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第二十四章 圆·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法： 三点确定一个圆， 平分弦（不是直
径）的直径垂直于弦， 相等的圆心角所对的弦相等， 三角①形的外心到三个顶点的②距离相等，其中正确
的有（ ） ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角与弦的关系以及三角形外心的性质，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．
根据相关知识点需逐一分析．
【详解】解：①不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定，错误；
②根据垂径定理，平分非直径弦的直径必垂直于该弦，正确；
③ 相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立，未限定条件则不成立，错误；
④ 三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（即外接圆半径），正确；
综上，正确的有②和④，共2个．
故选：B．
2．（3分）（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则
∠BCD的大小是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．根据垂⏜ ⏜
径定理推出 BC=BD ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
【详解】∵AB是直径，AB⊥CD，
⏜ ⏜
∴ BC=BD ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选：C．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E，∠COD=38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】B
【分析】本题考查弧与圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，先根据等弧对等圆心角得到
∠DOE=∠BOC=∠COD=38°，则∠BOE=3∠COD=114°，再根据圆周角定理得到
1
∠BAE= ∠BOE=57°，然后利用等边对等角求解即可．
2
【详解】解：∵B´C=C´D=D´E，∠COD=38°，
∴∠DOE=∠BOC=∠COD=38°，
∴∠BOE=3∠COD=114°，
1
∴∠BAE= ∠BOE=57°，
2
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠BAE=57°，
故选：B．
4．（3分）（2025·广东东莞·模拟预测）如图，⊙O为△ABC的外接圆，半径OD⊥AB，垂足为点E，
∠C=45°,OE=4，则AB的长为（ ）A．2❑√2 B．4❑√2 C．10 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性
质进行推理是本题的关键．
由圆周角定理可得∠AOB=90°，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接OB，
∵∠AOB=2∠C,∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OB=OA，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵OE⊥AB，
∴BE=AE，
∵OE=4，
∴AB=2OE=8，
故选：D．
5．（3分）（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过
整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ）A．点(0,3) B．点(6,0) C．点(1,3) D．点(6,1)
【答案】C
【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BO'D≌△BEA时，
AE=BD=1，即得出E点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线
的性质得出，∠O′BD+∠EBA=90°时E点的位置即可．
【详解】解：连接BC，作BC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是A´C所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′(2,0)，
∵只有∠O′BD+∠EBA=90°时，BF与圆相切，
此时，∠BO'D=∠EBA=90°−∠ABO'，且AB=O'D=2,∠BAE=∠BDO'=90°，
∴△BO'D≌△BEA(ASA)，
∴AE=BD=1，则E点的坐标为：(1,3)，
延长EB，可知过点F(5,1)，G(7,0)，
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：(1,3)，(5,1)，(7,0)．
故选：C．
6．（3分）（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形ABCDE的两条边AE，CD与⊙O相切，切点为点A
，C，则∠AOC为（ ）A．108° B．120° C．135° D．144°
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求
出正五边形每个内角的度数为108°，根据切线的定义可知∠OCD=∠OAE=90°，从而可得
∠BCO=∠BAO=18°，再根据三角形外角的性质求出∠AOC的度数．
【详解】解：如下图所示，连接BO并延长到点F，
∵五边形ABCDE是正五边形，
(5−2)×180°
∴∠B=∠BAE=∠BCD= =108°，
5
又∵DC、EA是⊙O的切线，
∴∠OCD=∠OAE=90°，
∴∠BCO=∠BAO=108°−90°=18°，
∴∠COF=∠BCO+∠CBO，∠AOF=∠BAO+∠ABO，
∠AOC=∠BCO+∠CBO+∠ABO+∠BAO=∠BCO+∠ABC+∠BAO=18°+108°+18°=144°
．
故选：D．
7．（3分）（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，
