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第 19 章 一次函数复习讲义（解析版）
第一部分 知识梳理＋方法指引
一、函数
1.常量与变量
数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量.
2.函数定义
在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，
那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
5.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法
二、一次函数
1.一次函数与正比例函数的概念
一般地，如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b
变为y=kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
3.一次函数的图象与性质
4.用待定系数法求一次函数的解析式
求一次函数解析式的一般步骤：
(1)先设出函数解析式；
(2)根据条件列关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)求出解析式中未知的系数；
(4)把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.
这种求解析式的方法叫待定系数法.
5.一次函数与方程、不等式
(1)一次函数与一元一次方程 (2)一次函数与一元一次不等式
(3)一次函数与二元一次方程组
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二
元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.第二部分 典例剖析+变式训练
类型一 正比例函数的定义
【典例1】（2024春•邗江区校级月考）已知函数y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函数，则a＝（ ）
A．1 B．±1 C．3 D．3或1
【思路引领】利用正比例函数定义可得a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，再解即可．
【解答】解：由题意得：a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，
解得：a＝1，
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如 y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做
正比例函数，其中k叫做比例系数．
【变式训练】
1．（2023秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）x❑ m2−3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则 m
的值是（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．±2 D．−
2
【思路引领】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m2﹣3＝1，且m+1＜0，
解得m＝﹣2，
故选：B．
【总结提升】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负
数．
2．（2022春•崇川区校级月考）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
2 x x−2
A．y＝x2 B．y= C．y= D．y=
x 4 3
【思路引领】正比例函数的定义：一般地，形如 y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其
中k叫做比例系数．
【解答】解：根据正比例函数的定义，
x
满足形如y＝kx（k是常数，k≠0）的为：y= ，
4
故选：C．
总结提升：本题考查了正比例函数的性质，解题关键在于熟记正比例函数的定义．3．（2022•资兴市校级模拟）下列说法中不成立的是（ ）
A．在y＝3x﹣1中y+1与x成正比例
x
B．在y=− 中y与x成正比例
2
C．在y＝2（x+1）中y与x+1成正比例
D．在y＝x+3中y与x成正比例
【思路引领】根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝
kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
【解答】解：A、∵y＝3x﹣1，∴y+1＝3x，∴y+1与x成正比例，故本选项正确．
x
B、∵y=− ，∴y与x成正比例，故本选项正确；
2
C、∵y＝2（x+1），∴y与x+1成正比例，故本选项正确；
D、∵y＝x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
类型二 一次函数的定义
9 6
【典例2】（2024春•仓山区月考）下列函数中：①y＝3x+4；②y= x；③y= ；④y＝x2+2，其中y
5 x
是x的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】根据一次函数定义逐一分析即可．
【解答】解：①y＝3x+4，y是x的一次函数；
9
②y= x，y是x的一次函数；
5
6
③y= ，y是x的反比例函数；
x
④y＝x2+2，y是x的二次函数，
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是正确应用定义判断．
【变式训练】
1．（2024•遵义一模）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
3
A．y= B．y＝2x2+3x﹣1
xC．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1
【思路引领】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可．
3
【解答】解：A．y= 是反比例函数，不符合题意；
x
B．y＝2x2+3x﹣1是二次函数，不符合题意；
C．y＝x﹣1是一次函数，符合题意；
D．y＝x2﹣1是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【总结提升】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
类型三 一次函数的图象
【典例3】（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】由k＜2即可得k﹣2＜0，2﹣k＞0，从而可以一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过的
象限．
【解答】解：∵k＜2，
∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，
∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
【变式训练】
1．（2023秋•白银区期末）满足k＞0，b＝3的一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【思路引领】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，本
题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0，b＝3＞0），
