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第 15 讲 几何图形的初步
目 录
题型01 判断几何体的截面形状
题型02 判断几何体的展开图
题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
题型04 正方体展开图的识别
题型05 补一个面使其成为正方体的展开面
题型06 正方体相对两面上的字或图案
题型07 与七巧板有关的计算
题型08 画直线、射线、线段
题型09 直线的性质
题型10 线段的性质
题型11 与线段中点有关的计算
题型12 两点之间的距离
题型13 度、分、秒的换算
题型14 钟面角的计算
题型15 方向角的表示
题型16 角平分线的相关计算
题型17 求一个角的余角、补角
题型18 与余角、补角有关的计算
题型19 同（等）角的余（补）角相等
题型19 点到直线的距离
题型20 利用对顶角、邻补角的性质求解
题型21 判断同位角、内错角、同旁内角
题型22 利用平行线的判定进行证明
题型23 平行线判定的实际应用
题型24 由平行线的性质求角度
题型25 由平行线的性质解决折叠问题
题型26 平行线的性质在实际生活的应用
题型26 利用平行线的性质解决三角板问题
题型27 根据平行线性质与判定求角度
题型28 根据平行线性质与判定证明
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题型 01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个
几何体的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，几何体ABCD是四面体，且∠BAC=∠DAC=∠BAD=90°，BC=CD=BD，即可
得到答案．
【详解】解：由题意知，几何体ABCD是四面体，
且∠BAC=∠DAC=∠BAD=90°，BC=CD=BD，
即几何体的三视图只有选项B符合，
故选：B．
【点睛】此题考查了几何体的平面展开图，正确理解几何体的组成特点是解题的关键．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面
是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．25
【答案】B
【分析】观察长方体可知，当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值时长为5，宽为直角
边分别为4、3的直角三角形的斜边长的矩形，根据矩形周长公式计算即可求解．
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【详解】解：由勾股定理得，√42+32＝5，
则当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的周长的最大值是5×4＝20．
故选：B．
【点睛】此题考查了截一个几何体，关键是得到截面周长最大时矩形的长和宽．
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．
【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，
故选：B．
【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．
4. 如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此
时截面面积．
【答案】(1)圆
(2)长方形
(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，80cm2
【分析】（1）根据截的方向可得截面形状；
（2）根据截的方向可得截面形状；
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（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，再根据截面形状求面积即可．
【详解】（1）解：若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是圆；
故答案为：圆；
（2）若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是长方形；
故答案为：长方形；
（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
此时截面的面积为：5×2×8＝80（cm2）．
【点睛】本题考查用一个平面去截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有
关．
题型 02 判断几何体的展开图
1．（2021·北京·统考中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
2．（2021·浙江·统考中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然
后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称
是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
4．（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，已知圆柱底面的直径BC=8，圆柱的高AB=10，在圆柱的侧面上，
过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A. ；B. ；C. ；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
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【答案】（1）A；（2）4√4π2+25
【分析】（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展
开图这个特点即可解题；
1
（2）侧面展开后B，C两点之间的距离为 ×π×8=4π，A，C两点之间的距离，利用勾股定理可得
2
AC=√(4π) 2+100，长度最短的金属丝的长=2AC，即可得到答案．
【详解】解：（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求．
故选A．
（2）如图：
1
侧面展开后B，C两点之间的距离为 ×π×8=4π，
2
A，C两点之间的距离为AC=√(4π) 2+100=2√4π2+25，
该长度最短的金属丝的长=2AC=4√4π2+25
所以该长度最短的金属丝的长为4√4π2+25．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．
题型 03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的
长度，求此长方体的体积为 ．
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】224
【分析】设展开图的长方形的长为a，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方
体的体积求解即可；
【详解】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，
则12=3b，2b+a=22，
解得a=14，b=4，
∴长方体的体积为：4×4×14=224．
故答案为：224．
【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之
间的关系是解题的关键．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为6√3cm的正六边形纸板的各顶点为端
点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四
边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为
cm3．
【答案】(3096−1728√3)
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【分析】连接AC，可得DE，由“HL”求证Rt ABC Rt ADC，继而解直角三角形可得BC，根据六边形
的面积计算公式求得无盖柱形盒子的底面积，△继而即≅可求△解．
【详解】如图，连接AC，
由题意知：∠BAD=120°，
AB=AD=EF=4cm，AF=6√3cm，
