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第二十四章 圆（14 大压轴考法 50 题专练）
目录
题型一：垂径定理............................................................................................................1
题型二：垂径定理的应用.................................................................................................4
题型三：圆心角、弧、弦的关系.......................................................................................7
题型四：圆周角定理........................................................................................................9
题型五：圆内接四边形的性质........................................................................................14
题型六：点与圆的位置关系......................................................................................17
题型七：三角形的外接圆与外心..............................................................................21
题型八：直线与圆的位置关系........................................................................................31
题型九：切线的性质......................................................................................................35
题型十：切线的判定......................................................................................................40
题型十一：切线的判定与性质........................................................................................45
题型十二：三角形的内切圆与内心.................................................................................52
题型十三：正多边形和圆 59
题型十四：扇形面积的计算............................................................................................62
一．垂径定理
1．（2023秋•六安期中）如图，在 中，已知 是直径， 为 上一点 不与 、 两点重合），
弦 过 点， ．
（1）若 ， ，则 的长为 ；
（2）当 点在 上运动时（保持 不变），则 ．
【分析】（1）作 于 ，得到 ，由 ， ，得到圆的半径长，由 是
等腰直角三角形，得到 的长，由勾股定理求出 的长，即可得到 的长．
（ 2 ） 由 ， ， 得 到， 因 此 ， 得 到
，即可解决问题．
【解答】解：（1）作 于 ，
，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为： ．
（2）由（1）知 ， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，
勾股定理来解决问题．
2．（2023秋•萨尔图区校级期中）如图， 是 弦 的中点， 是 上的一点， 与 交于点
，已知 ， ．
（1）求线段 的长；（2）当 时，求 的长．
【分析】（1）连接 ，先根据垂径定理得出 ， ，在 中，根据勾股定理即可
得出结论；
（2）在 中，设 ，则 ， ，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）连接 ．
过圆心，且 是弦 中点，
， ，
在 中， ．
， ．
；
（2）在 中， ．
设 ，则 ， ．
，
解得 （舍 ， ．
则 ．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．（2023秋•湖北期中）如图，在 中，直径 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且
（1）求证： ；
（2）求 的度数．【分析】（1）连接 ，由垂径定理可知 是 的垂直平分线，故可得出 ，同理可得
，故 ，进而可得出结论；
（2）由（1）知△ 是等边三角形，再由垂径定理可知 ，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
，
同理可得 ，
，
，即 ；
（2） 由（1）知△ 是等边三角形，
，
直径 于点 ，
， ，
．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
二．垂径定理的应用
4．（2023秋•西平县期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 米，拱高 米．
（1）求圆弧所在的圆的半径 的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即 米时，是否要
采取紧急措施？【分析】（1）连接 ，利用 表示出 的长，在 中根据勾股定理求出 的值即可；
（2）连接 ，在 △ 中，由勾股定理得出 的长，进而可得出 的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连接 ，
由题意得： （米 ， 米，
在 中，由勾股定理得： ，
解得， （米 ；
（2）连接 ，
米，
在 △ 中，由勾股定理得： ，即： ，
解得： （米 ．
（米 ．
，
不需要采取紧急措施．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是
解答此题的关键．
5．（2023秋•江都区期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦 的垂直平分线交弧 于点 ，交弦
于点 ．已知： ， ．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作 ， 的中垂线交于点 ，则点
是弧 所在圆的圆心；
