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北师大版四年级数学下册
第五单元 认识方程知识点一：用字母表示数
1.用字母或含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量关系，还可以表示结果。
2.在式子中，字母要根据实际意义在一定范围内取值。
3.当字母和数相乘时，乘号可以简写为一个点，也可以省略不写，表示结果时，数字一般写在字母前面。
4.用字母表示运算律或计算公式时，所用字母一般比较固定，不能乱用
5. 用含有字母的式子表示数量关系，可以先写出数量关系，再把字母对应代入。
知识点二：等量关系
1.等量关系是数量间关系中的一种，它是指两边数量相等时的关系。
2. 相同的等量关系，可以用不同的式子表示，在解决问题时要合理选用。
知识点三：方程的意义
1. 含有未知数的等式是方程。 例：x+50=150、2x=200
2. 方程一定是等式，等式不一定是方程。
3.在等式中一般把含有字母的式子写在等式的左边。
知识点四：等式的性质
1.等式性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
2.等式性质（二）： 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），等式仍然成立。
知识点五：解方程
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例如：y=19是方程y一7=12的解；x=22是方程
23+x=45的解。
2.解形如“x士a=b”的方程时，方程的两边同时加上还是减去哪个数，是由方程左边的式子决定的，目的
就是为了把方程化为“x=？”，这样就求出了方程的解。
3. 利用等式性质（二）解形如ax=b或x÷a=b（a不为0）的方程，具体过程如下：
解：ax÷a=b÷a 解：x÷a×a=b
x=b÷a x=ab
4.检验方程的解是否正确，步骤如下：（1）把求出的未知数的值代入原方程中；（2）计算，看等式是否
成立；（3）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。
知识点六：列方程解决实际问题
列方程解应用题的思路：A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题， B、理清题目的等量关系， C、设未知数，一般是把所求的
数用X 表示D、根据等量关系列出方程， E、解方程， F、检验， G、作答。
注意：解完方程，要养成检验的好习惯。
【易错典例1】（2019•株洲模拟）如果a是一个偶数，下面哪个数和a是相邻的偶数？（ ）
A．a﹣1 B．a+2 C．2a
【易错知识点分析】自然数，能被2整除的数为偶数．由此可知，自然数中相邻的两个偶数相差2，所
以a是一个偶数，与a相邻的两个偶数分别是a﹣2和a+2；据此选择即可．
【完整解答】自然数中，相邻的两个偶数相差2，
所以a是一个偶数，下面几个数中与a相邻的偶数是a+2；
故选：B．
【考查知识点】明确自然数中偶数的排列规律是完成本题的关键．
【易错典例2】（2020秋•民乐县期末）爸爸今年a岁，小林今年b岁，8年后他俩相差 岁。
【易错知识点分析】本题是一个用字母表示数的题，由所给条件可知今年小林和爸爸相差（a﹣b）岁，
两人的年龄差是永远不变的，若干年后仍然相差（a﹣b）岁。
【完整解答】由爸爸今年a岁，小林今年b岁可知爸爸与小林年龄相差（a﹣b）岁，且这个数值是不变
的，
所以再过8年后他俩仍然相差（a﹣b）岁。
故答案为：（a﹣b）。
【考查知识点】本题属于用字母表示数的易错题，容易丢掉括号。
【易错典例3】（2020秋•富裕县期末）一条裤子n元，一件上衣的价格是一条裤子的6倍，则一件上衣需
要 元，买一套服装共需 元．
【易错知识点分析】先根据倍数关系求出一件上衣的价格，再把一件上衣的价格和一条裤子的价格相加
即可．
【完整解答】上衣：n×6＝6n（元）；
6n+n＝7n（元）；
答：一件上衣需要6n元，买一套服装共需7n元；
故答案为：6n，7n．【考查知识点】本题主要考查了两个数的倍数关系：已知一个数，求它的几倍是多少用乘法．
【易错典例4】（2021•深圳模拟）解方程：3x﹣1+13＝14。
【易错知识点分析】先化简左边，再根据等式的性质，方程两边同时减去12，然后两边再同时除以3即
可。
【完整解答】3x﹣1+13＝14
3x+12＝14
3x+12﹣12＝14﹣12
3x＝2
3x÷3＝2÷3
x＝
【考查知识点】此题考查了运用等式的性质解方程，解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐。
【易错典例5】（2020春•兴化市校级期中）解下列方程。
x÷1.5＝4 x﹣7.2+2.8＝5 3.6x﹣2.8x＝80 2x﹣2×0.3＝8
【易错知识点分析】第一个根据等式的性质，方程两边同时乘1.5即可；
第二个先化简左边，再根据等式的性质，方程两边同时加上4.4即可；