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
【总结提升】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2．（2024•榆阳区一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象分别为
1 1 2 2
直线l 和直线l ，则下列结论错误的是（ ）
1 2
A．k •k ＜0 B．k ﹣k ＞0 C．b +b ＞0 D．b •b ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【思路引领】根据直线l 经过一、二、四象限，判断k ＜0，b ＞0；根据直线l 经过一、二、三象限，
1 1 1 2
判断k ＞0，b ＞0．
2 2
【解答】解：∵k ＜0，k ＞0，∴k k ＜0，故A不符合题意；
1 2 1 2
∵k ＜0，k ＞0，∴k ﹣k ＜0，故B符合题意；
1 2 1 2
∵b ＞0，b ＞0，∴b +b ＞0，故C不符合题意；
1 2 1 2
∵b ＞0，b ＞0，∴b b ＞0，故D不符合题意，
1 2 1 2
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象，解题的关键是根据图象确定一次函数中k和b的值．
类型四 一次函数的性质
【典例4】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
【思路引领】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，
故A不正确；
当x＝0时，y＝1，
∴图象与y轴交于点（0，1），
故B正确；
∵一次函数y＝x+1中，k＞0，
∴函数值y随自变量x的增大而增大，
故C不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x＞﹣1时，y＞0，
故D不正确；
故选：B．
【总结提升】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
1．下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
【思路引领】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，
∵2＞0，
∴y随着x增大而增大，
故A不符合题意；
在一次函数y＝x﹣4中，
∵1＞0，
∴y随着x增大而增大，
故B不符合题意；
在一次函数y＝2x中，
∵2＞0，∴y随着x增大而增大，
故C不符合题意；
在一次函数y＝﹣x+1中，
∵﹣1＜0，
∴y随着x增大而减小，
故D符合题意，
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（
）
1
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k=− b
2
【思路引领】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
1
∴k＞0，k=− b，
2
∴kb＜0，
1
∴k+b= b＜0，
2
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
【总结提升】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式 y＝kx+b中，k与b对函数图
象的影响是解题的关键．
类型五 一次函数图象与系数的关系
【典例5】（2023春•平江县期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限
C．b＜0 D．当x≥0时，y≤b
【思路引领】根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得．
【解答】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意；
C、函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则b＞0，原说法错误，不符合题意；
D、由图象可得，当x≥0时，y≤b，正确，符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，能正确的识图
是解本题的关键．
【针对训练】
1．（2023春•自贡期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则k，b的取值范围是
（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
【思路引领】根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出 k＞0，b＜0，此
题得解．
【解答】解：观察图形可知：一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、
四象限”是解题的关键． ⇔
2．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）
1 1
A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0
2 2
【思路引领】根据正比例函数图象的性质可知（2m﹣1）＞0．
【解答】解：根据正比例函数图象的性质，知：当y随自变量x的增大而增大，
1
即2m﹣1＞0，m＞ ．
2
故选：A．
【总结提升】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当 k＞0时，图象经过一、
三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
3．（2014秋•广南县期末）已知：一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则k ＜ 0，b ≥ 0．
【思路引领】由于一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则此函数的x的系数小于0，b≥0．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴此函数的图象可能经过第二、四象限，也可能经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b≥0．
【总结提升】一次函数y＝kx+b的图象经过的象限，由k、b的值共同决定．
类型六 一次函数图象上点的坐标特征
1 1
【典例6】（2022秋•余姚市期末）已知A（− ，y ）、B（− ，y ）、C（1，y ）是一次函数y＝﹣3x+b
3 1 2 2 3
的图象上三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【思路引领】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y ，y ，y 的值，比较后可得出结论．
1 2 3
1 1
【解答】解：∵A（− ，y ）、B（− ，y ）、C（1，y ）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，
3 1 2 2 3
3
∴y ＝1+b，y = +b，y ＝﹣3+b．
1 2 2 3
3
∵﹣3+b＜1+b＜ +b，
2
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出 y ，
1
y ，y 的值是解题的关键．
2 3
【变式训练】
