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专题 1.2 矩形的性质与判定
目录
矩形的基本性质问题.........................................................................................................................1
求线段长度.........................................................................................................................................3
求周长.................................................................................................................................................6
求面积.................................................................................................................................................9
与垂直平分线...................................................................................................................................13
求角度...............................................................................................................................................18
矩形判定的条件...............................................................................................................................21
中位线求线段长度...........................................................................................................................23
直角三角形斜边上的中线...............................................................................................................26
证明综合...........................................................................................................................................28
动点问题...........................................................................................................................................33
矩形的基本性质问题
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：
具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，
有两条对称轴）
【例1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选： ．
【变式训练1】矩形具有而菱形不具有的性质是
A．两组对边分别相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱
形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
【解答】解： ． 平行四边形的对角相等，
选项 不符合题意；
． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
选项 不符合题意；
． 矩形的对角线相等且互相平分，
选项 不符合题意；
． 四个内角相等的四边形为矩形，
选项 符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列说法中正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线平分一组对角D．矩形的对角线相等
【解答】解： 、 对角线相等的平行四边形是矩形，
选项 不符合题意；
、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
选项 不符合题意；
、 菱形的对角线平分一组对角，
选项 不符合题意；
、 矩形的对角线相等，
选项 符合题意；
故选： ．
求线段长度
【例2】如图，在矩形 中，两条对角线 、 相交于点 ，若 ，
，则
A．10 B．5 C． D．8
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，，
是等边三角形，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ．过
点 作 于点 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，
．若四边形 的周长为则 的长为
A．4 B．2 C． D．
【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
四边形 是菱形，
四边形 的周长为8，
，
，，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 于点 ，点 为
的中点，连接 ，若 ，则 的长为
A．4 B． C． D．6
【解答】解： ，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
根据勾股定理，得 ，
，
故选： ．
【变式训练4】如图，四边形 是矩形， 的平分线交 的延长线于点 ，若
， ，则 的长为
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
【解答】解：如图， 四边形 是矩形，
，
．
又 的平分线交 的延长线于点 ，
，．
．
，
．
在 直 角 中 ， ， ， 则 由 勾 股 定 理 知 ：
．
．
故选： ．
求周长
【例3】如图，在菱形 中， 、 交于点 ， ， ，若 ，
，则四边形 的周长为 ．
【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形，四边形 是菱形，
， ， ，
，
平行四边形 是矩形，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形 的周长 ，
故答案为：6
【变式训练1】如图，在矩形 中， 是 的中点， ，若矩形的周长为
36，则 的长为A．6 B．9 C．12 D．4
【解答】解 四边形 是矩形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
由题意 ，
，．
故选： ．
【变式训练2】如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点．
若 ， ，则 的周长为
A．10 B． C． D．14
【解答】解： 点 是矩形 对角线 的中点， ，
， 点为 中点．
， ，
，
，
，
在 中，利用勾股定理求得 ．
周长为 ．
故选： ．【变式训练3】如图，在矩形 中， ， ． ，则四边形
的周长为
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解： ， ，
四边形 为平行四边形，
， ，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
四边形 的周长为2
故选： ．
求面积
【例4】如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 的直线交 ， 于点 ，
，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．【解答】解： 四边形 是矩形，
， ；
又 ，
在 和 中，
，
，
，
；
，
．
故答案为6
【变式训练1】两张全等的矩形纸片 、 按如图方式交叉叠放在一起．若
， ，则图中重叠（阴影）部分的面积为A． B． C． D．8
【解答】解：设 交 于 ， 交 于 ，如图所示：
四边形 、四边形 是全等的矩形，
， ， ， ，
四边形 是平行四边形，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是菱形，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
菱形 的面积 ，
即图中重叠（阴影）部分的面积为 ，
故选： ．【变式训练2】如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交 于点
，连接 ，若 ， ，则 的面积是 ．
A．10 B．16 C．20 D．32
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
，故选： ．
【变式训练3】如图，点 是矩形 内一点，连结 、 、 、 ，设 、
、 、 的面积分别为 、 、 、 ，以下四个判断：