第三个先化简左边，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.8即可；
第四个根据等式的性质，方程两边同时加上0.6，然后两边再同时除以2即可。
【完整解答】x÷1.5＝4
x÷1.5×1.5＝4×1.5
x＝6
x﹣7.2+2.8＝5
x﹣4.4＝5
x﹣4.4+4.4＝5+4.4
x＝9.4
3.6x﹣2.8x＝80
0.8x＝80
0.8x÷0.8＝80÷0.8
x＝100
2x﹣2×0.3＝8
2x﹣0.6＝8
2x﹣0.6+0.6＝8+0.62x＝8.6
2x÷2＝8.6÷2
x＝4.3
【考查知识点】本题运用等式的性质进行解答即可，注意等号要对齐。
考点1：用字母表示数
1． 是假分数，a是不为零的自然数，则a应该（ ）
A．大于7 B．等于7 C．不大于7 D．小于7
【思路引导】分子和分母相等或分子比分母大的分数叫做假分数，据此解答。
【考查知识点】 是假分数，则a≤7，即不大于7。
故选：C。
【考查知识点】本题主要考查学生对假分数的认识，注意假分数的分子和分母相等或分子比分母大。
2．下面选项中，能用2a+6表示的是（ ）。（单位：cm）
A． B．
C． D．
【思路引导】分别表示出长方形的周长、面积，和线段的长度，再与2a+6比较即可。
【考查知识点】A、长方形的周长：2a+12
B、图形的面积：8a
C、线段MN的长度：8+a
D、线段CD的长度：2a+6
故选：D。
【考查知识点】分别表示出长方形的周长、面积，和线段的长度，是解答此题的关键。3．（2021春•姜堰区期中）甲袋有面粉a千克，乙袋有面粉b千克。如果从甲袋倒入8千克到乙袋，则两
袋面粉一样重。下面等式不符合题意的是（ ）
A．a﹣8＝b+8 B．a﹣b＝8 C．a﹣8×2＝b D．a﹣b＝8×2
【思路引导】根据题干可得，如果从甲袋中倒出8千克放入乙袋，则两袋面粉一样重，可得a﹣8＝
b+8，原来甲袋面粉比乙袋面粉多8×2＝16（千克），即a﹣8×2＝b或a﹣b＝8×2，据此即可解答问题。
【考查知识点】根据题干分析可得：如果从甲袋中倒出8千克放入乙袋，则两袋面粉一样重，可得a﹣8
＝b+8，原来甲袋面粉比乙袋面粉多（8×2）千克，即 a﹣8×2＝b或a﹣b＝8×2，所以选项ACD都是正
确的，只有选项B是错误的。
故选：B。
【考查知识点】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题。
4．（2021春•义乌市期中）一本书有a页，一天看5页，看了b天，看了 5 b 页，还剩下 （ a ﹣ 5 b ）
页没看。
【思路引导】用每天看的页数乘看的天数，就是已经看的页数；总页数﹣已经看的页数＝剩下的页数。
【考查知识点】5×b＝5b
所以看了5b页，还剩下（a﹣5b）页没看。
故答案为：6b；（a﹣5b）。
【考查知识点】找出等量关系，是解答此题的关键。
5．三个连续的偶数，若最大的数是m，则最小的数是 （ m ﹣ 4 ） ，这三个数的平均数是 （ m ﹣ 2 ）
。
【思路引导】根据相邻偶数之间的差是2，可知三个连续的偶数，若最大的数是m，则中间的偶数是
（m﹣2），最小的偶数是（m﹣4）；用三个数的和除以3就是这三个数的平均数。
【考查知识点】m﹣2×2＝m﹣4
m+（m﹣2）+（m﹣4）＝3m﹣6
（3m﹣6）÷3
＝3（m﹣2）÷3
＝m﹣2
答：最小的数是（m﹣4），这三个数的平均数是（m﹣2）。
故答案为：（m﹣4），（m﹣2）。
【考查知识点】熟练掌握偶数的特征及平均数的意义是解决此题的关键。
6．（2021春•江都区期中）昆虫爱好者发现某地的蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间的近似关系是 h＝t÷7+3
（h表示摄氏温度，t表示每分钟叫的次数）。当气温达到28℃时，蟋蟀每分钟大约叫 17 5 次。【思路引导】把h＝28代入h＝t÷7+3，就可以求出蟋蟀每分钟大约叫多少次。
【考查知识点】h＝28代入h＝t÷7+3
t＝（28﹣3）×7
＝25×7
＝175（次）
所以当气温达到28℃时，蟋蟀每分钟大约叫175次。
故答案为：175
【考查知识点】代入求值，是解答此题的关键。
7．（2020秋•克东县期末）如果A×B＝0，那么A和B中至少有一个是0． √ ．（判断对错）
【思路引导】根据0的特殊性质：0乘任何数都得0；进行判断即可．
【考查知识点】因为0乘任何数都得0；
所以如果A×B＝0，那么A和B中至少有一个是0，说法正确；
故答案为：√．
【考查知识点】此题主要考查0的特殊性质，应熟练掌握．
8．（2020秋•怀安县期末）a2和2a表示的意义相同． × ．（判断对错）
【思路引导】根据平方的定义，乘法的定义即可作出判断．
【考查知识点】a2表示两个a相乘；2a表示a的2倍，故a2与2a表示的意义不相同．
故答案为：×．
【考查知识点】本题考查了用字母表示数中平方的意义，乘法的意义，是基础题型，比较简单．
9．（2020春•莘县期末）学校采购了20副乒乓球拍和15副羽毛球拍，一副乒乓球拍a元，一副羽毛球拍