（2）在 中，由勾股定理可求得半径 的长，由圆的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）作弦 的垂直平分线与弦 的垂直平分线交于 点，以 为圆心 长为半径作圆
就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接 ，设 ， ， ，
则根据勾股定理列方程：
，
解得： ．
即：圆的半径为 ．
所以圆的面积为： ．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解
决计算弦长、半径、弦心距等问题．
6．（2023秋•大丰区期中）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽 为
（如图），桥拱最高处离水面 ．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为 ，问水面涨高了多少？
【分析】已知到桥下水面宽 为 ，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面 ，就是已知弦心距，
可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．【解答】解：（1）如图所示，设点 为 的圆心，点 为 的中点，
连接 ， ， 交 于 ，由题意得 ， ，
由垂径定理得 ， ，
设 半径为 ，则在 中，
，即 ，
解得 ，所以桥拱的半径为 ；
（2）设河水上涨到 位置（如图所示），
这时 ， ，有 （垂足为 ，
，
连接 ，则有 ，
，
．
【点评】上涨高度即是弦心距的差．是正确解本题的关键．
三．圆心角、弧、弦的关系
7．（2023秋•海曙区期中）如图， 是 的直径， 是 的中点， 于点 ， 交 于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径及 的长．
【分析】（1）要证明 ，可以证明 ； 是 的直径，则 ，又知
，则 ，则 ， ，则 ；
（2）在直角三角形 中， ，又知， ，所以可以求得 的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得 的长．
【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
．
，
，
，
．
又 是 的中点，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
的半径为5，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度
适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．
8．（2023秋•绍兴期中）如图，在 中，弦 、 相交于点 ，连接 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）如果 的半径为5， ， ，求 的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质得
到结论；（2）过 作 与 ， 于 ，连接 ， ，根据垂径定理得到 ， ，
由于 ，于是得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到 ，证
得四边形 是正方形，于是得到 ，设 ，则 ，根据勾股定理即可
得到结论．
【解答】解：（1） ，
，
在 与 中， ，
，
；
（2）过 作 与 ， 于 ，连接 ， ，
根据垂径定理得： ， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
设 ，
则 ，
，
即： ，
解得： ， （舍去），
，
．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的
判定和性质是解题的关键．
四．圆周角定理
9．（2023秋•源汇区校级期中）如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动，
连接 ， 是 上一点， ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ．由题意点 在以 为圆心， 为半径的
上，推出当 、 、 共线时， 的值最小；
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ．
，
，
点 在以 为圆心， 为半径的 上，
当 、 、 共线时， 的值最小，
是直径，
，
，
，
的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
利用辅助线 圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．（2023 秋•大丰区期中）如图，在 中，点 是劣弧 的中点，点 在劣弧 上，且， 于 ，当 ，则 ．
【分析】在 上截取 ，连接 ， ， ， ， ，可以证明 ，得
到 ， 由 ， 得 到 ， 由 圆 周 角 定 理 得 到
，因此 ，得到 ，即可求解．
【解答】解：在 上截取 ，连接 ， ， ， ， ，
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，
关键是通过作辅助线构造全等三角形．
11．（2023秋•路南区期中）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ， ， 是 上
的一个动点，连接 ．过点 作 于 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【分析】如图，连接 、 ．在点 移动的过程中，点 在以 为直径的圆上运动，当 、 、
共线时， 的值最小，最小值为 ，利用勾股定理求出 即可解决问题．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 、 ．
，
，
在点 移动的过程中，点 在以 为直径的圆上运动，
是直径，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等 的运动轨迹
是以 为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题．
12．（2023秋•梁溪区校级期中）关于 的方程 ，如果 、 、 满足 且 ，
那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾股方程”： ；
（2）求证：关于 的“勾股方程” 必有实数根；
（3）如图，已知 、 是半径为 1 的 的两条平行弦， ， ，且关于 的方程是“勾股方程”，求 的度数．
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”；
（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；