∴DE=6√3−4−4=(6√3−8)cm，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
∴Rt ABC Rt ADC（ ），
△ ≅ △ HL 1
∴BC=DC，∠BAC=∠DAC= ∠BAD=60°，
2
∴BC=DC=AB·tan60°=4×√3=(4√3)cm，
由题意知：无盖柱形盒子的底面为以6√3−8为边长的正六边形，
1 √3
其面积为：6× × (6√3−8)·(6√3−8)=(258√3−432)cm2，
2 2
∴盖柱形盒子的容积为：(258√3−432)×4√3=(3096−1728√3) cm3，
故答案为：(3096−1728√3)
【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定及其性质，正六边形的性质及其面积计算公式，解题的关
键是作辅助线求各关键边的长，灵活运用所需学知识．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如
图1．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）(75√3+360)cm2
【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；
（2）由（1）得到的答案可以得到表面展开图；
（3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案 ．
【详解】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六棱柱；
（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图：
（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12cm，底面边长为5cm，
∴六棱柱的侧面积为6×5×12=360(cm2 )．
1 5√3
又∵密封纸盒的底面面积为：2×6× ×5× =75√3(cm2 )，
2 2
∴六棱柱的表面积为：(75√3+360)cm2．
【点睛】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．
4．（2020·河北邯郸·校考一模）如图（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的
模型．
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(1)图（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为2√2，该几何体的表面积为16√2＋24．
【分析】（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积．
【详解】（1）解：如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：
a2＋a2＝h2＝42，
解得a＝2√2，
1
几何体的表面积为：2ah＋√2ah＋ a2×2＝16√2＋24．
2
答：a的值为2√2，该几何体的表面积为16√2＋24．
【点睛】本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解决本题的关键是理解立体
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
图形和平面图形之间的关系．
题型 04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正
方体的展开图．
故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】D选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，
A、B、C选项是一个正方体的表面展开图．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A． B． C． D．
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型，“3+3”型，“2+2+2”型，其中“1”可以左
右移动，注意“一”、“7”、“田”“凹”字形的都不是正方形的展开图．
【详解】解：根据正方体展开图的特征，
A、是正方体的展开图，符合题意；
B、是正方体的展开图，不符合题意；
C、是正方体的展开图，不符合题意；
D、不是正方体的展开图，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方体的平面展开图，掌握正方体的几种不同展开图形状是解决本题的关键．
题型 05 补一个面使其成为正方体的展开面
1．（2022·河北承德·统考二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个
正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【详解】解：把图中的①或②或④剪掉，剩下的图形即为正方体的11种展开图中的模型，
把图中的③剪掉，剩下的图形不符合正方体的11种展开图中的模型，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键．
2．（2021·河南洛阳·统考二模）如图，在有序号的方格中选出一个画出阴影，使它与图中五个有阴影的正
方形一起可以构成正方体表面的展开图，正确的选法是（ ）
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A．只有② B．只有①④ C．只有①②④ D．①②③④都正确
【答案】A
【分析】观察所给图形，根据序号的顺序画出平面图，结合正方体的平面展开图的特点，逐一加以识别即
可．
【详解】解：补序号的位置图如图所示：
∴只有②符合正方体的平面展开图的特征．
故选：A
【点睛】本题考查了正方体的平面展开图的知识点，熟知正方体的平面展开图是解题的关键．
3．（2021·浙江杭州·一模）已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放
在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放
的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：A．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：
只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
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题型 06 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互
为相反数．则
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
【答案】 3 12
【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上
的数字互为相反数列式，即可求出x、y的值，
（2）把x，y的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“-3”与“2x−3”是相对面，
“y”与“x”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴2x−3＋（-3）＝0，x＋y＝0，
解得x＝3，y＝-3，
故答案是：3；
（2）当x＝3，y＝-3时，x2−y=32−(−3)=12，
故答案是：12．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，二元一次方程组以及代数式求值，注意正方体的空
间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所
标的字是 ．
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【答案】强
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】由正方体展开图的特点可知：“学”与“国”相对，“习”与“好”相对，“真”与“强”相对，
故答案为：强.
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图是本题的解题关键.
