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第二十四章 圆 单元测试
总分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．若 的直径为8 ，点A到圆心O的距离为4 ，那么点A与 的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系．
本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键．
【详解】∵ 的直径为8 ，
∴ 的半径为4 ，
∵点A到圆心O的距离为4 ，
∴点A在 上．
故选：B．
2．用反证法证明命题：“在 中，若 ，则 ”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．
根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解．
【详解】解：用反证法证明命题“在 中，若 ，则 ”时，第一步应假设
；
故选：C．
3．如图，A，B，C是 上的三点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心
角度数的一半是解题的关键．
根据圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵A，B，C是 上的三点， ，
∴ ．故选：B
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长；
C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
【答案】D
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据
圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误．
B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中；
D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：D．
5．如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ， ，则 的直径为
（ ）
A．5 B．8 C．10 D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整
理得出 ，故 ，得 ，即 ，设 ，则 ，运用勾股
定理列式代入数值得 ，解得 ．即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵∴
，
∴
，
，
，
．
设 ，
则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
的直径 ．
故选：C．
6．如图，已知 、 为 的切线， 、 为切点，若 ， ，则 的切线
（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解
题关键．
根据题意，证得 ，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解： 、 为 的切线， 、 为切点，
， ， ，
，
在 和 中，，
，
．
故选：A．
7．如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为M， ，则 的长
为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接 ，先求得
，再利用垂径定理和勾股定理求得 即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 的直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形
逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，
而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为 ．如
图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值
为 ，若用圆内接正八边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．作 于C，利用等腰直角三角形的性质求出 的面积，从而得出正八边形的
面积，进而解决问题．
【详解】解：如图，作 于C，
∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，
∴ ， ，
∵
∴ ，
则 ，
∴ 的面积为 ，
∴正八边形面积为
∴ 的估计值为 ．
故选：B．9．如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，那么
（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】D
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解
题的关键．根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
10．如图，在 中， ， ，D为 中点，则当 最大时， 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，圆的切线的性质以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握点
、 的运动轨迹和勾股定理.
取 的中点 ，连接 ，证明 是 的中位线，得 ，点 在以 点为圆心，
为半径的圆上，点 在以 点为圆心， 为半径的圆上，当 与 相切时， 最大，即
∠ ，然后由勾股定理求出 的长即可.
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，，
，
∵ 为 中点，
∴ 是 的中位线，
，
∵点 在以 点为圆心， 为半径的圆上，点 在以 点为圆心， 为半径的圆上，
∴当 与 相切时， 最大，
，
，
故选： C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与
直线，它们的位置关系是 ．
【答案】相离
【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答．
【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看
成的直线位置关系是相离．
故答案为：相离．
12．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积公式 计算解题即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为 ，故答案为： ．
13．如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则 外接圆
的圆心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是熟练掌
握线段垂直平分线的性质．
作 和 的垂直平分线，它们的交点 为 外接圆的圆心，然后写出 点坐标即可．
【详解】解：如图所示， 外接圆的圆心的坐标为 ．
故答案为： ．
14．如图， 是 的直径， ， ，则 ．
【答案】 /42度
【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合
理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到 ，再求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故答案为：
15．如图， 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点C．若 ，则
度．
【答案】80
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，正六边形 内接于 ，若 的周长等于 ，则正六边形的内切圆的半径为
．
【答案】【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．先连接 ，结合 的周长等于 ，得出 的半径，再证明
是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 的周长等于 ，
∴ 的半径 ，
∵正六边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点O作 ，
∴ ，
则 ，
∴正六边形的内切圆的半径为 ，
故答案为： ．
17．如图， 是 的内切圆且与 ， ， 相切于点 ， ， ，若 ， ，
，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解： 是 的内切圆，且与 ， ， 相切于点 ， ， ，
， ， ，
，
，
，
的周长为 ，
故答案为： ．
18．如图， 是边长为 的等边三角形，点 是 外的一点， ， ．若
，连接 ，则线段 的长为 .