1．（2023•秦都区二模）一次函数 y＝kx+3 的图象经过点（﹣1，5），若自变量 x 的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．7 D．11
【思路引领】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质求出y的最小值即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），
∴5＝﹣k+3，
解得：k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+3，
∵k＝﹣2，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2≤x≤5，
∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关
键．
2．（2023春•渝中区月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于
点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，AB的长为（ ）
3 3
A．1 B．❑√2 C． D． ❑√2
2 2
【思路引领】当线段AB最短时，AB⊥BC，判定出△ABC是等腰直角三角形，得出 AB＝CB，作
3
BH⊥AC于点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出AH=CH=BH= ，再
2
利用勾股定理即可求解．
【解答】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，
∵直线BC为y＝x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2，
∴OC＝OD＝2，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°．
∵AB⊥CD，∴∠OAB＝45°，
∴∠OAB＝∠OCB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝CB．
作BH⊥AC于点H，
1 1 3
则AH=CH=BH= AC= ×(1+2)= ，
2 2 2
3
∴AB=❑√AH2+BH2= ❑√2．
2
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线
及勾股定理解三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．（2023•武侯区三模）A（﹣1，y ），B（3，y ）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y ＞ y （填＞或
1 2 1 2
＜）
【思路引领】利用一次函数的增减性判断即可．
【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+b中，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y ＞y ，
1 2
故答案为：＞．
【总结提升】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在 y＝kx+b中，
当k＞0时y随x的而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
类型七 一次函数图象与几何变换
【典例7】（2023春•雨花区月考）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿x轴向右平移2个单位后恰好
经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【思路引领】根据平移解析式的变化为“上加下减，左加右减”确定平移后的解析式，再将原点坐标代入即可求解．
【解答】解：∵平移后抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）+b，平移2个单位后恰好经过原点，
∴将（0，0）代入解析式可得0＝﹣4+b，
∴b＝4．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟记牢记平移的规律是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春•高新区月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的边OC落在x轴的正半轴上，
且B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四
边形OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路引领】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点
坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形， ▱
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：D．【总结提升】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线
经过对角线的交点是解题的关键．
2．（2022春•北辰区期末）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数
表达式为 y ＝﹣ 2 x ﹣ 4 ．
【思路引领】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，
所得图象的函数表达式为：y＝﹣2x﹣4．
故答案为：y＝﹣2x﹣4．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此
题的关键．
3．（2023春•西湖区月考）已知一次函数y＝k（x+3）（k≠0）．
（1）求证：点（﹣3，0）在该函数图象上；
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（1，﹣2），求k的值；
（3）若k＜0，点A（x ，y ），B（x ，y ）在函数图象上，且y ＜y ，请比较x 与x 的大小，并说明理
1 1 2 2 1 2 1 2
由．
【思路引领】（1）令x＝3，得y＝0即可得证；
（2）一次函数y＝k（x+3）图象向上平移2个单位得y＝k（x+3）+2，将（1，﹣2）代入可得k；
（3）由y ＜y 列出x 、x 的不等式，根据k＜0可得答案．
1 2 1 2
【解答】解：（1）在y＝k（x+3）中令x＝﹣3，得y＝0，
∴点（﹣3，0）在y＝k（x+3）图象上；
（2）一次函数y＝k（x+3）图象向上平移2个单位得y＝k（x+3）+2，
将（1，﹣2）代入得：﹣2＝k（1+3）+2，
解得k＝﹣1；
（3）x ＞x ，理由如下：
1 2
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在y＝k（x+3）图象上，
1 1 2 2
∴y ＝k（x +3），y ＝k（x +3），
1 1 2 2
∴y ﹣y ＝k（x ﹣x ），
1 2 1 2∵y ＜y ，
1 2
∴y ﹣y ＜0，即k（x ﹣x ）＜0，
1 2 1 2
而k＜0，
∴x ﹣x ＞0，
1 2
∴x ＞x ．
1 2
【总结提升】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，解
题的关键是将点坐标代入变形．
类型八 待定系数法求一次函数解析式