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反
数．
−3
2 a c
b −1
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
【答案】（1）1，3，-2；（2）2a2−b2−bc，-1
【分析】（1）a与﹣1相对，2与c相对，b与﹣3相对．由于相对两个面上的数互为相反数，可得a，b，
c的值．
（2）先根据整式的乘法进行化简，再把a，b，c代入计算即可
【详解】解：（1）由题意，a与﹣1相对，2与c相对，b与﹣3相对．
∵相对两个面上的数互为相反数数，
∴a＝1，b=3，c=-2．
故答案为：1，3，-2；．
（2）原式=2a2−2ab+2ab−b2−bc
=2a2−b2−bc
将a=1,b=3, c=−2时，
原式=2×12−32−3×(−2)
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=2−9+6=−1．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值以及正方形侧面展开图的应用．利用去括号的法则进
行整式的加减是解题的关键．
4．（2021·河北邢台·统考一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：
其中C 与C相接，B 与B相接，D 与D相接，A 与A相接，B '与B'相接，D '与D'相接.
1 1 1 1 1 1
故和选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图及空间想象能力，易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，
从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
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5．（2022·河南洛阳·统考三模）如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据所给立体图形对展开图进行想象解可得出正确答案
【详解】由图中正方体观察可知：
A项应该为： ，不符合题意；
B项应该为： ，符合题意；
C项应该为： ，不符合题意；
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D项应该为： ，不符合题意
故选B
【点睛】本题考查正方体的展开图，掌握空间想象的方法是关键．
6．（2021·吉林长春·东北师大附中校考二模）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示
棱a的线段可以是（ ）
A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC
【答案】C
【分析】将原图复原找出对应边．
【详解】解：在正方体中，阴影三角形面的对面为面ABCD，
边a对应的边为边AD．
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的展开图，解题关键是具备一定的空间想象力．
题型 07 与七巧板有关的计算
1．（2020·浙江湖州·统考中考真题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的
正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平
行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
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A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2
【答案】D
【分析】解答此题要熟悉中国和日本七巧板的结构，中国七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小
两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形；日本七巧板的结构：三个等腰直角三角形，一个直角梯
形，一个等腰梯形，一个平行四边形，一个正方形，根据这些图形的性质便可解答．
【详解】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：
故选：D．
【点睛】此题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手
能力，展开学生的丰富想象力．
2．（2022·江西赣州·统考三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现
了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块
正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（ ）
1
A．S +S =S B．2S =S C．S = S D．S =S
5 7 2 6 3 7 3 1 7 3
【答案】C
【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可．
【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边，
1
∴S = S ，
7 2 2
∵5的边长等于2的直角边的一半，
1
∴S = S ，S +S =S ，A正确；
5 2 2 5 7 2
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∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为45°
∴3与4同底等高，2S =S ，
4 3
∵4与6是两个全等的三角形，∴S =S ，
4 6
∴2S =S ，B正确；
6 3
∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边，
1
∴S = S ，C错误；
7 2 1
∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边，
∴S =2S .，
7 6
∵S =2S ，
3 6
∴S =S ，D正确．
7 3
故选C．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块塑料板的形状与大小是解题的关键，另外本题渗透
利用了七巧板的思想，熟练掌握七巧板也很关键．
3．（2021·浙江金华·统考三模）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如
图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（ ）
A．乙＞丙＞甲＞丁 B．乙＞甲＞丙＞丁
C．丙＞乙＞甲＞丁 D．丙＞乙＞丁＞甲
【答案】A
【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算
每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．
【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，
可以得出其余的边长分别为2，√2，2√2，
分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；
甲图中重叠的线段和为：7+2√2；
乙图中重叠的线段和为：5+2√2；
丙图中重叠的线段和为5+3√2；
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丁图中重叠的线段和为：6+3√2；
∵6+3√2>7+2√2>5+3√2>5+2√2，
∴乙＞丙＞甲＞丁
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则
周长越小．
4．（2022·湖南株洲·统考二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割
术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中
国的拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”
拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为 cm2．
【答案】8
1
【分析】由图可知，七巧板中小正方形的面积为大正方形面积的 ，先算出大正方形的面积，再计算小正
8
方形的面积．
1
【详解】解：由图①可知，小正方形的面积是大正方形面积 ，
8
因为大正方形的面积为82=64 cm2，
1
所以小正方形（阴影部分）的面积为64× =8 cm2．
8
故答案为：8．
【点睛】本题考查了七巧板，熟知七巧板中图形的构成与面积是解题的关键．
5．（2022·陕西西安·校考二模）如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成
图（2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是 cm2．
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【答案】56
【分析】根据该房屋形状可知该房屋的面积=大正方形的面积-小正方形的面积．再结合七巧板的构成：两
1 1
个大三角形分别占大正方形面积的 ，稍小的三角形占大正方形面积的 ，最小的两个三角形分别占大正
4 8
1 1
方形面积的 ，平行四边形和小正方形都是占大正方形面积的 即可求解．
16 8
1
【详解】房屋形状的面积=8×8×(1− )=56cm2 ．
8
故答案为：56．
【点睛】本题主要考查七巧板．根据图形间的关系得出面积之间的关系是解题关键．
6．（2020·湖北黄石·校考模拟预测）动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的
塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等
字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：
（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；
（2）图3中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；
（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据划分，直接对号入座即可；
（2）根据与7的斜边相等的编号是1或2的直角边的这突破口进行分析；
（3）最上边从左边可作出两个大的直角三角形为突破口分析
【详解】（1）如下图
（2）如下图
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（3）如下图
【点睛】本题考查了应用与设计作图，认准分成的各块板的形状与大小是解题关键，另外本题渗透利用了
七巧板的思路.