⏜
∠ACD=42°．若⊙O的半径为6，则
DC
的长是（ ）13 3 6
A． π B． π C． π D．2π
3 5 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，
熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．
先根据圆的内接四边形的性质可得：∠ADC=120°，再根据三角形内角和定理可得∠CAD=18°，然后
运用圆周角定理可得∠COD=36°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：连接OD，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=120°，
∵∠ACD=42°，
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠ACD=18°，
∴∠COD=2∠CAD=36°，
∵⊙O的半径为6，
36×π×6 6
∴ ⏜ 的长为 = π．
DC
180 5
故选：C．
8．（3分）（24-25九年级下·福建厦门·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的
“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又
割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了
圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计3❑√3
⊙O的面积，可得π的估计值为 ，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
2
A．2 B．2❑√2 C．3 D．2❑√3
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，求出正八边形的面积，即可得出结果．
【详解】解：如图，△AOB为圆内接正八边形中的一个等腰三角形，作AD⊥OB，
360°
由题意，得：OA=OB=1，∠AOB= =45°，
8
❑√2
∴AD=OA⋅sin45°= ，
2
1 1 ❑√2
∴正八边形的面积为：8× ⋅OB⋅AD=8× ×1× =2❑√2，
2 2 2
∴π×12=2❑√2，即：π=2❑√2；
故选B
9．（3分）（2025·湖北武汉·三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=10，
r
AC=24，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r ，r ，则 1 的值为（ ）
1 2 r
237 12 37 25
A． B． C． D．
23 5 33 18
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设
△ABD的内切圆为⊙I，⊙I与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，由∠BAC=90°，
AB=10，AC=24得BC=26，S =120，连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，由
△ABC
1 1 26 1 26 10
S +S +S =S =60可得 ×10r + × r + × r =60，即得r = ，同理得
△ABI △ADI △BDI △ABD 2 1 2 2 1 2 2 1 1 3
12
r = ，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
2 5
【详解】解：设△ABD的内切圆为⊙I，⊙I与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，
∵∠BAC=90°，AB=10，AC=24，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√102+242=26，
1 1
S = AB⋅AC= ×10×24=120，
△ABC 2 2
∵AD为斜边BC上的中线，
1
∴AD=BD=CD= BC=13，
2
1
∴S =S = S =60，
△ABD △ACD 2 △ABC
连接IE，IF，IG，IA，IB，ID，则IE=IF=IG=r ，
1
∵S +S +S =S =60，且AB⊥IE，AD⊥IF，BD⊥IG，
△ABI △ADI △BDI △ABD
1 1 26 1 26
∴ ×10r + × r + × r =60，
2 1 2 2 1 2 2 110
解得：r = ，
1 3
1 1 26 1 26
同理可得， ×12r + × r + × r =60，
2 2 2 2 2 2 2 2
12
解得r = ，
2 5
10
r 3 25
∴ 1= = ，
r 12 18
2
5
故选：D．
10．（3分）（2020·安徽黄山·模拟预测）如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，
∠ACB=90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E,D，分别过点D,E作⊙O的切线交于点F，且点F恰
好是腰BC上的点，连接OC,OD,OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为：（ ）
A．2❑√5+2 B．4❑√2+2 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在
以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再
加上CG的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分别过点D，E作⊙O的切线，
∴OD⊥DF，OE⊥EF，
∴四边形ODFE是矩形，
∵OD=OE=4，
∴四边形ODFE是正方形，
∴EF=4，∵点F恰好是腰BC上的点，
∴∠ECF=90°
∴点C在以EF为直径的半圆上运动，
1
∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG= EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG
2
中，OG=❑√OE2+EG2=❑√42+22=2❑√5，
∴OC=OG+CG=2❑√5+2.
