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第二十四章 圆拓展之最值篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、点运动路径
【解惑】如图， 是半圆 的直径， ，点 是半圆 上一动点，将点 绕点 顺时针旋转 得
到点 ，连接 ， 交于点 ，当点 从点 开始运动，直到点 运动到点 时停止，则点 运动的路
径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，动点路径长，通过分析动点的运动轨迹，将其转化为圆的问题是解
题的关键．根据圆心角和圆周角关系可得 ，进而可得
，由此得出以 为边向下作等边 ，点C在以 为圆心，以
为半径的圆 上运动，据此即可解题．
【详解】解： ∵由题意可知： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴以 为边向下作等边 ，点C在以 为圆心，以 为半径的圆 上运动，
∴点 运动的路径长 ．
故选：D．
【融会贯通】
1．如图，在 中， ， 边上有一动点D，作点B关于直线 的对称
点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，由 垂直平分
，得 ，则 ，所以 ，由点
与点 关于直线 对称，得 ，当点 与点 重合时，则点 与点 重合，
所以点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2 的圆上的一段弧，即 ，根据弧长公式求得 ，
于是得到问题的答案．
【详解】解：延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴直线 垂直平分 ，
，∴点 在以点 为圆心，半径为2的圆上运动，
∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合，
∴点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2的圆上的一段弧，即 ，
，
∴点 的运动路径长为 ，
故选：C． ．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，弧长公式，轨迹问题的求解等知识与方法，
正确地作出辅助线是解题的关键．
2．如图，在矩形 中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度
分别沿 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线 的垂线 ，垂足为
点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关
系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键．
如图：连接 ， 交于点O，取 中点H，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G
的轨迹，从而求出G经过的路程长即可．
【详解】解：如图：连接 ， 交于点O，取 中点H，连接 ，
∵矩形 ， ，
∴ ， ， ，
， ，∴ 是等边三角形，即
在 与 中，
，
，
∴E、O、F共线，
，H是 中点，
∴ ，则 ，
∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧，
当E与A重合时， ；当E与B重合时，G与B重合；
∴G走过的路程为 ．
故答案为 ．
3．如图，等边 内接于 ， ，D为弧 上一动点，过点B作射线 的垂线，垂足为E．
当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，取 的中点为 ，连接 ，由直角三角形的特征得 ，可得点 的运动轨
迹为以 为圆心， 为半径的圆弧，延长 交 于 ，连接 ，由等边三角形的性质得， ，求出 ，结合圆的基本性质，即可求解．
【详解】解：连接 ，取 的中点为 ，连接 ，
，
，
点 的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆弧，如图，
是等边三角形，
，
，
如图，延长 交 于 ，连接 ，
，
，
，，
，
，
，
，
点 的运动轨迹长为∶
；
故答案： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的特征，圆的基本性质，圆周角定理，三角形外接圆
的性质，三角形函数等；能根据直角三角形的特征及圆的定义找出点的运动轨迹是解题的关键．
类型二、圆中的将军饮马
【解惑】如图， 的直径 ，C为 中点，点D在弧 上， ，点P是 上的一个动
点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．先作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，因为 的直径 ，C为 中点，得 ，再结合 ，得 ，再证明 是等边
三角形，运用勾股定理列式计算得 ，则 周长 ，
即可作答．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，记 交 于点 ，如图所示：
∴
∵ 的直径 ，C为 中点，
∴点 在 上， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
则 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是直径，
∴
∴ ，
则 周长 ，
∴ 周长的最小值是 ．
故选：B．【融会贯通】
1．如图， 的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧 的中点，P是直径MN上的一个
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，熟练掌握相关知
识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；
作点A关于 的对称点 ，由轴对称的性质确定 的最小值为 的长，再利用圆的知识和勾股
定理求出 的长．
【详解】由题知， 的半径为1， 为 的直径，故 ，
如图，作点A关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
则 ，
当 三点共线时， 取得最小值，为 的长，
点A是半圆上的一个三等分点，
，
点B是弧 的中点，
，
点 与点 关于直径 对称，，
，
又 ，
由勾股定理得， ，
的最小值为 ．
故选：A．
2．如图， 是 的直径，点 是半圆上的三等分点，点 是劣弧 的中点，点 是直径 上一动
点．连接 ，若 ， ，则 的周长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点 关于
的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 、 、 、 、 ， ，