b元．
（1）用含有字母的式子表示学校购买乒乓球拍和羽毛球拍一共花了多少钱？
（2）当a＝8，b＝12时，一共花了多少钱？
【思路引导】（1）一副乒乓球拍a元，20副乒乓球拍就是20a元，一副羽毛球拍b元，15副羽毛球拍
就是15b元，所以学校购买两种球拍一共花了（20a+15b）元；
（2）把a＝8，b＝12代入20a+15b即可求出当a＝8，b＝12时，一共花了多少钱。
【解答】（1）a×20+b×15＝（20a+15b）元
（2）20a+15b
＝20×8+15×12
＝340（元）
答：购买乒乓球拍和羽毛球拍一共花了（20a+15b）元；当a＝8，b＝12时，一共花了340元。【考查知识点】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表
示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
10．（2019•长沙）把一个棱长为a厘米的正方体削成一个最大的圆柱体.
（1）求这个圆柱体与正方体的体积比.
（2）求这个圆柱体与正方体的表面积比.
（3）你发现了什么？
【思路引导】把一个棱长a厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，底面直径就是正方体的棱长a，高就
是正方体的棱长，再根据圆柱体和正方体的体积和表面积公式进行分析解答，发现的问题是无论正方体
棱长改变时，圆柱体与正方体的体积比，圆柱体与正方体的表面积比不会改变。．
【考查知识点】（1）体积：圆柱体的体积： •（ ）2•a＝ a3；
π π
正方体的体积：a3；
圆柱体与正方体的体积比： a3：a3＝ ：4；
π π
（2）表面积：圆柱体的表面积：2• • •a+ •（ ）2×2＝ a2，
π π π
正方体的表面积：6a2．
圆柱体与正方体的表面积比： a2：6a2＝ ：4．
π π
（3）正方体棱长改变时，圆柱体与正方体的体积比，圆柱体与正方体的表面积比不会改变。
【考查知识点】此题主要考查把一个棱长a厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这圆柱体的底面直径
和高都应是正方体的棱长。
考点2：含字母式子的求值
11．（2021•薛城区模拟）在○里填“＞”“＜”或“＝”．
（1）当x＝4.8时，4.8﹣x○4.8；
（2）当x＝45时，x+30○70；
（3）当x＝0.8时，2.5x○2；
（4）当x＝7时，x÷7○49．
【思路引导】把x的值代入左边计算后，再与右边的数比较即可．
【考查知识点】（1）当x＝4.8时，
4.8﹣x
＝4.8﹣4.8＝0
0＜4.8，
所以4.8﹣x＜4.8；
（2）当x＝45时，
x+30
＝45+30
＝75，
75＞70，
所以x+30＞70；
（3）当x＝0.8时，
2.5x
＝2.5×0.8
＝2
所以2.5x＝2；
（4）当x＝7时，
x÷7
＝7÷7
＝1
1＜49
所以x÷7＜49．
故答案为：（1）＜；（2）＞；（3）2；（4）＜．
【考查知识点】本题考查了含字母式子求值，关键是把x的值代入左边计算．
考点3：等式的意义
12．（2021春•姜堰区期中）2a＝3b（a、b为非零自然数），根据等式的性质，下面等式（ ）不成立。
A．2a+10＝3b+10 B．0.6a＝0.9 b
C．10a＝12b+2a D．10a＝12b﹣2a
【思路引导】根据2a＝3b（a、b为非零自然数），可以得出a代表3份，b代表2份，把a和b值代入
下面的各选项中，求出左右含有字母是式子的值是否相等即可。
【考查知识点】A.2a+10＝2×3+10＝6+10＝16，3b+10＝3×2+10＝16，由此得出等式成立；
B.0.6a＝0.6×3＝1.8，0.9 b＝0.9×2＝1.8，式子的值相等，等式成立；
C.10a＝10×3＝30，12b+2a＝12×2+2×3＝30，式子的值相等，等式成立；D.10a＝10×3＝30，12b﹣2a＝12×2﹣2×3＝18，左右式子的值不相等，因此等式不成立。
故选：D。
【考查知识点】此题主要考查等式的意义。
13．（2019•岳阳模拟）下面的等式中，正确的是（ ）
A．a﹣b＝b﹣a B．a÷b＝b÷a
C．ab+ac＝a（b+c）
【思路引导】对选项逐个分析，找出正确的选项．
【考查知识点】A，a﹣b，b﹣a，当a和b不同时为0时两个算式不会相等，故本选项不正确；
B，a÷b＝ ，b÷a＝ ，当a和b不同时为1时两个算式不会相等，故本选项不正确；
C，ab+ac＝a（b+c），这是乘法分配律，等式成立，本选项正确．
故选：C．
【考查知识点】注意选项A和B，不是运算定律，不要当成了加法和乘法的交换律．
14．（2019•岳阳模拟）下面式子中不是等式的是（ ）
A．4x+8 B．3x+2＝6 C．5+7＝12
【思路引导】表示相等关系的式子叫做等式．由此进行选择．
【考查知识点】A、4x+8，只是含有未知数的式子，不是等式；
B、3x+2＝6，是等式；