故答案为：A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等
知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分
别是P、C、D．若AB=10，AC=6，则BD的长是 ．
【答案】4
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．本
题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP=6，
∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，
∴BD=PB=AB−AP=10−6=4．
故答案为：4．
12．（3分）（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点且
∠ABC=22°，D是劣弧BC的中点，连接BC，CD，则∠BCD的度数为 ．
【答案】34°/34度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握
圆周角定理及垂径定理的推论是解题的关键．
连接OD交BC于点E，由垂径定理的推论可得OD⊥BC，则∠OEB=90°，由直角三角形的两个锐角互
1
余可得∠BOE=90°−∠ABC=68°，由圆周角定理可得∠BCD= ∠BOD，由此即可求出∠BCD
2
的度数．
【详解】解：如图，连接OD交BC于点E，
∵D是劣弧BC的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠ABC=22°，
∴∠BOE=90°−∠ABC=90°−22°=68°，
由圆周角定理可得：1 1
∠BCD= ∠BOD= ×68°=34°，
2 2
故答案为：34°．
13．（3分）（2023·江苏·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若
∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD= ．
【答案】4❑√2
【分析】连接CD，OC，根据在同圆中直径所对的圆周角是90°可得∠ACD=90°，根据圆周角定理可
得∠COD=∠COA，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC=CD，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接CD，OC，如图：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠COD=∠COA，
∴AC=CD，
又∵AC=4，
∴CD=4，
在Rt△ACD中，AD=❑√AC2+CD2=❑√42+42=4❑√2，
故答案为：4❑√2．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90°，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股
定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（3分）（2025·河南信阳·三模）如图， ⊙O是四边形ABCD的外接圆， 直线BE与⊙O相切于点
B，AC∥BE，∠BAC=55°，则 ∠ADC的度数为 ．
【答案】110°
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，连接OB、OC
，先根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=110°，则∠OBC=∠OCB=35°，再根据切线的性质求出
∠BCE=∠OBE−∠OBC=55°，根据平行线的性质得∠ACB=∠CBE=55°，则
∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=70°，再根据圆内接四边形的性质可求出∠ADC的度数．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=55°，
∴∠BOC=2∠BAC=110°，
∵OB=OC，
180°−110°
∴∠OBC=∠OCB= =35°，
2
∵直线BE与⊙O相切于点B，
∴∠OBE=90°，
∴∠BCE=∠OBE−∠OBC=90°−35°=55°，
∵AC∥BE，
∴∠ACB=∠CBE=55°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=70°，
∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−70°=110°．
故答案为：110°．15．（3分）（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆
放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为
．
【答案】2❑√5
【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，取CH的中点O，连接
OA，OF，OG，由勾股定理可得OA=OF=OG=2❑√5，可知点O为A、F、G三点所作圆的圆心，进而
可得答案．
【详解】解：由题意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，
取CH的中点O，则OC=OH=2，OB=4，
连接OA，OF，OG，
由勾股定理可得：OA=❑√AB2+OB2=2❑√5，OF=OG=2❑√5，
∴OA=OF=OG，
即：点O为A、F、G三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为2❑√5，
故答案为：2❑√5．16．（3分）（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACD=15°，
∠BAC=∠CAD=45°，AB+AD=2，则⊙O的半径为： ．
❑√6
【答案】
3
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌
握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
连接BD，延长AB至点E，使BE=AD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，即可证得
△ADC≌△EBC，进而可求得AC=❑√2，再利用圆周角定理得到∠AFC=60°，运用含30°角的直角
三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，延长AB至点E，使BE=AD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
∵∠BAC=∠CAD=45°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠DAB=90°，
∴BD是⊙O的直径，∠DCB=90°，
∴△DCB是等腰直角三角形，
∴DC=BC，∠CBD=45°
∵BE=AD，
∴△ADC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD=∠ECB，AC=CE，
∵AB+AD=2，∴AB+BE=AE=2，
又∵∠DCB=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AE2=AC2+AE2=2AC2，
❑√2
∵AC= AE=❑√2，
2
∵CF是直径，
∴∠FAC=90°，
∵∠ABD=∠ACD=15°，
∴∠AFC=∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°，
∴∠ACF=30°,
∴AF= 1 CF，AF2+AC2= (1 CF ) 2 +(❑√2) 2=CF2
2 2
2❑√6
∴CF= ，
3
1 ❑√6
∵OF=OC= CF= ．
2 3
❑√6
故答案为： ．
3
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，OA=OB，AB 交⊙O于点C，D，OE是半径，且
OE⊥AB于点F．
(1)求证：AC=BD．
(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得CF=DF，由等腰三角形的性质得AF=BF，即可求证；
（2）由勾股定理得CO2=CF2+OF2，即可求解；
【详解】（1）证明：∵OE⊥AB，OE是半径，OA=OB
∴CF=DF，AF=BF，
∴AF−CF=BF−DF
∴AC=BD
（2）解：设⊙O的半径是r，如图，连接CO ，
∵CD=8，EF=2
由垂径定理得：CF=FD=4，OF=r−2
∵CO2=CF2+OF2
∴r2=42+(r−2) 2
∴r=5
∴⊙O的半径是5.