【典例8】（2023春•柘城县期末）如图，已知直线l ：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过
1
原点O且将△AOB的面积平分的直线l 的解析式为（ ）
2
A．y＝x B．y＝2x C．y＝3x D．y＝1.5x
【思路引领】根据y＝﹣2x+4求出A、B的坐标，进而可得AB的中点坐标，设直线表达式为y＝kx，代
入点的坐标求解即可．
【解答】解：当y＝0 时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴A的坐标为（2，0）；
当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，
∴B的坐标为（0，4）
∴AB的中点坐标为（1，2）．
∵直线l 把△AOB面积平分，
2
∴直线l 过AB的中点．
2
设直线l 的解析式为y＝kx，
2
把（1.2）代入得：k＝2，
∴l 的解析式为y＝2x．
2
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了待定系数法求一次函数表达式，根据已知条件求出AB的中点坐标是解决
本题的关键．
【变式训练】1．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方
形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y=− x+4 B．y=− x+4 C．y=− x+4 D．y＝4
7 4 2
【思路引领】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，
∵点A（3，0），B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
{∠AOB=∠DHA
)
∠ABO=∠DAH ，
AB=DA
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
∴D（7，3），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
{7k+b=3) { k=− 1 )
把D（7，3），B（0，4）代入得 ，解得 7 ，
b=4
b=4
1
∴直线BD的解析式为y=− x+4．
7
故选：A．【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值．利
用全等三角形的性质求出D点坐标是解决问题的关键．
2．（2022春•宁县期末）如图，菱形ABCD的对角线与坐标原点重合，点A（﹣2，5），则过点C的直线
y＝kx﹣3的解析式为（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣x﹣3 D．y＝x﹣3
【思路引领】根据菱形的中心对称性，求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线与坐标原点重合，点A（﹣2，5），
∴C（2，﹣5），
∵直线y＝kx﹣3过点C，
∴﹣5＝2k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
3．（2023秋•成华区期末）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数
的解析式为 y ＝﹣ x +1 0 ．
【思路引领】由函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，可得斜率，将点（8，2）代入即可人求解．【解答】解：设所求一次函数的解析式为 y＝kx+b，
∵函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，
∴k＝﹣1，
又过点（8，2），有2＝﹣1×8+b，
解得b＝10，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10，
故答案为：y＝﹣x+10．
【总结提升】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当 k相同，且b不相等，图
象平行．
类型九 一次函数与一元一次方程
【典例9】（2023秋•太平区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程
kx+b＝2x的解（ ）
1
A．x= B．x＝2 C．x＝1 D．x＝4
2
【思路引领】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于 x
的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴关于x的方程kx+b＝2x的解是x＝1，
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
【变式训练】
1 1
12． 已知方程 x+b＝0的解是x＝﹣2，下列为直线y= x+b图象的是（ ）
2 2A． B．
C． D．
1
【思路引领】根据一次函数与一元一次方程得到直线y= x+b过点（﹣2，0），然后根据一次函数的性
2
1
质得到直线y= x+b经过第一、二、三象限，于是可对四个选项进行判断．
2
1
【解答】解：∵方程 x+b＝0的解是x＝﹣2，
2
1
∴直线y= x+b过点（﹣2，0），
2
1
∴直线y= x+b经过第一、二、三象限．
2
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b
为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变
量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
类型10 一次函数与一元一次不等式
【典例10】（2023春•太原期末）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（﹣3，0），B（0，3），则关于x
的不等式ax+b＞3的解集是 x ＞ 0 ．
【思路引领】根据图象求解．【解答】解：由图象得：ax+b＞3的解集为：x＞0，
故答案为：x＞0．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春•宝安区期末）如图，函数y ＝﹣2x与y ＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等
1 2
式﹣2x≤ax+3的解集是 x ≥﹣ 1 ．
【思路引领】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x≤ax+3
的解集即可．
【解答】解：∵函数y ＝﹣2x过点A（m，2），
1
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＜ax+3的解集为x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【总结提升】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
类型十一 一次函数与二元一次方程（组）
【典例11】（2022春•江津区期中）如图，一次函数y ＝ax+b与一次函数y ＝kx+4的图象交于P（1，
1 2
3），则下列说法正确的个数是（ ）个．
（1）方程ax+b＝3的解是x＝1；
{y=ax+b) {x=3)
（2）方程组 的解是 ；
y=kx+4 y=1
（3）不等式ax+b＞kx+4的解集是x＞1；
（4）不等式组4＞kx+4＞ax+b的解集是0＜x＜1．A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引领】根据两直线与不等式和方程组的关系解答即可．