（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．
【解答】（1）解：写出一个“勾股方程”： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）；
（2）证明： 关于 的方程 是“勾股方程”，
且 ，
①当 时，
△
，
方程有两个实数根，
②当 时，
方程为 ， ，
该方程有实数根，
“勾股方程”必有实数根；
（3）解：作 于 ，延长 交 于 ，连接 ， ，
，
，
， ，，
，
是“勾股方程，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“勾股方程”
的定义．
五．圆内接四边形的性质
13．（2023秋•源汇区校级期中）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上一点，连接 、
，若 ，求证： 平分 ．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得出 ，再根据 得出 ，故可得
出 ，再由圆周角定理得出 ，故可得出 ，故可得出结论．
【解答】证明： 四边形 内接于 ，
．
，
，
．
与 是同弧所对的圆周角，
，
，即 平分 ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
14．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形 是 的内接四边形，点 是 延长线上的一点，
且 平分 ， 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
（2）过点 作 ，分别证明 和 ，根据全等三角形的性质计
算．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
， ，
，
，
，
；
（2）解：过点 作 ，垂足为点 ．
平分 ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外
角等于它的内对角是解题的关键．
15．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ．
（1）判断 的形状并证明你的结论；
（2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由．
（3）求证： ．
【分析】（1）利用圆周角定理可得 ， ，而 ，所以
，从而可判断 的形状；
（2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形，通过证明 和 均为等边三角形，知
， 四边形 是菱形；
（3）在 上截取 ，则 是等边三角形，然后证明 ，证明 ，即可证
得．
【解答】解：（1）证明：（1） 是等边三角形．
证明如下：在 中，
与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角，
， ，又 ，
，
为等边三角形；
（2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形，
连接 ，
， 是 的中点，
又 ，
和 均为等边三角形，
，
四边形 是菱形；
（3）如图2，在 上截取 ，
又 ，
是等边三角形，
， ，即 ．
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定
定理和性质定理是解题的关键．
六．点与圆的位置关系
16．（2023秋•宿城区期中）如图， 是 的直径，点 在 上， ，垂足为 ， ，
点 是 上的动点（不与 重合），点 为 的中点，若在 运动过程中 的最大值为4，则 的
值为
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意取 的中点，根据点 的运动轨迹，确定点 的运动轨迹，根据 ，
可确定当点 、 、 三点共线时， 有最大值4，此时 ，求出 ，再根据
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则 ，联立即可求出半径 的值，然后求
出 的长，利用勾股定理即可求出 的长．
【解答】解：方法一、如图所示，连接 、 ，取 的中点 ，连接 和 ，设 的半径为
，
点 为 的中点，
，
点 是 上的动点（不与 重合），点 为顶点，
点 的运动轨迹是以点 圆心，以 的长为半径的圆上，
则 ，
当点 、 、 三点共线时， 有最大值4，此时 ，
，，
，
点 为 的中点，
，
，解得： ，
，
在 △ 中， ；
方法二、如图，延长 交 于 ，连接 ， ，
， 是直径，
，
又 点 是 的中点，
，
当 为直径时， 有最大值，
，
，
，
在 △ 中， ；
故选： ．
【点评】本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点 、 、 三点共线时， 有最大
值4．
17．（2023秋•东台市期中）在矩形 中， ， ，点 是平面内一动点，且满足 ，
为 的中点，点 运动过程中线段 长度的取值范围是 ．【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，可知 为 的中位线，则可得 ，进
而可知点 在以 为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形 中，根据 进而得出答案．
【解答】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
为 的中点，
为 的中位线，
，
点 在以 为圆心，以1为半径的圆上运动，
在矩形 中， ，
的取值范围为 ，
即 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知
识点得出点 的运动轨迹是解本题的关键．
18．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 是以 ， 为圆心，1为半径的上的一个动点，已知 ， ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【分析】设点 ，表示出 的值，从而转化为求 的最值，画出图形后可直观得出 的最
值，代入求解即可．
【解答】解：设 ，
， ，
，
，
，
当点 处于 与圆的交点上时， 取得最值，
的最小值为 ，
最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点 坐标，将所求代数式的值转化为求解 的最
小值，难度较大．
七．三角形的外接圆与外心
19．（2023秋•江阴市校级期中）如图， 为等边 的外心，四边形 为正方形．现有以下结论：
① 是 外心； ② 是 的外心；③ ；④设 ，则 ；⑤若点
， 分别在线段 ， 上运动（不含端点），随着点 运动到每一个确定位置时， 的周长都
有最小值， ．其中所有正确结论的序号是
