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第二十四章 圆
【知识点01】圆的有关性质
1.圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。
圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2.圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作
AB
，读作圆弧AB或弧
AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
3.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
4.圆心角、圆周角的概念
（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
A
（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角）
2
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
D C
C C
B O B A
O B A
A O
【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
2.三角形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2 。
1
r(a+b+c)
（3）S△ABC=2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
3.直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相离 无交点；
（2）直线与圆相切 有一个交点；
（3）直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
4.切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二
者缺一不可。即：∵ 且 过半径 外端 ∴ 是⊙ 的切线
O
M A N
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线
【知识点03】正多边形和圆
1.圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形∴
∴D
C
B
A E
2.圆内正多边形的计算
（1）正三角形：在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行：
；
（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在 中进行， .
C
B C
O
O
O
B D A A E D A B
【知识点04】弧长和扇形面积
1.扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2.扇形与圆柱、圆锥之间联系
（1）圆柱： ①圆柱侧面展开图： =
；②
圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图：① =
；②
圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
B1
D
A D1
O
母线长
底面圆周长 R
B C1
C
C
A r B【易错一】求某点的弧形运动路径长度
1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l =|a|r（a为圆心角弧度数）；若用
nπr
角度制，公式为l= （n为圆心角度数），单位混用会导致计算错误。
180
2.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值
是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。
例题：（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在 中， ， ， ，将
绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边 上，则点A的运动路径的
长为 ．
【答案】
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求
，可证 是等边三角形，可得 ，由弧长公式可求解．
【详解】解： ∵将 绕点C逆时针旋转到 的位置，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴点A的运动路径的长为 ，故答案为： ．
【易错二】求图形旋转后扫过的面积
1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不
准确，导致面积计算错误。
2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半
径，再结合相应面积公式计算。
例题：如图，在 ，将 绕点O逆时针旋转至
，点 在 的延长线上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留
π）
【答案】
【知识点】求图形旋转后扫过的面积
【分析】根据旋转的性质得出 ， ， ， ，根据直角三角
形的性质求出 ， ，求出 ，根据图形得出
阴影部分的面积 ，再求出答案即可．
【详解】解： 将 绕点 逆时针旋转至△ ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面
积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
【易错三】求其他不规则图形的面积
1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽
略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。
2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算
时留意重叠、空缺部分的处理。
例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点B逆
时针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法
是解题的关键．根据旋转的性质得到 ， ，进而得到
，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
， ，，
在 中， ， ，
，
上式 ．
故答案为： ．
【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题
1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为 90 度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦
是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出 90 度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理
解决问题 。
2.注意事项: 首先要牢记定理使用的前提是圆周角为 90 度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的
度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位 90 度圆周角及其所对的弦。
例题：如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，使它们相交于点E， ，且 ．
(1)求证： ．(2)若 ，点C为 的中点，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股
定理解三角形
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等；
（1）根据圆内接四边形的性质得 ，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，
即可求解；
（2）连接 ，根据 的圆周角所对的弦是直径得出 为 的直径，由等角对等边得 ，
根据勾股定理得 ，即可求解；
掌握相关的性质，能由 找出连接 的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明： 四边形 内接于 ，
∴ ，
∵
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
，
∴ ，
是 的直径，
，
，，
点C为 的中点，
，
在 中，
，
的半径为 ．
【易错五】与圆有关的新定义型问题
1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽
略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。
2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直
观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。
例题：（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，四边形 是圆美四边形， 是美角．
① 的度数为________ ；
②连接 ，若 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分 ，判断 、
与 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①60；② （2）
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解
三角形、已知圆内接四边形求角度
【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理
计算即可．
（2）延长 到点M，使得 ，连接 ，得到 是等边三角形，证明 即可．
【详解】（1）①∵四边形 是圆美四边形， 是美角，
∴ ,
∴ ,
解得 ，
故答案为：60．
②作圆的直径 ,连接 ,
则
∵圆的半径为5，
∴ ,
∵ ，
∴ .
