文档内容
第二十四章 圆（知识清单）
一、学习目标
1 理解圆及圆相关的概念.
2 会判断点、直线与圆之间的位置关系.
3 理解圆的对称性及有关性质，会用垂径定理等解决有关问题.
4 了解圆的确定条件，了解三角形的外接圆以及圆的内接三角形相关的概念.
5 熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用，理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面
积的计算．
重点：同上
难点：同上
二、学习过程
章节介绍
本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆
周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，
弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积.需理解圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边
形的半径、中心、边心距等概念，掌握垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等利用弧长公
式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等进行计算.本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中
考中所涉及的命题大多和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关.知识梳理
一、圆的概念：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 其
中，固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径，一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作
“圆O”.
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
二、弦的概念：
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.
三、弧、半圆、优弧、劣弧的概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作^AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧（如图中的^AB）叫做劣弧
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的^ACB）叫做优弧.
四、同心圆、等圆的概念：
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.
能够互相重合的两个圆叫做等圆.五、等弧的概念：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
六、圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
七、垂径定理的内容：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
八、垂径定理推论的内容：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
九、圆心角的概念：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
十、弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
十一、圆周角定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
十二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
十三、圆周角定理推论：
1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
2）直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
十四、圆内接四边形概念：
如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
十五、圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
十六、点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d＜r <=> 点P 在⊙O内
2）d=r <=> 点P’在⊙O上
3）d＞r <=> 点P”在⊙O外
十七、三角形的外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外接圆的
圆心叫做这个三角形的外心.
十八、相离、相切、相交的概念：
1）直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离.
2）直线与圆只有一个公共点，称为直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点.
3)直线与圆有两个公共点，称为直线与圆相交.这条直线叫做圆的割线.
十九、直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交<=> d＜r
直线l 与⊙O相切<=> d=r
直线l与⊙O相离<=> d＞r
二十、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
二十一、切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
二十二、切线长概念：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
二十三、切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
二十四、三角形内切圆的概念：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
二十五、正多边形的概念：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
二十六、正多边形的相关概念：
1）一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心.
2) 外接圆的半径叫作正多边形的半径.
3) 内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
4) 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
Π
二十七、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l= •nR
180
二十八、扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
nπR2
二十九、扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为：S =
扇形 360三十、圆锥的相关概念：
圆锥概念：由一个底面和一个侧面围成的几何体.
母线概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段.
圆锥的高的概念：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
考点解读
考查题型一 垂径定理的实际应用
1．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动
杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是
滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动
A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值 ，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．
【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,
∴OA=5,
∵CD⊥AB, 即OD⊥AB,
∴AD=BD=3,∴OD=❑√52−32=4,
∴CD=OC+OD=9.
所以此时支撑杆CD的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，
由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,
∴四边形AEFB为正方形，
∵CD⊥EF,
∴AE=CD=BF=AB,
∵CD⊥AB,
∴设AD=BD=x,
则AE=CD=BF=AB=2x,
∵OA=OC=5,
∴OD=2x−5,
由勾股定理可得：52=x2+(2x−5) 2,
解得x =0,x =4,
1 2
经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,
AB=8（cm），
即手机的宽度为8cm．
2．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就
要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧
急措施.【详解】设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA'=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP−PM=(x−18)m
在RtΔAOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x−18) 2+302，解得x=34
∴ON=OP−PN=34−4=30(m)
在ΔA'ON中，由勾股定理可得
A'N=❑√OA2−ON2=❑√342−302=16(m)
∴A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施.
