专题1.8解直角三角形的应用实际问题大题专练（重难点培优）-九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.8解直角三角形的应用实际问题大题专练（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信 息填写在试卷规定的位置． 一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡 的拐角另一侧的 处驶来，已知 ， ， ， ，汽车从 处前行多少米 才能发现 处的儿童（结果保留整数）？ （参考数据： ， ， ； ， ， 【分析】利用勾股定理求出 ，证明 ，求出 ，在 中，利用三角函数的定义求 出 即可． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ，即 ， ，， 即 ， 解得： ， 汽车从 处前行约6米才能发现 处的儿童． 2．（2021•抚顺模拟）如图，垂直于水平面的 信号塔 建在垂直于水平面的悬崖边 点处（点 、 、 在同一直线上）．某测量员从悬崖底 点出发沿水平方向前行60米到 点，再沿斜坡 方向前行65 米到 点（点 、 、 、 、 在同一平面内），在点 处测得 信号塔顶端 的仰角为 ，悬崖 的高为92米，斜坡 的坡度 ． （1）求斜坡 的高 的长； （2）求信号塔 的高度． （参考数据： ， ， ． 【分析】（1）过点 作 交 的延长线于点 ，根据斜坡 的坡度（或坡比） 可设 ，则 ，利用勾股定理求出 的值，进而可得出 ； （2）结合（1）得 的长，故可得出 的长．由矩形的判定定理得出四边形 是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函数的定义求出 的长，进而可得出答案． 【解答】解：（1）过点 作 于点 ， 斜坡 的坡度（或坡比） ， 米， 米， 设 ，则 ． 在 中，，即 ， 解得， （米 （负值舍去）， 米； 答：斜坡 的高 的长为25米； （2） （米 ， （米 ． ， ， ， 四边形 是矩形， 米， 米． 在 中， ， （米 ， （米 ． （米 ． 答：信号塔 的高度为23米． 3．（2021•兰州模拟）如图， 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 出发，先沿水平方 向向右行走20米到达点 ，再经过一段斜坡 到达点 ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点 ， ， ， 均在同一平面内）．已知斜坡 的坡度（或坡比） ，且点 到水平面的距离 为8 米，在 处测得建筑物顶端 的仰角为 ，求建筑物 的高度．（参考数据： ， ，【分析】延长 交直线 于 ，则 ，则四边形 是矩形，首先解直角三角形 ， 求出 ，再根据 ，构建方程即可解决问题． 【解答】解：延长 交直线 于 ，则 ，如图所示： 则四边形 是矩形， ， 在 中， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 在 中， ， ， 解得： （米 ， 答：建筑物 的高度为21.7米． 4．（2021•怀宁县模拟）2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、 救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图 2所示浮式起重机悬索 的长，他们测量了如下数据，， ， ，请你帮助他们求出悬索 的长（结果保留根号）． 【分析】过点 作 于点 ，由含 甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出 ， ，再证 为等腰直角三角形，得 ，即可求解． 【解答】解：过点 作 于点 ，如图2所示： 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 答：悬索 的长为 ． 5．（2020秋•青浦区期末）某条过路上通行车辆限速为 40千米每小时，在离道路50米的点 处建一个监 测点，道路的 段为监测区（如图）在 中，已知 ， ．一辆车通过 段的时间为9秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据： ， ， ， ，【分析】过点 作 于点 ，解直角三角形可得到 的长，再利用路程除以时间可得时速度，再 进行比较，可得答案． 【解答】解：不超速， 理由：过点 作 于点 ． 在 中， ， （米 ，同理， （米 ， （米 ， ， 故不超速． 6．（2021•阜阳模拟）如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容． 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标 示意图相关数据 米， 米， 求铁塔的高度 ．（结果精确到1米） 【参考数据： ， ， 】 【分析】解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：在 中， ， ， ， （米 答：铁塔 的高度约为34米． 7．（2021•红谷滩区校级模拟）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角 的度 数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图， 和 分别是两根长度不等的支撑杆，夹角 ， ， ， ． （1）若 ，求点 离地面的高度 ； （参考值： ， ， ， ． （2）调节 的大小，使 离地面高度 时，求此时 点离地面的高度 ． 【分析】（1）过 作 于点 ，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得 ，再利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据已知条件证明 ，对应边成比例即可求出 的高度． 【解答】解：（1）如图，过 作 于点 ， ， ， ， 平分 ， ， ， 在 中， ， ， 答：点 离地面的高度 约为 ； （2） ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 答： 点离地面的高度 为 ． 