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第二十四章 圆拓展之最值篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、点运动路径
【解惑】如图， 是半圆 的直径， ，点 是半圆 上一动点，将点 绕点 顺时针旋转 得
到点 ，连接 ， 交于点 ，当点 从点 开始运动，直到点 运动到点 时停止，则点 运动的路
径长为（ ）
A． B． C． D．【融会贯通】
1．如图，在 中， ， 边上有一动点D，作点B关于直线 的对称
点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形 中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度
分别沿 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线 的垂线 ，垂足为
点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ．
3．如图，等边 内接于 ， ，D为弧 上一动点，过点B作射线 的垂线，垂足为E．
当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ．
类型二、圆中的将军饮马
【解惑】如图， 的直径 ，C为 中点，点D在弧 上， ，点P是 上的一个动
点，则 周长的最小值是（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图， 的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧 的中点，P是直径MN上的一个
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图， 是 的直径，点 是半圆上的三等分点，点 是劣弧 的中点，点 是直径 上一动
点．连接 ，若 ， ，则 的周长的最小值是 ．
3．如图，A点是 上直径 所分的半圆的一个三等分点，B点是弧 的中点，P点是 上一动点，
的半径为3，则 的最小值为 ．类型三、切线与勾股定理
【解惑】如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、 ， 的半径为1（ 为坐标
原点），点P在直线 上，过点P作 的一条切线 ，Q为切点，则切线长 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【融会贯通】
1．如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ， 为 边上一动点，过点 作 的切线 ，
切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．42．如图， 的圆心为 ，半径为1， 是直线 上的一个动点，过点 作 的切线，
切点为 ，则 的最小值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过 、 ， 的半径为 （ 为坐标原点），
点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为 ．
类型四、两动一定
【解惑】如图，正方形 中， ，E是 的中点．以点C为圆心， 长为半径画圆，点P是
上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，连接 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】1．如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是 上
一动点，则 最小值是（ ）
A． B．2.5 C．4 D．3
2．如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别是 ， 边上的两动点，且 ，点G
为 的中点，点H为 边上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
3．如图，已知正方形 的边长为2，点O是 边的中点，G为正方形内一动点，且 ．点P是
边上另一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
类型五、直角圆
【解惑】如图，在矩形 中， ， ，E是矩形内部的一个动点，且 ，则线段
最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6【融会贯通】
1．如图，四边形 为矩形， ， ．点 是线段 上一动点，点 为线段 上一点，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知点C是半圆AB的中点，直径 ，点D是 上的动点，连接AD，过点C作
CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为 ．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上运动，以 为直径作圆与 交于点 ，
连接 ，则线段 的最小值为 ．
类型六、中位线与瓜豆原理
【解惑】如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在以斜边 为直径的半圆上， 为
的中点，则点 沿半圆由点 运动至点 的过程中，线段 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，在等腰 中， ，点P在以斜边 为直径的半圆上，M为 的中点．当
点P沿半圆从点A运动至点B时， 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知正方形 的边长为 ，在 中， ， ， 是斜边 的
中点，连接 ， 为 的中点，连接 ，当 绕点 旋转时， 的最小值为 ，最大值为
．
3．如图， 中， ， 为边 的中点，长度为 的动线段 绕点 旋转，连接 ，
取 的中点 ，则 长度的最大值为 ，最小值为 ．类型七、折叠圆
【解惑】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将 EBF
沿EF所在直线折叠得到 EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（ ） △
△
A．8 B．12 C． D．
【融会贯通】
1．如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将
沿EF所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是
A． B．3 C． D．
2．如图，矩形 中 ，点E为 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到
，连接 ，点G为 的中点，连接 ，则线段 的最小值为 ．
3．如图，菱形 中 ， ，点E为 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到
，连接 ，点G为 上一点，且 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．类型八、定角定弦
【解惑】如图，四边形 是 的内接四边形， ， ，E为 上一点，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，E是 的直径 上一点， ， ，过点E作弦 ，P是弧 上一动点，连
接 ，过点A作 ，垂足为Q，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ，点 是 边上一点，且 ，点 、 分别是边 、
上的动点，且始终满足 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．3．如图，已知以 为直径的 ，A为弧 中点，P为弧 上任意一点， 交 于D，连 ．
若 ，则 的最小值为 ．
类型九、面积最值
【解惑】如图，在平面直角坐标系 中，半径为4的 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连
接BC，已知x轴上一点 ，点Q是 上一动点，连接 ，点M为 的中点，连接 ，则
面积的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，半径为2的 与 轴的负半轴交于点 ，点 是 上
一动点，点 为弦 的中点，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，则 面积的最小值
为（ ）A．5 B．6 C． D．
2．如图，在边长为 的正方形 中，P是 边上一动点（不与点A，B重合），连接 ，过点B作
交 的延长线于点M，连接 ，过点A作 交 于点N，连接 ， ，则
面积的最小值为 ．
3．如图， 内接于 ， 的半径为 ， ， ，点 是弧 上的动点（不与 、
重合），过点 作 ，与 的延长线交于点 ，则 面积的最大值为
．
类型十、其他最值
【解惑】如图， 的半径为5，四边形 是 的内接四边形， （ ， 位于圆心O的两侧）， ， ，将 ， 分别沿 ， 翻折得到 ， ，M为 上点，过点M
作 交 于点N，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 关于 的
对称点为 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．14 B．15 C． D．
2．如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面积为 ， ，则
周长的最小值是 ．
3．如图，点 为正方形 的对称中心，点 为 边上的动点，连接 ，作 交 于点 ，连接 ， 为 的中点， 为边 上一点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为
．