3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有2m，即PN=2m
时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接OA，OA'，设半径为xm，则OA=OP=xm，
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N，
∵AB=30m，
1 1
∴AM= AB= ×30=15(m)，
2 2
在Rt△AOM中，OM=OP−PM=(x−9)m，
由勾股定理可得，AO2=OM2+AM2，
即x2=(x−9) 2+152，
解得x=17，
∴拱桥所在的圆的半径17m；
（2）∵OP=17m，PN=2m，
∴ON=OP−PN=17−2=15(m)
在Rt△A'ON中，由勾股定理可得，
A'N=❑√OA'2−ON2=❑√172−152=8(m)，
∴A'B'=2A'N=2×8=16m>15m，
∴不需要采取紧急措施．
4．如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高
AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；⏜ ⏜
【详解】（1）解：设 所在的圆心为O，B为 的中点，CD⊥AB于A，延长BA至O点，连接OC，
CD CD
1
则AC= CD=1.6（米），
2
设⊙O的半径为 ，则：OA=OB−AB=R−0.8
在Rt△OAC中，OC2=OA2+C A2，
∴R2=(R−0.8) 2+1.62，
解得R=2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）解：过O作OF⊥HG于F，连接OG，
6
则OF=AH=1.6−0.4=1.2= （米），FH=OA=2−0.8=1.2米，OG=2米，
5
在Rt△OFG中，GF=❑√OG2−OF2=❑
√
22−
(6) 2
=1.6（米），
5
∴HG=FG−HF=1.6−1.2=0.4（米），
即支撑杆HG的高度为0.4米．
考查题型二 圆周角定理及其推论1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB=❑√2，AD=1，求CD的长度．
【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=❑√2，
∴AC=❑√AB2+BC2=2，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=❑√AC2−AD2=❑√3，
∴CD= ．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE=AB，连接BD，ED．
(1)求证：BD=ED；
(2)若∠ABC=60°， ，⊙O的直径长为 ．
【详解】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
⏜ ⏜
∴ AD=CD ，
∴AD=CD，∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
{
AB=CE
∠A=∠DCE，
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
（2）解：连接OA，OD，如图，
∵D是弧AC的中点，
⏜ ⏜
∴ AD=CD ，
1 1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= ×60°=30°，
2 2
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；（2）若BE=2,CD=6，求⊙O的半径的长．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
⏜ ⏜
= ．
BC BD
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，R2=(R−2) 2+32
13
解得：R=
4
13
∴⊙O的半径是R= ．
4
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若AD＝DC，∠E＝70°，求∠ABC的度数．
【详解】解：连接DB．⏜ ⏜
∵∠E＝70°， DB=DB
∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°−∠A＝90°−70°＝20°，
∵AD=DC
⏜ ⏜
∴ AD=DC ，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC＋∠DBA＝20°＋20°＝40°．
考查题型三 点和圆的位置关系
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，6)、B(5，6)、C(7，4)．
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)坐标原点O与⊙M有何位置关系？并说明理由．
【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求；（2）解：点O在⊙M内部，理由如下：
由（1）得点M的坐标为(3，2)，
∴AM=❑√(3−1) 2+(2−6) 2=2❑√5，OM=❑√22+32=❑√13，
∵AM>OM，
∴点O在⊙M内部；
2．如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从
点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持 的航速行驶，那么在
什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
【详解】解：如图，
∵AB=10km，AC=3km，
∴BC=7km，
由7÷10=0.7，
知0ℎ到 之间，渔船是安全的； 渔船进入危险区域考查题型四 直线和圆的位置关系
1．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动（点P可
以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿BC以 的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一
点到达终点时，另一点随之停止运动设运动时间为t秒．
（1）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于 ？
（2）如图2，在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切，求t值；
（3）若以Q为圆心， 为半径作⊙Q．如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值
范围为________．（直接写出结果，不需说理）
【详解】解：（1）由题意知，AP=t，BQ=2t，则BP=6−t，由 可得
1
(6−t)⋅2t=8，解得t=2或t=4，故当运动时间为2秒或4秒时，△BPQ的面积为 ；
2
（2）如图1，设切点为E，连接PE．
∵AD⊥AP，
∴⊙P与AD相切，
∴⊙P分别与AD，BD相切，
∴AD=DE=8．
∵⊙P与BD相切，
∴ ，
在Rt△ABD中，依据勾股定理可得BD=10．
∴ ．∵AP=PE，
∴PE=t，PB=6−t．
8
在Rt△PEB中，依据勾股定理可得， ，解得t= ；
3
（3）（Ⅰ）当t=0时，如图4所示：
⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：
当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，则QD=PQ，
得方程（6-t）2+（2t）2=36+（8-2t）2，
解得：t=-10-2❑√41（舍）或-10+2❑√41
∴当0＜t＜-10+2❑√41，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点．
故答案为：0＜t＜-10+2❑√41．
2．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．