8．（2020•吉安模拟）如图①是钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳光，钓鱼伞可以在撑杆 上的点 处弯折 并旋转任意角，图②是钓鱼伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨 ， 与水平方向的夹角 ，伞骨 与 水平方向的最大距离 ， 与 交于点 ，撑杆 ，固定点 到地面的距离 ． （1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点 到地面的距离． （2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将钓鱼伞倾斜与铅垂线 成 夹角，如图③． ①求此时点 到地面的距离； ②若斜射阳光与 所在直线垂直时，求 在水平地面上投影的长度约是多少． （说明： ，结果精确到 【分析】（1）求出 的长即可得出答案； （2）①过点 ， 分别作地面的垂线，垂足分别为 ， ，求出 ，则 ．可得 ，求出答案； ②可知 ， ．可求出 的长． 【解答】解：（1）点 到地面的距离即为 的长度， ． 答：点 到地面的距离约为1.6 ． （2）①如图①，过点 ， 分别作地面的垂线，垂足分别为 ， ， 设 交 于点 ， ，． ， ， ， ， ． ． 答：此时点 到地面的距离约为1.1 ． ②如图②，依题意，可知 ， ． ， ． 答： 在水平地面上投影的长度约为2.3 ． 9．（2021•锦江区校级模拟）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 方向开挖隧道， 为了加快施工速度，要在小山的另一侧 ， ， 共线）处同时施工．测得 ， ， ，求 长．（结果精确到十分位 ，【分析】根据 ， ，可以求得 的长和 的度数，进而求得 的度数，然 后利用勾股定理即可求得 的长． 【解答】解：作 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 的长是 ． 10．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形 设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色， 而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基 处起飞，沿直线飞行120米 至点 ，在此处测得楼基 的俯角为 ，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点 ，在此处测得楼顶 的俯角为 ，请计算万楼主楼 的高度．（结果保留整数， ， 【 分 析 】 由 题 意 可 得 在 中 和 中 ， 米 ， ， ， ，根据解直角三角形的应用，在 中，可计算出 和 的长度，在 中，可 计算出 的长度，由 计算即可得出答案． 【解答】解：由题意可得， 在 中， 米， ， （米 ， （米 ， 在 中， ， （米 ， （米 ， （米 ． 答：万楼主楼 的高度约为52米． 11．（2021•浙江模拟）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点 可以上 下调整高度，离地面 的距离 ．设花洒臂与墙面的夹角为 ，可以扭动花洒臂调整角度，且 花洒臂长 ．假设水柱 垂直 直线喷射，小华在离墙面距离 处淋浴．（1）当 时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高 ． （2）如果小华要洗脚，需要调整水柱 ，使点 与点 重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点 向下移动即可，移动的距离 与小华的身高 有什么数量关系？ 直接写出你的结论； ②活动调节点 不动，只要调整 的大小，在图3中，试求 的度数． （参考数据： ， ， ， 【分析】（1）过点 作 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，利用含30度角的直角三角形 的性质即可求出答案． （2）①由平行四边形的判定与性质即可知道 ； ②由勾股定理可求出 的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出 与 的度数，从而可求出 的 度数． 【解答】解：（1）过点 作 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 又 ， ，（2）① ； ②如图， 在 中， ， ， ， 在 中， ． ， ， ， ． 12．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 摆成如图1所示．已知 ，鱼竿尾端 离岸边 ，即 ．海面与地面 平行且相距 ，即 ．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 与海面 的夹角 ，海面下方的鱼线 与 海面 垂直，鱼竿 与地面 的夹角 ．求点 到岸边 的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 ，此时鱼线被拉直，鱼线 ，点 恰好位于海面．求点 到岸边 的距离． （ 参 考 数 据 ： ， ， ， ， ， 【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于 ，先根据三角函数的定义求出 ，继 而得出 ，再根据三角函数的定义求出 ，继而得出 ，根据三角函数的定义得出 ，从而得出 的长度； （2）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，垂足为 ，先根据三角函数的定义求出 ，继而得出 ，再根据三角函数的定义求出 ，继而得出 ，利用勾股定理求出 ，从而得 出 的长． 