【解答】解：因为一次函数y ＝ax+b与一次函数y ＝kx+4的图象交于P（1，3），
1 2
所以（1）方程ax+b＝3的一个解是x＝1，正确；
{y=ax+b) {x=3)
（2）方程组 的解是 ，错误；
y=kx+4 y=1
（3）不等式ax+b＞kx+4的解集是x＞1，正确；
（4）不等式4＞kx+4＞ax+b的解集是0＜x＜1，正确．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
变式训练
1．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y
{ y=2x+b )
的二元一次方程组 的解是（ ）
y=−3x+6
{x=2) {x=1) {x=−1) {x=3)
A． B． C． D．
y=0 y=3 y=9 y=1
【思路引领】由图象交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），{ y=2x+b ) {x=1)
∴方程组 的解为 ．
y=−3x+6 y=3
故选：B．
【总结提升】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为
方程组的解．
类型十二 两条直线相交或平行问题
【典例12】（2022秋•沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，
9），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为
1．
（1）直接写出一次函数的函数解析式；
（2）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，直接写出点M的
坐标 （ 3 ，﹣ 1 ）或（﹣ 1 ， 7 ） ．
【思路引领】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到 k、b的值，即
可求出一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，设点M的横坐标为m，则M（m，﹣2m+5），N（m，3m），根据MN＝2OD
列出方程|5m﹣5|＝10，然后求出m即可得到M点坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴C点坐标为（1，3）．
直线y＝kx+b经过（﹣2，9）和（1，3），
{−2k+b=9)
则 ，
k+b=3
{k=−2)
解得： ，
b=5
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+5；
（2）由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∴当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5，
∴D点坐标为（0，5），
∴OD＝5．
设点M的横坐标为m，
则M（m，﹣2m+5），N（m，3m），
∴MN＝3m﹣（﹣2m+5）＝5m﹣5，
∵MN＝2OD，
∴|5m﹣5|＝10，
解得m＝3或m＝﹣1．
即M点坐标为（3，﹣1）或（﹣1，7），
故答案为：（3，﹣1）或（﹣1，7）．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，求出直线AB的解
析式是解题的关键．
【变式训练】
1
1．（2024春•裕华区期中）如图，一次函数y=− x+5的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例
2
15
函数的图象与交于点C(m， )．
4
5
（1）m＝ ；
2
11
（2）一次函数y＝kx+1的图象为l ，且l ，l ，l 可以围成三角形，则k的取值范围 k 不能为 、
3 1 2 3 10
1 3
− 、 ．
2 2
【思路引领】（1）根据题意另 y＝0，求点 A 坐标，另 x＝0，求点 B 坐标，将点 C 坐标代入
1
y=− x+5，求m的值；
2
（2）用待定系数法求l 的解析式，然后分三种情况讨论：①当l 经过点C时，②当l ∥l 时，③当
2 3 3 1l ∥l 时，分别求k的值即可求解．
3 2
1
【解答】解：（1）∵一次函数y=− x+5的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，
2
1
将y＝0代入y=− x+5得，
2
1
0=− x+5，解得x＝10，
2
∴A（10，0），
1
将x＝0代入y=− x+5得y＝5，
2
∴B（0，5），
15 1
将C（m， ）代入y=− x+5得，
4 2
15 1 5
=− m+5，解得m= ；
4 2 2
5
故答案为： ；
2
5 15
（2）设l 的解析式为y＝kx，将C（ ， ）代入得，
2 2 4
5 15 3
k= ，解得k= ，
2 4 2
3
∴l 的解析式为y= x，
2 2
5 15
∵①当l 经过点C（ ， ）时，
3 2 4
15 5 11
则 = k+1，解得k= ，
4 2 10
1
②当l ∥l 时，k=− ，
3 1 2
③当l ∥l 时，k＝2，
3 2
11 1 3
∴k的值为 或− 或 时，l ，l ，l 不能围成三角形，
10 2 2 1 2 3
11 1 3
∴l ，l ，l 可以围成三角形，则k的取值范围是k不能为 、− 、 ．
1 2 3 10 2 2
11 1 3
故答案为：k不能为 、− 、 ．
10 2 2【总结提升】本题主要考查了一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，
和用分类讨论思想解决问题．
类型十三 一次函数的应用
【典例13】（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小
于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始
到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的
是（ ）
140
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．d=
3
【思路引领】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项
不符合题意；
由拐点得此时亮亮到达 A地，故亮亮的速度为 2800÷35＝80（米/分），由速度和为 2800÷20＝140
（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为
80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B
选项符合题意；
320
最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d= ，故D选项符合题意．
7
【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，
第二次相遇两人共走了（3×2800）米，
且二者速度不变，
∴c＝60÷3＝20（分）．
故C选项不符合题意；
∵x＝35时，出现拐点，
∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），
明明的速度为140﹣80＝60（米/分），
∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；
故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），
最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），
