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专题 1.2 矩形的性质与判定
目录
矩形的基本性质问题......................................................................................................................1
求线段长度......................................................................................................................................2
求周长..............................................................................................................................................3
求面积..............................................................................................................................................4
与垂直平分线..................................................................................................................................5
求角度..............................................................................................................................................7
矩形判定的条件..............................................................................................................................8
中位线求线段长度..........................................................................................................................9
直角三角形斜边上的中线............................................................................................................10
证明综合........................................................................................................................................11
动点问题........................................................................................................................................14
矩形的基本性质问题
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：
具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，
有两条对称轴）
【例1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【变式训练1】矩形具有而菱形不具有的性质是
A．两组对边分别相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【变式训练2】下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
【变式训练3】下列说法中正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分一组对角
D．矩形的对角线相等
求线段长度
【例2】如图，在矩形 中，两条对角线 、 相交于点 ，若 ，
，则
A．10 B．5 C． D．8
【变式训练1】如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ．过
点 作 于点 ，则 等于
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，
．若四边形 的周长为则 的长为A．4 B．2 C． D．
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 于点 ，点 为
的中点，连接 ，若 ，则 的长为
A．4 B． C． D．6
【变式训练4】如图，四边形 是矩形， 的平分线交 的延长线于点 ，若
， ，则 的长为
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
求周长
【例3】如图，在菱形 中， 、 交于点 ， ， ，若 ，
，则四边形 的周长为 ．【变式训练1】如图，在矩形 中， 是 的中点， ，若矩形的周长为
36，则 的长为
A．6 B．9 C．12 D．4
【变式训练2】如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点．
若 ， ，则 的周长为
A．10 B． C． D．14
【变式训练3】如图，在矩形 中， ， ． ，则四边形
的周长为A．6 B．8 C．10 D．12
求面积
【例4】如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 的直线交 ， 于点 ，
，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练1】两张全等的矩形纸片 、 按如图方式交叉叠放在一起．若
， ，则图中重叠（阴影）部分的面积为
A． B． C． D．8
【变式训练2】如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交 于点
，连接 ，若 ， ，则 的面积是 ．
A．10 B．16 C．20 D．32【变式训练3】如图，点 是矩形 内一点，连结 、 、 、 ，设 、
、 、 的面积分别为 、 、 、 ，以下四个判断：
①当 时， 、 、 三点共线
②存在唯一一点 ，使
③不存在到矩形 四条边距离都相等的点
④若 ，则
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
与垂直平分线
【例5】如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 垂直平分 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
A． B． C． D．3
【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点
，过点 作 垂直 交 于点 ，则 的长是A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
故选： ．
【变式训练2】如图，矩形 中， ，点 是 上的一点， ， 的
垂直平分线交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 是 的中点，则
的长是
A．8 B．7.5 C．7 D．6.5
故选： ．
【变式训练3】如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 垂直平分
，若 ，则
A．2 B．3 C．4 D．6【变式训练4】如图，矩形 的对角线 的垂直平分线分别交 、 、 于点
、 、 ，若 ， ，则 的长为
A．8 B．15 C．16 D．24
求角度
【例6】如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分 交 于 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】矩形 中如右图所示，对角线 、 交于点 ， 为 的中点，
连接 ，若 ，则
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作，垂足为点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，菱形 中，对角线 ， 交于点 ， ，过点
的直线与 ， 分别交于点 ， ，若四边形 是矩形，则 的度数是
A． B． C． D．
矩形判定的条件
矩形的判定：
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
【例7】如图，在四边形 中， ， 交 于点 ，再添加什么条件可以
判定四边形 为矩形A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练1】检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量门框的三个角是否都是直角
D．测量两条对角线是否互相平分
【变式训练2】如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，请你再添一个条件，使得
平行四边形 是矩形，则下列条件符合的是
A． 平分 B． C． D．
【变式训练3】关于矩形的判定，以下说法不正确的是
A．四个角相等的四边形是矩形
B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
中位线求线段长度
【例8】如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， ， 、 分别为 、的中点，则 的长度为
A．10 B．5 C．2.5 D．2.25
【变式训练1】如图，在矩形 中，点 从点 出发沿 向点 运动，点 、
分别是 、 的中点，则 的长随着 点的运动
A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
【变式训练2】如图，点 是矩形 的对角线 的中点， 交 于点 ，
若 ， ，则 的长为
A．5 B． C．8 D．10
【变式训练3】如图，在矩形 中， ， ， 的平分线 交 于
点 ．点 ， 分别是 ， 的中点，则 的长为A．2 B． C． D．
直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例9】如图，在 中， ， 是 的中点，若 ．则
的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中， 于点 ， 于点 ，点 是 的
中点，连接 、 ，设 ，则 的度数可表示为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， ， ，点 是 的中点．则的度数为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在四边形 中， ， ， 是
的中点， ，则 的面积为
A． B．16 C．8 D．
证明综合
【例10】如图， 是 对角线的交点， 于点 ，延长 至点 ，使
，连结 ．
（1）求证： ．
（2）当 为矩形， ， 时，求 ， 的长．【变式训练1】如图，在四边形 中， ， 两点分别是边 ， 的中点， ，
两点分别是对角线 ， 的中点，连接 ， ， ， ．
（1）若 时，求证：四边形 是菱形；
（2）添加适当的条件，使四边形 是矩形，并证明．【变式训练2】如图，在矩形 中， 是 上一点， 垂直平分 ，分别交
、 、 于点 、 、 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， 为 的中点， ，求 的长．
【变式训练3】如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 中点，
连接 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是矩形；
（3）当 ， 时，求 的面积．动点问题
【例11】如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向点 运动，
运动到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、
的速度都是 ．连接 、 、 ．设点 、 运动的时间为 ．
（1）当 为何值时，四边形 是矩形；
（2）当 为何值时，四边形 是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形 的周长和面积．
【变式训练1】在四边形 中， ， ， ，
点 从 出发以 的速度向 运动，点 从点 出发，以 的速度向点
运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为 ，
（1） 取何值时，四边形 为矩形？（2） 是 上一点，且 ， 取何值时，以 、 、 、 为顶点的四边形
是平行四边形？
1．在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则
A． B． C． D．
2．如图，在矩形 中， ， ，连接 ，作 的平分线交 于
点 ，则 的长度为
A． B．2 C．3 D．4
3．如图，在 中，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，将 分割后拼接成矩形 ．若 ， ，则
的面积是A．8 B．10 C．14 D．16
4．下列说法不正确的是
A．四条边都相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．平行四边形是轴对称图形
5．如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开．若测得 的
长为 ，则 ， 两点间的距离为
A． B． C． D．
6．如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是
A．10 B．15 C．20 D．30
7．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，则矩形
的面积是A．2 B． C． D．8
8．如图，矩形 中， ， ， 于 ，则
A． B． C． D．
9．如图，在 和 中， 是 的中点， ， ，若
，则 ．
5．
10．如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在边 上，且
．只需添加一个条件即可证明四边形 是矩形，这个条件可以是
．（写出一个即可）
11．如图，在 中， ，点 是 的中点，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，若 ， ，则 ．
6．
12．在矩形 中，对角线 和 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，
若 ， ，则线段 的长为 ．
13．如图，在 中， ，点 为边 的中点，点 在线段 上，
于点 ，连接 ， ．已知 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求线段 的长．14．如图，在平行四边形 中，点 在边 上，点 在边 上， ，连
接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 是矩形．
15．已知：如图 ， 、 分别是 、 的中点，求证：
．
