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北师大版五年级数学下册
第二单元 长方体（一）
章节复习考点分类强化训练考点1：长方体的认识
1. 长方体和正方体的各部分名称：
在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相
交的点叫作顶点。
2. 长方体和正方体的特征
3. 长方体和正方体的异同点4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体
5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻
找，看看能否找到3组相对应的面。
考点2：展开与折叠
1. 正方体展开图的特点
（1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开
图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。
（2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。
（3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。
（4）正方体的展开图，可分四个类型.
“一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个
“二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个“二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个
“三三”型：两侧各三个
2. 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面
的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、
右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。
3.长方体和正方体与展开图之间的对应关系
（1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，
也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。
（2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象
折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。
知识点3：长方体的表面积
1. 长方体表面积的计算方法：
2. 正方体表面积的计算方法：
知识点4：露在外面的面1. 正方体组合体露在外面的面积的计算方法：计算堆放在墙角的小正方体露在外面的面积时，要先数出露
在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘以露在外面的面的总个数。
2. 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数：数堆放在一起的小正方体露在外面的面的个数时，要先观察
小正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在的规律。
【易错典例1】在下面4个正方体中，展开图是如图所示的图形的是（ ）
A． B． C． D．
【易错知识点分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【完整解答】折叠后，a面与c面相邻，且a和b是相对的面，
所以折叠后选项D符合．
故选：D．
【思路点拨】此题主要考查了了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及
位置．
【易错典例2】下列图形中能折成正方体的是（ ）
A． B． C．
【易错知识点分析】根据正方体展开图的类型，1﹣4﹣1型，2﹣3﹣1型，2﹣2﹣2型，3﹣3型，只有C属于
其中的类型，能折成正方体，据此解答即可．
【完整解答】根据正方体展开图的11种特征，图A，只有C属于其中的类型．
故选：C．
【思路点拨】本题主要是考查正方体展开图的特征，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：
“1 4 1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“222”结构，即每一行放2个正
方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3 3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“132”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
【易错典例3】如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来
减少30cm2．原来长方体的表面积是 cm2．