第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），
所以b＝2000．
故B选项不符合题意；
最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，
320
解得d= ，
7
故D选项符合题意；
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题关键．
【变式训练】
1．（2024•延庆区模拟）小明和弟弟周末去图书馆．二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明
用10min到达图书馆，弟弟比他早出发2min，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆30m．设小明和弟弟
所走的路程分别为 y ，y ，其中 y ，y 与时间 x之间的函数关系如图所示．则下列结论正确的是
1 2 1 2
（ ）
①小明家与图书馆之间的距离为750m；
②当小明出发时，弟弟已经离家120m；
③小明每分钟比弟弟多走10m；
④小明出发7分钟后追上弟弟．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②④
【思路引领】由图象直接可得小明家与图书馆之间的距离为750m，判断①正确；求出小明的速度为75（m/min），弟弟的速度为60（m/min），可得小明出发时，弟弟已经离家2×60＝120（m），判断②正
确；小明每分钟比弟弟多走75﹣60＝15（m/min），判断③错误；设小明出发x min小明追上弟弟，有
75x＝60（x+2），可解得小明出发8min小明追上弟弟，判断④错误．
【解答】解：由图象可知，小明家与图书馆之间的距离为750m，故①正确；
∵小明的速度为750÷10＝75（m/min），弟弟的速度为（750﹣30）÷12＝60（m/min），
∴小明出发时，弟弟已经离家2×60＝120（m），故②正确；
小明每分钟比弟弟多走75﹣60＝15（m/min），故③错误；
设小明出发x min小明追上弟弟，则75x＝60（x+2），
解得x＝8，
∴小明出发8min小明追上弟弟，故④错误；
∴正确的结论为①②；
故选：A．
【总结提升】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
2．（2024•济南一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲 、
l乙 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s（千米）随时间t（分）变化的函数图象，乙出发后
8 分钟追上甲．
【思路引领】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的
意义进行解答．
【解答】解：根据图象得出：乙在28分时到达，甲在40分时到达，
设乙出发x分钟后追上甲，
10 10
则有： ×x = ×（8+x），
28−8 40
解得x＝8，
故答案为：8．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题
关键．
3．（2024•松原二模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，
甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
（1）求出图中t的值；
（2）求甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙到达B地后，求甲离B地的路程．
【思路引领】（1）求出乙的速度为 15千米/时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得 t
18−3
= =1；
15
（2）设甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝kx+b，把（1，18），（2.8，36）代入可得y＝
10x+8（1≤x≤2.8）；
（3）在y＝10x+8中，令x＝2.4得y＝10×2.4+8＝32，即可知乙到达B地后，甲离B地4千米．
【解答】解：（1）由图象可得，乙的速度为36÷2.4＝15（千米/时），
∵开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
18−3
∴t= =1，
15
∴t的值为1；
（2）设甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝kx+b，
把（1，18），（2.8，36）代入得：
{ k+b=18 )
，
2.8k+b=36
{k=10)
解得 ，
b=8
∴甲改变骑行速度后，y关于x的函数关系式为y＝10x+8（1≤x≤2.8）；
（3）由图象可知，t＝2.4时，乙到达B地，
在y＝10x+8中，令x＝2.4得y＝10×2.4+8＝32，
∵36﹣32＝4（千米），
∴乙到达B地后，甲离B地4千米．【总结提升】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
4．（2024•秦淮区模拟）小郑和小外同时从A出发进行100m的游泳比赛，小郑游泳速度不变．图中的实
线表示部分小外在游泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系，虚线表示小郑在游
泳过程中与A的距离y（m）和游泳的时间t（s）之间的关系．
5
（1）小郑游泳的平均速度为 m/s，游泳池的长度为 2 5 m．
6
（2）小外在45s后速度增加，并以增加后的速度匀速行驶，若小外和小郑同时到达终点，
①请补全小外的函数图象；
②小郑出发多长时间后，两人相距5m？（直接写出结果）
【思路引领】（1）观察图象，根据速度＝路程÷时间可得小郑游泳的平均速度，由100除以往返次数4
可得游泳池的长度；
（2）①求出关键点的横坐标，再描点可画出图象；
②求出函数关系式，再分类讨论，列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）曲线OCDEF为小郑的运动图象，50m用时60s，
50 5
∴小郑游泳的平均速度为 = （m/s），
60 6
∵小郑来回游了4次，
100
∴游泳池的长度为 = 25（m），
4
5
故答案为： ，25；
6
（2）①小外在45s后游泳的速度也保持不变，且小郑和小外同时到达终点，
1
∴小外剩余时间3等分，每份为 ×（120﹣45）＝25（s），
3
∴图象关键点的横坐标为70，95，120，
函数图象如图所示：5 5 5
②小郑的函数表达式为：y = x（0≤x＜30），y =− x+50（30≤x＜60），y = x﹣50（60≤x＜
1 6 1 6 1 6
5
90），y =− x+100（90≤x＜120），
1 6
5
小外的函数表达式为：y = x（0≤x＜45），y ＝﹣x+70（45≤x＜70），y ＝x﹣70（70≤x＜95），y
2 9 2 2 2
＝﹣x+120（95≤x＜120），
5 5 5
（Ⅰ）当0≤x＜30时，y ﹣y = x− x= x＝5，解得x＝18，符合题意，
1 2 6 9 18
5 5 25 162
（Ⅱ）当30≤x＜36时，y ﹣y =− x+50− x=− x+50＝5，解得x= ，符合题意，
1 2 6 9 18 5
5 5 25 198
（Ⅲ）当36≤x＜45时，y ﹣y = x﹣（− x+50）= x﹣50＝5，解得x= ，符合题意，
2 1 9 6 18 5
5 1
（Ⅳ）当45≤x＜60时，y ﹣y ＝﹣x+70﹣（− x+50）=− x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，舍去，
2 1 6 6
720 5 11 690
