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第二十四章 圆（复习讲义）
1. 了解圆、圆心角、圆周角、正多边形等相关概念的意义，体会圆与正多边形、扇形与圆柱圆锥等之间
的整体联系。
2. 能用垂径定理、切线的性质与判定定理、切线长定理等进行推理证明，能计算弧长、扇形面积以及圆
内正多边形相关量。
3. 理解并利用点与圆、直线与圆的位置关系，圆内接四边形的性质等解决实际问题。【知识点01】圆的有关性质
1.圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。
圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2.圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作
AB
，读作圆弧AB或弧
AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
3.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
4.圆心角、圆周角的概念
（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，
所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
A
（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角）
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
D C
C C
B O B A
O B A
A O
【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
2.过三点的圆
（1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
（3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的
外心。
3.三角形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2 。1
r(a+b+c)
（3）S△ABC=2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB
为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
4.直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相离 无交点；
（2）直线与圆相切 有一个交点；
（3）直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
5.切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二
者缺一不可。即：∵ 且 过半径 外端 ∴ 是⊙ 的切线
O
M A N
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线
6.切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹
角。即：∵ 、 是的两条切线；∴ ； 平分B
O
P
A
【知识点03】正多边形和圆
1.圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形∴
∴
D
C
B
A E
2.圆内正多边形的计算
（1）正三角形：在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行：
；
（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在 中进行， .
C
B C
O
O
O
B D A A E D A B
3.与正多边形有关的概念、对称性
正多边形有关的概念
（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
正多边形的对称性（1）正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中
心。
（3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【知识点04】弧长和扇形面积
1.扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2.扇形与圆柱、圆锥之间联系
（1）圆柱： ①圆柱侧面展开图： =
；②
圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图：① =
；②
圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
B1
D
A D1
O
母线长
底面圆周长 R
B C1
C
C
A r B
题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解
【例1】如图， 是 的直径， ， ，则 ．【答案】54
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
故答案为：54．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关
键．
【变式1-1】如图，已知 、 是 的直径， ， ，则
【答案】 /64度
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角．
【详解】解： ，
，
又 ，
，
，
故答案为： ．
【变式1-2】如图，在 中，圆心角 是 的中点，作 ，与 交于 ，则图中
与 相等的线段有 条．【答案】3
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接 ， ，根据圆心角、
弧的关系求出 ，根据圆周角定理求出 ，根据直角三角形的性质求出
，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
， 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
，图中与BD相等的线段有 条，
故答案为： ．
【变式1-3】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点 是 的中点， 是直径 上一动点， 的半
径是2，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图
形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于 的对称
点 ，连接 交 于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于 的对称点 ，连接 交 于P，则点P即是所求作的点，
根据轴对称的性质可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时 最小，即 最小，
∴ 的最小值为 的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴ ，
又∵点B是 的中点，∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
题型二 利用垂径定理求值
【例2】如图， 的半径为10，弦AB的长为 ， ，交AB于点 ，交 于点 ，则
．
【答案】8
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】根据垂径定理可得 ，再由勾股定理计算即可；
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵ 的半径为10，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为：8．
【变式2-1】如图，弦 垂直于 的直径 ，垂足为H，且 ， ，则 的长为．
【答案】1
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
首先根据垂径定理得到 ， ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵弦 垂直于 的直径 ，
∴ ，
∵
∴ ．
故答案为：1．
【变式2-2】如图，在 中， ，C为 的中点，且C到 的距离为3，则圆的半径为 ．
【答案】 /
【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接 ，连接 交 于点H，设圆的半径为r，根据垂径定理得到 ， ，再根据勾股定理列方程求出圆的半径即可．
【详解】解：连接 ，连接 交 于点H，设圆的半径为r，
∵弦 ，C为 的中点，
∴ ， ，
∵C到 的距离为3，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得
即 的半径为 ，
故答案为： ．
【变式3-3】在半径为2的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之间的距离为
．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦 与
的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦 与 在圆心同侧；②弦 与 在圆心异侧；