①当 时， 、 、 三点共线
②存在唯一一点 ，使
③不存在到矩形 四条边距离都相等的点
④若 ，则
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：①当 时，根据矩形四个角都是直角，
则有 ，
即 ，
根据直三角形两个锐角互余可知： 为 ，
即 为直角三角形，
则只有正方形 且 为中心时，
才可能 、 、 三点共线，故①错误；
②根据矩形对角线相等且互相平分的性质可知：存在唯一一点 满足 ，此时 为对角线的交点，故②正确；
③除非矩形 是正方形，则在其内部才存在到矩形 四条边距离都相等的点 ．
故③错误；
④ 和 可看作以 和 为底的三角形，
如图，过 分别作 于 ， 于 ，
则显然有 ， 在一条有线上，且满足 ，
则 ，
同理可知： ，
即 ，
故若 ，则 ，故④正确，
综上所述：②④正确．
故答案为：②④．
与垂直平分线
【例5】如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 垂直平分 ，交
于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为A． B． C． D．3
【解答】解： 四边形 是矩形．
， ．
垂直平分 ．
．
．
在 中，
．
在 中，
．
．
在 中，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点
，过点 作 垂直 交 于点 ，则 的长是A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
【解答】解：连接 ，如图：
在矩形 中， ， ，
， ， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ．
的长为
故选： ．
【变式训练2】如图，矩形 中， ，点 是 上的一点， ， 的垂直平分线交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 是 的中点，则
的长是
A．8 B．7.5 C．7 D．6.5
【解答】解：设 的长为 ，
在矩形 中， ，
，
．
，
．
点 是 的中点．
．
在矩形 中， ．
．
又 ，
．
， ．．
垂直平分 ．
．
．
．
在 中， ．
．
解得， ．
即 的长为
故选： ．
【变式训练3】如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 垂直平分
，若 ，则
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，垂直平分 ，
，
，
，
，
；
故选： ．
【变式训练4】如图，矩形 的对角线 的垂直平分线分别交 、 、 于点
、 、 ，若 ， ，则 的长为
A．8 B．15 C．16 D．24
【解答】解：连接 ， ，
是 的垂直平分线，
， ，
四边形 是矩形，
，，
在 和 中，
，
；
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
，
设 ，
是 的垂直平分线，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
，，
，
．
故选： ．
求角度
【例6】如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分 交 于 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
平分 ，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练1】矩形 中如右图所示，对角线 、 交于点 ， 为 的中点，
连接 ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】 四边形 是矩形，
， ， ，
，，
为 的中点，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作
，垂足为点 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，菱形 中，对角线 ， 交于点 ， ，过点
的直线与 ， 分别交于点 ， ，若四边形 是矩形，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
， ，
， 均为等边三角形，
四边形 是矩形，
， ，， 平分 ，
， ，
，
为等边三角形，
，
故选： ．
矩形判定的条件
矩形的判定：
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
【例7】如图，在四边形 中， ， 交 于点 ，再添加什么条件可以
判定四边形 为矩形
A． ， B． ， C． ，
D． ，
【解答】解：再添加条件为 ， 可以判定四边形 为矩形，理由如下：， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形，
故选： ．
【变式训练1】检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量门框的三个角是否都是直角
D．测量两条对角线是否互相平分
【解答】解： 门框两组对边分别相等，
门框是个平行四边形，
对角线相等的平行四边形是矩形，
故 不符合题意；
竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；
故 不符合题意；
三个角都是直角的四边形是矩形，
故 不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故 符合题意，
故选： ．
【变式训练2】如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，请你再添一个条件，使得平行四边形 是矩形，则下列条件符合的是
A． 平分 B． C． D．
【解答】解： 、 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形，故不符合题意；
、 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是矩形；
、 四边形 是平行四边形， ，四边形 是菱形，故不符合题意；
、 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是菱形，故不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】关于矩形的判定，以下说法不正确的是
A．四个角相等的四边形是矩形
B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【解答】解：四个角相等的四边形是矩形，故选项 正确，不符合题意；
一个内角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项 错误，符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 正确，不符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项 正确，不符合题意；
故选： ．
中位线求线段长度
【例8】如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， ， 、 分别为 、
的中点，则 的长度为
A．10 B．5 C．2.5 D．2.25
【解答】解： 四边形 是矩形，， ，
，
点 、 是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在矩形 中，点 从点 出发沿 向点 运动，点 、
分别是 、 的中点，则 的长随着 点的运动
A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
【解答】解：连接 ，如图所示：
， 分别是 ， 的中点，
，
是定点，
是定长，
无论 运动到哪个位置 的长不变，
故选： ．【变式训练2】如图，点 是矩形 的对角线 的中点， 交 于点 ，
若 ， ，则 的长为
A．5 B． C．8 D．10
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，且 ， ，
，
在 中， ，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在矩形 中， ， ， 的平分线 交 于点 ．点 ， 分别是 ， 的中点，则 的长为
A．2 B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
连接 ，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
故选： ．直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例9】如图，在 中， ， 是 的中点，若 ．则
的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 是 的中点，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中， 于点 ， 于点 ，点 是 的
中点，连接 、 ，设 ，则 的度数可表示为A． B． C． D．
【解答】解： 于点 ， 于点 ；
，
点 是 的中点，
， ，
， ，
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】如图， ， ，点 是 的中点．则
的度数为A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
，点 是 的中点，
点 ， ， ， 在以 为圆心， 为直径的同一个圆上，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在四边形 中， ， ， 是