（Ⅴ）当60≤x＜ 时，y ﹣y ＝﹣x+70﹣（ x﹣50）=− x+120＝5，解得x= ，符合题意，
11 2 1 6 6 11
720 5 11 750
（Ⅵ）当 ≤x＜70时，y ﹣y = x﹣50﹣（﹣x+70）= x﹣120＝5，解得x = ，符合题意，
11 1 2 6 6 11
5 1
（Ⅶ）当70≤x≤90时，y ﹣y = x﹣50﹣（x﹣70）=− x+20＝5，解得x＝90，符合题意，
1 2 6 6
5 11 1050
（Ⅷ）当90＜x＜95时，y ﹣y ＝x﹣70﹣（− x+100）= x﹣170＝5，解得x= ，不符合题意，
2 1 6 6 11
舍去，
5 1
（Ⅸ）当95≤x≤120时，y ﹣y ＝﹣x+120﹣（− x+100）=− x+20＝5，解得x＝90，不符合题意，
2 1 6 6
舍去，
162 198 690 750
综上所述，小郑出发18s、 s、 s、 s、 s、90s时，两人相距5m．
5 5 11 11【总结提升】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
5．（2024•雁塔区四模）某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单
位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板
的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．
薄板的边长x 20 30
（cm）
出厂价y 45 65
（元/张）
（1）求每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）在营销过程中，已知出售一张边长为40cm的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价．
【思路引领】（1）根据题意和表格中的数据，可以求出每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数
关系式；
（2）将x＝40代入（1）中的函数关系式，求出出厂价，然后用出厂价减利润，即可得到成本价．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，（kx表示浮动价，b表示基础价），
{20k+b=45)
由表格可得， ，
30k+b=65
{k=2)
解得 ，
b=5
即每张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式是y＝2x+5；
（2）当x＝40时，y＝2×40+5＝85，
85﹣26＝59（元），
答：这张薄板得成本价是59元．
【总结提升】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
6．（2024•盐城模拟）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B
型电脑的利润为4500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设
购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．
求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店销售B型电脑的利润
不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80
台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可．
【思路引领】（1）设每台A型电脑销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，然后根据利润3500元和4500元列出方程组，然后求解即可；
（2）设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列
式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出t的取值范围，然后根据
一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
2
（3）由销售B型电脑的利润不低于10000元，可解得x≤40，即得26 ≤x≤40，而y＝（m﹣50）
3
x+20000，分3种情况：①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，可得商店购进27台A型电脑和53台
2
B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，可得商店购进A型电脑数量满足26 ≤x≤40的整数时，均获
3
得最大利润；③当50＜m＜100时，y随x的增大而增大，可得商店购进40台A型电脑和40台B型电
脑的销售利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的销售利润是t元，每台B型电脑的销售利润是n元，
{5t+10n=3500
)
根据题意得： ，
10t+10n=4500
{t=200)
解得 ，
n=250
答：每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元；
（2）设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元，
据题意得：y＝200x+250（80﹣x），
即y＝﹣50x+20000，
∵80﹣x≤2x，
2
解得x≥26 ，
3
∵y＝﹣50x+20000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝27时，y取最大值，则80﹣x＝53，
答：商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大；
（3）∵销售B型电脑的利润不低于10000元，
∴250（80﹣x）≥10000，
解得x≤40，
2
∴26 ≤x≤40，
3根据题意得：y＝（200+m）t+250（80﹣x）＝（m﹣50）x+20000，
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝20000，
2
即商店购进A型电脑数量满足26 ≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
3
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大，
答：当0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；m＝50时，商店购进
2
A型电脑数量满足26 ≤x≤40的整数时，均获得最大利润；当50＜m＜100时，商店购进40台A型电
3
脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【总结提升】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键
是掌握一次函数的性质．
类型十四 一次函数综合题
3 3
【典例14】（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y= x+ 与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y
4 2
轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．
（1）求点A和点B的坐标；
9
（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为 时，求出点P的坐标；