由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，最小值为 的长，证明 是等腰直角三角形，
再利用勾股定理求出 即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 、 、 、 、 ，
则 ，
∴ ，由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，最小值为 的长，∵点 与 关于 对称，点 是半圆上的一个三等分点，
，
∵点 是 的中点，
，
，
是 的直径， ，
，
是等腰直角三角形，
，
的最小值 ，
周长的最小值 ，
故答案为： ．
3．如图，A点是 上直径 所分的半圆的一个三等分点，B点是弧 的中点，P点是 上一动点，
的半径为3，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则
最小，连接 ， ，求出 ，然后根据勾股定理求出 解答即可．
【详解】作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则 最小，连接 ， ，∵点 与 关于MN对称，点 是半圆上的一个三等分点，
，
∵点 是弧 的中点，
，
，
又∵ ，
，
．
故答案为： ．
类型三、切线与勾股定理
【解惑】如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、 ， 的半径为1（ 为坐标
原点），点P在直线 上，过点P作 的一条切线 ，Q为切点，则切线长 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌
握切线的性质定理和勾股定理运算．连接 、 ，根据勾股定理知 ，当 时， 值最小，即线段 最短．
【详解】解：如图，连接 、 ，
与 相切，
∴ ,
由勾股定理得
为定值1，
∴当 最小时， 的值最小，
当 时， 值最小，
∵ 、 ，
∴ ,
为等腰直角三角形，
由勾股定理得 ,
根据等腰直角三角形的性质可得， ，
∴ ，
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ， 为 边上一动点，过点 作 的切线 ，
切点为 ，则 的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】连接 、 ，作 交 于 ，则 ，由切线的性质可得 ，由勾股定理
可得 ，则当 时， 最小， 也取得最小值，由等边三角形的性质和勾股定理可
得 ，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 、 ，作 交 于 ，则 ，
,
是 的切线，
，
，
当 时， 最小， 也取得最小值，
为等边三角形， ，边长为4，
， ，
，的最小值为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助
线是解此题的关键．
2．如图， 的圆心为 ，半径为1， 是直线 上的一个动点，过点 作 的切线，
切点为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当
时， 的值最小，则 取得最小值是解题关键．设直线 分别与 轴， 轴交于点
，连接 ，先求出 ，再根据圆的切线的性质可得 ，根据
勾股定理可得 ，从而可得当 时， 的值最小，则 取得最小值，然后根据等腰
三角形的判定和勾股定理可求出 ，由此即可得．
【详解】解：如图，设直线 分别与 轴， 轴交于点 ，连接 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，∵ 轴 轴，
∴ ，
∵ 的圆心为 ，半径为1，
∴ ， ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 的值最小时， 取得最小值，
由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
∴此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过 、 ， 的半径为 （ 为坐标原点），
点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
连接 、 ，由 是 的切线，得 ，再由勾股定理得 ，则当 时，
线段 最短，最后再由勾股定理即可求解；【详解】解：连接 、 ，
、 ，
， ，
是 的切线，
，
，
由勾股定理知： ，
当 时， 最小，则线段 最短，
在 中， ，
，
，
最小 ，
故答案为：
类型四、两动一定
【解惑】如图，正方形 中， ，E是 的中点．以点C为圆心， 长为半径画圆，点P是
上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，连接 ， ，则 的最
小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点 关于直线 的对称点
，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过 作 于 ，根据勾股定理求出 ，
再结合四点共线时最小即可得解．
【详解】解：如图，取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ，
，过 作 于 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上运动，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 当 、 、 、 四点共线时， 的值最小， 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：A．【融会贯通】
1．如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是 上
一动点，则 最小值是（ ）
A． B．2.5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关
键．
以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，则 就是 最
小值；根据勾股定理求得 的长，即可求得 最小值．
【详解】解：如图，以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，则
就是 最小值；
∵矩形 中， ， ，圆A的半径为1，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故选：C．2．如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别是 ， 边上的两动点，且 ，点G
为 的中点，点H为 边上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】9
【分析】因为 ，点 为 的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出 ，所以 是以
为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交以 为圆心，