A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤
【分析】本题命题思路是以等边 外心为背景，进而得到 ， ， ， 四点共圆，从而对角互补，利用旋转 ，可以转化四边形 为一个规则的等边三角形 ，最后利用轴对称性可解决
周长最小值的问题．
【解答】解：连接 ， ；
为 的外心；
；
正方形 ；
；
；
是的 外心；故①正确．
对于②，连接 ， ，
，
不是 的外心；故②错误．
对于③，连接 ，
，
， ， ，三点共圆；
，
，
即 ；故③正确．对于④，
，
， ， ， 四点共圆，
如图所示，以点 为旋转中心，把 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为点 ， ，
，
，
即 ，
，
，
， ， 三点共线；
由旋转的性质可得， ，
是等边三角形；
，
过点 作 的垂线，垂足为 ，
，
；
在 中，
，
；
；，
，
；
故④正确．对于⑤，
如图所示；作 和 关于 和 的对称线段，
， ； ，
当 ， ， ， 四点共线时， 周长最小：
即 ， ，
连接 ，
，连接 ，
是等腰三角形；
， ；
；
，
；
三角形 是以 为顶角的等腰三角形；
过点 作 的垂线，垂足为 ，
，
；
在 中；
；即 故⑤错误；综上所述，①③④正确；
故选： ．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接
四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值， 等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心
连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要
旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊
三角形的边长之比非常重要，例如 等腰三角形三边之比为 ．
20．（2023秋•湖里区校级期中）如图，已知点 是 外接圆 上的一点， 于 ，连接
，过点 作直线 交 于 ，交 于 ，若点 是弧 的中点，连接 ， ，
（1）求证： ；
（2）若 ，试探究 与 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论．
（2）作 于点 ，连接 ．先证明 ，再根据 与 的关系推
出 ，然后可得出结论．
【解答】（1）证明： ，
，
，；
（2） 与 之间的数量关系为： ．
理由如下：
作 于点 ，连接 ．
，
，
为 中点，
，
，
于 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
， ， ， ， ， ，
，
，
，
，
即 ．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含 的直角三角形的性
质、勾股定理等知识点，判断出 以及证明 是解答的关键．
21．（2023秋•六安期中）如图，等腰 内接于 ， 的垂直平分线交边 于点 ，交 于 ，垂足为 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，然后利用圆周角定理即可解决问题；
（2）连接 ，根据垂直平分线的性质得 ，结合（1）证明 ，设 ，根据三角形
内角和定理求出 ，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明： 是 的垂直平分线，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
是 的垂直平分线，
，
，
由（1） ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周
角定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是得到 ．
22．（2023 秋•竹山县期中）如图，等腰 内接于 ， ，点 为劣弧 上一点，
．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，根据 ，则可判断 为等边三角形；
（2）过点 作 的延长线于点 ，证明 ，根据 ，可得 ，所以
， ，然后根据四边形 的面积 的面积 等边三角形 的面
积，即可解决问题．
【解答】（1）证明： ，
又 ，
为等边三角形；
（2）解：如图，过点 作 的延长线于点 ，为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
等边三角形 的面积 ，
四边形 的面积 的面积 等边三角形 的面积 ．
四边形 的面积为 ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解决本
题的关键是熟练运用圆周角定理，垂径定理．
23．（2023 秋•集美区校级期中）如图 1， 中， ， 是 的外接圆，过点 作
，交 于点 ，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，点 在线段 上，且 ， 是 的中点，连接 ，若 ，
，求 的半径．
【分析】（1）作 于 ，根据题意易求得 ，利用角的关系和圆周角定理可求得
，即可求解；（2）连接 并延长交 延长线于点 ，连接 ， ， ，根据圆周角定理可求得 垂直平分
，再求证四边形 为平行四边形，设半径为 ，则 ， ，根据勾股定理即
可求解．
【解答】（1）证明：如图1，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 并延长交 延长线于点 ，连接 ， ， ，
是 的中点，
，
， ，
，，
垂直平分 ，
为直径，
，
，
， ，
，
，
，
在 中， ，即 ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
设半径为 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，解得 ，
的半径为4．
【点评】本题主要考查了圆的综合知识，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练掌握关于圆的相关性质，
正确作出辅助线是解决问题的关键．
八．直线与圆的位置关系
24．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、
，半径为2的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每秒 个单位长度的速度沿
射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与坐标轴相切．
【分析】设 与坐标轴的切点为 ，根据已知条件得到 ， ， ，推出 是等腰直角三角形， ，①当 与 轴相切时，②如图， 与 轴和 轴都相切时，③当点 只与
轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：设 与坐标轴的切点为 ，
