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第二十四章 圆（14 大压轴考法 50 题专练）
目录
题型一：垂径定理............................................................................................................1
题型二：垂径定理的应用.................................................................................................4
题型三：圆心角、弧、弦的关系.......................................................................................7
题型四：圆周角定理........................................................................................................9
题型五：圆内接四边形的性质........................................................................................14
题型六：点与圆的位置关系......................................................................................17
题型七：三角形的外接圆与外心..............................................................................21
题型八：直线与圆的位置关系........................................................................................31
题型九：切线的性质......................................................................................................35
题型十：切线的判定......................................................................................................40
题型十一：切线的判定与性质........................................................................................45
题型十二：三角形的内切圆与内心.................................................................................52
题型十三：正多边形和圆 59
题型十四：扇形面积的计算............................................................................................62
一．垂径定理
1．（2023秋•六安期中）如图，在 中，已知 是直径， 为 上一点 不与 、 两点重合），
弦 过 点， ．
（1）若 ， ，则 的长为 ；
（2）当 点在 上运动时（保持 不变），则 ．2．（2023秋•萨尔图区校级期中）如图， 是 弦 的中点， 是 上的一点， 与 交于点
，已知 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）当 时，求 的长．
3．（2023秋•湖北期中）如图，在 中，直径 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
二．垂径定理的应用
4．（2023秋•西平县期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 米，拱高 米．
（1）求圆弧所在的圆的半径 的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即 米时，是否要
采取紧急措施？5．（2023秋•江都区期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦 的垂直平分线交弧 于点 ，交弦
于点 ．已知： ， ．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
6．（2023秋•大丰区期中）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽 为
（如图），桥拱最高处离水面 ．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为 ，问水面涨高了多少？
三．圆心角、弧、弦的关系
7．（2023秋•海曙区期中）如图， 是 的直径， 是 的中点， 于点 ， 交 于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径及 的长．8．（2023秋•绍兴期中）如图，在 中，弦 、 相交于点 ，连接 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）如果 的半径为5， ， ，求 的长．
四．圆周角定理
9．（2023秋•源汇区校级期中）如图，点 在半圆 上，半径 ， ，点 在弧 上移动，
连接 ， 是 上一点， ，连接 ，点 在移动的过程中， 的最小值是
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2023 秋•大丰区期中）如图，在 中，点 是劣弧 的中点，点 在劣弧 上，且
， 于 ，当 ，则 ．
11．（2023秋•路南区期中）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ， ， 是 上
的一个动点，连接 ．过点 作 于 ，连接 ，则 的最小值是 ．12．（2023秋•梁溪区校级期中）关于 的方程 ，如果 、 、 满足 且 ，
那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾股方程”： ；
（2）求证：关于 的“勾股方程” 必有实数根；
（3）如图，已知 、 是半径为 1 的 的两条平行弦， ， ，且关于 的方程
是“勾股方程”，求 的度数．
五．圆内接四边形的性质
13．（2023秋•源汇区校级期中）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上一点，连接 、
，若 ，求证： 平分 ．14．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形 是 的内接四边形，点 是 延长线上的一点，
且 平分 ， 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
15．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ．
（1）判断 的形状并证明你的结论；
（2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由．
（3）求证： ．
六．点与圆的位置关系
16．（2023秋•宿城区期中）如图， 是 的直径，点 在 上， ，垂足为 ， ，
点 是 上的动点（不与 重合），点 为 的中点，若在 运动过程中 的最大值为4，则 的
值为A． B． C． D．
17．（2023秋•东台市期中）在矩形 中， ， ，点 是平面内一动点，且满足 ，
为 的中点，点 运动过程中线段 长度的取值范围是 ．
18．（2023秋•仙居县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 是以 ， 为圆心，1为半径的
上的一个动点，已知 ， ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
七．三角形的外接圆与外心
19．（2023秋•江阴市校级期中）如图， 为等边 的外心，四边形 为正方形．现有以下结论：
① 是 外心； ② 是 的外心；③ ；④设 ，则 ；⑤若点
， 分别在线段 ， 上运动（不含端点），随着点 运动到每一个确定位置时， 的周长都
有最小值， ．其中所有正确结论的序号是A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤
20．（2023秋•湖里区校级期中）如图，已知点 是 外接圆 上的一点， 于 ，连接
，过点 作直线 交 于 ，交 于 ，若点 是弧 的中点，连接 ， ，
（1）求证： ；
（2）若 ，试探究 与 之间的数量关系，并证明．
21．（2023秋•六安期中）如图，等腰 内接于 ， 的垂直平分线交边 于点 ，交 于 ，
垂足为 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．22．（2023 秋•竹山县期中）如图，等腰 内接于 ， ，点 为劣弧 上一点，
．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
23．（2023 秋•集美区校级期中）如图 1， 中， ， 是 的外接圆，过点 作
，交 于点 ，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，点 在线段 上，且 ， 是 的中点，连接 ，若 ，
，求 的半径．八．直线与圆的位置关系
24．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、
，半径为2的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每秒 个单位长度的速度沿
射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与坐标轴相切．
25．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线 的解析式为
．若直线 与半圆只有一个交点，则 的取值范围是 ．26．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 ，
垂足为点 ， 平分 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， 的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．
九．切线的性质
27．（2023秋•西城区校级期中）如图，过点 作 的切线 ， ，切点分别是 ， ，连接 ．
过 上一点 作 的切线，交 ， 于点 ， ．若 ，△ 的周长为4，则 的长为
A．2 B． C．4 D．
28．（2023秋•房县期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 ， 交于点
，过点 作 的切线 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为4， ，求阴影部分的面积．29．（2023秋•青县校级期中）已知：如图 是 的直径， 是弦，直线 是过点 的 的切线，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
30．（2023秋•东昌府区校级期中）如图， 是 的直径，点 和点 是 上的两点，过点 作
的切线交 延长线于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 半径的长．31．（2023秋•海门市校级期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点
作 的切线 ，交 于点 ， 的反向延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为10，求 的长度．
十．切线的判定
32．（2023秋•新会区校级期中）如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分 ，
，垂足为 ， 交 于 ，连接 ．
（1）判断 与 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 是弧 的中点， 的半径为5，求图中阴影部分的面积．33．（2023秋•陕州区期中）如图， 为正方形 对角线上一点，以点 为圆心， 长为半径的
与 相切于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若正方形 的边长为10，求 的半径．
34．（2023秋•新会区校级期中）如图，已知 是 外一点， 交圆 于点 ， ，弦
，劣弧 的度数为 ，连接 ．
（1）求 的长；
（2）求证： 是 的切线．十一．切线的判定与性质
35．（2023秋•铁山区期中）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 ，且 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
36．（2023秋•麒麟区校级期中）如图， ， 是 的弦， 平分 ．过点 作 的切线交
的延长线于点 ，连接 ． 延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．37．（2023秋•玉环市校级期中）如图， 是 的直径，点 是 上一点， 的平分线 交
于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长度．
38．（2023秋•惠阳区校级期中）如图 是 的外接圆， ，延长 于 ，连接 ，
使得 ， 交 于 ．
（1）求证： 与 相切；（2）若 ， ．求 的半径和 的长度．
39．（2023 秋•中山市期中）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， ，
．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 的半径为2，求 的长．
40．（2023秋•广阳区校级期中）在等腰 中， ，以 为直径的 分别与 ， 相交
于点 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）分别延长 ， ，相交于点 ， ， 的半径为6，求阴影部分的面积．
十二．三角形的内切圆与内心
41．（2023秋•怀仁市校级期中）如图，点 是 的内心，也是 的外心．若 ，则
的度数是
A． B． C． D．
43．（2023秋•五莲县期中）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，
与 相交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点 为
的中点，则 ；④ ．其中一定正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
43．（2023秋•东港区校级期中）在 中， ， ， ，直线 经过 的内
心 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是 ．44．（2023秋•玄武区期中）如图，在 中， ， ， 是 的内切圆，与边 ，
分别相切于点 ， ， 与 的延长线交 于点 ，则 ．
45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 为 的直径， 、 为 的切线， 、 为切点，连
接 、 ， 交 于点 ， 交 于 ， 的延长线交 于点 ，以下结论：① ；
②点 为△ 的内心； ③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有
．
十三．正多边形和圆
46．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为 的正八边形 中，已知 ， ， ， 分别是
边 ， ， ， 上的动点，且满足 ，则四边形 面积的最大值为
A． B． C． D．
47．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形 内接于圆， ，点 在圆上且满足 ，，则点 到 的距离为 ．
十四．扇形面积的计算
48．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形 ，有 ， ， ，以
中点 为圆心作弧 及弧 ，动点 从 点出发沿线段 ，弧 ，弧 ，线段 的路线运动，
点 运动到点 时，线段 扫过的面积为
A． B． C． D．
49．（2023秋•湖州期中）如图，在 中， ，点 在圆 上， 交圆 于点 ， 与圆
交于点 ， ， 交 于点 ， 为 的直径， ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数；
（3）若 ，求图中阴影部分的面积．
50．（2023秋•冠县期中）如图，圆 的直径为 ，两条直径 ， 相交成 角， ，是 的平分线．
（1）求圆心角 的度数；
（2）求扇形 的面积．