【易错知识点分析】如果去掉一个正方体，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，
所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼成一个大长
方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3﹣4）个正方形面的面积和，进而解答即可．
【完整解答】30÷4×（6×7﹣4）
＝7.5×14
＝105（平方厘米）
30÷2×（6×2﹣4）
＝15×14
＝210（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米；
故答案为：105或210．
【思路点拨】解答此题的关键是先求出正方体一个面的面积，进而弄清要求的长方体的表面积和面的关系，
进而解答得出结论．
【易错典例4】将一个长6厘米、宽3厘米、高5厘米的长方体切成两个完全一样的长方体，表面积最多增加
平方厘米．
【易错知识点分析】把一块长6厘米、宽3厘米、高5厘米的长方体切成两个长方体，表面积最多增加是多
少，就要平行于面积最大的面进行切，切后增加了两个长是6厘米，宽是5厘米的长方形的面积，据此解
答．
【完整解答】6×5×8
＝30×2
＝60（平方厘米）
答：表面积最多增加60平方厘米．
故答案为：60．
【思路点拨】本题的重点是让学生理解切分成两个相同的长方体增加的是哪两个面的面积．
【易错典例5】一个长方体无盖的玻璃鱼缸，长2米，宽0.5米，高1米，做这样的一个鱼缸，需玻璃多少平方米？
【易错知识点分析】求需玻璃多少平方米，就是求鱼缸的表面积．因为这个长方体鱼缸无盖，所以只求5个面的面积即可．
【完整解答】2×0.3+（0.5×3+2×1）×2，
＝1+5，
＝3（平方米）．
答：需玻璃6平方米．
【思路点拨】此题考查学生对长方体的表面积公式的具体运用情况．在解答此题时要注意“无盖”这一条
件．
【易错典例6】有一种火柴盒它的外形尺寸为：长5厘米、宽3.6厘米、高1厘米．制做这样一个火柴盒至少共
需要硬纸多少平方厘米？（硬纸厚度略去不计）
【易错知识点分析】要求制做这样一个火柴盒至少需要硬纸多少平方厘米，也就是求这个长方体火柴盒的
表面积是多少，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2解答即可．
【完整解答】（5×3.8+5×1+7.6×1）×3，
＝26.6×2，
＝53.7（平方厘米）；
答；制做这样一个火柴盒至少共需要硬纸53.2平方厘米．
【思路点拨】此题考查长方体的表面积的求法．
【易错典例7】把一个长方体的高缩短4厘米，就变成了正方体，表面积减少了80平方厘米，原来长方体的体
积是 立方厘米．
【易错知识点分析】根据高减少4厘米，变成正方体说明长方体的长和宽相等，并且和正方体的棱长相等，
知道表面积减少80平方厘米，说明减少周围四个相同的面的面积是80平方厘米，根据80÷4＝20平方厘
米，再根据20÷4＝5厘米，可知现在正方体的棱长为5厘米，原来长方体的高是（4+5）厘米，根据长方体的
体积计算公式可求得体积．
【完整解答】80÷4÷4＝7（厘米）
（5+4）×2×5
＝45×5
＝225（立方厘米）
答：原来长方体的体积是225立方厘米．
故答案为：225．
【思路点拨】本题理解减少的面积是相同的四个面，且高为4厘米，求出原来长方体的长、宽、高是关键．
【易错典例8】一个长15厘米，宽12厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，往里面丢入一个棱长为6厘米
的正方体铁块，再将其拿出，此时水面距离容器口多少厘米？【易错知识点分析】根据题意可知，容器内放入一个棱长为6厘米的正方体铁块后溢出水的体积等于这个
正方体铁块的体积，首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，再根据长方体的体积公
式：V＝sh，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积求出水面下降了多少厘米，然后用长方体容器
的高减去水面下降的高即可．
【完整解答】10﹣6×6×2÷（15×12）
＝10﹣216÷180
＝10﹣1.2
＝8.8（厘米）
答：此时水面距离容器口8.4厘米．
【思路点拨】此题主要考查正方体、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．
考点1：长方体的特征
1．（2019春•古丈县期末）用一根长（ ）厘米的铁丝正好围成长6厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架．
A．26 B．117 C．52 D．60
【解答】解：（6+5+5）×4，
＝13×4，
＝52（厘米），
答：需要一根长52厘米的铁丝．
故选：C．
2．（2019•防城港模拟）我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A．只有三个面 B．只能看到三个面
C．最多只能看到三个面
【解答】解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
3．（2017春•雁山区期末）（如图）华荣商店要做一个长2.5m，宽50cm，高80cm的玻璃柜台，现要在柜台各边