直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 ，
时， ， 时， ， 时， ，
， ， ，
， ， ，
是等腰直角三角形， ，
①当 与 轴相切时，
点 是切点， 的半径是2，
轴， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
点 的速度为每秒 个单位长度，
；
②如图， 与 轴和 轴都相切时，
，
，
点 的速度为每秒 个单位长度，；
③当点 只与 轴相切时，
，
，
点 的速度为每秒 个单位长度，
．
综上所述，则当 或6或10秒时， 与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题
的关键．
25．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线 的解析式为
．若直线 与半圆只有一个交点，则 的取值范围是 ．
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 或从直线过点 开始到直线
过点 结束（不包括直线过点 ．
当直线和半圆相切于点 时，根据直线的解析式知直线与 轴所形成的锐角是 ，从而求得 ，
即可求出点 的坐标，进一步求得 的值；当直线过点 时，直接根据待定系数法求得 的值．
【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 或从直线过点 开始到
直线过点 结束（不包括直线过点 ．
直线 与 轴所形成的锐角是 ．
当直线和半圆相切于点 时，则 垂直于直线， ．
又 ，则 ，即点 ， ，把点 的坐标代入直线解析式，得
，
当直线过点 时，把点 代入直线解析式，得 ．
当直线过点 时，把点 代入直线解析式，得 ．
即当 或 时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为 或 ．
【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法．
26．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 ，
垂足为点 ， 平分 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， 的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到 ，证明 ，
根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明 是等边三角形，得到 ，根据勾股定理求出 、 ，根据梯形的面积公式、扇形
的面积公式计算即可．
【解答】解：（1） 与 相切，
理由：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，，
，
，
，即 ，
，
与 相切；
（2） ，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
， ，
．
【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理、扇形面积公式是解题的关键．
九．切线的性质
27．（2023秋•西城区校级期中）如图，过点 作 的切线 ， ，切点分别是 ， ，连接 ．
过 上一点 作 的切线，交 ， 于点 ， ．若 ，△ 的周长为4，则 的长为
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据切线长定理得到 ，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解： 、 为 的切线，
，、 为 的切线，
，
同理， ，
△ 的周长 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
28．（2023秋•房县期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 ， 交于点
，过点 作 的切线 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为4， ，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 ，易得 ，由 ，易得 ，等量代换得
，利用平行线的判定得 ，由切线的性质得 ，得出结论；
（2）连接 ，利用（1）的结论得 ，易得 ，得出 ，利用
扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
是 的切线，
，
．
（2）解：连接 ，
， ，
，
，，
，
的半径为4，
， ，
．
【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助
线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
29．（2023秋•青县校级期中）已知：如图 是 的直径， 是弦，直线 是过点 的 的切线，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，如图，根据切线的性质得 ，则可判定 ，所以 ，
加上 ，则 ；
（2）利用圆周角定理得 ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，如图，
为切线，
，
而 ，
，
，
，
，
；（2）解： 为直径，
，
在 中， ，
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
30．（2023秋•东昌府区校级期中）如图， 是 的直径，点 和点 是 上的两点，过点 作
的切线交 延长线于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 半径的长．
【分析】（1）连接 ，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接 ，
是 的切线， 是 的半径，
，
，
， ，
，
；（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 的半径为 ，
，
，
解得： ，
的半径为2．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
31．（2023秋•海门市校级期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点
作 的切线 ，交 于点 ， 的反向延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为10，求 的长度．
【分析】（1）欲证明 ，只需推知 即可；
（2）如图，过点 作 于点 ，构建矩形 ，设 ．则由矩形的性质推知：
， ．在 中，由勾股定理知： ，通过
解方程得到 的长度，结合 ，得到 ．
【解答】（1）证明： ，