题型 08 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】D
【分析】组成角的两边是射线，射线的特点有：①只有一个端点；②直的；③向一边无线延伸．据此可用
直尺去连接OB，看矩形内的哪个点在这条射线上即可．
【详解】解：画出射线OB可知，经过点N．
故选：D．
【点睛】此题考查了角、射线的定义和画法，解题的关键是知道射线是直的．
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2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上
述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、∵直线AB向两个方向无限延伸，射线AC以点A为端点向一个方向无限延伸，线段BC有
两个端点，故A正确，符合题意；
B、把射线AC画成了线段AC，故B错误，不符合题意；
C、把直线AB画成了射线AB，射线AC画成了射线CA，线段BC画成了直线BC，故C错误，不符合题意；
D、线段BC画成了射线BC，故C错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，直线是向两个方向无限延伸的，没有端点，射线是向一个
方向无限延伸，有一个端点，线段有两个端点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【分析】根据线段、延长线的定义画出图形即可．
【详解】（1）线段BD，线段BD的延长线，如图所示：
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（2）线段AC和线段DB相交于点O，如图所示：
（3）连结线段BC，反向延长线段BC，如图所示：
【点睛】本题考查作图−复杂作图，直线、射线、线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
题型 09 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知
识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
【答案】C
【分析】根据四边形的性质、圆的基本性质、直线的性质和矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选
项错误，不合题意；
B.车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C.射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，
符合题意；
D.地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识
点，熟记相关的性质或定理即可．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，
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这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】根据两点确定一条直线进行求解即可．
【详解】解：锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是两点
确定一条直线，
故选B．
【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线，正确理解题意是解题的关键．
题型 10 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
【答案】B
【分析】根据垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，逐个分析判断即可．
【详解】解：①可以用垂线段最短解释；②可以用两点之间线段最短解释；③可以用两点确定一条直线解
释．
故选：B.
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【点睛】本题考查了垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导
航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比
两地距离要长，
故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选
取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：∵甲、乙位于直线MN的两侧，
∴根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线MN交于点P，点P即为所求；
故选：A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，
在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
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题型 11 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，
中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之
间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至
A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出AC=900m，BC=300m，CD=800m，BD=400m．再根据题意结合速度=路程÷
时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知AB=1200m．
∵AC=3BC，
3 1
∴AC= AB=900m，BC= AB=300m，
4 4
∴AD=AC−CD=800m，BD=BC+CD=400m．
400
当大货车第一次到达D地时，用时 =80s，
5
∴此时小车行驶路程为8×80=640m．
∵640+400=1040m<1200m，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵CD=100m，
100
∴大货车到达C地用时 =20s．
5
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则[(900−640)−100]+5t=8t，
160
解得：t= s>20s，即说明大货车到达C地之前没相遇；
3
当大货车继续由C地返回B地时，
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∵BC=300m，
300
∴大货车到达B地用时 =60s．
5
此时大货车共行驶80+20+60=160s．
900
∵小车到达C地用时 =112.5s<160s，
8
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠160−112.5=47.5s．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即180s，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠180−47.5=132.5s．
400
当大货车又从B地出发前往D地时，用时 =80s，
5
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间132.5−80=52.5s，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了52.5×5=262.5m．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为t ，
1
则262.5+5t =8t ，
1 1
解得：t =87.5s>80s，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
1
∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．
故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方
程是解题关键．
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
【答案】(1)a+b=2c；
(2)b−2