作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦 与 在圆心同侧时，如图，
过点O作 ，垂足为F，交 于点E，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理得： ， ，
∴ ；
②当弦 与 在圆心异侧时，如图，
过点O作 于点E，反向延长 交 于点F，连接 ，
同理 ， ，
，
所以 与 之间的距离是 ．
故答案为： ．题型三 利用圆周角定理求角
【例3】如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为 ．
【答案】110
【知识点】圆周角定理
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】解：∵点 、 、 在 上， ，
，
故答案为：110．
【变式3-1】如图，C，D是 上直径AB两侧的两点，设 ，则 ．
【答案】 /55度
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了圆周角定理，由AB是直径可得 ，由 可知 ，再根据
圆周角定理可得 的度数，即可得出答案．
【详解】解：∵AB是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3-2】如图，直线 与 相切于点 ，直线 与 相交于点 ，连接 ．若 ，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】连接 ，如图，先利用切线的性质得到 ，则根据三角形内角和得到
，再根据圆周角定理得到 ，加上 ，所以 ，从而可
求出 的度数，然后利用三角形外角性质可计算出 的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线
垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
【详解】解：连接 ，如图，
直线 与 相切于点 ，
，
，
，
， ，
，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
【变式3-3】如图， 的半径为4，弦 长为 ，C是 上一点（不同于A，B），则 的度数
是 ．【答案】 或
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查圆周角定理，分点 在优弧和劣弧上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ；
故答案为： 或 ．
题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角
【例4】如图，在 中， 为直径， 为圆上一点， 的角平分线与 交于点 ，若
， ．【答案】
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据
圆的性质得到 ， ，再由三角形内角和定理得到 ，则
由角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 的角平分线与 交于点 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-1】如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 ．
【答案】65
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互
余
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利
用平行线的性质得到 ，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解： 是 的直径，
，
， ，
，
，
故答案为：65．
【变式4-2】如图，点 ， ， ， 在 上， 是 的直径， ，则 的度数是．
【答案】 /40度
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接 ，根据圆周角
定理的推论可得 ，进而 ，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式4-3】如图，将一个半圆形量角器放置在矩形 上， 刻度线的两端点 ， 分别在边 ，
上滑动， ，点 在半圆 上，且在 （或 ）刻度处．
（1）若点 在靠近点 处，连接 ，则 ；
（2）当点 与点 的距离最大时， ．【答案】 /10度 或
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角
【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和 ，确定点 在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点
在靠近点 处，确定 的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解，
（2）根据两边之和大于第三边，得到 为 的直径，分两种情况进行讨论，即可求解，
本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得
出点 在半圆形量角器所在的圆上．
【详解】（1）解：在矩形 中， ，
点 在半圆量角器的半圆所在的圆（记为 ）上，
若点 在靠近点 处，即点 在 刻度处，连接 ， ，
，
，
（2）当点 与点 的距离最大时， 为 的直径，
，
若点 在 刻度处，
，
，
,若点 在 刻度处， ，
，
，
故答案为： ； 或 ．
题型五 90°的圆周角所对的弦是直径
【例5】如图， 是正方形 内一点，满足 ，连接 ，若 ，则 长的最小值为
．
【答案】 /
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定
理
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点 的运动轨迹，结合圆的性
质得到 最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，
勾股定理和圆周角定理的应用．
【详解】如图，∵ ，
∴点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
则 长的最小时，点 三点共线，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式5-1】如图，在正方形 中， ，点 是对角形 上的一个动点，且不与端点 重合，
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．则 的最小值是 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到
圆上点距离的最值
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取 的中点 ，连接 ，依
题意得出 在 为直径的 上运动，进而勾股定理求得 ，根据 的最小值为 ，
即可求解．
【详解】解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，∵
∴ ，
∴ 在 为直径的 上运动，
∵在正方形 中， ，
∴
∴
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式5-2】如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点 作 于点 ，
交边AB于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则 ．
【答案】 /
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对
的弦是直径
【分析】设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ，设 ， 则
，进而得出 ，勾股定理求得 ，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
设 ， 则 ，
∴
∴
∴ ，
∵
∴
∵
∴ 是 的直径，
∵ 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，则 是等边三角形
∴ ，则
∴
在 中，
在 中，
∵ 是 的直径，
∴当 取得最小值时， 的面积最小，∴当 时， 的面积最小，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，
含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键
题型六 已知圆内接四边形求角度
【例6】如图，四边形 内接于 ，点E在 的延长线上．若 ，则 的度数是
．
【答案】 /160度
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出 ，利用圆内接四
边形对角互补得到 ，最后根据圆周角定理即可求得 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式6-1】如图， 的内接四边形 ，E为 延长线上一点．若 ，则 的度数为
．
【答案】 /119度【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答．
【详解】解： 四边形 是 的内接四边形， 是四边形 的一个外角，
，
故答案为： ．
【变式6-2】如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ，若 ，
，则 °.