∴ ．
（2）关系为： ，理由如下：
如图，延长 到点M，使得 ，连接 ，
∵四边形 是圆美四边形， 是美角，
∴ ,∴ ,
解得 ，
∴ ,
∵ 平分 ，
∴ ,
∴ 是等边三角形，
∴ , ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定
和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
一、单选题1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆 ，在直线 上从左往右作无滑动的
滚动，则滚动2025周后圆心 所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个 的弧长和一个
的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论．
【详解】解：如图，圆心 滚动一周路径为长为 ，
∴滚动2025周后圆心 所经过的路径长 ，
故选：D．
2．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知 ， ， ，半径为 的 从
点A出发，沿 方向滚动到点 时停止．则在此运动过程中， 扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法．
【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．【点睛】解：如图， 扫过的面积为 ，
∵ ， ， ， 半径为 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故选： ．
3．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知 的半径为 为 的直径， 为半圆弧 的中
点，四边形 的边 与 相切，切点为 ，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求不规则图形的面积．
图中阴影部分的面积为 ，求出相关数据计算即可．
【详解】解：∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ 为半圆弧 的中点，
∴ ， ，
连接 ，∵四边形 的边 与 相切，切点为 ，
∴ 且 ，
∴图中阴影部分的面积为
故选：A．
二、填空题
4．（2025·浙江·模拟预测） 中， ， ， cm，将 绕点 顺时针旋转至
的位置，如图， 、 、 三点在同一条直线上，则点 所经过的路径长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出 cm
及 是解题的关键．由 ， ，求得 ，由旋转得 cm，
，则 ，由弧长公式求得点 所经过的路径 cm，于是得到问题的答
案．
【详解】解： ， ，
，
由旋转得 ， ，、 、 三点在同一条直线上，
，
点 所经过的路径为半径为 cm且圆心角等于 的一段弧，
点 所经过的路径 （cm)，
故答案为： cm．
5．（2025·广东茂名·二模）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
【答案】 /
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形 的面积-扇形
的面积”进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由图可知：阴影部分的面积=扇形 的面积 的面积-扇形 的面积 的面积，
∵ 绕A点逆时针旋转 后得到 ，
∴ 的面积 的面积，
∴阴影部分的面积=扇形 的面积-扇形 的面积
；
故答案为： ．
6．（2025·河南郑州·三模）如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 上一点．将半圆 沿 翻折，点的对应点 落在 上，点 的对应点为 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等
边三角形的判定可得 是等边三角形，然后过D点作 于点E，根据勾股定理求出DE长，
再根据 解答即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ， ，
由翻折可知， ，
∴四边形 是菱形， ，
∴ 是等边三角形，
过D点作 于点E，
则 ， ，
．
故答案为： ．
三、解答题7．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，以 的 边上一点 为圆心的圆经过 、 两点，且与
边交于点 ， ，连接 交 于点 ，若 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径是 ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握
以上知识点的应用是解题的关键．
（1）连接 ，利用 得到 ，然后利用角度的代换可证明 ，从
而根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用圆周角定理得到 ，求出 ，接着在 中计算出 ，然后用一个直
角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，，
是 的半径，
是 的切线．
（2）解： ，
，
，
在 中， ，
，
阴影部分的面积
．
8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板 绕着 角的顶点 顺时针旋转．
使得点 与 延长线上的点 重合，点 与点 重合，连接 ．
(1)三角板旋转了______度；
(2)求 的度数；
(3)若 ，求旋转过程中点 经过的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得： ，根据旋转的定义可知， 是旋转角，由点 与 延长
线上的点 重合，可得 ，计算求解即可；
（2）根据旋转的性质可得： 是旋转角， ，根据等边对等角可得 ，结合三角
形内角和是 ，计算求解即可；
（3）先根据直角三角板 的一个顶角是 ，得出 是等腰直角三角形，即 ，根据勾股定理求出 的长，再根据旋转过程中，点 经过的路径是以点 为圆心， 的长为半径，圆心角是
的扇形弧长，结合扇形的弧长公式，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得： ，
根据旋转的定义可知， 是旋转角，
∵点 与 延长线上的点 重合，
∴ ，
即旋转了 ；
故答案为： ．
（2）解：根据旋转的性质可得： 是旋转角， ，
故 ， ，
∴ ；
（3）解：根据题意可得： 是等腰直角三角形，
故 ，
在 中， ，
点 经过的路径是以点 为圆心， 的长为半径，圆心角是 的扇形弧长，
故点 经过的路径长为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，弧长公式，勾股定理等，熟练掌握旋
转的性质是解题的关键．
9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形
为“圆等三角形”．
(1)如图1， 是 的一条弦（非直径），若在 上找一点 ，使得 是“圆等三角形”，则这样
的点 能找到_________个；
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形，连结对角线 ， 和 均为“圆等三角形”，且 ， ．
①当 时，求 度数；
②如图③，当 ， 时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)① ；②
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨
论是解题的关键．
（1）过 作直线 的垂线交 于 ， ，分别以 和 为圆心， 为半径作弧与圆的交点就是所求
的点；
（2）①根据圆内接四边形的性质得到 ，当 时，当 时，当
时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到 推出 是等
边三角形，得到 ．连接 ．根据圆周角定理得到 ，
，求得 ， ，根据等边三角形的性质得到
，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：过 作直线 的垂线交 于 ， ，分别以 和 为圆心， 为半径作弧与圆的
交点就是所求的点；如图所示：
满足条件的点C共有4个，
故答案为：4；
（2）解∶① ，
，
为圆等三角形，且 ，
，② ，
，
为“圆等三角形”，
是等边三角形，
，
连接 ， ，交 于 ，
， ，
，
， ，
，
四点共线，
，
与 是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积 扇形 的面积 的面积
．
10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做
四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“ ”，错误的打“ ”），
①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（ ）
②正方形一定有内切圆；（ ）
③四边形 中，若 ， ，则四边形 没有内切圆（ ）
(2)如图1，若四边形 有内切圆 ，求证： ．
(3)如图2，四边形 中，若 ，它的内切圆 与边 ， ， ， 分别相切于点
， ， ， ，连接 ， 交于点 ．
①求证： ；
②连接 ，若 的半径为1，当 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ， ；
(2)见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方
形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形 中， ， ，
所以四边形 满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误；
（2）设 分别与 相切于点 ，得到 ， ，
继而得到 ， ，即可得
到结论；
（3）①连接 ，由 是四边形 的内切圆，可得
，进而得 ，同理可得
，进而可得 ，即可证明结论；
②连接 ，作 于点 ， 于点 ，得到 ， ，可证明四边形
是矩形，得到 ，根据勾股定理得到 ， ，得出 ，得到 求出 ．
【详解】（1）解；① 邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，
邻边不相等的矩形一定没有内切圆，
故①正确；
② 正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，
正方形一定有内切圆，
故②正确；
③ 四边形 中， ， ，
四边形 满足内切圆的圆心到各边的距离相等，
故③错误；
故答案为： ， ， ；
（2）证明：如图，设 分别与 相切于点 ，
，
，
，
；
（3）①证明∶如图，连接 ，
是四边形 的内切圆，
，
，
，
同理可得 ，，
，
，
， ，
，
，
；
②解：如图，连接 ，作 于点 ， 于点 ，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，
直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
