文档内容
北师大版五年级数学下册
第 四 单 元 长 方 体
（二）
识点一：体积与容积
1. ，是物体的体积。
2. ，是容器的容积。
3.体积和容积的区别：（1）意义不同：体积是指 ，容积是指
（2）测量方法不同：体积是从 ，容积是从 。
（3）大小不同：同一个容器，因为容器壁有一定的厚度，体积 容积；当容器壁很薄时，体积近似
等于容积；当容器壁忽略不计时，体积 容积。
知识点二：体积单位
1. 常见的体积单位有
体积约是1cm3的有学生的大拇指指尖、一粒蚕豆、计算机键盘的方形按键、骰子……
体积约是1dm3的有罐头盒、魔方…
体积约是1m3的有洗衣机、冰箱……
2. 常见的容积单位有升（L）和毫升（mL）。
3.棱长为1dm的正方体的容积是1L；棱长为1cm的正方体的容积是1mL。
知识点三：长方体的体积
1. 长方体的体积= ，用字母表示为
2. 正方体的体积= ，用字母表示为
3. 长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=
4. 已知长方体的体积、底面积、高三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。
知识点四：体积单位的换算
1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³
2. 在解决体积、容积的实际问题时，要注意单位的统一。
知识点五：测量问题
1.在测量不规则物体的体积时，一般把 的体积转化为 的体积。水面
的水的体积（或水满时溢出的水的体积）就是 的体积。
2. 向盛有水的长方体或正方体容器里面放入物体，且物体完全浸入水中，若有水溢出，则放入的物体和
原来水的体积之和减去 就等于 的体积。
【易错典例1】（2021春•巨野县期中）求一个长方体铁皮油箱要多少铁皮，是求长方体的（ ）
A．表面积 B．体积 C．容积
【易错知识点分析】解答这类问题首先要搞清所求物体的形状，因为是求一个长方体油箱需要多少平方
米铁皮，根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，所以是求长方体的表面积．
【完整解答】根据油箱的形状和它的用途，所以求做一个长方体油箱需要多少平方米铁皮，是求长方体
的表面积．
故选：A．
【考查知识点】解答这类问题首先要搞清所求物体的形状，再根据题意来确定选项．
【易错典例2】一个长15厘米，宽12厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，往里面丢入一个棱长为 6
厘米的正方体铁块，再将其拿出，此时水面距离容器口多少厘米？
【易错知识点分析】根据题意可知，容器内放入一个棱长为6厘米的正方体铁块后溢出水的体积等于这
个正方体铁块的体积，首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，再根据长方体的
体积公式：V＝sh，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积求出水面下降了多少厘米，然后用长
方体容器的高减去水面下降的高即可．
【完整解答】10﹣6×6×6÷（15×12）
＝10﹣216÷180
＝10﹣1.2
＝8.8（厘米）
答：此时水面距离容器口8.8厘米．
【考查知识点】此题主要考查正方体、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公
式．
【易错典例3】（2021春•张湾区期中）计算下面立体图形的表面积和体积
【易错知识点分析】①根据正方体的表面积公式：s＝6a2，体积公式：v＝a3，把数据分别代入公式解
答．
②根据长方体的表面积公式：s＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：v＝abh，把数据分别代入公式解答．
【完整解答】①4×4×6
＝16×6
＝96
4×4×4＝16×4
＝64
答：这个正方体的表面积是96、体积是64．
②（10×5+10×4+5×4）×2
＝（50+40+20）×2
＝110×2
＝220
10×5×4
＝50×4
＝200
答：这个长方体的表面积是220、体积是200．
【考查知识点】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用．关键是熟记公式．
【易错典例4】（2020秋•鼓楼区期末）学校有一个容积为240立方分米的装物箱（有盖），现在用它装一
种体积为8立方分米的正方体教具，一共可以装多少个？小红是这样计算的：240÷8＝30（个）。小红
这样算你赞同吗？举例说明你的观点。
【易错知识点分析】装物箱的长、宽、高不能确定，就不能确定装教具时有没有空隙，所以小红这样算
不严密，需要分两种情况进行计算。
【完整解答】小红这样算我不赞同。因为装物箱的长、宽、高不能确定，既不能确定装教具时有没有空
隙。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，8＝2×2×2，所以说正方体教具棱长为2分米。
第一种情况：如果长方体的长、宽、高都是2的倍数，则装教具没有空隙。
如：长方体长10分米，宽6分米，高4分米，则可以装教具：（10÷2）×（6÷2）×（4÷2）＝30（个）
第二种情况：如果长方体的长、宽、高不都是正方体棱长的倍数，则装教具时有空隙。
如：长方体长 15分米，宽4分米，高4分米，则可以装家教具：（15÷2）×（4÷2）×（4÷2）≈28