以1为半径的圆于 ，此时 的值最小；根据勾股定理求得 问题可求．
【详解】解：∵ ，G是EF的中点，则有 ，
则点 在以 圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动．
作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交以 为圆心，以1为半径的圆于点 ，
由两点之间线段最短，此时 的值最小，
则 的最小值=
且 ，
则 的最小值 ．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所
求折线和转化两定点之间的连线长问题．
3．如图，已知正方形 的边长为2，点O是 边的中点，G为正方形内一动点，且 ．点P是
边上另一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的
性质作线段的等量转移是解题关键．作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，以 为圆心， 长为半
径作圆，点 在圆上运动， 、 与 交于点 、 ，则 ， ， ，
当点 、 在 、 位置时，此时点 、 、 、 四点共线， 有最小值为 长，过点
作 于点 ，求出 ，即可求解．
【详解】解： 正方形 的边长为2，点O是 边的中点，
， ， ，
如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，以 为圆心， 长为半径作圆，点 在圆上运动，
与 与 交于点 、 ，
则 ， ， ，
，
当点 、 在 、 位置时，此时点 、 、 、 四点共线， 有最小值为 长，
过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
， ，
，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ，即 ，
故答案为： ．类型五、直角圆
【解惑】如图，在矩形 中， ， ，E是矩形内部的一个动点，且 ，则线段
最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论
及勾股定理是解题的关键．
由 ，得到 在以 为直径的 上，连接 交圆于 ，当 与 重合时，线段 的长最小，
由勾股定理求出 ，即可得到 ，于是得到线段 的最小值为8．
【详解】解：如图，
， ，
，
在以 为直径的 上，
连接 交圆于 ，当 与 重合时，线段 的长最小，，
，
，
，
，
线段 的最小值为8．
故选答案为：A．
【融会贯通】
1．如图，四边形 为矩形， ， ．点 是线段 上一动点，点 为线段 上一点，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据矩形的性质，证明 ，故可得 在以 的中点 为圆心， 为半径的圆弧上运动，连
接 交弧于点 ，此时 取最小值，利用勾股定理算出 ，即可算出
．
【详解】解：∵ ，四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在以 的中点 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接 交弧于点 ，此时 取最小值，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ，
故选 ．
2．如图，已知点C是半圆AB的中点，直径 ，点D是 上的动点，连接AD，过点C作
CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题可先确定点 的轨迹，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求解 的最小值．
【详解】解： ∵ ，
∴ ．
取 的中点 ，连接 ，连接 ，连接 ．
∴ ，
∵点 是半圆 的中点， 是直径，
∴ ， ．
∴由勾股定理 ，且 ，∵ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∵ ，
∴ ．
∵点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理、圆的轨迹问题以及勾股定理，熟练掌握点的轨迹确定
方法和利用圆外一点到圆上点的距离最值求解是解题的关键．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上运动，以 为直径作圆与 交于点 ，
连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，连接 ，取 中点O，连接 ，判断点F
在以 为直径的圆上运动，则当O、F、B三点共线，且F在线段 上时， 最小，最小值为 ，
然后在 中根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，取 中点O，连接 ，∵以 为直径作圆与 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的圆上运动，
∴当O、F、B三点共线，且F在线段 上时， 最小，最小值为 ，
在矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
类型六、中位线与瓜豆原理
【解惑】如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在以斜边 为直径的半圆上， 为
的中点，则点 沿半圆由点 运动至点 的过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点 ，连接 、 、 ，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到 ，从而推出点 的运动轨迹是
以 为直径的圆上，取 的中点 ，以 长为半径作 ，交 、 于点 、 ，过点 作
于 ，即点 在 运动，利用等腰直角三角形的性质，求出 ，连接 交 于点
，此时线段 有最小值，先利用勾股定理求出 ，再根据 求解即可．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 、 、 ，
在等腰直角三角形 中， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，
为 的中点，
， ，
，
点 的运动轨迹是以 为直径的圆上，
取 的中点 ，以 长为半径作 ，交 、 于点 、 ，过点 作 于 ，即点 在
运动，
，
，
， ，
， ，，
，
连接 交 于点 ，此时线段 有最小值，
在 中， ，
，
故选：D．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，
直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点 的运动轨迹是解题关键．
【融会贯通】
1．如图，在等腰 中， ，点P在以斜边 为直径的半圆上，M为 的中点．当