【答案】60
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据 是 的直径得出 ，故可
得出 ，由 可知 ，故可得出 ，故
，根据 可知 ，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是 的内接四边形，，即 ，
．
故答案为：60．
【变式6-3】如图，四边形 是 的内接四边形， 平分 ，连接 ，
．
【答案】
【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出 ，根据
垂径定理得到 ，进而求出 ，根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解： 四边形 是 的内接四边形， ，
，
，
，
，
平分 ，
，
故答案为： ．
题型七 点与圆的位置关系
【例7】已知 的半径为 ，点 到圆心的距离为 ，那么点 在 （选填“圆内”，“圆
上”，“圆外”）．
【答案】圆外
【知识点】判断点与圆的位置关系【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和
圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在
圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键．
【详解】解： 点 到圆心的距离 ，
点 在 外．
故答案为：圆外．
【变式7-1】若 的面积为 ，在同一平面内有一点 ，若 ，则点 在 （填内或
上或外）．
【答案】内
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握 点在圆内是解题的关键．
根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可．
【详解】解：∵ 的面积为 ，
∴ 的半径为 ，
∵ ，
∴点 在 内，
故答案为：内．
【变式7-2】在 中， ， ， ．以点A为圆心，以 长为半径画圆，点
B与 的位置关系是 ．
【答案】点B在 上
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴以点A为圆心，以 长为半径画圆，点B与 的位置关系是：点B在 上，
故答案为∶点B在 上．
【点睛】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键．
【变式7-3】已知 的半径为5，线段 的长为d，若点A在 外，则d的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，
，即可得到答案．
【详解】解： 若点A在 外，
．
故答案为： ．
题型八 正多边形和圆
【例8】如图，在正六边形 中，连接 、 相交于点 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌
握正六边形的性质和含 角的直角三角形的性质是解题的关键．
由正六边形的性质得出 ， ，由等腰三角形的性质得出 ，证出
，根据正六边形的边长等于半径可得 ，进而可得出答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
， ，
，
，
根据正六边形的边长等于半径，得
，
，
．
故答案为： ．【变式8-1】如图，有一个亭子，它的地基是边长为 的正六边形，则地基的面积为 m2．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和
计算即可．
【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为 ，高为 ，
∴正六边形的面积为 ，
故答案为： .
【变式8-2】如图，已知正五边形 ，经过C，D两点的 与 分别相切于点M，N，连接
，则 °.
【答案】36
【知识点】多边形内角和问题、切线的性质定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接 ，根据切线的性质和正多边形内角，
可求得 的度数，再利用圆周角定理，可得 的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅
助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，与 分别相切于点M，N，
，
五边形 是正五边形，
，
，
．
故答案为：36．
【变式8-3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正
多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，
而无所失矣”．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可
得 的估计值为 （结果保留根号）
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过 作 于 ，求得 的度数，
根据直角三角形的性质得到 ，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可
得到结论．
【详解】解：如图， 是正六边形的一条边，点 是正六边形的中心，过 作 于 ，在正六边形中，
，则 ，
， ，
，
∴正六边形的面积为 ，
，
，
的近似值为 ，
故选：B．
题型九 求弧长
【例9】已知圆的半径为 ，则 的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】求弧长
【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式9-1】如图，四边形 是 的内接四边形， ， ．若 的半径为5，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长
【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接 ， ， ，由同弧所对的圆周角相等得
，由圆周角定理得 ，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式
，添加辅助线，求出 所对的圆心角是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
，
，
，
，
，
的长为 ，
故答案： ．
【变式9-2】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知 ， ， 的长为 ，则 的长为 ．
【答案】50
【知识点】求弧长
【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出 的度数，再利用弧长公式进行求解
即可．
【详解】解：∵ ， ， 的长为 ，
∴ ， ，
∴ 的长为 ；
故答案为：50．
【变式9-3】已知点 在 上， ，把劣弧 沿着直线CB折叠交弦AB于点 ．
， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、求弧长
【分析】取点 在 上的对应点E，连接 ，过 点作 于 点，根
据四边形 内接于 ，有 ，根据折叠的性质有 ，可证明，即 是等腰三角形，则有 ，进而有 ，再解直
角三角形求得CF，然后利用勾股定理求得 ，易证得 是等边三角形，得到 ，
然后利用弧长公式求得即可．
【详解】解：取点 在 上的对应点 ，连接 ，过 点作 于 点，
如图，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵点 在 上的对应点为点 ，
∴根据折叠的性质有 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
在 中， ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形
的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键．
题型十 求扇形的面积
【例10】已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为 ．（结果保留 ）
【答案】 /
【知识点】求扇形面积