，
，，
，
．
是 的切线， 是半径，
，
；
（2）如图，过点 作 于点 ，则 ，
四边形 是矩形，
， ．
设 ．
， ，
， ．
在 中，由勾股定理知： ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
．
，
，
．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．
十．切线的判定
32．（2023秋•新会区校级期中）如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分 ，
，垂足为 ， 交 于 ，连接 ．
（1）判断 与 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 是弧 的中点， 的半径为5，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由 平分 得 ，加上 ，则 ，于是可判断 ，由于
，所以 ，则可根据切线的判定定理得到 为 的切线；
（2）作 与 ，如图，根据垂径定理得 ，再证明四边形 为矩形，得到
， ，在 △ 中利用勾股定理计算出 ，则 ，然后
在 △ 中根据勾股定理可计算出 的长；
（3）由 是弧 的中点得到 ，根据垂径定理得 ，由于 ，根据等腰三角形的判
定得到 ，即 ，所以△ 为等边三角形，易得△ 为等边三角形，所以
， ，可计算出 ，于是可计算出 ， ，
由于 ，然后利用 进行计算．
【解答】解：（1） 与 相切．理由如下：
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
为 的切线；
（2）作 与 ，如图，则 ，
， ， ，
四边形 为矩形，
， ，
在 △ 中， ， ，
，，
在 △ 中， ， ，
；
（3） 是弧 的中点，
，
，
，
，
，
△ 为等边三角形，
同理可得△ 为等边三角形，
， ，
，
， ，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的
切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．
33．（2023秋•陕州区期中）如图， 为正方形 对角线上一点，以点 为圆心， 长为半径的
与 相切于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若正方形 的边长为10，求 的半径．【分析】（1）首先连接 ，并过点 作 ，由 长为半径的 与 相切于点 ，可得
， ，然后由 为正方形 的对角线，根据角平分线的性质，可证得
，即可判定 是 的切线；
（2）由正方形 的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设 ，可得 ，由勾股
定理求得 ，则可得方程 ，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接 ，并过点 作 ．
切 于点 ，
， ，
又 为正方形 的对角线，
，
，
即： 是 的切线．
（2）解： 正方形 的边长为10，
， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得： ．
的半径为： ．
【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是
解此题的关键．
34．（2023秋•新会区校级期中）如图，已知 是 外一点， 交圆 于点 ， ，弦
，劣弧 的度数为 ，连接 ．
（1）求 的长；（2）求证： 是 的切线．
【分析】（1）首先连接 ，由弦 ，劣弧 的度数为 ，易证得 是等边三角形，则
可求得 的长；
（2）由 ， 是等边三角形，可求得 ，即可得 ，又由等边三角形的
性质， ， ，则可证得 ，继而证得 是 的切线．
【解答】（1）解：连接 ，
弦 ，劣弧 的度数为 ，
弧 与弧 的度数为： ，
，
，
是等边三角形，
；
（2）证明： ， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点 在 上，
是 的切线．
补：
证明： ，
，
由（1）可知： ，
， ，是直角三角形，
，
，
是 的切线．
【点评】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意
掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
十一．切线的判定与性质
35．（2023秋•铁山区期中）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 ，且 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【分析】（1）如图1中，连接 ．只要证明 ，由 ，即可推出 ；
（2）过点 作 于点 ，得矩形 ，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
【解答】（1）证明：如图中，连接 ．
，
，
平分 ，
，
，，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
得矩形 ，
， ，
，
在 中，根据勾股定理，得
，
，
解得 ．
的半径为 ．
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
36．（2023秋•麒麟区校级期中）如图， ， 是 的弦， 平分 ．过点 作 的切线交
的延长线于点 ，连接 ． 延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【分析】（1）欲证明 是 的切线，只要证明 ，由 即可解决问题．
（2）先证明 ，在 中利用30度性质以及勾股定理即可解决问
题．
【解答】（1）证明：如图，连接 ．为圆 的切线
．
平分 ，
．
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的切线；
（2） ，
，
，
，
是直径，
，
，
，
在 中，
， ，
，
．
【点评】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角 ，属于中考常考题型．
37．（2023秋•玉环市校级期中）如图， 是 的直径，点 是 上一点， 的平分线 交
于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长度．
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出 ，从而 ，
由 得 ，由两直线平行，同旁内角互补得出 ，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由相等的圆周角所对的弧相等，进而得出 ，然后根据勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接 ， ，
则 ．