的中点， ，则 的面积为A． B．16 C．8 D．
【解答】解： ， 是 的中点， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
证明综合
【例10】如图， 是 对角线的交点， 于点 ，延长 至点 ，使
，连结 ．
（1）求证： ．（2）当 为矩形， ， 时，求 ， 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
是 的中位线，
，
，
，即 ．
（2）解： 平行四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 中， ，，
，
．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ， 两点分别是边 ， 的中点， ，
两点分别是对角线 ， 的中点，连接 ， ， ， ．
（1）若 时，求证：四边形 是菱形；
（2）添加适当的条件，使四边形 是矩形，并证明．
【解答】（1）证明： 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ， ， ，
，
，
四边形 为菱形；
（2）解：添加 ，
理由如下： 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ， ， ，四边形 是平行四边形，
、 是 、 的中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【变式训练2】如图，在矩形 中， 是 上一点， 垂直平分 ，分别交
、 、 于点 、 、 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， 为 的中点， ，求 的长．
【解答】（1）证明： 垂直平分 ，
， ，
四边形 是矩形，
，，
在 与 中，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形；
（2）解： ， 分别为 ， 的中点，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
，
，
设 ，则 ， ，在 中， ，解得 ，
在 中， ，
．
【变式训练3】如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 中点，
连接 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是矩形；
（3）当 ， 时，求 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
是 中点，
，
在 和 中，
，
；（2）证明： ，
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，
，
平行四边形 是矩形；
（3）解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
．
动点问题
【例11】如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发向点 运动，
运动到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、
的速度都是 ．连接 、 、 ．设点 、 运动的时间为 ．
（1）当 为何值时，四边形 是矩形；（2）当 为何值时，四边形 是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形 的周长和面积．
【解答】解：（1） 在矩形 中， ， ，
， ，
由已知可得， ， ，
在矩形 中， ， ，
当 时，四边形 为矩形，
，得 ，
故当 时，四边形 为矩形；
（2） ， ，
四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形
即 时，四边形 为菱形，解得 ，
故当 时，四边形 为菱形；
（3）当 时， ，则周长为 ；
面积为 ．
【变式训练1】在四边形 中， ， ， ，
点 从 出发以 的速度向 运动，点 从点 出发，以 的速度向点
运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为 ，
（1） 取何值时，四边形 为矩形？
（2） 是 上一点，且 ， 取何值时，以 、 、 、 为顶点的四边形
是平行四边形？
【解答】解：（1）当 时，四边形 为矩形，
则有 ，解得 ，
答： 时，四边形 为矩形．
（2）①当点 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平
行四边形，
则有 ，解得 ，
②当 在线段 上， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，
综上所述， 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
1．在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
点 是斜边 上的中点，
，
，
故选： ．2．如图，在矩形 中， ， ，连接 ，作 的平分线交 于
点 ，则 的长度为
A． B．2 C．3 D．4
【解答】解：作 于 ．
四边形 是矩形，
， ， ，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，设 ，
在 中， ，，
，
，
故选： ．
3．如图，在 中，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，过点 作
，垂足为 ，将 分割后拼接成矩形 ．若 ， ，则
的面积是
A．8 B．10 C．14 D．16
【解答】解：由题意， ， ， ，
，
，
的边 上的高为4，
，
故选： ．
4．下列说法不正确的是A．四条边都相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．平行四边形是轴对称图形
【解答】解： 、 四个内角都相等的四边形是菱形，
选项 不符合题意；
、 对角线相等的平行四边形是矩形，
选项 不符合题意；
、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项 不符合题意；
、 平行四边形不是轴对称图形，
选项 符合题意；
故选： ．
5．如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开．若测得 的
长为 ，则 ， 两点间的距离为
A． B． C． D．【解答】解： ，
，
点 是 的中点，
（千米），
故选： ．
6．如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是
A．10 B．15 C．20 D．30
【解答】解： 直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长 ，
直角三角形斜边上的高是5，
直角三角形的面积 ，
故选： ．
7．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，则矩形
的面积是
A．2 B． C． D．8
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
，，
，
，
矩形 的面积 ，
故选： ．
8．如图，矩形 中， ， ， 于 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：作 于 ，
四边形 是矩形，
， ， ．
，
，
，
在 中 ，
，
在 中， ，，
，
，
在 中， ．
故选： ．
9．如图，在 和 中， 是 的中点， ， ，若
，则 ．
【解答】解： ， ， ，
，
， 是 的中点，
，
故答案为：5．
10．如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在边 上，且
．只需添加一个条件即可证明四边形 是矩形，这个条件可以是．（写出一个即可）
【解答】解： ，
理由： ， 分别是 ， 的中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
故答案为： （答案不唯一）．
11．如图，在 中， ，点 是 的中点，过点 作 ，垂足
为点 ，连接 ，若 ， ，则 ．
【解答】解： ， ，，
点 是 的中点，
是 的中点， ，
，
，
故答案为6．
12．在矩形 中，对角线 和 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，
若 ， ，则线段 的长为 ．
【解答】解：如图1，当 在线段 上，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
；
如图2，当 在线段 上，
，
，
，，
故答案为： 或 ．
13．如图，在 中， ，点 为边 的中点，点 在线段 上，
于点 ，连接 ， ．已知 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求线段 的长．
【解答】（1）证明： ，点 为边 的中点，
，
， ，
，， ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
， ，
．
14．如图，在平行四边形 中，点 在边 上，点 在边 上， ，连
接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 是矩形．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，，
四边形 是平行四边形，
；
（2）证明 ，
，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．
15．已知：如图 ， 、 分别是 、 的中点，求证：
．
【解答】证明：连接 ， ，， 为 的中点，
，
又 为 中点，
．