（个）
答：小红这样算我不赞同。
【考查知识点】本题考查的是长方体体积计算公式的灵活运用。
【易错典例5】（2020秋•太康县期末）一块20立方厘米的铁块沉入一个长为5厘米，宽为2厘米的长方
体玻璃容器中，水面会上升（ ）
A．20厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．无法确定
【易错知识点分析】上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此用铁块的体积除以容器的底面积即可．
【完整解答】20÷（5×2）
＝20÷10
＝2（厘米）
答：水面会上升2厘米．
故选：B．
【考查知识点】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用．
【易错典例6】（2020•无锡）下图是测量一颗铁球体积的过程：
①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；
③再加一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（
）
A．60cm3以上，70cm3以下 B．50cm3以上，60cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．30cm3以上，403以下
【易错知识点分析】由②可知，4个铁球的体积加上水的体积小于杯子的容积，又③可知，5个铁球的
体积加上水的体积大于杯子的容积，由此判断．
【完整解答】设一个铁球的体积为xcm3，
由②可知：4x+300＜500
4x＜200
x＜50
由③可知：5x+300＞500
5x＞200
x＞40
答：铁球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故选：C．
【考查知识点】本题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，通过水是否满溢，判断铁球的体积和水
的体积之间的关系，是本题解题的关键．考点1：体积、容积及其单位
1．（2021春•端州区期中）一个长方体水箱的体积是60dm3，则它的容积是60L． （判断对错）
2．（2021春•富阳区期中）饮料瓶上标注的“330mL”是指瓶子中饮料的（ ）
A．容积 B．体积 C．表面积
3．（2021春•福清市期中）一款矿泉水的标签上印着750mL的字样，表示（ ）
A．瓶子的体积是750mL B．瓶子的容积是750mL
C．水的体积是750mL
4．（2021春•灵宝市期中）苏打水有助于缓解消化不良和便秘症状，也有抗衰老的作用。有一瓶 500毫升
的苏打水，（ ）是500毫升。（答案不唯一）
A．苏打水的体积 B．瓶子的容积
C．不能确定
5．（2021春•巨野县期中）求一个长方体铁皮油箱要多少铁皮，是求长方体的（ ）
A．表面积 B．体积 C．容积
6．（2019春•荥阳市期末）聪聪看到墨水瓶的包装盒上印有“净含量 60毫升”的字样，这个60毫升是指
（ ）
A．墨水瓶的体积 B．墨水瓶的容积
C．瓶内所装墨水的体积
7．（2020秋•淮安区期末）480立方分米＝ 立方米
8.04升＝ 毫升
8．（2019春•古丈县期末）一个牛奶盒上标有“净含量 220毫升”，告诉我们这个盒子的 大约是
220毫升．
9．（2018秋•盐城月考）在括号里填合适的单位．10．如图，有三个不同的杯子．把2号杯装满水，先倒入1号杯，再装满水倒入3号杯．哪个杯子的容积
最大？在□里画“☆”．哪个杯子的容积最小？在□里画“√”．
11．看图回答问题．
（1）这个桔子的体积是多少？
（2）如果再放一个相同体积的桔子，烧杯的刻度应该是多少？
（3）如果不让水溢出来，最多能放几个这样的桔子？这个现象说明了什么？
12．下面容器的容量用什么作单位比较合适？连一连．
13．你能猜出下面这些容器的容量吗？请把猜出的结果圈起来．考点2：体积、容积进率及单位换算
14．（2016春•清城区期中）相邻的两个容积单位之间的进率是（ ）
A．10 B．100 C．1000
15．（2015春•济南校级月考）4560立方分米＝（ ）
A．4.56升 B．4560升 C．4.56立方米
16．（2019秋•雨花台区校级期中）计量水、油、饮料等液体的多少，通常只用毫升作单位． ．（判
断对错）
17．（2016秋•桂平市期中）一个饮料瓶的包装上标有5000毫升，是指瓶中饮料的体积是500毫升．
．（判断对错）
18．（2019•郴州模拟）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”．
3升 3200毫升
5升 500毫升
7000毫升 7升
9升 990毫升．
考点3：长方体和正方体的体积
19．（2021春•富阳区期中）把正方体铁块熔铸成长方体，那么长方体和正方体的（ ）
A．表面积和体积都相等 B．表面积相等 C．体积相等
20．（2021春•富阳区期中）一个长a分米、宽b分米、高c分米的长方体，如果长增加4分米，那么体积
增加（ ）立方分米。
A．ab B．4ac C．4bc
21．（2021春•临河区校级期中）一个长方体木料的长5厘米、宽4厘米、高是3厘米，从木料上锯下一个
最大的正方体木块后，剩余木料的体积（不记损耗）是（ ）cm3。
A．27 B．33 C．18 D．65
22．（2021春•邹城市期中）算一算，填出下表中长方体和正方体的相关败据。长方体 长 宽 高 底面积 表面积 体积