平分 ，
．
．
，
为直径，
．
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 平分 ，
．，
，
在 中， ， ，根据勾股定理，得
，
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中
的相关计算是解题的关键．
38．（2023秋•惠阳区校级期中）如图 是 的外接圆， ，延长 于 ，连接 ，
使得 ， 交 于 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ．求 的半径和 的长度．
【分析】（1）连接 ，要证明切线，只需证明 ，根据 ，只需得到 ，根据圆
周角定理即可证明；
（2）设 的半径为 ，则 ， ， ，在 中根据勾股定理可计算出
；作 于 ，根据垂径定理得 ，再利用面积法计算出 ，然后根据勾股定
理计算出 ，再利用垂径定理得出 ．
【解答】（1）证明：连接 ；
，
，
；
又 ，
，
是 的切线．
（2）解：设 的半径为 ，则 ， ， ，
在 中， ，，解得 ，
作 于 ，如图， ，
则 ，
，
，
在 中， ，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性
质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解．
39．（2023 秋•中山市期中）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， ，
．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 的半径为2，求 的长．
【分析】（1）连接 ，如图所示，由 ，利用等边对等角得到一对角相等，由 的度数得出
的度数，再由 ，利用等边对等角得到一对角相等，确定出 的度数，由 为
的外角，利用外角的性质求出 的度数，在 中，利用三角形的内角和定理求出 为
，可得出 为圆 的切线，得证；
（2）利用弧长公式求解．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示：， ，
，
又 ，
，
，
在 中， ， ，
可得 ，即 ，
则 为圆 的切线；
（2） ， ，
的长度 ．
【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的
判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．
40．（2023秋•广阳区校级期中）在等腰 中， ，以 为直径的 分别与 ， 相交
于点 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）分别延长 ， ，相交于点 ， ， 的半径为6，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质证出 ，得出 ，证出 ，即可
得出结论；
（2）证明 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 ，求出 ，由直角三角形
的性质得出 ，由勾股定理得出 ，阴影部分的面积 的面积 扇形
的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示：
， ，， ，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ， ，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 的面积 扇形 的面积 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性
质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．
十二．三角形的内切圆与内心
41．（2023秋•怀仁市校级期中）如图，点 是 的内心，也是 的外心．若 ，则
的度数是A． B． C． D．
【分析】连接 ， ，根据点 是 的内心， ，可得 ，再根据
点 也是 的外心，和圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ， ，
点 是 的内心， ，
， 是 ， 的平分线，
， ，
，
点 也是 的外心，
，
则 的度数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌
握内心与外心的区别．
42．（2023秋•五莲县期中）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，
与 相交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点 为
的中点，则 ；④ ．其中一定正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角形内心的性质得到 ，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对
②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明 得到 ，则可对④进行判
断．
【解答】解： 是 的内心，
平分 ，
，故①正确；
如图，连接 ， ，
是 的内心，
， ，
，
，
，故②正确；
，
，
，点 为 的中点，
一定在 上，
，故③正确；
如图，连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，故④正确．
一定正确的①②③④，共4个．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌
握三角形的内心与外心．
43．（2023秋•东港区校级期中）在 中， ， ， ，直线 经过 的内
心 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【分析】圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，连接 ， ， ，先根据圆 是
的内切圆， ， ， ，求出正方形 的边长为 ，根据勾股定理可得 ，
连接 ，过点 作 于点 ，当点 运动到线段 上时， 取得最小值，再利用勾股定理即
可解决问题．
【解答】解：如图，圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，连接 ， ， ，
圆 是 的内切圆， ， ， ，
， ， ， ，四边形 是正方形，
设正方形 的边长为 ，
则 ， ，
根据题意，得
，
解得 ，
，
，
，
点 在以 为直径的圆 上，如图，
连接 ，过点 作 于点 ，
当点 运动到线段 上时， 取得最小值，
，
，圆 的半径 ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角
形内切圆与内心．
44．（2023秋•玄武区期中）如图，在 中， ， ， 是 的内切圆，与边 ，