C、5+7＝12，是等式；
故选：A．
【考查知识点】此题考查了等式的意义及辨析．
15．（2020秋•无棣县期中）如果甲×1.1＝乙÷1.1（甲、乙≠0）那么（ ）
A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定
【思路引导】因为甲×1.1＝乙÷1.1，即甲×1.1＝乙× ，而1.1＞ ，所以甲＜乙；由此做出选择．
【考查知识点】因为甲×1.1＝乙÷1.1，
即甲×1.1＝乙× ，
而1.1＞ ，所以甲＜乙；
故选：C．
【考查知识点】本题主要是灵活利用等式的意义解决问题．
16．男生人数+ 女生人数 ＝全班人数全班人数﹣男生人数＝ 女生人数
速度 ×时间＝路程 路程÷时间＝ 速度
用去的钱数+ 找回的钱数 ＝付出的钱数
付出的钱数﹣用去的钱数＝ 找回的钱数 ．
【思路引导】根据数量间的关系直接填空即可．
【考查知识点】男生人数+女生人数＝全班人数，全班人数﹣男生人数＝女生人数；
速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度；
用去的钱数+找回的钱数＝付出的钱数，付出的钱数﹣用去的钱数＝找回的钱数．
故答案为：女生人数，女生人数，速度，速度，找回的钱数，找回的钱数．
【考查知识点】根据常用的数量之间的关系直接填空即可．
17．在手工课上，有工人折纸飞机，编手链的同学比折纸飞机的 3倍还多5人。根据信息写出数量间的相
等关系： 编手链的同学＝折纸飞机同学的 2 倍 + 5 人 。
【思路引导】根据题意可知，题目中的相等关系是：编手链的同学＝折纸飞机同学的 2倍+5人；据此
解答即可。
【考查知识点】数量间的相等关系：编手链的同学＝折纸飞机同学的2倍+5人。
故答案为：编手链的同学＝折纸飞机同学的2倍+5人。
【考查知识点】本题主要考查了学生找题目中相等关系，然后根据相等数量关系列式解答的能力。
18．（2017秋•西城区期末）如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在○里填运算符号，在横
线里填数．
3a+6﹣5b○ 6
3a○ 5 ＝5b÷5
【思路引导】等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立．
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．据此解答．
【考查知识点】3a+6﹣5b＝6
3a÷5＝5b÷5
故答案为：＝，6，÷，5．
【考查知识点】此题考查等式的性质的灵活运用．
19．（2020春•渭滨区期末）等式两边都乘或除以同一个数，等式仍然成立． × ．（判断对错）
【思路引导】等式的性质：等式的两边同时加上、同时减去、同时乘上或同时除以一个数（0除外），
等式的左右两边仍相等；据此进行判断．【考查知识点】等式的两边只有同时加上、同时减去、同时乘上或同时除以一个数（0除外），等式的
左右两边仍相等；
所以等式两边都乘或除以同一个数，等式仍成立的说法是错误的．
故答案为：×．
【考查知识点】此题考查学生对等式性质内容的理解，要注意：当等式的两边同时除以一个数时，必须
得0除外，等式才仍然相等．
20．（2020春•綦江区期末）如果2x＝3b，那么6x＝12b．（x和b均不为0） × （判断对错）
【思路引导】根据等式的基本性质，等式两边同时乘（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立，由
此解答．
【考查知识点】2x＝3b，2x×3＝3b×3，
6x＝9b，原说法错误．
故答案为：×．
【考查知识点】此题考查了等式的性质的运用．
21．（2020春•盐城期中）等式两边同时乘同一个数，所得的结果仍然是等式． √ （判断对错）
【思路引导】根据等式的性质：等式的两边同时乘一个相同的数，等式仍然成立，据此判断即可．
【考查知识点】等式的两边同时乘一个相同的数，等式仍然成立，
故原题说法正确．
故答案为：√．
【考查知识点】本题考查了等式的意义，本题中只说了乘法，没有说除法，所以不用考虑0除外．
22．（2021春•南谯区校级期中）等式的两边同时乘或除以一个相同的数，所得结果还是等式． × ．
（判断对错）
【思路引导】根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立．
【考查知识点】等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个
数，必须得0除外，因为0做除以无意义；
故答案为：×．
【考查知识点】此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个相
同的数（0除外），等式仍然成立”．
23．（2020春•隆回县期末）等式的两边同时乘或除以同一个数，所得的结果仍然是等式． × ．（判断
对错）
【思路引导】根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立．