8cm 4cm 40cm2
正方体 棱长9cm
23．（2021春•张湾区期中）一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了
36dm2，这个长方体木块原来的体积是 dm3。
24．（2021春•东明县期中）把一根长5m的长方体木料锯成3段，表面积增加了160cm2，这根木料的体积
是 dm3。
25．（2016春•仁怀市校级期末）如果长方体的长、宽、高都扩大 3倍，则它的体积扩大3倍． （判
断对错）
26．（2020春•十堰期末）把一块长方体形状的橡皮泥，捏成一个正方体，橡皮泥体积变小了． （判
断对错）
27．（2021春•东明县期中）城市的街道重新修建。施工人员要在一块长 15m、宽4m的空地上铺沙子，沙
子的体积是600dm3。铺好后，沙子的厚度是多少米？
28．（2021春•富阳区期中）一个长方体包装盒，从里面量长20cm，宽15cm，体积为4800cm3，爸想用它
包装一件长18cm、宽15cm、高17cm的玻璃器皿，是否可以装得下？
29．（2021春•富阳区期中）一个长方体，从前面看是一个面积为32平方分米的长方形，从上面看是一个
长60厘米，宽40厘米的长方形，这个长方形的体积是多少立方分米？
30．（2020秋•鼓楼区期末）学校有一个容积为240立方分米的装物箱（有盖），现在用它装一种体积为8立方分米的正方体教具，一共可以装多少个？小红是这样计算的：240÷8＝30（个）。小红这样算你赞
同吗？举例说明你的观点。
31．（2021春•三台县期中）一个微波炉的包装箱（如图），从里面量长0.8m，宽0.5m，高0.5m．它的容
积是多少立方米？
32．（2020秋•苏州期末）求它们的表面积与体积．（单住：分米）
33．（2021春•南关区校级期中）一块正方体的石料，棱长8分米，如果1立方分米的石料重3.6千克，这
块石料重多少千克？
考点4：探索某些实物体积的测量方法
34．（2020秋•海安市期末）将图中的矿泉水瓶完全浸没在长方体容器中，容器中上升的水的体积可能是
（ ）毫升。A．500 B．480 C．540 D．400
35．（2020秋•太康县期末）一块20立方厘米的铁块沉入一个长为5厘米，宽为2厘米的长方体玻璃容器
中，水面会上升（ ）
A．20厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．无法确定
36．（2019•杭州）如图是测一个玻璃球体积的过程：
（1）将400mL的水倒进一个容量为520mL的杯子中；
（2）将3颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围为（ ）
A．20mL以上，30mL以下 B．30mL以上，40mL以下
C．40mL以上，50mL以下 D．50mL以上，60mL以下
37．（2018•东莞市）一个内部长6dm，宽3dm的长方体鱼缸内养了10条金鱼，水面高2.5dm．强强把金
鱼捞出来准备清洗鱼缸，发现水的高度降低到2.4dm．10条金鱼的体积约是（ ）cm3．
A．1800 B．180 C．45 D．1.8
38．（2020•迎江区）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容积为500mL的杯子
中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没满；③再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢
出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围为（ ）
A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下
39．王师傅将两个棱长为1分米的正方体铁块慢慢浸没在一个注满水的盆中，盆中的水将（ ）
A．减少1升 B．减少2升 C．不变
40．（2021春•定南县期中）一个正方体容器，从里面量得棱长是6cm，在里面放一些水，水深2.5cm，再
放入一个土豆，土豆完全沉入水中，这时水深是4cm，这个土豆的体积是多少立方厘米？41．（2020秋•临沂月考）如图，在一个长6分米、宽4分米、高15分米的长方形容器中倒入一定量的水，
然后放入一个底面半径为2分米的圆柱形铁块，铁块完全浸没在水中（水未溢出），这时水面上升3.14
分米，求这个圆柱形铁块的高是多少分米？
42．（2021春•沁阳市期中）在一个长50cm，宽40cm，高30cm的长方体玻璃浴缸中，水深20cm．如果把
一块棱长10cm的正方体石块放入缸中，缸内的水会升高多少厘米？
43．（2020•吴江区校级模拟）张明在一个长8厘米，宽8厘米，高12厘米的长方体容器中加入一些水后，
准备测量一块石头的体积，具体情况如图所示，请问这个石头的体积是多少？
44．（2020春•永川区期中）有一个长5分米、宽4分米、深2分米的长方体玻璃缸，向缸中放入一个正方体铁块，然后注满水（此时水已淹没正方体铁块），当取出这个铁块后，水面下降了0.2分米，这个铁
块的体积是多少？
45．（2020春•潘集区期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长为3分米，宽为2分米，向容器中倒入7.5
升水，再把一石块放入水中，这时测得容器内的水面的高度是13.4分米．这个石块的体积是多少？
