文档内容
三角函数与解三角形专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 可得 ，进而求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
故选： .
2．（2023·湖南长沙·统考一模）若 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得 ，进而求出 .将 化为二次齐次式，即可求出结果.
【详解】由 可得， ，
所以 ，所以 .
故选：A.
3．（2022·云南红河·校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ， 的面积为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.
【详解】由题知， 的面积为 ，
所以 ，即
所以由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
故选：D
4．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知 ， ，则下列结论中
正确的是（ ）
A．函数 的周期为2
B．函数 的最大值为1
C．将 的图象向左平移 个单位后得到 的图象
D．将 的图象向右平移 个单位后得到 的图象【答案】D
【分析】先将函数 ， 根据诱导公式进行化简，再求出 的解析式，进而得到
的最小正周期和最大值可排除A，B；
再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．
【详解】∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，故AB错误；
将 的图象向左平移 个单位后得到 ，故C错误；
将 的图象向右平移 个单位后得到 ，故D正确.
故选：D．
5．（2023·贵州·校联考一模）在 中， 分别为角 的对边，且满足 ，则
的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换得 ，再由余弦定理解决即可.
【详解】由题知， ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 的形状为直角三角形，
故选：A6．（2022·四川南充·统考一模）函数 在 上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数 的奇偶性以及 在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数，排除CD选项，
且当 时， ， ，则 ，排除B选项.
故选：A.
7．（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：
今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目
着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法
领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛 的高度及海岛离海岸的距离，在海岸
边立两等高标杆 ， （ ， ， 共面，均垂直于地面），使目测点 与 ， 共线，目测点
与 ， 共线，测出 ， ， ，即可求出岛高 和 的距离（如图）．若 ，
， ， ，则海岛的高 （ ）A．18 B．16 C．12 D．21
【答案】A
【分析】由题可得 ， ，结合条件即得.
【详解】由题可知 ， ，
所以 ， ，又 ， ， ， ，
所以 ， ，
解得 ， .
故选：A.
8．（2022·四川·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量 ，
共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标运算可得 ，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可
得 ，结合角的范围求得 ，同理可得 ，则答案可求．
【详解】 向量 ， 共线， ，
由正弦定理得： ，，则 ，
， ， ，即 ．
同理可得 ．
形状为等边三角形．
故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知函数 的部分图像如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的单调递增区间是
D．将 的图像向左平移 个单位，可以得到 的图像
【答案】AD
【分析】求出函数 的最小正周期，可求出 的值，可判断A选项；由 结合 的取值范围
求出 的值，可判断B选项；利用余弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数的图像变换可判断D
选项.
【详解】对于A选项，设函数 的最小正周期为 ，则 ，则 ，所以， ，A对；
对于B选项， ，则 ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，B错；
对于C选项，由上可知 ，
由 可得 ，
因此，函数 的单调递增区间为 ，C错；
对于D选项，将 的图像向左平移 个单位，
可得到函数 的图像，D对.
故选：AD.
10．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）已知函数 （其中 ， ，
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B． 的图象关于直线 对称
C．
D． 在 上的值域为
【答案】AC
【分析】结合函数图像求出 的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函
数性质求出 在 上的值域可判断D.
【详解】由图像可知， ， ，故A正确；
从而 ，
又由 ， ，
因为 ，所以 ，
从而 ，故C正确；
因为 ，
所以 不是 的对称轴，故B错误；
当 时，则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ，即 ，从而 ，
即 在 上的值域为 ，故D错误.
故选：AC.
11．（2021·湖南永州·统考模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确
的是（ ）
A．若 为锐角三角形且 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ，则
D．若 ，则符合条件的 有两个
【答案】AC
【分析】对于A：可得 ，利用正弦函数单调性和诱导公式分析运算；对于B： ，则
或 ，则 为等腰三角形或直角三角形；对于C：利用大边对大角结合正弦定理处理
辨析；对于D：运用余弦定理 求 ．
【详解】若 为锐角三角形，则 ，即
∵ ，则 ，A正确；
，则 或 ，即 或
∴ 为等腰三角形或直角三角形，B错误；
∵
根据正弦定理
∴ ，C正确；
，即 ，即
符合条件的 只有一个，D错误；故选：AC．
12．（2022·江苏盐城·盐城市第一中学校考模拟预测）如图所示， 中， ，点
M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A． B．
C． D． 与 夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；
对B，根据三点共线的性质，结合 可得 ，进而得到 判断即可；
对C，根据余弦定理可得 ，再根据B中 两边平方化简求解即可；
对D，在 中根据余弦定理求解即可
【详解】对A， ，故A正确；
对B，设 ，则由A， ，故 ，因为 三点共线，故
，解得 ，故 ，故 ，所以 ，即
，故B错误；
对C，由余弦定理， ，由B有 ，故，即 ，所以 ，故C正确；
对D，在 中 ， ， ，故
，故D错误；
故选：AC
第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2023·广东肇庆·统考二模）若 ，则 __________.
