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第二十四章 圆
【知识点01】圆的有关性质
1.圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于 的点组成的图形。
确定圆的条件：（1） ；（2） 。
圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过 的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆是以圆心为对称中心的 。
2.圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做 (例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做 （例如：右图中的CD）。
备注：（1） 是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 。以A、B为端点的弧记作
AB
，读作圆弧AB或弧
AB。
等弧的概念： 或 ，能够 的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中 叫做优弧。
劣弧的概念： 叫做劣弧。
3.垂径定理
垂径定理： 于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 。
4.圆心角、圆周角的概念
（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做 。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在 或 中，如果两个 、两条 、两条 或两条 中有一组量
相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
A
（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 。（即：圆周角= 圆心角）
2
推论1：同弧或等弧所对的 。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
D C
C C
B O B A
O B A
A O
【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
2.三角形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的 都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内 ，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2 。
1
r(a+b+c)
（3）S△ABC=2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
3.直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相离 无交点；
（2）直线与圆相切 有一个交点；
（3）直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
4.切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二
者缺一不可。即：∵ 且 过半径 外端 ∴ 是⊙ 的切线
O
M A N
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线
【知识点03】正多边形和圆
1.圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形∴
∴D
C
B
A E
2.圆内正多边形的计算
（1）正三角形：在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行：
；
（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在 中进行， .
C
B C
O
O
O
B D A A E D A B
【知识点04】弧长和扇形面积
1.扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2.扇形与圆柱、圆锥之间联系
（1）圆柱： ①圆柱侧面展开图： =
；②
圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图：① =
；②
圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
B1
D
A D1
O
母线长
底面圆周长 R
B C1
C
C
A r B【易错一】求某点的弧形运动路径长度
1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l =|a|r（a为圆心角弧度数）；若用
nπr
角度制，公式为l= （n为圆心角度数），单位混用会导致计算错误。
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2.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值
是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。
例题：（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在 中， ， ， ，将
绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边 上，则点A的运动路径的
长为 ．
【易错二】求图形旋转后扫过的面积
1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不
准确，导致面积计算错误。
2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半
径，再结合相应面积公式计算。
例题：如图，在 ，将 绕点O逆时针旋转至
，点 在 的延长线上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留
π）【易错三】求其他不规则图形的面积
1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽
略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。
2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算
时留意重叠、空缺部分的处理。
例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点B逆
时针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题
1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为 90 度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦
是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出 90 度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理
解决问题 。
2.注意事项: 首先要牢记定理使用的前提是圆周角为 90 度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的
度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位 90 度圆周角及其所对的弦。
例题：如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，使它们相交于点E， ，且 ．(1)求证： ．
(2)若 ，点C为 的中点，求 的半径．
【易错五】与圆有关的新定义型问题
1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽
略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。
2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直
观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。
例题：（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，四边形 是圆美四边形， 是美角．
① 的度数为________ ；
②连接 ，若 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分 ，判断 、
与 之间的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆 ，在直线 上从左往右作无滑动的
滚动，则滚动2025周后圆心 所经过的路径长为（ ）A． B． C． D．
2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知 ， ， ，半径为 的 从
点A出发，沿 方向滚动到点 时停止．则在此运动过程中， 扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知 的半径为 为 的直径， 为半圆弧 的中
点，四边形 的边 与 相切，切点为 ，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．6 B．8 C． D．
二、填空题
4．（2025·浙江·模拟预测） 中， ， ， cm，将 绕点 顺时针旋转至
的位置，如图， 、 、 三点在同一条直线上，则点 所经过的路径长为 ．5．（2025·广东茂名·二模）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
6．（2025·河南郑州·三模）如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 上一点．将半圆 沿 翻折，点
的对应点 落在 上，点 的对应点为 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
7．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以 的 边上一点 为圆心的圆经过 、 两点，且与
边交于点 ， ，连接 交 于点 ，若 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径是 ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ）．8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板 绕着 角的顶点 顺时针旋转．
使得点 与 延长线上的点 重合，点 与点 重合，连接 ．
(1)三角板旋转了______度；
(2)求 的度数；
(3)若 ，求旋转过程中点 经过的路径长．
9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形
为“圆等三角形”．
(1)如图1， 是 的一条弦（非直径），若在 上找一点 ，使得 是“圆等三角形”，则这样
的点 能找到_________个；
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形，连结对角线 ， 和 均为“圆等三角形”，
且 ， ．
①当 时，求 度数；
②如图③，当 ， 时，求阴影部分的面积．
10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做
四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“ ”，错误的打“ ”），
①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（ ）
②正方形一定有内切圆；（ ）
③四边形 中，若 ， ，则四边形 没有内切圆（ ）
(2)如图1，若四边形 有内切圆 ，求证： ．
(3)如图2，四边形 中，若 ，它的内切圆 与边 ， ， ， 分别相切于点
， ， ， ，连接 ， 交于点 ．
①求证： ；
②连接 ，若 的半径为1，当 时，求 的取值范围．