(1)若以A为圆心，8长为半径作⊙A，则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范
围是 ．
【详解】（1）解：连接AC，∵AB=6，AD=8，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10，
∵⊙A的半径为8，
∴AB<8,AD=8,AC>8
∴点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；
（2）解：∵AB=6，AD=8，AC=10，
又∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径r的取值范围是6∠AFB，
∵∠AGB=∠AEB+∠GAE，
∴∠ADB>∠AEB；
在DQ上取一点T，连接AT并延长交△ABQ的外接圆于S，连接 ，
∴∠ASB=∠AQB，
∵∠ATB=∠ASB+∠TBS，
∴∠ATB>∠ASB=∠ADB=∠AQB，
∴球员P由M向N的运动过程中，∠APB的大小是先变大后变小，
故答案为：③；
猜想验证：如图所示，在MN上任取一点G（不与Q重合），连接AG交△ABQ的外接圆于H，连接
BG，BH，
∴∠AHB=∠AQB，
∵∠AHB=∠AGB+∠GBH，
∴∠AGB<∠AHB，即∠AGB<∠AQB，
∴MN上异于点Q的其他所有点对AB的张角∠APB都小于∠AQB，
∴球员P运动到切点Q时∠APB最大；实际应用：如图所示，作线段AB的垂直平分线CD交AB于E，延长EA交MN于F，以点A为圆心，EF的
长为半径画弧交直线CD于O，以O为圆心，以EF的长为半径画弧交直线MN于P，点P即为所求；
理由如下：∵OE⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥OE，
∵OP=EF，且EF⊥MN，即EF是两条平行线间的距离，
∴OP也是这两条平行线间的距离，
∴OP⊥MN，
∴ 直线MN与⊙O相切，
∴由“猜想验证”可知，当直线MN与⊙O相切于点P时，∠APB最大．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC相交于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的
延长线于点E，连结 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4❑√3，求线段EF的长
【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
{OC=OB
OE=OE，
EC=EB
∴△OCE≌△OBE(SSS)，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则 ，OB=x，
1
在Rt△OBD中，BD= BC=2❑√3，
2
，
，解得x=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
由（1）可知∠OBE=90°，∴ ，
，
．
考查题型六 三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．阅读材料：如图，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆☉O的半径为r，探究r与S，l之间的关系．
解：连接OA、OB、OC．
1
∵S = AB⋅r，
△AOB 2
1
S = BC⋅r，
△OBC 2
1
S = CA⋅r，
△OCA 2
1 1 1 1
∴S= AB⋅r+ BC⋅r+ CA⋅r= l⋅r，
2 2 2 2
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推
导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a ，a ，a ，a ，…，a ，
1 2 3 4 n合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【详解】（1）∵52+122=132，
∴此三角形为直角三角形，
1
∴三角形面积S= ×5×12=30，
2
2×30
∴r= =2.
5+12+13
（2）设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA、OB、OC，OD.
1 1 1 1 1
则S=S +S +S +S = AB⋅r+ BC⋅r+ CD⋅r+ DA⋅r= (a+b+c+d)⋅r
△OAB △OBC △OCD ODA 2 2 2 2 2
2S
∴r= .
a+b+c+d
（3）类比（1）（2）的结论，
2S
易得在圆内切n边形中，有r=
成立
a +a ......+a
1 2 n
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边
BC，AC，AB于点D，E，F．
(1)求⊙O的半径．
(2)若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．
【详解】（1）解：如图，连接OF，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r．∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC， ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=❑√BC2+AC2=5．
∵S =S +S +S ，
△ABC △OBC △OAC △OAB
1 1 1 1
∴ ×3×4= ×3r+ ×4r+ ×5r，
2 2 2 2
解得r=1，
∴⊙O的半径为1；
（2）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，
∴BD=BF，CD=CE， ．OD⊥BC，OE⊥AC， ．
∴四边形ODCE为正方形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=r=1，
∴ ．
∵Q是Rt△ABC的外心，
1 5
∴QB=QA= AB= ，
2 2
1
∴FQ=QB−BF= ．
2
在Rt△OFQ中，OF2+FQ2=OQ2，即12+
(1) 2
=OQ2
，
2
❑√5
解得OQ= （负值舍去）．
2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，
OE，OF．(1)若BC=6，AC=8，则r= ；
(2)若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
【详解】（1）连接OA、OB、OC，
S =S +S +S
△ABC △ABO △BOC △AOC
1 1 1
= ×AB×OF+ ×AC×OE+ ×BC×OD
2 2 2
∵OE=OD=OF=r
1
∴S = (AB+BC+AC)⋅r①
△ABC 2
在Rt△ABC中，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10
1 1
又∵S = ×AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
代入①得：r=2
（2）∵AB+BC+AC=L，
1
代入①得S = ⋅L⋅r=S，
△ABC 2
∴S，L，r之间数量关系为2S=L⋅r
4．解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n！确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直
角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．
尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切
于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
【详解】解：（1）如图1，
设⊙O的半径为r，
连接OE，OF，
∵⊙O内切于△ABC，∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，
∴AC＝4+r，BC＝5+r，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