【考查知识点】等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个数，必须得0除外，因为0做除数无意义；
故答案为：×．
【考查知识点】此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个相
同的数（0除外），等式仍然成立”．
考点4：等式的性质
24．（2019秋•海珠区期末）根据等式的性质，由“（3x+5﹣a）×10＝（5y﹣a）×10”可以推出（ ）
A．3x+5＝5y B．3x＝y C．x＝y
【思路引导】根据等式的性质（3x+5﹣a）×10＝（5y﹣a）×10两边先同时除以10，可得3x+5﹣a＝5y
﹣a，两边同时再加a，即可求解。
【考查知识点】（3x+5﹣a）×10＝（5y﹣a）×10
（3x+5﹣a）×10÷10＝（5y﹣a）×10÷10
3x+5﹣a＝5y﹣a
3x+5﹣a+a＝5y﹣a+a
3x+5＝5y
故选：A。
【考查知识点】本题主要考查利用等式的性质解方程，结合方程给出的数据，然后再进一步解答。
25．等式两边都加上或减去 同一个数 ，等式仍然成立．
【思路引导】根据等式的性质，直接填空得解．
【考查知识点】等式两边都加上或减去 同一个数，等式仍然成立．
故答案为：同一个数．
【考查知识点】此题考查学生对等式性质性质内容的理解和记忆．
26．（2018春•获嘉县月考）在等式的两边同时乘或除以同一个不等于 0的数，所得结果仍然是等式．这
是 等式的基本性质 ．
【思路引导】等式的性质是指在等式的两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不等于0的数
所得结果仍然是等式．
【考查知识点】在等式的两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式，这是等式的基
本性质．
故答案为：等式的基本性质．
【考查知识点】此题考查学生对等式的基本性质的理解，要注意：同时乘或除以同一个数时，必须是 0
除外．
27．（2020秋•济南期末）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然相等． √（判断对错）
【思路引导】等式的性质：等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍
然成立；据此直接进行判断即可．
【考查知识点】等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，一定注意是同一个不为0的
数，所以此说法正确；
故判定为：√．
【考查知识点】此题考查等式的性质，要注意：除以一个相同的数时，必须此数不等于0．
28．（2014•庐江县）等式的两边同时乘或除以5，所得结果仍是等式． √ ． （判断对错）
【思路引导】根据等式的性质，可知在等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，所得等式才能仍是等
式；据此判断．
【考查知识点】等式的两边同时乘或除以5，所得结果仍是等式说法正确．
故答案为：√．
【考查知识点】此题考查等式的性质，要注意：除以一个相同的数时，必须此数不等于0．
考点5:方程的意义
29．（2019春•淮安期末）下面的式子中，（ ）是方程．
A．X+8 B．4y＝2 C．x+8＜15
【思路引导】方程是指含有未知数的等式．据此意义可知是方程必须含有未知数，且必须是等式．据此
逐项分析后再选择．
【考查知识点】A、x+8，只是含有未知数的式子，不是等式，所以不是方程；
B、4y＝2，是含有未知数的等式，是方程；
C、x+8＜15，是含有未知数的不等式，不是等式，所以不是方程．
故选：B．
【考查知识点】此题考查学生对方程意义的理解和运用，明确只有含有未知数的等式才是方程．
30．（2017•宿迁）下面的式子中不是方程的是（ ）
A．3x+1.9＝0 B．3m＝n C．X+1.9＞2.5 D．8x＝19
【思路引导】含有未知数的等式叫做方程；根据方程的意义逐项分析后再选择不是方程的选项．
【考查知识点】A、3x+1.9＝0，是含有未知数的等式，所以是方程．
B、3m＝n，是含有未知数的等式，所以是方程．
C、x+1.9＞2.5，虽含有未知数，但它是不等式，所以不是方程．
D、8x＝19，是含有未知数的等式，所以是方程．
故选：C．【考查知识点】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程，否则
就不是方程．
31．（2013•陆良县模拟）修一条公路，总长124千米，前20天修了15.5千米．照这样计算，修完这条公
路还要多少天？
想：照这样计算说明 工作效率 一定． 工作总量 和 工作时间 成比例．
解法一：设修完这条路还要x天才完成．
解法二：设修完这条路一共要x天．
【思路引导】根据“照这样计算”，说明是工作效率不变，工作总量和工作时间成正比例，用比例进一
步解答即可．
【考查知识点】（1）设修完这条路还要x天才完成，由题意得，