点P沿半圆从点A运动至点B时， 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取 的中点 ，取的中点 ，连接 ， ， ，则 ，故 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆弧，
据此求解即可．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
∴ 为 的中位线，
∵在等腰 中， ，点 在以斜边 为直径的半圆上，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴当点 在同一直线上时， 有最小值， 的最小值是 ，
∵在等腰 中， ，点 斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故选：A．
2．如图，已知正方形 的边长为 ，在 中， ， ， 是斜边 的
中点，连接 ， 为 的中点，连接 ，当 绕点 旋转时， 的最小值为 ，最大值为．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，到圆上一点的距离，添加恰当辅助
线是解题的关键．延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，由三角形中位线定理可得
，由等腰直角三角形的性质可得 ， ，则点 在以点 为圆心，
为半径的圆上运动，则当点 在 的延长线上时， 有最大值为 ，即 的最大值为 ，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ，即 的最小值为 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，
为 的中点， ，
，
，
，
在 中， ， ， 是斜边 的中点，
， ，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，当点 在 的延长线上时， 有最大值为 ，即 的最大值为 ，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ，即 的最小值为 ，
故答案为： ， ．
3．如图， 中， ， 为边 的中点，长度为 的动线段 绕点 旋转，连接 ，
取 的中点 ，则 长度的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，延长 至 ，使得 ，连接 ，可得
是 的中位线，即得 ，可知当 取最大值或最小值时， 的值最大或最小，再分
别画出图形解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当 取最大值或最小值时， 的值最大或最小，
如图，当点 在 的延长线且 共线时， 的值最大，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 长度的最大值为 ；
如图，当点 在 之间且 共线时， 的值最小，
∴ ，
∴ ，
即 长度的最小值为 ；
故答案为： ， ．类型七、折叠圆
【解惑】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将 EBF
沿EF所在直线折叠得到 EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（ ） △
△
A．8 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】由折叠可得，BE=B'E=AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，
B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．
【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧，
∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．
根据折叠的性质，可得 EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，△
∵E是AB边的中点，AB＝8，
∴AE＝EB′＝4，
∵AD＝BC＝12，
∴DE＝ ＝4 ，
∴DB′＝DE﹣B'E＝4 ﹣4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的综合运用．折叠是一
种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等．【融会贯通】
1．如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将
沿EF所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点 在线段CE上时， 的长取最小值，根据
折叠的性质可知 ，在 中利用勾股定理可求出CE的长度，用 即可求出结论．
【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点 在线段CE上时， 的长取最小值，如图
所示，
根据折叠可知： ．
在 中， ， ， ，
，
的最小值 ．
故选D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出 取最小值时点 的位置是解题的关键．
2．如图，矩形 中 ，点E为 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到
，连接 ，点G为 的中点，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形与折叠问题，勾股定理，三角形中位数定
理，取 中点H，连接 ，先由矩形的性质得到 ，再由折叠的性质可
得 ，证明 是 的中位线，得到 ，则点G在以H为圆心，半径为2的圆
上运动，故当 在线段 上时， 有最小值，利用勾股定理求出 ，则
．
【详解】解：如图所示，取 中点H，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵点G为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点G在以H为圆心，半径为2的圆上运动，
∴当 在线段 上时， 有最小值，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，故答案为：3．
3．如图，菱形 中 ， ，点E为 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到
，连接 ，点G为 上一点，且 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，延长 到 ，使得 ，连接 ， ， ，则 是 的中位线，
，证明 是等边三角形，可求 ，则 ，由翻折的性质可知，
，则 在以 为圆心，8为半径的圆上运动，当 三点共线时， 最小，即 最小，