【分析】本题考查了扇形的面积公式 ，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：扇形的面积为
故答案为： ．
【变式10-1】已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则该扇形的面积为 ．
【答案】 /
【知识点】求弧长、求扇形面积
【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为 ，半径为 的扇形的面积
弧长 ．设扇形的半径为 ，根据弧长公式和已知条件得出 ，求出 ，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：设扇形的半径为 ，
扇形的圆心角为 ，弧长为 ，
，
解得： ，
扇形的面积为 ，
故答案为： ．
【变式10-2】中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，
一件扇形艺术品完全打开后，测得 ，则由线段 ，弧 ，线段 ，
弧 围成扇面的面积是 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】求扇形面积
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式 ．根据扇形面积
公式进行计算即可．
【详解】解： ，
扇面的面积为：
．
故答案为： ．
【变式10-3】如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ， ．若 的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】切线的性质定理、求扇形面积
【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到
，然后根据四边形的内角和得到 ，再根据扇形面积公式计算是解题的关
键．
【详解】解：∵ ， 是 的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型十一 与圆锥有关的计算问题
【例11】圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是 ．
【答案】
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计
算．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为 ，高为 ，
∴圆锥的母线长 ，
∴圆锥的侧面展开图的面积 ；
故填： ．
【变式11-1】用一个圆心角为 ，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．
【答案】
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根
据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题．
【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：
，
解得 ．
故答案为： ．
【变式11-2】某圆锥形生日帽子的母线长为 ，底面半径为 ，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开
扇形的圆心角为 ．
【答案】 /120度
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为 ，则 ，代入数
据即可求解．
【详解】设侧面展开扇形的圆心角为 ，则 ，
．
故答案为： ．
【变式11-3】如图，张敏同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝
和损耗，则她所需纸板的面积是 （用 表示）．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、求弧长、求扇形面积、求圆锥侧面积【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的
计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键．
【详解】解：∵圆锥的母线长 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
题型十二 与垂径定理有关的计算问题
【例12】如图，AB是 的直径，弦 于点 ，连接 ，若 ， ．
(1)求 的长度；
(2)求 的长度．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用．
（ ）根据垂径定理即可求解；
（ ）根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ．
【变式12-1】如图，在 中，CD是直径，且弦 于点 ， 于点 ， ，且
．求：(1)弦AB的长；
(2) 的直径．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（ ）利用垂径定理得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质得出
即可；
（ ）设 的半径为 ，先由勾股定理求出 ，在 中，由 ， ，
，再通过勾股定理 ，求出 即可；
本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
（2）设 的半径为 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴ 的直径为 ．
【变式12-2】如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据三线合一证明
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解
题的关键．
（1）由垂径定理得 ，由等腰三角形的性质得 ，即可求证；
（2）由勾股定理得 ，即可求解；
【详解】（1）证明： ，是半径，
，
，
，
，
；
（2）解：设 的半径是r，
，
，
，
的半径是5．
【变式12-3】如图，已知 是 的直径， 是弦，过点 作 于 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用垂径定理求值、三角形内角和定理的应用、等边对等角、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半）及三角形内角和定理，根据题意得出 是 的中位线是解答此题的关键．
（1）先得出 为 的中点，再由 得出 是 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结
论；
（2）连接 ，先根据等边对等角得到 ，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1） 是 的直径，
为 的中点，
又 ，即 为 的中点，∴ 是 的中位线，
；
（2）如图所示，连接 ，
，且 ，
，
．
题型十三 与圆周角有关的计算问题
【例13】如图，C，D是圆上的两点， ，且C为弧 的中点， ， 交于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求圆的半径．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．
（1）由已知条件可得出 ，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出 ，
根据角的和差关系可得出 ， 最后根据三角形内角和即可得出答案．
（2）由 ，可得出 为直径，过点E作 ，证明 ，由全等三角形
的性质可得出 ， ，设 ，则 ，由勾股定理可得出 ，即可得出
圆的半径．
【详解】（1）解：∵C为弧 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ 为圆的直径．
过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，
，
即 ，
解得x=6，
∴ ，
即半径为5．
【变式13-1】如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 于点D，E，过点C作
