文档内容
第二十四章 圆（知识清单）
一、学习目标
1 理解圆及圆相关的概念.
2 会判断点、直线与圆之间的位置关系.
3 理解圆的对称性及有关性质，会用垂径定理等解决有关问题.
4 了解圆的确定条件，了解三角形的外接圆以及圆的内接三角形相关的概念.
5 熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用，理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面
积的计算．
重点：同上
难点：同上
二、学习过程
章节介绍
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆
周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，
弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积.需理解圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边
形的半径、中心、边心距等概念，掌握垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等利用弧长公
式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等进行计算.本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中
考中所涉及的命题大多和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关.知识梳理
一、圆的概念：在一个________内，线段OA绕它________的一个端点O________一周，另一个端点
A________________叫做圆. 其中，________________叫做圆心. ________________叫做半径，一般用r
表示.以________为圆心的圆，记作“________________”，读作“________________”. 圆心为O、半径为r
的圆可以看成是________________________________组成的图形.
二、弦的概念：
连接圆上____________________叫做弦.经过_____________________叫做直径.
三、弧、半圆、优弧、劣弧的概念：
圆上______________叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作^AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆________________，每一条弧都叫做半圆.
________半圆的弧（如图中的^AB）叫做劣弧
________半圆的弧（用三个字母表示，如图中的^ACB）叫做优弧.
四、同心圆等圆的概念：
____________相同，__________不相等的两个圆叫做同心圆.
能够___________________的两个圆叫做等圆.五、等弧的概念：
在______________中，能够____________的弧叫做等弧.
六、圆的轴对称性：
圆是______________图形，任何一条___________所在直线都是它的对称轴.
七、垂径定理的内容：
垂直于弦的直径____________弦，并且__________弦所对的_______________弧.
八、垂径定理推论的内容：
平分弦（不是________）的直径_____________于弦，并且_________弦所对的两条弧.
九、圆心角的概念：
顶点在__________的角叫做圆心角.
十、弧、弦、圆心角的关系
在__________或_____________中，两个_________、两条__________、两条_________中有一组量
_________，它们所对应的其余各组量也_________________．
十一、圆周角定义：顶点在________，两边都和圆________的角叫做圆周角.
十二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________________．
十三、圆周角定理推论：
1）________________________所对的圆周角相等.
2）________________所对的圆周角是________________；
________的圆周角所对的弦是________，所对的弧是________.
十四、圆内接四边形概念：如果四边形的____________均在__________圆上，这个四边形叫做圆内接四边
形.
十五、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角_____________.
十六、点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d____r <=> 点P 在⊙O内
2）d____r <=> 点P’在⊙O上
3）d____r <=> 点P”在⊙O外
十七、三角形的外接圆的概念：经过三角形_________的圆叫做三角形的外接圆.这个_________叫做这个圆的内接三角形.三角形外接
圆的__________叫做这个三角形的外心.
十八、相离、相切、相交的概念：
1）直线与圆___________，称为直线与圆相离.
2）直线与圆________________，称为直线与圆相切，这条直线叫做圆的__________，这个公共点叫
__________.
3）直线与圆___________________，称为直线与圆相交.这条直线叫做圆的_________.
十九、直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交<=> d____r
直线l与⊙O相切<=> d____r
直线l与⊙O相离<=> d_____r
二十、切线的判定定理：经过半径的________并且___________于这条_________的直线是圆的切线.
二十一、切线的性质定理：圆的切线___________于过_________的_________．
二十二、切线长概念：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的__________，叫做这点到圆的切线长．
二十三、切线长定理：
从圆外一点可以引圆的___________切线，它们的___________相等，这一点和圆心的连线_______两条切
线的__________.
二十四、三角形内切圆的概念：
与三角形各边都_______________的圆叫做三角形的内切圆.
二十五、正多边形的概念：
_________相等，_________也相等的多边形叫做正多边形.
二十六、正多边形的相关概念：
1）一个正多边形的__________________的圆心叫作这个正多边形的中心.
2) _________的半径叫作正多边形的半径.
3) _________的半径叫作正多边形的边心距.
4) 正多边形每一条边所对的_________叫做正多边形的中心角.
二十七、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=__________
二十八、扇形的概念：由组成圆心角的两条____________和________________围成的图形是扇形.
二 十 九 、 扇 形 面 积 公 式 ： 在 半 径 为 R 的 圆 中 ， 圆 心 角 为 n° 的 扇 形 的 面 积 为 ：
S =______________
扇形三十、圆锥的相关概念：
圆锥概念：由一个_________和一个________围成的几何体.
母线概念：连接_________顶点和______________任意一点的线段.
圆锥的高的概念：连结________与_____________的线段叫做圆锥的高.
考点解读
考查题型一 垂径定理的实际应用
1．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动
杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是
滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动
A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值 ，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．
2．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就
要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧
急措施.