由勾股定理求 ，则最小的 ，最小的 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ， ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
由菱形的性质可知， ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折的性质可知， ，
∴ 在以 为圆心，8为半径的圆上运动，
∴当 三点共线时， 最小，即 最小，
由勾股定理得， ，
∴最小的 ，
∴最小的 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理
等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理是
解题的关键．
类型八、定角定弦
【解惑】如图，四边形 是 的内接四边形， ， ，E为 上一点，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，作 的外接圆，圆心为F，连接 ， ， ，过点 作 于 ，交 的延长线于 ，先求出 ， ，进而得优弧 的
度数为 ，则劣弧 的度数为 ，故 ，由此得出 为等腰直角三角形，进而可求出
， ，证四边形 为正方形，得 ，继而
得 ，由勾股定理求得 ，再由 ，可得出当点B，E，F在同一条直线上时，
为最短，其长度为 ，据此可得出答案．
【详解】解∶连接 ，作 的外接圆，圆心为F，连接 ， ， ，过点 作 于 ，
交 的延长线于 ，如图所示：
， ，
为 直径， ，
，
，
，
点 为 的外接圆的圆心，
，
，
优弧 的度数为 ，
劣弧 的度数为： ，
圆心角 ，
为等腰直角三角形，，
，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
又 ， ，
四边形 为矩形，
，
矩形 为正方形，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
当 在同一条直线上时， 为最短，
其长度为 ，
∴ 的最小值为 ，故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，
构造 的外接圆，利用圆的相关性质确定 最短时的位置是解决问题的关键．
【融会贯通】
1．如图，E是 的直径 上一点， ， ，过点E作弦 ，P是弧 上一动点，连
接 ，过点A作 ，垂足为Q，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关
键．
先根据圆周角定理判断点Q在以 为直径的圆上，连接 并延长交 于点 ，当Q与 重合时，
最小，最小值为 ，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键．
【详解】解：如图：连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
∴点Q在以 为直径的圆上，以 为直径作 ，如图:连接 并延长交 于点 ，当Q与 重合时， 最小，最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．
故选：A．
2．如图，在 中， ，点 是 边上一点，且 ，点 、 分别是边 、
上的动点，且始终满足 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解
题的关键．
作 的外接圆 ，连接 ，构造圆内接四边形 ，设外接圆 的半径为 ，
又 ，则 ，故有 ，即 是等腰直角三角形，从而可得点
四点共圆，则有 ，过 作 于点 ， ，然后通过垂线段
最短即可求解．
【详解】解：如图，作 的外接圆 ，连接 ，构造圆内接四边形 ，设外接圆 的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴点 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．如图，已知以 为直径的 ，A为弧 中点，P为弧 上任意一点， 交 于D，连 ．
若 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关
键是确定动点 的运动轨迹．以 为斜边作等腰直角三角形 ，连接 、 ，先由圆周角定理，
得 ， 为等腰直角三角形，得到 ，进而得到点D在点 为圆心，
为半径的 上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可．
【详解】解：如图，以 为斜边作等腰直角三角形 ，连接 、 ，
∵以 为直径的 ，A为弧 中点，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
则 ，
解得
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴点D在点 为圆心， 为半径的 上运动，
在等腰直角 中，同理得 ，
在 中， ，
∴ ，
∵
∴当C、D、 三点共线时，CD取的最小值，最小值为 ．
故答案为： ．
类型九、面积最值
【解惑】如图，在平面直角坐标系 中，半径为4的 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连
接BC，已知x轴上一点 ，点Q是 上一动点，连接 ，点M为 的中点，连接 ，则
面积的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】连接 ，由三角形的中位线定理求得 ，得M点在以A点为圆心，2为半径的
圆上运动，当M点为 与 的交点时， 的面积最小，求出此时 的面积便可．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的 上运动，
当M点为 与 的交点时，点M到
的距离最短为 ，
∴ △BCM面积的最小值为∶
，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动
轨迹．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，半径为2的 与 轴的负半轴交于点 ，点 是 上
一动点，点 为弦 的中点，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，则 面积的最小值
为（ ）A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据点 为弦 的中点，可得点 在以 为直径的圆上，以 为直径作 ，过
点作直线 于 ，交 于 ，则 上到直线 上最短的距离是 ，则可得
即 的面积最小，根据一次函数的性质，求得 ， 根据勾股定理可得 ，再根据
的半径为2，可知 ， ， ，由等积法可求得 ， ，
根据 可求得面积最小是 ．
【详解】解：连接 ，如图，
点 为弦 的中点，
，
，
点 在以 为直径的圆上，
以 为直径作 ，过 点作直线 于 ，交 于 ，则 上到直线 上最短的距离是 ，
此时， 即 的面积最小，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
解得 ，则 ，
，
，
∵ 的半径为2，
∴ ，
，
由等积法可知：
∴
∴ ，
∴ ，