【解答】解：（1）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于 ，则 ，垂足为 ， 由 ， ， ，即 ， ， 由 ，， ，即 ， ， 又 ， ，即 ， ，即点 到岸边 的距离为 ； （2）过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，垂足为 ， 由 ， ， ， 即 ， ， 由 ， ， ，即 ，， ， ， 即点 到岸边的距离为 ． 13．（2021•沙依巴克区三模）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 的 ， 两点测 得该塔顶端 的仰角分别为 和 ，矩形建筑物的宽度 ，高度 ，求建 筑物底部 到发射塔底部 的距离 长． （结果精确到 （参考数据： ， ， ， ， ， 【分析】过点 作 ，垂足为 ．设 为 米，由题意可得四边形 是矩形，再根据锐角三 角函数即可求出建筑物底部 到发射塔底部 的距离 长． 【解答】解：如图，过点 作 ，垂足为 ．设 为 米， 由题意可知：四边形 是矩形， 则 ， ， ， ． 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， ． ， ， （米 ． 答：建筑物底部 到发射塔底部 的距离 长为49.8米． 14．（2021•息县模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 是装订机的底座， 是装订机 的托板 始终与底座平行，连接杆 的 点固定，点 从 向 处滑动，压柄 绕着转轴 旋转． 已知连接杆 的长度为 ， ，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄的夹角 时，如图①点 从 点滑动了 ，求连接杆 的长度． （2）当压柄 从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点 滑动的距离．（结果 保留根号） 【分析】（1）如图1中，作 于 ．求出 ， 即可解决问题． （2）解直角三角形求出 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作 于 ．在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）在 中， ， ， ， ， 这个过程中，点 滑动的距离 ． 15．（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸 大树 的高度，他在点 处测得大树顶端 的仰角为 ，再从 点出发沿斜坡走 米到达斜坡上 点，在点 处测得树顶端 的仰角为 ，若斜坡 的坡比为 （点 、 、 在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点 到点 的过程中上升的高度； （2）求大树 的高度（结果保留根号）．【分析】（1）作 于 ，解 ，即可求出 ； （2）过点 作 于点 ，设 米，用 表示出 、 ，根据 列出方程， 解方程得到答案． 【解答】解：（1）过点 作 于点 ， 由题意知 米， 斜坡 的坡比为 ， ， 设 米， 米， ， ， ， （米 ， （米 ， 答：王刚同学从点 到点 的过程中上升的高度为2米； （2）过点 作 于点 ，设 米， ， 四边形 为矩形， 米， 米， ， （米 ，米， ， ， ， ， （米 ． 答：大树 的高度是 米． 16．（2019•濮阳二模）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的 北岸边点 处，测得河的南岸边点 处在其南偏东 方向，然后向北走20米到达点 处，测得点 在点 的南偏东 方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据： ， ， ， 【分析】延长 交 于点 ，得 ，设 ，得 米， 米，根据 列方程求出 的值即可得． 【解答】解：如图，延长 交 于点 ，则 ， 由题意知， ， ， 设 米， 则 米， 米， 在 中， ， ， 解得 ， 答：这段河的宽约为37米． 17．（2021•内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度．如图所示，测得斜坡 的坡度 ，坡底 的长为8米，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，在 处测得树 顶部 的 仰角为 ，求树高 ．（结果保留根号） 【分析】作 于点 ，设 米，在直角 中利用三角函数用 表示出 的长，在直角 中表示出 的长，然后根据 即可列方程求得 的值，进而求得 的长． 【解答】解：作 于点 ，设 米，在 中， ， 则 （米 ， 在直角 中， 米， 在直角 中， ， 米． ，即 ． 解得： ， 则 米． 答： 的高度是 米． 18．（2021•长垣市模拟）一艘海监船从 点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设 、 为该岛屿的东 西两端点）最近距离为15海里（即 海里），在 点测得岛屿的西端点 在点 的东北方向，航 行4海里后到达 点，测得岛屿的东端点 在点 的北偏东 方向（其中 、 、 在同一条直线上）， 求该岛屿东西两端点 之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据： ， ，【分析】在直角 中， 度，则 是等腰直角三角形，即可求得 的长，则 可以 求得，然后在直角 中，利用三角函数求得 ，根据 即可求解． 【解答】解：由题意可知： 海里， ， ， ． 在 中， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 在 中， ， （海里）， （海里）， 答：该岛屿东西两端点 之间的距离为5.7海里． 19．（2020秋•苏州期末）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂 是可 伸缩的 ，且起重臂 可绕点 在一定范围内转动，张角为 ，转 动点 距离地面 的高度 为 ． （1）当起重臂 长度为 ，张角 为 时，求云梯消防车最高点 距离地面的高度 ； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为 ，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据： 【分析】（1）如图，作 于点 ，易得四边形 为矩形，则 ， ， 再计算出 ，则在 中利用正弦可计算出 ，然后计算 即可； （2）如图，作 于点 ，易得四边形 为矩形，则 ， ，再计算 出 ，则在 中利用正弦可计算出 ，然后计算 即可． 