3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；(2)当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有2m，即PN=2m
时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
4．如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高
AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；
考查题型二 圆周角定理及其推论
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB=❑√2，AD=1，求CD的长度．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE=AB，连接BD，ED．
(1)求证：BD=ED；
(2)若∠ABC=60°， ，⊙O的直径长为 ．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；
（2）若BE=2,CD=6，求⊙O的半径的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若AD＝DC，∠E＝70°，求∠ABC的度数．
考查题型三 点和圆的位置关系
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，6)、B(5，6)、C(7，4)．
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)坐标原点O与⊙M有何位置关系？并说明理由．
2．如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从
点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持 的航速行驶，那么
在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？考查题型四 直线和圆的位置关系
1．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动（点P
可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿BC以 的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中
一点到达终点时，另一点随之停止运动设运动时间为t秒．
（1）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于 ？
（2）如图2，在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切，求t值；
（3）若以Q为圆心， 为半径作⊙Q．如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值
范围为________．（直接写出结果，不需说理）
2．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．
(1)若以A为圆心，8长为半径作⊙A，则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范
围是 ．
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．
(1)试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．
(2)若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．
(3)若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角
形是等腰三角形，求点P的坐标．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝
x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；
(2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．
考查题型五 切线的性质与判定
1．材料：在平面直角坐标系中，已知点P(x ,y )和直线 ，则点P到直线 的距离d可用公
0 0
|kx −y +b|
式d= 0 0 计算．例如：求点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离，因为直线y=3x+7，其中k=3，
❑√1+k2
|kx −y +b| |3×(−1)−2+7| 2 ❑√10
b=7，所以点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离为d= 0 0 = = = ．
❑√1+k2 ❑√1+32 ❑√10 5
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点P(1,−3)到直线y=x−1的距离；
(2)已知⊙Q的圆心坐标为(0,5)，半径r为3，判断⊙Q与直线y=❑√3x+9的位置关系，并说明理由．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连
接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=10，EF=20，求⊙O的半径．
3．【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆 也随之运动，并且 带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程
中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，
过点O作OH⊥l于点 ，并测得OH=8分米，PQ=6分米， 分米．
【解决问题】
(1)点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．
(2)如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点 的位置时， 与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
(3)①小丽同学发现：“当点P运动到 上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大
的位置，此时，点P到l的距离是_________分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
4．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线MN接近球门AB，他在哪里射门时射
门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门AB的张角∠APB时，在MN上取一点Q，过A、B、Q三点
作圆，发现直线MN与该圆相交或相切．如果直线MN与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动
过程中，∠APB的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线MN与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时
∠APB最大，如图2，试证明他们的发现．【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于AB方向的路线MN带球，请用尺规作图在MN上找出球员P的位
置，使∠APB最大．（不写作法，保留作图痕迹）
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC相交于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的
延长线于点E，连结 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4❑√3，求线段EF的长
考查题型六 三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．阅读材料：如图，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆☉O的半径为r，探究r与S，l之间的关系．
解：连接OA、OB、OC．
1 1 1
∵S = AB⋅r，S = BC⋅r，S = CA⋅r，
△AOB 2 △OBC 2 △OCA 21 1 1 1
∴S= AB⋅r+ BC⋅r+ CA⋅r= l⋅r，∴
2 2 2 2
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推
导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a ，a ，a ，a ，…，a ，
1 2 3 4 n
合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边
BC，AC，AB于点D，E，F．
(1)求⊙O的半径．
(2)若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，
OE，OF．(1)若BC=6，AC=8，则r=______；
(2)若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
4．解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n！确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直
角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相
切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
考查题型七 应用切线长定理求解
1．如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖
正好是圆心O，若 ，求∠APB的度数．
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，
连接OC，PB，已知PB=6，DB=8， ．
(1)求证：PB是⊙O的切线：(2)求⊙O的半径．
3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与
PA的延长线交于点D．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若OB=3， ，求DP的长．
4．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
考查题型八 三角形内切圆与外接圆综合
1．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
2．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°，求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
3．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID；
(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．
考查题型九 正多边形与圆
1．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直
径 ；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
⏜
2．如图，⊙O为等边ΔABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A,B重合），连接DA，
ABDB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，
ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
⏜
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为 上的一点，连接DP，CP．
BC
(1)求∠CPD的度数；
⏜
(2)当点P为 的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
BC
4．【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度
α(0°<α<120°)，∠BOC的两边与三角形的边BC,AC分别交于点M,N．设等边△ABC的面积为S，
1
通过证明可得△OBM≌△OCN，则S =S +S =S +S =S = S．
四 边 形OMC△NOMC △OCN △OMC △OBM △OBC 3
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度
α(0°<α<90°)，∠BOC的两边与正方形的边BC,CD分别交于点M,N．若正方形ABCD的面积为S，
请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度
，∠BOC的两边与正六边形的边BC,CD分别交于点M,N．若四边形OMCN面积为❑√6，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．
考查题型十 求其它不规则图形面积
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D
两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
2．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O
经过点D．
(1)求证：直线BC是⊙O的切线．
(2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝
2∠EAC．(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接
OA．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BE=AC=6，⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．
考查题型十一 圆锥的实际应用
1．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是 ，母线长是 ，制作100个这样的烟囱帽至少需要
多少平方米的铁皮？
2．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m．(1)求这个圆锥的母线长；
(2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2）
3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最
短距离．