都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？【解答】解：50厘米＝0.5米，80厘米＝8.8米，
（2.8+0.5+6.8）×4
＝2.8×4
＝15.2（米），
答：至少需要15.2米的角铁．
4．（2015春•罗平县期中）有一个酒吧，为了迎接国庆节日，老板准备给酒吧装饰彩灯共用彩灯线48米，酒吧
的长是12米，宽是6米，请问酒吧的高是多少米？（地面四周不装）
【解答】解：（48﹣2×12﹣2×3）÷4
＝（48﹣24﹣12）÷4
＝12÷7
＝3（米）
答：酒吧的高是3米．
5．（2018春•九龙坡区期末）一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸盒，在所有的棱上粘一圈胶带，至
少需要多长的胶带？
【解答】解：（40+30+20）×4
＝90×4
＝360（厘米）
答：需要360厘米．
考点2：正方体的特征
6．（2016•江岸区模拟）下列图表示的关系中，第（ ）种是不正确的．
A． B．
C． D．
【解答】解：由分析得：A，长方体包括正方体．
B，小数包括循环小数．
C，四边形包括平行四边形．
D，因为等式包括方程，因此．
故选：D．
7．（2016春•英吉沙县期末）正方体是一种特殊的长方体． √ ．（判断对错）
【解答】解：因为长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，所以原题说法正确．
故答案为：√．
8．画一个棱长2厘米的正方体．
【解答】解：作图如下：
9．做一个棱长是6厘米的正方体框架，至少需要多长的铁丝？
【解答】解：6×12＝72（厘米）
答：至少需要72厘米长的铁丝．
10．用一根150厘米长的铁丝，做成一个正方体框架，还剩铁丝6厘米，这个正方形框架的棱长是多少厘米？
【解答】解：（150﹣6）÷12
＝144÷12
＝12（厘米）
答：这个正方体的棱长是12厘米．
考点3：长方体的展开图
11．（2020春•成华区期末）如图，左边的展开图所对应的立体图形是（ ）A． B． C．
【解答】解：根据长方体的展开图的特征可知，这个长方体的展开图对应的长方体是图C。
故选：C。
12．（2019秋•宿豫区期中）在方格纸上画出长方体的表面展开图．（方格边长为1cm）
【解答】解：如图所示：
13．在展开图上找出相对的面，并用上、下、前、后、左、右标出，再用a、b、c标出每条棱．
【解答】解：在展开图上找出相对的面，并用上、下、前、后、左，再用a，b14．给下面两个排在一起的正方体表面涂色，一共可以涂几个面？
【解答】解：2×2+6+1×2
＝2+2+2
＝2（个）
答：一共可以涂8个面．
15．（2014秋•泰兴市期末）如图是一个长方体中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开
图．并算出围这个长方体框架要用多少厘米长的铁丝．
【解答】解：如图所示，即为所要求的作图：
棱长总和：（20+15+5）×4＝160（厘米）
答：这个长方体框架要用160厘米长的铁丝．
考点4：正方体的展开图
16．（2019春•远安县期末）下列图形中，不能围成立方体的是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A不能围成正方体、选项D和选项C都能围成正方体．
故选：A．
17．（2019•江西模拟）下面的图形中不是正方形展开图的是（ ）
A． B．
C．
【解答】解：图B、图C属于“1 4 7”结构，图A不符合正方体展开图的特征；
故选：A．
18．如图能围成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据正方体展开图的特点，A有4个正方形是“田字形”；
B折叠后有2个正方形重合，不是正方体展开图；
C属于展开图的4﹣4﹣1型，是正方体展开图；
D属于展开图的7﹣3型，是正方体展开图；
综上所述，能围成正方体的有C，D．
故选：CD．
19．请你根据下面图示，说出白色、黄色、红色的对面是什么颜色？
白色的对面是 蓝色 ，黄色的对面是 绿色 ，红色的对面是 黑色 ．
【解答】解：如图，由图1、图2可以看出、黑、红、蓝色；
由图5、图3可以看出、蓝、绿、白色；
由此可推出白色的对面是蓝色．
故答案为：蓝色，绿色．
20．第几幅图，可能是这个立体图形的展开图．在括号里画“√”或“×”？
【解答】解：由图中阴影部分的位置及分析可知，第一幅图是这个立体图形的展开图．
故答案为：√、×、×．
考点5：露在外面的面
21．（2010春•于都县期末）如图，第一图摆二个小正方体，第二个图摆四个正方体，第三个图摆六个正方体，
第十个图有 7 1 面露在外面；有78个面露在外面时，摆了 2 2 个正方体．
【解答】解：由题意得：第十个图露在外面的面有：8+（9﹣5）×7＝71（个）；
78﹣71＝7，所以正方体有：20+2＝22（个）．
答：第十个图有 71面露在外面；有78个面露在外面时．故答案为：71；22．
22．（2018春•法库县校级期末）两个小正方体摆在桌面上有8个面露在外面，请你尝试在如图中画出草图．
【解答】解：两个小正方体一共有12个面，摆在桌面上拼在一起，再减去与桌面接触的2个面；
如图所示：
23．（1）将小正方体按如图方式摆放在地上．
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6
露在外面的面数