【答案】 ##
【分析】利用辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
，或 ，
当 时，
可得 ，此时 ，显然 没有意义；
当 时， ，
此时 ，所以有 ，
当 时， ；
当 时， ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：考虑到分母不为零解题的关键.
14．（2022·四川德阳·统考一模）已知函数 的部分图象如图所示，则f（x）
=______.【答案】
【分析】根据对称轴 和过点 ，求出 的值，再根据 求 的范围，确定 的具
体值.
【详解】根据图像可得函数 的对称轴为 ，并且经过点
所以 ，所以 ，用因为
又因为
故答案为：
15．（2018·河南郑州·校联考模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，设 的
面积为 ，若 ，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求 的范围，然后由面积公式化简为
三角函数，求最值即可.
【详解】由题知 ，则
，当且仅当 时取等号.
，
而 ，
.
故答案为：
16．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是等边三角形， 是等腰三
角形， 交 于 ，则 __________.
【答案】 ##
【分析】由题意易得 ， ，在 中，分别求出 ，再利用
正弦定理即可得解.
【详解】解：由题意可得 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，，
在 中，由 ，
得 .
故答案为： .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数
，
(1)若当 时，函数 的值域为 ，求实数 的值；
(2)在（1）条件下，求函数 图像的对称中心和单调区间.
【答案】(1) ；
(2)对称中心为 ，单调减区间为 ， 的单调增区间为
.
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，结合 得到 ，
从而列出方程组，求出实数 的值；
（2）整体法求解函数的对称中心和单调区间.
【详解】（1）
， ，
，又 ，
，因此 ，
∴ ，解得： .（2）由（1）知 ，令 ，
整理得 ，
的图像的对称中心为 ，
令 ，整理得： ，
得单调减区间为 ，
令 ，整理得： ，
故 的单调增区间为 .
18．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数 的最大值和最小正周期；
(2)在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面积.若 且 求
的最大值.
【答案】(1)最大值为 ，最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换得 ，即可解决；（2）由题得 ，
代入题中解决即可.
【详解】（1）由题知，所以函数 的最大值为 ，最小正周期为 ．
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ．
因为B为锐角，
所以 ．
因为 ，
所以 ， .
所以 ．
所以 ．
当 时，原式有最大值 ．
所以 的最大值为 .
19．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ， ．
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，c＝3，若向量 与垂直，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到 ，再利用 计算即可；
（2）先通过 求出 ，再利用向量垂直求出 ，则 也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可
求出周长.
【详解】（1） ，
，
；
（2）由（1）得 ，
则 ，
，又 ，
，
又向量 与 垂直，
，
即 ，又，则 ，
由正弦定理 ，
则 ，
的周长为 .
20．（2023·全国·模拟预测）如图，四边形 中， 的
面积为 .
(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；
（2）在 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.
【详解】（1）在 中，由 的面积 ，可得 ，
由余弦定理 ，即 .
（2）在 中，由正弦定理 ，可得 ，∵ ，则 ，故 .
21．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若 .
(1)求证： ；
(2)若 ，点D为边AB上的一点，CD平分 ， ，求边长 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 解法一：利用余弦定理和题干的条件分别得出 ， ，
然后利用二倍角的余弦即可得出 ，进而求解；方法二：结合已知条件，利用正弦定理和二倍
角公式、两角和与差的余弦公式得出 ，然后根据正弦函数的性质即可求解；
(2)根据角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系分别求出 ， ，再利用三角形内角和
定理以及两角和的余弦求出 ，结合半角公式和两角和的正弦得出 ，
最后利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）解法一：∵ ，由余弦定理有
， .
∴ ，∴ .
又A，B，C为三角形内角，∴ .
解法二：因为 ，由正弦定理可得： ，由二倍角公式可得： ，
所以 ，
则有 ,
展开整理可得： ，
又 ，∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
又 ，∴ ， ，∴
（2）∵ ，∴ ， ，
∴ .又 ，所以 .
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ .
在 中，由正弦定理可得： ，
也即
∴ ，∴ .22．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）在 中， 所对的边分别为 ，且
，其中 是三角形外接圆半径，且 不为直角.
(1)若 ，求 的大小；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出 的大小.
(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解 的最小值.
【详解】（1）在 中， ，
进而 ，
，
，
又 不为直角，则 ， ，
， .
（2）由(1)知，
转化为 ，又 ， ， .，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
的最小值为 .