于点H，交 于点F．(1)求证： ；
(2)若 ，求 值．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角
【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由等边对等角得 ，结合圆周角定理得 ，因为 ，
故 ，证明 ，即可作答．
（2）先因为 ， ，所以 ，因为 为直径，
，因为 ，则 ，即
，证明 ，故 ，代数计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ．
【变式13-2】如图， 为锐角三角形，以 为直径的圆O交 于点E，交 于点 与 交
于点F．(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．
（1）先证 ，得 ，进而得 ，再由 ，得 ，计
算可得答案；
（2）作 的平分线 交 于点G，得 ，进而得 ，
，再由平行线的性质得 ，设 ，则 ，再由 ，
得 ，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
；
（2）解：作 的平分线 交 于点G，连接 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
， ，
，
设 ，则 ，
又
，
，
即 ，
在 中， ，
在 中， ，，
解得： ，
．
【变式13-3】圆内接四边形 如图所示，直径 于点E， 的延长线交于点F，连接
．
(1)求证： ．
(2)已知 ， ，求 的半径长．
(3)在（2）的条件下，若G是 的中点，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理
【分析】（1）连接 交 于点M，先证明 ，再根据圆周角定理推导出 ，
最后等量代换即得 ，即可证明；
（2）连接 ，设 的半径长为 ，则 ，在 中，应用勾股
定理求解即得．
（3）由 ，得到 ，即可求出 的长，由勾股定理求出 的长，即可求出 的
长．
【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点M，∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵弦 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 都是 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
，
；
（2）解：如图，连接
设 的半径长为 ，则 ，
∵弦 于点 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，∴ 或 （舍去），
∴ 的半径长为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵G是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是
解题的关键．
题型十四 与证明切线有关的问题
【例14】如图， 是 的直径，半径为2， 交 于点D，且D是 的中点， 于点E，
连接 ．(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、与三角
形中位线有关的证明
【分析】（1）连接 ，根据中位线性质得出 ，根据 ，得出 ，即可证明
是 的切线；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得出 ，证明 为 的垂直平分线，得出 ，根
据勾股定了求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，半径为2，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，中位
线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【变式14-1】如图，直角三角形 中， ，点 为 上一点，以 为直径的 上一点 在
上，且 平分 ．
(1)证明： 是 的切线；
(2) ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
（1）连接 ，根据平行线判定推出 ，推出 ，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出 ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
∴ ，
，
，
，
，
为半径，
是 切线；
（2）解：设 ，
在 中， ， ，
，
由勾股定理，得： ，
解得： ，
，
．
【变式14-2】如图，在 的边 上取一点 ，以 为圆心 为半径的 与边 相切于点 ，且
，连接 交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ．
(1)求证： 是 切线；(2)若 ， ，求 半径．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定
理解三角形
【分析】（1）连 ，证明 得出 ，由切线的性质得出 ，
推出 ，即可得证；
（2）设 ，则 ，由勾股定理求出 ，推出 ，设 ，则 ，解直角三角
形即可得解．
【详解】（1）证明：连 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是 切线；
（2）解：连接 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式14-3】如图，在 中， 是AB边上一点， 过 、 、 三点， ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)如果 ，
①若 的半径为 ，求BD的长；
②试问 的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①BD ；② 的值是定值，
【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理
【分析】（1）由 ，得 ， 为等腰直角三角形，进而得
，根据垂线定义及切线判定即可得证；
（2）①由 ， ，得 ，又根据直角三角形得CD ，
CD ，BD ，从而即可得解；②设 的半径 ，则CD ，
在 和 中，利用解直角三角形得 CD ， ，
，进而代入即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）解：①由（ ）得 ， 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴CD ， ，作 于 ，如图，
在 中，
∵ ，
∴ CD ，
在 中，
∵ ，
∴BD ；
② 的值是定值．
设 的半径 ，则CD ，
在 中，
∵ ，
∴ CD ， ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，垂线定义，圆周角定理，等边对等角，熟练掌握切
线的判定，解直角三角形是解题的关键．基础巩固通关测
一、单选题
1．已知 的半径是 ，线段 的长为 ，则点P（ ）
A．在 外 B．在 上 C．在 内 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和
圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；
点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：∵ 的半径是 ，线段 的长为 ，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在 内．
故选：C．
2．如图，正方形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形 内接于 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ 的度数 ，
故选：A．
3．如图，已知 是 的直径， 是弦，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理由 是 的直径得到 ，再根据互余得