18．（6分）（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在⊙O中，弦AD=BC，OE⊥AB于E，
OH⊥BC于H．
(1)求证：AB=CD．
(2)若⊙O的半径为5，CD=8，求OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解
题的关键；
（1）由题意得A´B=C´D，进而问题可求证；
（2）连接OB，垂径定理得到AE=EB=4，由勾股定理，得OE=3．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：∵AD=BC，
∴A´D=B´C，
∴A´D+B´D=B´C+B´D，
即A´B=C´D，
∴AB=CD；
（2）解：连接OB，
∵AB=CD=8，OE⊥AB，
∴AE=EB=4．
∴OE=❑√OB2−BE2=3．
19．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C
，请在网格图中进行下列操作：
(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______；
(2)求出扇形DAC的面积．
【答案】(1)见解析，(2,0)(2)5π
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、
勾股定理是正确解答的前提．
（1）根据网格和正方形的性质，分别作出AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点
D的坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出∠ADC=90°以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进
行计算即可．
【详解】（1）解：根据网格作AB，BC的中垂线，这两条中垂线相交于点D，连接AD，CD，AC，则
点D(2,0)，
故答案为：(2,0)；
（2）解：由（1）图可知：
AD=❑√22+42=2❑√5,CD=❑√22+42=2❑√5,AC=❑√22+62=2❑√10，
∵DA2+DC2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，
即⊙D的半径为2❑√5，∠ADC的度数为90°，
90×π×(2❑√5) 2
∴S = =5π．
扇形ADC 360
20．（8分）（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知锐角△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连
接AI交⊙O于点D，过点D作BC的平行线l．(1)求证：直线l与⊙O相切；
(2)若⊙O半径为5，BC=8．连接BD，求证：DI=DB
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）要证明直线l与⊙O相切，需依据切线的判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是
圆的切线），通过连接OD，利用内心性质、弧与角的关系及平行线性质推导OD⊥l；
（2）要证明DI=DB，需连接BI，结合内心角平分线性质、弧与角的对应关系，通过角的等量代换证明
∠BID=∠IBD，进而利用等腰三角形判定得出结论．
【详解】（1）解：连接OD，
∵点I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴B´D=D´C，
∴点D是 ⌢ 的中点，
BC
∴OD⊥BC，
∵直线l∥BC，
∴OD⊥l，
∴直线l与⊙O相切．
（2）①连接BI，
由（1）得，∠BAD=∠CAD，
∵D´C所对的圆周角为∠CBD，∠CAD，∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD=∠CAD，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴DI=DB；
【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性
质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键
21．（10分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长为2．
(1)求⊙O的直径AD的长；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】(1)4
(2)30°
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接OB，求出∠AOB的度数，得到△AOB是等边三角形，得到AO=AB=2，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接OB．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360°
∴∠AOB= =60°，
6又AO=BO，
∴△AOB是等边三角形．
∴AO=AB=2．
∴AD=2AO=4．
（2）解：∵A´B=A´B，∠AOB=60°
1
∴∠ADB= ∠AOB=30°．
2
22．（10分）（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距
离L=40m，弓形的高度S=10m．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥
线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部
分的高度为13.2m，AB=14m．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m，请问要保证该货轮安全通
过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【答案】(1)25m
(2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
1
（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ，利用垂径定理可得MP= MN=20m，设
2
OQ=OM=xm，在Rt△OPM中利用勾股定理列出方程，解出x的值即可解答；