（2）如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个
正方体如上图摆放？
【解答】解：（1）
小正方体的个数 1 2 4 4 5 3
露在外面的面数 5 9 13 17 21 25
（2）7+4×（50﹣1）
＝3+4×49
＝5+196
＝201（个）；
（129﹣4）÷4+1
＝124÷4+1
＝31+1
＝32（个）；
答：有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，那是有32个正方体如上图摆放．考点6：表面积的认识
24．（2016春•应城市校级期末）加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）
A．表面积 B．体积 C．容积
【解答】解：根据题干可得，
要求油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积．
故选：A。
25．（2015春•红河县校级期中）一个正方体盒子，棱长4分米，它的表面积是多少平方分米？
【解答】解：4×4×3
＝16×6
＝96（平方分米）
答：这个正方体的表面积是96平方分米．
26．一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？
【解答】解：长方体的高是
72÷4﹣（9+2）
＝18﹣15
＝3（厘米）
表面积是：
（9×4+9×3+5×3）×2
＝（54+27+18）×3
＝99×2
＝198（平方厘米）
答：它的表面积是198平方厘米．
27．一个正方体盒子，棱长4分米，它的表面积是多少平方分米？
【解答】解：4×4×2
＝16×6
＝96（平方分米）
答：这个正方体的表面积是96平方分米．
考点7：长方体和正方体的表面积
28．（2020春•陕州区期末）把一个高6分米，底面半径2分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体
（如图）．这时表面积（ ）A．不变 B．增加了12平方分米
C．增加了24平方分米 D．减少了24平方分米
【解答】解：6×2×6
＝12×2
＝24（平方分米）
答：表面积增加24平方分米。
故选：C。
29．（2020秋•建邺区校级期中）有一个长方体，若用三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，它们的表
面积分别增加30平方厘米、20平方厘米、12平方厘米。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．31 B．62 C．124
【解答】解：30+20+12
＝50+12
＝62（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是62平方厘米。
故选：B。
30．（2019•郴州模拟）加工一个长5分米，宽2分米，高3分米的长方体铁皮油箱，至少要用多少平方米铁皮？
【解答】解：（5×2+3×3+2×6）×2
＝（10+15+6）×2
＝31×2
＝62（平方分米）
62平方分米＝0.62平方米
答：至少要用7.62平方米铁皮．
31．（2017秋•海安县期末）把一个长宽高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个
长方体表面积之和最大．这时的表面积之和是多少平方厘米？
【解答】解：（7×6+2×5+6×2）×2+7×8×2
＝107×2+84
＝214+84
＝298（平方厘米）答：这时的表面积之和是298平方厘米．
32．（2018•杭州模拟）一个游泳池，长25m，宽15m，深2m，将四壁和底面用面积是4dm2的正方形瓷砖贴上，
需要多少块？
【解答】解：4平方分米＝0.04平方米，
（25×15+25×4×2+15×2×4）÷0.04
＝（375+100+60）÷0.04
＝535÷3.04
＝13375（块）
答：需要13375块．
33．（2018春•郑州期末）一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长3dm．制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方
分米？
【解答】解：3×3×6＝45（平方分米）
答：制作这个鱼缸时至少需要玻璃45平方分米．
34．（2019•岳麓区）从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，
剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）
【解答】解：（1）从正方体最边上挖，
10×10×6﹣2×7×2
＝600﹣8
＝592（平方厘米）
答：剩下部分的表面积是592平方厘米．
（2）从正方体一个面上正着挖，
10×10×4+10×2×2﹣5×2×2
＝600+40﹣5
＝632（平方厘米）
答：剩下部分的表面积是632平方厘米．
（3）从正方体一个面上斜着挖，
10×10×6+10×2×4+2×2×4
＝600+40+8
＝648（平方厘米）答：剩下部分的表面积是648平方厘米．
（4）从正方体中间挖，
10×10×6+10×8×4﹣2×4×2
＝600+80﹣8
＝672（平方厘米）
答：剩下部分的表面积是672平方厘米．