分别相切于点 ， ， 与 的延长线交 于点 ，则 ．【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出 的度数和 的度数，然后即可计算出
的度数．
【解答】解：连接 ， ， ， 交 于点 ，
，
，
点 为 的内切圆的圆心，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 为 的直径， 、 为 的切线， 、 为切点，连
接 、 ， 交 于点 ， 交 于 ， 的延长线交 于点 ，以下结论：① ；
②点 为△ 的内心； ③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有
．
【分析】如图所示，连接 ， ， ，先证明 △ △ ，得到 ，
再由圆周角定理得到 即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到
，进而推出 则 是 的角平分线，同理可证 得 是 的 平 分 线 ， 即 可 判 断 ② ； 若 ， 则 应 有 ， 应
，进而推出 而 的度数不一定是60度，即可判断③；由
为△ 的内心，推出 是 的角平分线，证明△ △ ，据此可判断④⑤．
【解答】解：如图，连接 ， ， ，
、 是 的切线，
， ，
，
△ △ ，
，
，
，故①正确；
是 的切线，
，
，
，
，
，
，即 是 的角平分线，同理可证得 是 的平分线，
为△ 的内心，故②正确；
若 ，则应有 ，应有 ，
，
，
而 的度数不一定是60度，故③不正确；
为△ 的内心，
是 的角平分线，为 的直径，
，即 ，
△ △ ，
， ，故④正确；
，
，
，故⑤正确；
因此正确的结论有：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角
和定理，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握切线的性质．
十三．正多边形和圆
46．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为 的正八边形 中，已知 ， ， ， 分别是
边 ， ， ， 上的动点，且满足 ，则四边形 面积的最大值为
A． B． C． D．
【分析】易得四边形 为正方形，得到四边形 的面积为 ，进而得到当 最大时，四边形
的面积最大，即 即为正八边形的对角线时，四边形 的面积最大，即可得解．
【解答】解：连接Ⅰ ， ，
正八边形， ，
， ，
四边形 为正方形，
四边形 的面积为 ，当 最大时，四边形 的面积最大，
即为正八边形的对角线时，四边形 的面积最大，
如图，连接 ， 交于点 ，连接 ，交 于点 ，
则 为等腰直角三角形， 为正八边形的中心，
， 垂直平分 ，
，
设 ，
则 ，
，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值不合题意，舍去），
，
四边形 的最大面积为 ，
故选： ．
【点评】本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本
题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键．
47．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形 内接于圆， ，点 在圆上且满足 ，
，则点 到 的距离为 ．【分析】分两种情况讨论，当点 在 上方时，设 与 相交于点 ，连接 ，过点 作
，交延长 的延长线于 ，过点 作 于 ，由勾股定理可求 ， 的长，由
“ ”可证 ，可得 ， ，可求 ，当点 在 上方时，同理可
求 的值．
【解答】解：如图，当点 在 上方时，设 与 相交于点 ，连接 ，过点 作 ，交
延长 的延长线于 ，过点 作 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
又 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
当点 在 的下方时，同理可求 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等
三角形是本题的关键．
十四．扇形面积的计算
48．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形 ，有 ， ， ，以
中点 为圆心作弧 及弧 ，动点 从 点出发沿线段 ，弧 ，弧 ，线段 的路线运动，
点 运动到点 时，线段 扫过的面积为
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 ， ， ， 交 于点 ．线段 扫过的面积 ．
【解答】解：如图，连接 ， ， ， 交 于点 ．
由题意， ，
， 都是等边三角形，
， ，
， ，
，
由题意，线段 扫过的面积 ．
故选： ．【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出 ，
都是等边三角形．
49．（2023秋•湖州期中）如图，在 中， ，点 在圆 上， 交圆 于点 ， 与圆
交于点 ， ， 交 于点 ， 为 的直径， ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数；
（3）若 ，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）由角平分线定义得到 ，由等腰三角形的性质，余角的性质推出 ，
由直角三角形的性质即可求出 的度数；
（3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出 的度数，得到 ，由直角三角形的性质
求出 ， ， 的长，求出扇形 的面积， 的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
；
（2）解：连接 ， ，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扇形 的面积 ， 的面积 ，
阴影的面积 扇形 的面积 的面积 ．【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角
形的性质，关键是等腰三角形的性质，余角的性质推出 ；由直角三角形的性质求出 ，
， 的长， ．
50．（2023秋•冠县期中）如图，圆 的直径为 ，两条直径 ， 相交成 角， ，
是 的平分线．
（1）求圆心角 的度数；
（2）求扇形 的面积．
【分析】（1）由平角的定义得到 ，由角平分线的定义得到 ，于是得
结论；
（2）根据题意即可得到结论．
【解答】解：（1） ， ，
，
是 的平分线，
，两条直径 ， 相交成 角，
；
（2） 的面积 ，
扇形 的面积 ．
【点评】本题主要考查了垂直定义，圆心角的定义，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的计算公式是解决问
题的关键．