15.5：20＝（124﹣15.5）：x，
15.5x＝108.5×20，
15.5x＝2170，
x＝140；
（2）设修完这条路一共要X，由题意得，
15.5：20＝124：X，
15.5XZ＝124×20，
15.5X＝2480，
X＝160，
160﹣20＝140（天）．
答：修完这条路还要140天才完成．
【考查知识点】此题考查用比例解决实际问题，关键是根据工作效率不变，工作总量和工作时间成正比
例关系．
考点6：方程与等式的关系
32．（2019秋•巨野县期末）等式一定是方程． × （判断对错）
【思路引导】含有未知数的等式叫做方程；由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：
（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断．
【考查知识点】因为只有含有未知数的等式才是方程；
所以等式一定是方程的说法是错误的．
故答案为：×．
【考查知识点】此题主要考查方程的意义，明确方程必须具备两个条件：一含有未知数，二是等式．33．（2014秋•香洲区校级月考）一个商店原有120千克苹果，又运来了10筐苹果，每筐重a千克．
（1）用式子表示出这个商店里苹果重量的总数．
（2）根据这个式子，当a＝25时，商店一共有多少千克苹果？
【思路引导】（1）用原来的重量120千克，加上又运来10筐苹果的重量10×a＝10a千克；
（2）把a＝25时，代人式子求出来即可．
【考查知识点】（1）120+10a；
（2）当a＝25时，代人120+10a，
120+10×25
＝120+250
＝370（千克）；
答：商店一共有370千克苹果．
【考查知识点】解题关键是根据已知条件得出数量关系，然后根据数量关系代人计算即可．
考点7：方程的解和解方程
34．（2021春•姜堰区期中）若5x﹣6＝14，则3x的值是（ ）
A．4 B．12 C．10 D．15
【思路引导】根据等式的性质，先求出方程5x﹣6＝14的解，再把求出的解代入3x，解答即可。
【考查知识点】5x﹣6＝14
5x﹣6+6＝14+6
5x＝20
5x÷5＝20÷5
x＝4
把x＝4代入3x得：
3×4＝12
故选：B。
【考查知识点】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
35．（2020秋•济南期末）下列各方程中，（ ）的解与2.5n﹣1＝6的解不同。
A．2.5n＝7 B．2.5n﹣2＝5 C．5n﹣1＝12
【思路引导】根据等式的基本性质，将已知方程进行变换，然后与选项中的方程进行比较，看未知数系
数相等时，方程的另一边是否相等，即可判断。
【考查知识点】A：方程两边同时乘减去1，得2.5n﹣1＝6，与方程2.5n﹣1＝6相同，故A不符合题意；
B：方程两边同时加上1，得2.5n﹣1＝6，与方程2.5n﹣1＝6相同，故B不符合题意；C：方程两边同时加上1，再两边同时除以2，得2.5n＝6.5，与方程2.5n﹣1＝6不同，所以C符合题意。
故选：C。
【考查知识点】本题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，需要学生熟练掌握等式的基本性质，并
能灵活运用。
36．（2021春•连云港期中）x＝6不是下列方程（ ）的解。
A．x+0.2＝8 B．15﹣x＝9
C．2x+1.5＝13.5
【思路引导】把x＝6代入A、B、C、D各个选项的方程中，哪一个选项的方程两边的值不相等，就选
哪一个即可。
【考查知识点】把x＝6分别代入A、B、C、D各个选项的方程中：
A：左边＝6+0.2＝6.2，右边＝8
左边≠右边，
所以x＝6不是方程x+0.2＝8的解；
B：左边＝15﹣6＝9，右边＝9
左边＝右边，
所以x＝6是方程15﹣x＝9的解；
C：左边＝2×6+1.5＝13.5，右边＝13.5
左边＝右边，
所以x＝6是方程3+0.5x＝6的解。
故选：A。
【考查知识点】这道题主要考查学生解方程的能力和对“方程的解”意义的理解。
37．（2021春•南谯区校级期中）方程38﹣2x＝30的解是（ ）
A．x＝34 B．x＝4 C．无法确定 D．x＝34
【思路引导】根据等式的基本性质，方程两边同时加2x，再同时减去30，最后同时除以2，解出方程的
解是4。
【考查知识点】38﹣2x＝30
38﹣2x+2x＝30+2x
38﹣30＝30﹣30+2x
2x＝8
x＝4故选：B。
【考查知识点】此题主要考查利用等式的基本性质求出方程的解。
38．（2020秋•白云区期末）如果在等式2x＝8的左右两边同时加上5，（ ）
A．x值仍然等于4 B．x值会增加5
C．x值会减少5 D．x值是原来的5倍
【思路引导】首先根据等式的性质，2x＝8的左右两边同时除以2，求出x的值等于4；然后根据等式的
性质，可得：如果在等式2x＝8的左右两边同时加上5，x值仍然等于4。
【考查知识点】2x＝8
2x÷2＝8÷2
x＝4
根据等式的性质，可得：如果在等式2x＝8的左右两边同时加上5，x值仍然等于4。