即 的面积最小是 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的
关键．
2．如图，在边长为 的正方形 中，P是 边上一动点（不与点A，B重合），连接 ，过点B作
交 的延长线于点M，连接 ，过点A作 交 于点N，连接 ， ，则
面积的最小值为 ．【答案】
【分析】点N在正方形内部，所以 ，由 可得点M在以
中点为圆心， 长为半径的圆上，先证明 ，然后求 最大面积即可求出 的
最小面积．
【详解】∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴当 面积最大时， 面积最小，
∵ ，
∴点M在以 中点为圆心， 长为半径的圆上，
当 面积最大时， ，如图，∵点O为 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理及用勾股定理解三角
形等知识点，将求 的最小面积转化为求 最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键．
3．如图， 内接于 ， 的半径为 ， ， ，点 是弧 上的动点（不与 、
重合），过点 作 ，与 的延长线交于点 ，则 面积的最大值为
．【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，证明 是等边三
角形是解本题的关键．如图，作直径 ，连接 证明 和 是等边三角形， 是 的直径
时， 面积的最大，可求解．
【详解】解：如图，作直径 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
当 是 的直径时， 的面积最大，
此时
的最大面积 ．故答案为： ．
类型十、其他最值
【解惑】如图， 的半径为5，四边形 是 的内接四边形， （ ， 位于圆心O的
两侧）， ， ，将 ， 分别沿 ， 翻折得到 ， ，M为 上点，过点M
作 交 于点N，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，过点O作 于P，交 于Q，设弧 所在的圆的圆心为 ，弧 所在的圆
的圆心为 ，连接 ， ， ， ， ， ， ，设 交 于J．想办法求出 即
可解决问题．
【详解】解：如图，过点O作 于P，交 于Q，设弧 所在的圆的圆心为 ，弧 所在
的圆的圆心为 ，连接 ， ， ， ， ， ， ，设 交 于J．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ．
同法可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
过点 作 交 的延长线于T．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
根据对称性可知， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 关于 的
对称点为 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．14 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分
析是关键．
根据题意，轴对称，旋转的性质得到点 关于点 的对称点 的横坐标为 ，纵坐标为
，即 ，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，点 在以点 为圆心， 为半径的
圆上，由此得到 的最小值是 的值减去 的最大值，数形结合分析即可求解．
【详解】解：∵点 ，
∴点 关于点 的对称点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 关于 的对称点为 ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
如图所示，连接 ，∵ ，
∴点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，
∴ ，
将 绕点 逆时针旋转 度得 ，则 ，
∴ 与 轴的负半轴的夹角为 ，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 在 上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点 在 上逆时针运动，点 在 上顺时针
运用，
连接 ，
∴ ，
∵点 的运动方向不同，
∴线段 与线段 的关系是：相交与平行，如图所示，∴如图3所述，当 时，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，
当 时， ，
∴ 最大时， 的值最小，
∴当 时， 的值在四边形 是平行四边形时最大，
∴ ，
∴ ，
故选： D．
2．如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面积为 ， ，则
周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点 、 的位置是
本题解题的关键．
由正方形的性质，知点 是点 关于 的对称点，过点 作 ，且使 ，连接 交
于点 ，取 ，连接 、 ，则点 、 为所求点，进而求解．【详解】解： 的面积为 ，则圆的半径为 ，则 ，
由正方形的性质，知点 是点 关于 的对称点，
过点 作 ，且使 ，
连接 交 于点 ，取 ，连接 、 ，则点 、 为所求点，
理由： ，且 ，则四边形 为平行四边形，
则 ，
故 的周长的最小值 ，
，
则 的周长的最小值为 ，
故答案为： ．
3．如图，点 为正方形 的对称中心，点 为 边上的动点，连接 ，作 交 于点 ，
连接 ， 为 的中点， 为边 上一点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为
．
【答案】【分析】如图，连接 ，由题意知， ，由
， 得， ，证明 ，
则 ， 是等腰直角三角形，由 是 中点，则 ， ，
，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，由 ，
可知 四点共圆，由 ，可得 ，进而可得 在线段 上运动，如
图，延长 ，作点 关于 对称的点 ，过 作 于 ，连接 交 于 ，连接 ，由
题意知 ， ，且 ，可知当 三点共线时，
值最小，在 中，由勾股定理得， ，计算求解 的值即可．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ， ，
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ 在线段 上运动，
如图，延长 ，作点 关于 对称的点 ，过 作 于 ，连接 交 于 ，连接 ，
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ 三点共线时， 值最小，
∵ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角
形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点 的运动轨迹．