【答案】 /
【分析】以点 为圆心， 为半径画圆，过点 作 ，过点 作 ，根据等边三角形
的性质可知 ， ，根据圆周角定理可知 ，根据直角
三角形的性质可知 ，利用勾股定理求出 ， ，根据 可证 ，
根据全等三角形的性质可得 ，从而可求 的长度．
【详解】解：如下图所示，以点 为圆心， 为半径画圆，过点 作 ，过点 作 ，
是边长为 的等边三角形，
， ，
，
在 中 ，
，
， ，
，
，在 和 中， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本
题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．如图，直径为 的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽 ，求油
的最大深度．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，先由垂径
定理求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，进而可得出 的长．
【详解】解：连接 ，过点O作 于点D，交 于点C，，
，
∵ 的直径为 ，
，
在 中， ，
．
答：油的最大深度为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ． 经过 三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点 的坐标： ；
(2)判断 与 轴的位置关系： ．
【答案】(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作 、 的垂直平分线交于点 ，则 为圆心， 的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心 到 轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接 、 ，分别作 、 的垂直平分线交于点 ，以 为圆心， 的长
为半径的圆即为所求，如图所示：点 坐标为：
故答案为： ；
（2）∵ ，
即： 的半径 ，
点 到 轴的距离 ，
∵ ，
∴ 与 轴相交，
故答案为：相交．
21．如图,在由边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中, 的顶点均为格点（网格线的交点）,
坐标分别为 , , ．
(1)将 沿 轴向左平移 个单位长度,画出平移后的 ;(2)将 绕点 按顺时针方向旋转 ,画出旋转后的 ;
(3)在（2）的条件下,求点 绕点 旋转到点 所经过的路径长（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理．
（1）根据题意将 , , 三点横坐标均减 得出新坐标 连接即可;
（2）先确定 顺时针旋转 的坐标 ,再确定 的坐标,连接即可;
（3）点 绕点 旋转到点 所经过的路径为 ,利用弧长公式求出本题结果．
【详解】（1）解:∵ , , ,
∴沿 轴向左平移 个单位长度的坐标为 , , ,将 连接即可得到
,如图:
（2）解:∵ 绕点 按顺时针方向旋转 ,
∴ ,则 ,
∴将 连接即可得到 ,如图:（3）解:∵ , ,
∴ ,
∵ 绕点 旋转到点 旋转了 ,
∴ 的长度为: ．
22．如图， 是三角形 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 长为8， ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键．
（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
（2）设 的半径为 ，根据垂径定理得出点 为 的中点，在 中，利用勾股定理列式计
算，即可求出结果．
【详解】（1）证明： ，，
；
（2）解：连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ，
，
，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径长为5．
23．如图，A，B，C，D是 上的四点， 是直径， ，过点B作 交 的延
长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】 连接 并延长交 于点H，利用垂径定理求得 垂直平分 ，证明四边形 为
矩形，据此即可证明 是 的切线；
在 中，通过勾股定理求得 ，设 的半径为r，在 中，利用勾股定理列式计
算即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 并延长交 于点H，连接，，
，
，
垂直平分 ，
，
为 的直径，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
为 的半径，
为 的切线；
（2）在 中，
， ，
，
四边形 为矩形，
， ，
设 的半径为r，
则 ， ，
在 中， ，
解得
即 的半径为
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟
练掌握以上知识点是解题的关键．
24．如图，平行四边形 的顶点A，B，C在 上，过点B 作 的切线交 的延长线于点 D．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在图(1)中，作出一个以 为斜边的直角三角形；
(2)在图(2)中，作出一个以 为边的菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、圆的基本性质、全等三角形
的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键．
（1）延长 交 于点 ，连接 ，交 于 ，即可得以 为斜边的直角三角形；
（2）延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 、 、 ，即可得菱形．
【详解】（1）解：延长 交 于点 ，连接 ，交 于 ，如图(1)， 即为所求．
(答案不唯一)
理由： 为 的直径，
，
平行四边形 中， ，
，
是直角三角形；
（2）解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 、 、 ，如图（2），菱形
即为所求．理由：连接 ，
中， ，
是菱形，
，
是等边三角形，同理可证明 是等边三角形，
，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，四边形 是平行四边形，
是菱形．
25．阅读与思考．
对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，
在以“数学世界里的风筝 筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动．
【定义理解】
两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
如图 ，在四边形 中，因为 ， ，所以四边形 叫做“筝形” ．
【性质探究】
用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识
证明他的猜想．
（1）已知：如图 ，在“筝形” 中， ， ．求证： ，
；
【性质应用】
（2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形” 的面积公式；
（3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆．
【答案】（1）见解析（2） （3）见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的性质，作图 基本作图，掌握相关知识是解决
问题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 垂直平分 ，根据全等三角形的性质得到
（2）设 与 交于 ，由（1）知， ，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由题意得，内切圆分别与四边形 的四条边相切．如图，作 的平分线，交 于点 ，
过点 作 的垂线交 于 ，以 为圆心， 为半径作圆，则 即为所求．
【详解】（1）证明： ， ，
垂直平分 ，
，在 与 中，
，
≌ ，
；
（2）解：设 与 交于 ，
由（1）知， ，
， ，
“筝形” 的面积 ；
（3）解：由题意得，内切圆分别与四边形 的四条边相切．
如图，作 的平分线，交 于点 ，
过点 作 的垂线交 于 ，
以 为圆心， 为半径作圆，
则 即为所求．
26．伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合
实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考
现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完
成．问题提出：（1）如图①，在 中， ，其外接圆半径等于3，则 ________．
问题探究：
（2）如图①， ，其外接圆半径等于3，求 面积的最大值．
问题解决：
（3）如图②，学校决定在校园内建造一个 花坛，为了确保观赏性，在 点和 边的中点 之
间铺设一条笔直的小径 ，长是20米．根据设计要求，从 点看去，视角为 角，即 ．
现希望 花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条
件下， 花坛面积的最大值为多少平方米？
【答案】（1） ；（2）最大值 ；（3） 花坛面积的最大值为 平方米．
【分析】（1）根据题意作 的外接圆 ，由圆周角定理可得 是等边三角形，则有
；
（2）如图所示，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，当点 在点
处，即点 在垂直于 的直径上时，高的值最大，此时 的面积等于 的面积，且面积最
大，由等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理可得 ，结合三角形面积的计
算公式即可求解；
（3）作 的外接圆O，连接 ，根据（1）的结论可得点 在垂直于 的直径上时，
高的值最大，则 的面积最大，设 ，则 ， ，根据
建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，根据题意作 的外接圆 ，
∵ ，其外接圆半径等于 ， 所对的圆周角是 ，所对的圆心角是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；（2）∵如图所示，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵线段 是定值，
∴当点 在点 处，即点 在垂直于 的直径上时，高的值最大，此时 的面积等于 的
面积，且面积最大，
∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大面积为 ；
（3）解：依题意， ， ，
如图所示，作 的外接圆O，连接 ，
则 ，点 在优弧 上，
由（1）可得点 在垂直于 的直径上时，高的值最大，则 的面积最大，
如图所示，设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平方米，
答： 花坛面积的最大值为 平方米．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定
与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关计算，添加辅助圆是解题的关键．