故选：A。
【考查知识点】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时
乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
39．（2020秋•公主岭市期末）x＝（ ）时，5.4x+x＝12.8。
A．0.2 B．2 C．20
【思路引导】首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以6.4即可。
【考查知识点】5.4x+x＝12.8
6.4x＝12.8
6.4x÷6.4＝12.8÷6.4
x＝2
所以x＝2时，5.4x+x＝12.8。
故选：B。
【考查知识点】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时
乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
40．（2021•深圳模拟）解方程：3x﹣1+13＝14。
【思路引导】先化简左边，再根据等式的性质，方程两边同时减去12，然后两边再同时除以3即可。
【考查知识点】3x﹣1+13＝14
3x+12＝14
3x+12﹣12＝14﹣12
3x＝23x÷3＝2÷3
x＝
【考查知识点】此题考查了运用等式的性质解方程，解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐。
41．（2021春•土默特左旗校级期中）解方程．
x÷4.2＝2
5x+7＝42
3.6x﹣x＝3.25
2（x﹣3）＝5.8．
【思路引导】①x÷4.2＝2根据等式的基本性质方程左右两边同时乘4.2，依此进一步求解；
②5x+7＝42根据等式的基本性质方程左右两边同时减去 7，再在方程左右两边同时除以5，依此进一
步求解；
③3.6x﹣x＝3.25先化简方程为2.6x＝3.25，再在方程左右两边同时除以2.6，依此进一步求解；
④2（x﹣3）＝5.8先化简方程为x﹣3＝2.9，再在方程左右两边同时加上3，依此进一步求解．
【考查知识点】①x÷4.2＝2
x÷4.2×4.2＝2×4.2
x＝8.4
②5x+7＝42
5x+7﹣7＝42﹣7
5x＝35
5x÷5＝35÷5
x＝7
③3.6x﹣x＝3.25
2.6x＝3.25
2.6x÷2.6＝3.25÷2.6
x＝1.25
④2（x﹣3）＝5.8
x﹣3＝2.9
x﹣3+3＝2.9+3x＝5.9
【考查知识点】此题考查了利用等式的基本性质解方程，即“方程的两边同时加上或减去相同的数，同
时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立”，解答此题的关键是先化简方程．
考点8：列方程解应用题（两步需要逆思考）
42．桃树有45棵，比杏树的棵数的1.5倍还多3棵.杏树有多少棵？设杏树有x棵。下列方程正确的是（
）
A．1.5x﹣3＝45 B．1.5x+3＝45 C．1.5x＝45 D．3x﹣1.5＝45
【思路引导】设杏树有x棵，依题意可知：桃树的棵树为（1.5x+3）棵，根据关系式：桃树的棵树＝杏
树的棵树×1.5+3，据此列方程解答。
【考查知识点】设杏树有x棵。
1.5x+3＝45
故选：B。
【考查知识点】完成这类题的关键是认真观察图，找准数量关系式，即：桃树的棵树＝杏树的棵树
×1.5+3。
43．（2020秋•淮安区期末）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少
60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（ ）
A．x+2x＝1200﹣60 B．2x﹣60＝1200
C．x+2x﹣60＝1200
【思路引导】根据文艺书本数比科技书的2倍少60本，则数量关系是科技书的本数×2﹣60＝文艺书的
本数，又知道购买科技书和文艺书共1200本，则文艺书的本数+科技书的本数＝1200本，设买来的科
技书有x本，则买来文艺书有（2x﹣60）本，据此列方程解答。
【考查知识点】设买来的科技书有x本，则买来文艺书有（2x﹣60）本，
x+2x﹣60＝1200
3x﹣60＝1200
3x＝1260
x＝420
答：买来科技书420本。
故选：C。
【考查知识点】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列
方程解决问题。
44．（2021春•连云港期中）看图列方程并解答。（1）平行四边形的面积是18平方厘米。
（2）梯形的面积是20平方厘米。
【思路引导】（1）根据图意可知，平行四边形的底是6厘米，高是x厘米，面积是18平方厘米，根据
平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，列方程解答即可。
（2）根据图意可知，设梯形的上底是x厘米，下底是7厘米，高是4厘米，面积是20平方厘米，则根
据梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2＝梯形的面积，列出方程解决问题。
【考查知识点】（1）6x＝18
6x÷6＝18÷6
x＝3
答：这个平行四边形的高是3厘米。
（2）（x+7）×4÷2＝20
（x+7）×4＝40
x+7＝10
x＝3
答：梯形的上底是3厘米。
【考查知识点】此题考查的目的是理解掌握平行四边形、梯形的面积公式，以及解方程的方法步骤，熟
记公式是解答本题的关键。
45．（2021春•南京期中）甲、乙两个公司合修一条7500米长的路段，同时各从一端修建，预计250天修
好。甲公司平均每天修16.5米，乙公司每天修多少米？（列方程解答）
【思路引导】设乙公司每天修x米，根据题意可知：（甲每天修的路程+乙每天修的路程）×时间＝总路
程，据此列方程解答。
【考查知识点】乙公司每天修x米。
（16.5+x）×250＝7500
16.5+x＝30x＝13.5
答：乙公司每天修13.5米。
【考查知识点】完成此题的关键是认真读题，找准关系式，即：工作效率之和×时间＝总路程。
46．（2020秋•新华区期末）李老师带53名同学去划船，一共租了7条大船和3条小船，刚好坐满。每条
大船比每条小船多坐2人，每条大船能坐多少人？
【思路引导】根据题干，设每条小船坐x人，则每条大船坐（x+2）人，根据乘法的意义，用每条船乘
坐的人数乘大船、小船各自的条数，分别表示出大船、小船船乘坐的人数，再根据大船坐的人数+小船
坐的人数＝总人数，据此列出方程解决问题。
【考查知识点】设每条小船坐x人，则每条大船坐（x+2）人，
3x+7（x+2）＝54
3x+7x+14＝54
10x＝54﹣14
10x＝40
x＝4
4+2＝6（条）
答：每条大船能坐6人。
【考查知识点】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列
方程解决问题。
47．（2021•惠山区模拟）太阳系的九大行星中，离太阳最近的是水星．地球绕太阳一周是365天，比水星
绕太阳一周所用时间的5倍少75天．水星绕太阳一周是多少天？（用方程解答）
【思路引导】根据题干，设水星绕太阳一周是x天，则根据等量关系：水星绕太阳一周所用天数×5＝地
球绕太阳一周的365天+75天，据此列出方程即可解答问题．
【考查知识点】设水星绕太阳一周是x天，根据题干分析可得：
5x＝365+75
5x＝440
x＝88
答：水星绕太阳一周是88天．
【考查知识点】解答此题容易找出基本数量关系：这个数×3﹣148＝482，由此列方程解决问题．
48．（2021春•栾川县校级期中）看图列方程，并求解．【思路引导】（1）三角形中，底边上的高为1.1米，底边长为x米，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，
面积是27.5平方米，列方程为 1.1×x＝27.5，解答即可．
（2）根据线段图，大米的重量为x吨，则面粉的重量是大米的3倍多20吨，是110吨，由此列出方程：
3x+20＝110，解答即可．
【考查知识点】（1）1.1×x＝27.5÷2
1.1x＝27.5÷2
x＝12.5
答：平行四边形的底为12.5米．
（2）3x+20＝110
3x＝90
x＝30
答：大米的重量是30吨．
【考查知识点】此题考查了学生看图列方程解方程的能力．在解方程时，一定要根据等式的性质．
49．（2020秋•海安市期末）一个人从县城骑车去乡村．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路
程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，
需要再骑2千米才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程．
【思路引导】我们设原来的速度为x米/分．30x是全程的一半，（x+50）×20+2000，表示路程的一半，
列方程求出原来的速度，再乘以30分钟就是路程的一半，乘以2就是全程的路程．
【考查知识点】设原来的速度是每分钟行x米，根据题意列方程得：
30x＝（x+50）×20+2000
30x＝20x+1000+2000
10x＝3000
x＝300，
300×30×2＝18000（米）＝18（千米）．答：县城到乡村的总路程是18千米．
【考查知识点】本题运用方程求出原来的速度，再运用“速度×时间＝路程”求出全程的路程．
50．（2020秋•磐石市期末）一只喜鹊的体重是107克，比世界上最小的鸟蜂鸟的体重的50倍还多2克，
蜂鸟的体重是多少克？（用方程解）
【思路引导】设蜂鸟的体重是x克，根据等量关系：蜂鸟的体重×50+2克＝一只喜鹊的体重107克，列
方程解答即可．
【考查知识点】设蜂鸟的体重是x克，
50x+2＝107
50x＝105
x＝2.1，
答：蜂鸟的体重是2.1克．
【考查知识点】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：蜂鸟的体重×50+2克＝一只喜鹊的
体重107克，列方程