到 ，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 都是 所对的圆周角，
∴ ．
故选：B．
4．如图， 的边 与 相交于C，D两点，且经过圆心O，边 与 相切，切点为B．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角等，掌握等腰三角
形的判定及性质，切线的性质是解题的关键；由等腰三角形的判定及性质得 ，由直角所
对的圆周角为直角得 ，由切线的性质得 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，，
，
是 的直径，
，
，
边 与 相切，
，
，
；
故选：C．
5．如图，在 中， ，过 、 两点的 交 于点 ，与 相切于点 ， 为 的
直径，若 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形面积计算，关键是连接辅助线 和 ，证明 得到
为等边三角形．
【详解】解：连接 和 ，作 垂足为点 如下图所示：
中与 相切于点 ，，
由圆周角定理可知， ，
在 中， ，
在 和 中，
，
．
，
，圆半径为 ．
扇形 面积 ，
在 中， ，
由勾股定理可知， ，
面积 ，
面积 ，
半圆面积 ，
．
故选： ．
二、填空题
6．如图，在 中，若 ， ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对
的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．如图， 是 的一条弦， 于点C，交 于点D，连接 ．若 ， ，则
的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理．
根据垂径定理求出 ，根据勾股定理得出方程 ，再求出方程的解即可．
【详解】解：设 的半径是R，则 ，
∵ ， 过圆心O， ，
∴ ， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，∴ 的半径是 ，
故答案为： ．
8．如图， 、 是 的两条切线，C在 上， ，则 °．
【答案】51
【分析】本题考查了圆的切线的性质，以及圆周角定理，四边形内角和定理，解决本题的关键是添加辅助
线由四边形的内角和求解．
连接 ，由圆的切线定理与四边形的内角和定理可求解 的度数，再根据 的度数与
的度数的关系由此求解即可．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 、 是 的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 分别为 所对的圆心角与圆周角，
∴ ．
故答案为：51 ．
9．如下图， 是圆 的直径， 为 的中点， 为 上一点，若 ， ，则 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
先连接 作 ，可得 ，进而得 ，然后根据勾股定理求
出 ，可得 ，再根据勾股定理求出 即可得 ，最后根据
得出答案.
【详解】解：连接 过点C作 ，交 延长线于点D，
∵点C是 的中点，
∴ .
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
即 ，
解得 ，
则 .
在 中， ，
即 ，
解得 ，∴ .
根据勾股定理，得 .
在 中， ，
，
解得 .
故答案为： .
10．如图，在 中， ， 是 的内切，三个切点分别为点D，E，F．若 ，
．则 的面积为
【答案】30
【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
设 半径为 ，根据切线长定理得到 ， ， ，在 中，
，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质．
【详解】解：设 半径为 ，
∵在 中， ， 是 的内切圆，
∴在四边形 中， ，
四边形 为矩形．
又∵ ，
四边形 为正方形．则 ，
由切线长定理知： ， ，
， ，
在 中， ，
．
整理，得： ，
解得 ，负值舍去，
， ．
∴ ．
故答案为：30．
三、解答题
11．如图， 是 的直径，C为 上一点，P为 外一点， ，且 ，连接 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得 ，进而证明
，推出 ，即可证明 与 相切；
（2）由 可推出 垂直平分 ，利用等面积法求出 ，进而求出 ，由圆周角定
理得 ，最后用勾股定理解 即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
与 相切；
（2）解：如图，连接 交 于点D，
，
， ，
垂直平分 ，
， ， ，
，
，
，，
是 的直径，
， ，
．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，
正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，已知四边形 内接于 ， 为其中一条对角线．
(1)如图1，若 ，求 的大小；
(2)如图2，若 经过圆心O，连接 ， ，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）四边形 内接于 ， ，则 ，即可求解；
（2）连接 ，由 ， ， 得 ；再由同弧所对的圆周角
相等可得 ；由 是 的直径，得 ，从而求得 ．
【详解】（1）解：∵四边形 内接于 ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角
形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
13．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，
现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息一：点O为喷泉中心， 是喷泉边缘的一条弦， 米，D是弦 的中点，连接 并延长，交
劣弧 于点C， 米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答
下列问题(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔 米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（ 取 ，结果保留整数）
【答案】(1)5米
(2)25盏
【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
（1）连接 ，设喷泉的半径为 ，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，设喷泉的半径为 ，则： ，
∴ ，
∵D是弦 的中点，
∴ 平分弦 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得： （米），
（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．14．如图，在 中， ，点 在 上，以 为直径的 与边 相切于点 ，与边
相交于点 ，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求图形中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理全等三角形的判
定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
( )连接 ，根据切线的性质得到 得到 ，根据平行线的性质得到 ，
得到 ，根据等腰三角形的判定定理证明 ；再利用 定理证明 ，
根据全等三角形的性质得到 ，根据切线的判定定理证明结论；
( )阴影部分面积 梯形 的面积 扇形 的面积(通过“整体减部分”计算不规则图形面积)连接
，设 的半径为 ，根据含 的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积
公式计算得到答案．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 与边 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，