（r+4）2+（r+5）2＝92，
∴r2+9r＝20，
1
∴S ABC＝ AC⋅BC
△ 2
＝
＝
＝
＝20；
（2）
如图2，
（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，
∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，
1 1
∴∠BAF＝ ∠CAB，∠ABF＝ ∠ABC，
2 2
1
∴∠BAF+∠ABF＝ （∠BAC+∠ABC）＝ ＝45°，
2∴∠AFB＝135°，
可以按以下步骤作图（如图3）：
①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，
②以E为圆心，AE为半径作圆，
③过点D作AB的垂线，交圆于F，
④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，
则△ABC就是求作的三角形．
考查题型七 应用切线长定理求解
1．如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖
正好是圆心O，若 ，求∠APB的度数．
【详解】解： 切⊙O于点A，OA是半径，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°．
，
．、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，
．
，
．
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，
连接OC，PB，已知PB=6，DB=8， ．
(1)求证：PB是⊙O的切线：
(2)求⊙O的半径．
【详解】（1）证明：∵DE⊥PE，
∴∠DEO=90°，
∵∠EDB=∠EPB，∠BOE=∠EDB+∠DEO，∠BOE=∠EPB+∠OBP，
∴∠OBP=∠DEO=90°，
，
为⊙O的切线；
（2）解：在 中，PB=6， ，
根据勾股定理得：PD=❑√62+82=10，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD−PC=10−6=4；
在Rt△CDO中，设OC=r，则有 ，
根据勾股定理得：(8−r) 2=r2+42，解得：r=3，
则圆的半径为3．
3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA
的延长线交于点D．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若OB=3， ，求DP的长．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中，
{
OB=OA
∠BOP=∠AOP，
OP=OP
∴△OBP≌△OAP(SAS)，
，
，
∵OB是半径，
是⊙O的切线；
（2）解：∵OD=5，OA=OB=3，在Rt△AOD中，AD=❑√OD2−OA2=❑√52−32=4，
、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即(PA+4) 2=PA2+82，
解得PA=6，
∴DP=PA+AD=6+4=10．
4．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【详解】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
1 1
∴∠COD＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°．
2 2
考查题型八 三角形内切圆与外接圆综合
1．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴^BE=C^E，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM=❑√42−12=❑√15．
∴AE=❑√(❑√15) 2+72=8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE−EI=4．
2．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°，求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【详解】（1）解：∵∠CBD=34°
∴∠CAD=34°
∵点E是△ABC的的内心
∴∠BAC=2∠CAD=68°
∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°
∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC
∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD
∴∠DEB=∠DBE
∴DE=DB ．
3．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID；
(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．
【详解】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
⏜ ⏜
∵CD=CD ，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD．
（2）证明：如图，连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
又∠CBD=∠CAD，
，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD．
（3）证明：如图，连接BI，CI，DC，∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD．
∵ID=BD
∴BD=CD=ID，
∴点D是△BIC的外心．
考查题型九 正多边形与圆
1．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直
径 ；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【详解】（1）解：∵正五边形ABCDE．
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
∴ AB=BC=CD=DE=AE ，
360°
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA= =72°，
5
⏜ ⏜
∵ AEC=3AE ，
∴∠AOC (优弧所对圆心角)=3×72°=216°，1 1
∴∠ABC= ∠AOC= ×216°=108°；
2 2
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
连接ON,FN，
由作图知：FN=FO,
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°，
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°．
⏜ ⏜
∵ AD=2AE ，
∴∠AOD=2×72°=144°，
⏜ ⏜ ⏜
∵ DN=AD−AN ，
∴∠NOD=144°−120°=24°，
360
∴n= =15．
24
⏜
2．如图，⊙O为等边ΔABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A,B重合），连接DA，
AB
DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，
ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【详解】(1)∵△ABC为等边三角形，BC=AC，
⏜ ⏜
∴ AC=BC ，都为 圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
❑√3
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为 x
2
1 ❑√3 ❑√3
∴S=S +S =S +S =S = ⋅x⋅ x= x2 (2❑√3