2
（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形
的点Q的坐标．
3 3 3
【思路引领】（1）对于y= x+ ，令x＝0，则y= ，令y＝0，解得x＝﹣2，即可求解；
4 2 2
（2）由△ABP的面积＝S△HBP +S△HBA ，即可求解；（3）求出线段AP、AQ、PQ的长度，再分AP＝PQ、AP＝AQ两种情况，分别求解即可．
3 3 3
【解答】解：（1）对于y= x+ ，令x＝0，则y= ，令y＝0，解得x＝﹣2，
4 2 2
3
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0， ）；
2
（2）设直线AP交y轴于点H，
设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），
当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，
即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），
1 1 3 9
则△ABP的面积＝S△HBP +S△HBA =
2
×AC×BH =
2
×4×（
2
−2k）=
2
，
3
解得：k=− ，
8
3
∴点P的坐标为（2，− ）；
2
3
（3）由（2）知，点P的坐标为（2，− ），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），
2
3 9
由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（ ）2＝16+ ，
2 4
3
同理可得：PQ2＝（t+ ）2，AQ2＝16+t2，
2
9 3 −3+❑√73 −3−❑√73
当AP＝PQ时，即16+ =（t+ ）2，解得t= 或 ，
4 2 2 2
−3+❑√73 −3−❑√73
故点Q的坐标为（2， ）或（2， ）；
2 2
9 3
当AP＝AQ时，即16+ =16+t2，解得t= （负值已舍去），
4 23
故点Q的坐标为（2， ）；
2
−3+❑√73 −3−❑√73 3
综上，点Q的坐标为：（2， ）或（2， ）或（2， ）．
2 2 2
【总结提升】本题是一次函数的综合题，考查了求一次函数关系式，勾股定理的运用，等腰三角形的性
质，其中（3），分类求解是本题解题的关键．
【针对训练】
1．（2023•天元区模拟）在如图的平面直角坐标系中，直线 n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B
（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
【思路引领】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可得AC的长，确定OC的长，可得结论；
（3）分四种情况：①如图1，当AB＝AC时，②如图2，AB＝AC＝5，③如图3，AB＝BC，④如图
4，AC＝BC，利用待定系数法可得结论．
【解答】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），
{ b=−2 ) { k= 4 )
∴ ，解得： 3 ，
3k+b=2
b=−2
4
∴直线n的函数表达式为：y= x﹣2；
3
（2）∵△ABC的面积为9，
1
∴9= •AC•3，
2∴AC＝6，
∵OA＝2，
∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，
∴C（0，4）或（0，﹣8）；
（3）分四种情况：
①如图1，当AB＝AC时，
∵A（0，﹣2），B（3，2），
∴AB=❑√32+(2+2) 2=5，
∴AC＝5，
∵OA＝2，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
设直线l的解析式为：y＝mx+n，
{3m+n=2)
把B（3，2）和C（0，3）代入得： ，
n=3
{ m=− 1 )
解得： 3 ，
n=3
1
∴直线l的函数表达式为：y=− x+3；
3
②如图2，AB＝AC＝5，∴C（0，﹣7），
同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；
③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
4
同理可得直线l的解析式为：y=− x+6；
3
④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，
设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，∴32+（4﹣a）2＝a2，
25
解得：a= ，
8
25 9
∴OC= −2= ，
8 8
9
∴C（0， ），
8
7 9
同理可得直线l的解析式为：y= x+ ；
24 8
1 4 7 9
综上，直线l的解析式为：y=− x+3或y＝3x﹣7或y=− x+6或y= x+ ．
3 3 24 8
【总结提升】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程的解法，三角形面积，等腰三角形，考查了
分类讨论思想的运用，第（3）题要注意分类讨论的目的性，通过数形结合找等量关系．
类型十五 一次函数含参问题
【典例15】（2024春•崇川区月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为（1，4）、（2，
4
4），在某动画程序中，用信号枪沿直线y=kx+2− k发射信号，当信号与线段AB相交时，线段AB
3
消失，能够使线段AB消失的k的取值范围是 k ≤﹣ 6 或 k ≥ 3 ．
4
【思路引领】分别求出直线y=kx+2− k经过（1，4）或（2，4）时的k值，再结合图象可得答案．
3
【解答】解：如图：
4 4
把（1，4）代入y=kx+2− k得：4＝k+2− k；
3 3解得k＝﹣6；
4 4
把（2，4）代入y=kx+2− k得：4＝2k+2− k，
3 3
解得k＝3，
由图可知，能够使线段AB消失的k的取值范围是k≤﹣6或k≥3；
故答案为：k≤﹣6或 k≥3．
【总结提升】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
【针对训练】
1．（2023春•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图
象平移得到，且经过点A（3，5）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接
写出m的取值范围．
【思路引领】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（3，5）代入y＝x+b，求出b的
值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象由函数 y＝x 的图象平移得到，
∴k＝1，
∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（3，5），
∴3+b＝5．
∴b＝2．
∴这个一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）当x＝1时，y＝x+2＝1+2＝3；
∴将（1，3）代入y＝mx，
解得：m＝3，
当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，
∴m≤3，
∴m大于y＝x+2的系数k，且m≥1，
∴1≤m≤3．【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