∵ ， ,
∴ ，∴ ，
设 的半径为 ，
∵ ，即 ，
解得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由( )知， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
根据勾股定理得， ，
∴ ．
15．已知 为 的弦，PB为 的切线，过 作 的垂线，垂足为C，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下， 交 于点D，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了圆的综合，包括切线的性质，圆的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形求解．
（1）先判断出 ，进而判断出 ，再判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而由角边角的证明方法得出 ，即可得出结论；
（3）先使用勾股定理求出 ，进而得出 ， ，即可求出 ，再判
断出 ， ，即可得出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：延长 交 于点M，连接 ，如图，
∵ 为 的直径，∴ ， ，
由（1）知， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点O作 于点G，延长 交 于点E，点O作 于点F，连接 ，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
由（2）可得 ，
在 中， ，
即 ，解得 或 （舍），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴
能力提升进阶练
一、单选题
1．若 内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则 的半径r可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设 的半径为r，点P到圆心的距离
，则有：①点P在圆外 ，②点P在圆上 ，③点P在圆内 ．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在 内，点P到圆心O的距离为5，
∴ ．
故选：D．2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深
一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图， 为 的直径，弦 于
寸， 寸，求半径 的长（ ）
A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸
【答案】D
【分析】连接 ，设 的半径为 寸，则 寸， 寸，先根据垂径定理得到
寸，再利用勾股定理得到 ，然后解方程求出 ．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和
勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
【详解】连接 ，
设 的半径为 寸，则 寸， 寸，
寸，
在 中， ，
解得 ，
故选：D．
3．如图，四边形 是菱形， 经过点A，C，D与 相交于点E，连接 ， ．若 ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键；
由菱形的性质得 ，由圆内接四边形的性质及平行线的性质得 ，则由
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．如图，在半圆 中， 为其直径，点 ， 是半圆 的三等分点．已知弧 的长为 ，
，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过弧长公式求出半圆的半径，再利用等边三角形的性质和三角形、扇形的面积公式，通过三
角形面积减去扇形面积来计算阴影部分面积．
【详解】解：连接 、 、 ，过 作 于 ， 交 于 ，∵点 ， 是半圆 的三等分点，
∴ ． ， ，
设半圆 的半径为 ，则 ，
解得 ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴
∴ ，
∴ ．
∵
∴ ， ， ，扇形 的面积为
．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∴阴影部分面积为扇形 ．故选： ．
【点睛】本题主要考查弧长公式、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形
面积公式是解题的关键．
5．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图 是发动机的实物剖面图，图 是其示意图．图
中，点 在直线 上往复运动，推动点 做圆周运动形成 ， 与 表示曲柄连杆的两直杆，点 、
是直线 与 的交点；当点 运动到 时，点 到达 ；当点 运动到 时，点 到达 ．若 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 与 相切时， D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知 ，线段之间的关
系可以得到： ；根据线段之间的关系可求 ， ，从而可以求出 ；
根据切线的定义可知 ，利用勾股定理可以求出 ；利用勾股定理可以求出 ，
所以可得 ，根据 可得： ，所以 ．
【详解】解：A选项： 点 运动到 时，点 到达 ， ，
，
又 ，
，
，
故A选项错误；
B选项： 点 运动到 时，点 到达 ， ，
，
，，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
， ，
，
设 ，则 ，
与 相切，
，
在 中， ，
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
故C选项正确；
D选项：如下图所示，当 时， ，
在 中， ，
，
， ，
,
故D选项错误．
故选：C．二、填空题
6．一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键．
根据扇形的面积公式进行计算．
【详解】解：设这个扇形的半径是r，
根据扇形面积公式，得 ，
解得 （负值舍去）．
所以扇形的半径是3．
故答案为：3
7．如图， 是 的直径， 于 点，若 ， ，则 的半径是
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
先连接 ，由垂径定理求出 的长，设 ，则 ，表示出半径，在 中利用勾股定理
即可求出 的值，进而求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∵ ，设 ，则 ，
∴ ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
8．如图， 内接于圆 ， 为圆 的直径，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 ，则
的度数是
【答案】 /29度
【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接 ，由切线的性质可得 ，再利用余
角的性质可得 ，然后根据圆周角定理即可求得 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵过点 的切线交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
9．如图，已知 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，若 ， ，且 的
面积为6，则内切圆的半径r为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出 是直角
三角形是解题关键．根据切线长定理得出 ，进而得出 是直角三角形，
再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．