【解答】解：（1）如图，作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， 在 中， ， ， ； （2）如图，作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， 在 中， ， ， ；最高救援高度为 ， 故该消防车能实施有效救援． 20．（2021•广州模拟）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的 为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点 处时，测得天花板上日光灯 的仰角为 ，此时他的眼睛 与地面的距离 ，之后他沿一楼扶梯到达顶端 后又沿 向正前方走了 ，发现日光灯 刚好在 他的正上方．已知自动扶梯 的坡度为 ， 的长度是 ，求日光灯 到一楼地面的高度．（参 考 数 据 ： ， ， 【分析】过点 作 于 、交 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 、交 于 ，则四边形 、四边形 是矩形，设 ，在 中，由勾股定理求出 ，再求出 ，由三角函数定义求出 ，即可得出结果． 【解答】解：过点 作 于 、交 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 、 交 于 ，如图（2）所示： 则 ，四边形 、四边形 是矩形， ， ， ， ， 设 ，的坡度为 ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， ， ， 在 中， ， ， ， ，即日光灯 到一楼地面的高度为 ． 21．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同 一平面内两条伞骨所成的角 ，且 ，从而保证伞圈 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢 时伞骨的示意图，此时伞圈 已滑动到点 的位置，且 ， ， 三点共线， ， 为 中 点．当 时，伞完全张开． （1）求 的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离． （参考数据： ， ，【分析】（1）根据中点定义即可求出 的长； （2）过点 作 于点 ,根据等腰三角形的性质可得 ,然后利用锐角三角函数可得 的 长，所以 ，进而可得伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离． 【解答】解：（1） 为 中点， , ， ； （2）如图，过点 作 于点 , , , 平分 , , , 在 中， , , ，． 伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离为 ． 22．（2020秋•苏州期末）如图所示，建筑物 坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角 成 时，测得建筑物 在坡顶平地上的一部分影子 米，在斜坡 上的另一部分影子 米，且斜坡 的坡度为 （即 ，求建筑物 的高度．（结果保留根号） 【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形和等腰三角形问题，首先根据题意作图（如图），得 ，等腰 ；由斜坡 的坡度为 （即 ，求出 ，再由 和三角函数求 出 ．进而求出 ． 【解答】解：如图，延长 交 于 ，过 作 于 ， 斜坡 的坡度为 （即 ， ． ， ． ． ． ． ． ．（米 ． （米 ． （米 ． 答：建筑物 的高度是 米． 23．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其 中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度．支杆 与悬杆 之间的夹角 为 ． （1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图 ，此时测得灯 泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ，【分析】（1）利用锐角三角函数可求 的长，即可求解； （2）由锐角三角函数可求 的长，由线段和差关系可求 的长， 的长，由锐角三角函数可求 的长． 【解答】解：（1）过点 作 于 ， ， ， ， ， 答：灯泡悬挂点 距离地面的高度为 ； （2）如图3，过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，， ， ， ， ， 答： 的长为 ． 24．（2021•柳南区校级模拟）货车长方体货厢的净高 为 ，底部 离地面的高度 为 ．现 欲将高为 的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为 的坡面 ． （1）若货物从如图所示的位置升高 ，则水平移动了多少？ （2）由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面 推到适当位置后，再轻松平放进货厢．请 问能否达到目的？为什么？ 【分析】（1）设水平移动了 ，由 ，得 ，解得 即可； （2）当重心 落在直线 上时，过点 作货厢底部的垂线于 ，求得 ，说明货物的点碰不到货厢顶部，故工人师傅能达到目的． 【解答】解：（1）设水平移动了 ， ， ， 解得： ， 货物从如图所示的位置升高 ，水平移动了 ； （2）能达到目的，理由如下： 当重心 落在直线 上时，过点 作货厢底部的垂线于 ，交 于 ，过点 作 于 ，如图 所示： 此时点 到货厢底部的垂线最长， ， 货厢底部与地面平行， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 货物的 点碰不到货厢顶部， 工人师傅能达到目的．