折痕EF，把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过
点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察探究可以得到∠NBC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点C的坐标为 ，把矩形
沿 折叠，点 落在点 处，则点 的纵坐标为（ ）A．-2 B．-2.4 C．-2 D．-2
8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片 可以进行如下操
作：①把 翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为 ，点F在 边上；②把
翻折，点D落在 边上的点G处，折痕为 ，点H在 边上，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
类型三 矩形背景下的最值问题
9．如图， ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且
BD=DE，F是线△段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
10．如图， ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在
边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）
A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足 ＝ S ABCD，则点
矩形
P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC
重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与
EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④ BMG是等边三角形；⑤点P为线段BM上
一动点，点H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是 ．其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
类型四、旋转中的矩形问题
13．如图，矩形 的顶点 ， ， ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，将斜边为4，且一个角为30°的直角三角形AOB放在直角坐标系中，两条
直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将三角形AOB绕O点顺时针旋转120°得到
三角形EOC，则点D对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣ ） B．（ ，1） C．（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）
15．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB= ，对角线AC上有一点G（异于A，C），
连接 DG，将 AGD绕点A 逆时针旋转60°得到 AEF，则BF的长为（ ）
△ △
A． B．2 C． D．2
16．如图，矩形 的顶点 ，点D为 上一动点，将
绕点O顺时针旋转得到 ，使得点A的对应点 落在 上，当 的延长线恰好经
过点C时，点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
类型一、坐标系下的矩形问题
17．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点
A，BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，
则m的值为____．
18．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐
标为（12，5），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 _____．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ，
，点 是 的中点，点 在 边上运动，点 是坐标平面内的任意一点．若以 ，， ， 为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点 的坐标为___________．
20．如图，平面直角坐标系中，长方形 ，点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴
上， ， ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，且 ，
则点 坐标为______．
类型二、折叠中的矩形问题
21．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、
D分别落在 、 的位置，若 ，则 等于_________．
22．如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上任意一点，将
沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ，若 是直角三角形，则线段 的长为
________．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E是BC边上一动点，连接AE．将△ABE沿AE翻折得到△AEF，连接DF．当△ADF的面积为 时，线段BE的长为______．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将 沿AE翻折，
点B的对应点为F．若线段AF的延长线经过矩形一边的中点， ，则BE长
为_________．
类型三 矩形背景下的最值问题
25．如图，在矩形 中， ，点 是 上一点， ， 是 上
一动点， 、 分别是 ， 的中点，则 的最小值为______．
26．如图，在长方形 中，已知 ，点 是 边上一动点（点 不
与 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
_________．27．如图，矩形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同时出发，
以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动，当点 到达点 时，运动停止，过点
作直线 的垂线 ，垂足为点 ，连接 ，则 长的最小值为________．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，
将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，
则PB′+PC+PD的最小值为 ___．
类型四、旋转中的矩形问题
29．如图，将矩形 绕点 逆时针旋转 ，连接 ， ，当 为
______ 时 ．30．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A，C的坐标分别为 ， ，
将矩形 绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为 ．当点 落在x轴
的正半轴上时，点 的坐标为________．
31．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得
到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则 _______．
32．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点
．以点 为中心，顺时针旋转矩形 得到矩形 ，点 ， ， 的对应点
分别为 ， ， ．记 为矩形 对角线的交点，则 的最大面积为__．
三、解答题
33．在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片ABCD，如何用折纸的方法把 三等分？”
通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片ABCD，
使AD与BC重合，得到折痕EF，然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上的点
N，得到折痕BM和线段BN，如图所示．则BM和BN三等分 ．
请你对奋进组这种做法的合理性给出证明．
34．材料阅读
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为 ，端点B的坐标为 ，则线段AB中
点的坐标为 ，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点 、
为端点的线段中点坐标为 ．
(1)知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原
点，点E的坐标为 ，则点M的坐标为 ．
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有 ， ， 三点，另有一点D与点A、B、C构成平
行四边形的顶点，求点D的坐标．35．请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，
使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，
则 与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设 与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为
D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为 ；
(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值 ；
(3)求出 的最小值．参考答案
1．C
【分析】
由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在 中，由勾股定
理可求得 ，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在 中，由勾股定理即
可求得OD=3，继而求得点D的坐标.
解：∵点B的坐标为（10，8），
∴AO=BC=10，AB=OC=8，
由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，
在 中，由勾股定理得： ，
∴OE=AO-AE=10-6=4，
设OD=x，则DE=CD=8-x，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
∴OD=3，
∴点D的坐标是（0，3）.
故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键.
2．C
【分析】
根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案．
解：∵A，B两点的坐标分别是（8，0），（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∵点C为AB的中点，
∴OC= AB= ×10=5，
故选：C．
【点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌
握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
3．C
【分析】
过点P作PE⊥AC于点E，根据ΔAOP的边OA是一个定值，OA边上的高PE最大时是
点P分别与点B和点D重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断．
解：A、过点P作PE⊥AC于点E，当点P在AB和BC边上运动时，PE逐渐增大，到
点B时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0，而y= 中，OA为定值，所以y是先
增大后减小，在B点时面积最大，在C点时面积最小； 观察图②知，当点P与点B重合
时，ΔAOP的的面积为3，此时矩形的面积为：4 3=12，故选项A正确；
B、观察图②知，当运动路程为7时，y×的值为0，此时点P与点C重合，所以有
AB+BC=7,
又AB∙BC=12，解得：AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3，但AB