【详解】解：∵ 是 的内切圆，切点为D、E、F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ 是直角三角形，
∴内切圆的半径 ，
故答案为：1．
10．如图， 是 的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧 的中点，点P是直径 上一
动点．若 ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于 的对称点 ，连接 ，交于点P，连接 ， ， ， ， ．根据轴对称的性质得到 ， ，
进而可知 ， ，根据勾股定理求出 ，可知 ，进
而可求 周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点A关于 的对称点 ，连接 ，交 于点P，连接 ， ， ， ，
．
∵点A与 关于 对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴ ， ，
∵点B是劣弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 周长的最小值 ，
故答案为：3．
三、解答题
11．如图，在 中，半径 分别交弦 于点E，F，且 ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键
（1）过O作 于M，连接 、 ，利用等腰三角形三线合一证明 ， ，则
问题可证；
（2）利用等腰三角形三线合一，可证明 ， ，进行角的组合可证明
，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证 ．
【详解】（1）证明：过O作 于M，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
．
12．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网
格图中进行如下操作：(1)若该圆弧所在圆的圆心为 ，则 点坐标为___________；
(2)连接 、 ，则 的半径长为___________（结果保留根号）， 的度数为___________．
(3)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2) ；
(3)
【分析】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开
图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出 的半径长，根据勾股定理的逆定理得出 的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【详解】（1）解：分别作 、 的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为 ，故答案为： ；
（2）解：圆D的半径长 ，
，
∴
，
则 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（3）解：圆锥的底面圆的周长 ．
13．如图，已知 ， 是 的直径，弦 于点E．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】此题考查垂径定理的应用，圆周角定理：
（1）根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求出 ，即可得到 的值；
（2）根据圆周角定理得到 ，再结合为 ， ，得 ，
即可求出 的度数．
【详解】（1）解：因为弦 ， ，
所以 ，在 中， ，根据勾股定理 ，
∵ ，
∴ ；
（2）因为 与 所对的弧都是 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，则 ．
14．阅读材料，回答问题．
材料背景
遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图
形，且测得水面宽度 为 ，拱高 （孤的中点到水面的距离）为 ．
问题解决
(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．
(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升 ，求此时水面的宽度．
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为
(2)此时水面的宽度为
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键.
（1）连接 ，设半径 ，在 中，利用勾股定理列方程求解.
（2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF.
【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接 ．
是 的中点， ，
三点在一条直线上，．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ．
故主桥拱所在圆的半径为 ．
（2）解：如图②，记桥下水面上升 所在水面为 ， 交 于点G，连接 ．
由题意，得
,
．
在 中，由勾股定理，
得 ,
．
故此时水面的宽度为 ．
15．在四边形 中， ， ， 为 中点，连接 、 ，且 ．
(1)直接写出 、 、 三条线段之间的数量关系．
(2)以点 为圆心， 长度为半径画圆，判断 与 是否相切，并说明理由．
(3)若 ，设 ， ，利用（2）的结论，求 与 的函数关系式．【答案】(1) ，理由见解析
(2) 与 相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图：延长 交于点H，可证明 得 、 ，则
，再证明 垂直平分 ，则 ，所以 ；
（2）如图：作 于点F，由 得 ，由 得 ，则
，由角平分线的性质得 ，所以点F在 上，则 与 相切；
（3）由 ，E为 中点得 ，可根据“ ”证明
，则 ，由
，得 ，则 ，所以y与x的函数关系
式为 ．
【详解】（1）解： ，理由如下：
如图：延长 交于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 与 相切，理由如下：
如图：作 于点F，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ 于点F， 于点A，
∴ ，
∵ 等于 的半径 ，
∴点F在 上，
∵ 是 的半径，且 ，
∴ 与 相切．
（3）解：∵ 于点F， ，
∴ ，
∵ ，E为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且
∴ ，
∴ ，整理得： ，
∴y与x的函数关系式为 ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、角平分线的
性质、切线的判定、勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 D，点 E在 上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) ．
【分析】（1）连接 ，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出 ，进而得到
，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，证明 ，推出 ，再进行代换求解，即可得到 与 之间的
数量关系；
（3）利用直角三角形性质得到 ，证明 是等边三角形，进而推出 ，利用勾股定理求出 ，进而推出 ，再根据 求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ，
由（1）得 ，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
；
（3）解： ， ，，
是等边三角形，
，
由勾股定理，得 ．
由（2）得 ，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定定理，全等三角形性质和判定，等边
三角形判定与性质，勾股定理，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识．