（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G，由题意得四边形ABFE是
1
矩形，则有EF=AB=14m，利用垂径定理得到EG= EF=7m，进而利用勾股定理求出OG的长，计算
2
可得货轮露出水面部分的高度应不超过12m，再结合货轮露出水面部分的实际高度13.2m，比较大小得出
需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可．
【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OM、OQ，由题意得，OQ⊥MN，MN=L=40m，PQ=S=10m，
1 1
∴MP= MN= ×40=20m，
2 2
设OQ=OM=xm，则OP=OQ−PQ=(x−10)m，
∵在Rt△OPM中，OP2+M P2=OM2，
∴(x−10) 2+202=x2，
解得：x=25，
∴桥拱圆弧所在圆的半径为25m．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点O，连接OE、EF，连接OC交EF于点G，
由题意得，四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=14m，
∵OC⊥EF，
1 1
∴EG= EF= ×14=7m，
2 2
由（1）得，OE=OC=25m，
∴OG=❑√OE2−EG2=❑√252−72=24m，
∴CG=OC−OG=25−24=1m，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过15−1−2=12m，
∵13.2>12，
∴需要提前增加货物，13.2−12
由题意得，至少需要增加 ×10=120吨，
0.1
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．
23．（12分）（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在⊙O中，弦AB=AD，点E在⊙O上．
(1)如图①，若BD是⊙O的直径，求∠E的度数；
(2)如图②，在弧BD上取一点C，若∠C=α(90°<α<180°)，请用含α的式子表示∠E的度数．
【答案】(1)135°
1
(2)∠E=180°− α
2
【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解
答本题的关键．
（1）根据BD是⊙O的直径可得∠BAD=90°，由AB=AD可得∠ABD=∠ADB=45°，再运用圆内
接四边形的性质可得结论；
1
（2）连接AC，由AB=AD可得∠ABD=∠ADB，根据等弧所对圆周角相等得∠ACB=∠ACD= α
2
1
，可得∠ABD=∠ACD= α，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠AED=180°，从而可得结
2
论．
【详解】（1）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD
1 1
∴∠ABD=∠ADB= (180°−∠BAD)= (180°−90°)=45°，
2 2
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠E=180°，∴∠E=180°−∠ABD=180°−45°=135°；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，A´B=AE´D，
∴∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD，
1
∴∠ACB=∠ACD= α，
2
1
∴∠ABD=∠ACD= α，
2
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠E=180°，
1
∴ α+∠E=180°，
2
1
∴∠E=180°− α．
2
24．（12分）（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点E是
△ABC的内心（三条角平分线的交点），CE的延长线与⊙O交于点D,F是B´C上任意一点，连接
AD,BD,BF,CF．
(1)若∠F=110°，求∠ABC的度数：
(2)若A´C=C´F，∠BCF=α，∠F=β，请直接写出α与β的数量关系；(3)找出图中所有与DE相等的线段，并证明．
【答案】(1)20°
(2)α+2β=270°
(3)AD=BD=DE，证明见解析
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定
理，性质，是解题的关键．
（1）圆内接四边形的性质，得到∠CAB的度数，圆周角定理，得到∠ACB=90°，再利用三角形的内角
和定理，求出∠ABC的度数即可；
（2）同法（1）求出∠ABC的度数，等弧所对的圆周角相等，得到∠CBF=∠ABC，根据三角形的内
角和定理，得到α与β的数量关系；
（3）连接AE，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到
∠DAE=∠AED，等角对等边，得到DA=DE，圆周角定理得到∠DAB=∠DBA，进而得到
AD=BD，得到AD=BD=DE．
【详解】（1）解：∵△ABC内接于⊙O，F是B´C上任意一点，
∴四边形ABFC为圆内接四边形，
∴∠CAB=180°−∠F=70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=20°；
（2）同（1）法可得：∠ABC=90°−∠CAB=90°−(180°−β)=β−90°，
∵A´C=C´F，
∴∠CBF=∠ABC=β−90°，
在△BCF中，∠F+∠FCB+∠FBC=180°，
∴β+α+β−90°=180°，
∴α+2β=270°；
（3）AD=BD=DE，证明如下：
连接AE，∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，CE平分∠ACB，
∴∠EAC=∠EAB,∠ACD=∠BCD，
∵∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠DEA=∠ACD+∠EAC，∠DAB=∠DCB=∠ACD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∵∠ABD=∠ACD=∠DAB，
∴AD=BD，
∴AD=BD=DE．
