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专题10 二次函数中的特殊角问题
1．已知点C为抛物线 的顶点．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)若抛物线经过点 ．
①直接写出抛物线解析式为： ；
②如图1，点B ，以 为底的等腰 交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转
到 ，求 的坐标；
(3)如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线 交抛物线另一点于E，交直线l于点
D，过M作 轴，交抛物线于另一点N，过E作 于点F．若点M的横坐标为 ，试
探究 与 之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② 的坐标为 ；
(3) ．理由见解析
【分析】（1）根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可；
（2）①把点 代入 ，即可求解；
②利用等腰直角三角形的性质求得A的坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式，再求得点P
的坐标，过点 作 轴于点H，证明 ，据此即可求解；（3）先后求得点M、D、E、F的坐标，据此求解即可．
【详解】（1）解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：①点 代入 得， ，
解得 ，
∴抛物线解析式为： ；
故答案为： ；
②过点A作 轴于点G，
∵B ，
∴ ，
∵ 是 以等腰直角三角形，
∴ ，
∴A ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，联立得 ，解得 或 (舍去)，
∴P ，
过点 作 轴于点H，
由题意得 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵A ，P ，
∴ ， ，
∴ 的坐标为 ；
（3）解： ．理由如下：
∵C ，
设直线 的解析式为 ，
∵点M的横坐标为 ，且点M在抛物线 上，
∴点M的坐标为 ，
∴点D的横坐标为 ，且点D在直线 上，∴点D的坐标为 ，
解方程 得 或 ，
∴点E的坐标为 ，
∴点F的坐标为 ，
∴ ，
，
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等
腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压
轴题．
2．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位
于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有
一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．【答案】(1) ；
(2)点M的坐标为 或 ；
(3)（3）抛物线顶点横坐标t的取值范围为-3≤t＜0或 ．
【分析】（1）根据抛物线 关于 轴对称， ，得 ， ，用待定系数
法即得抛物线的解析式是 ；
（2）当 在 上方时，过 作 交直线 于 ，作直线 ，过 作 于 ，
根据 ， ，可推得 ，得到 ，设直线 为 ，
待定系数法得直线 为 ，从而解得 ， ；当 在 下方时，过 作
交直线 于 ，过 作KG//x轴，过 作 于 ，过 作 于 ，同
理可得 ， ；
（3）由平移后顶点在直线 上，设平移后的抛物线为 ，把 代入
得： ，解得 或 ，结合函数图象可得 ，把 代入得：
，解得 或 ，结合函数图象可得： ．
(1)
解： 抛物线 关于 轴对称， ，
， ，
把 代入 得： ，
，
抛物线的解析式是 ；(2)
当 在 上方时，过 作 交直线 于 ，作直线 ，过 作 于 ，如图：
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
，
， ，
， ， ，
， ，
，
设直线 为 ，
，
解得 ，
直线 为 ，
由 得： （点 横坐标，舍去）， ，当 时， ，
， ；
当 在 下方时，过 作 交直线 于 ，过 作 轴，过 作 于 ，
过 作 于 ，如图：
同理可得 ，
， ，
，
设直线 为 ，将 ， 代入得：
，解得 ，
直线 为 ，
由 得 （舍去）或 ，
， ；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ；
(3)
平移后顶点在直线 上，
设平移后的抛物线顶点为 ，则平移后的抛物线为 ，
把 代入得： ，解得 或 ，如图：结合函数图象可得 ，
把 代入得： ，解得 或 ，如图：
结合函数图象可得： ，
综上所述，抛物线顶点横坐标 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质等知识，还考
查了数形结合、分类等数学思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．如图，二次函数 的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为 ，点C的坐标
为 ，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．
(1)求二次函数和直线 的函数表达式；
(2)连接 ，则 的面积为________；(3)在y轴上确定点Q，使得 ，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、
点N为顶点的四边形是以 为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ；
(2)6
(3) 或
(4)存在， 或
【分析】（1）把B点坐标代入函数解析式即可求出二次函数解析式，求出A点坐标后即可求出
AC解析式；
（2）先求出D点坐标，再用公式法求 的面积；
（3）当Q在正半轴时，根据C点坐标可得 ，根据二次函数对称性结合
可得 ，即AQ平分 ,即可求出Q点坐标；当Q在负半轴时根据对称
性可求；
（4）以AD为矩形边长时，分别过A、D作直线AD的垂线；当AD为对角线时根据矩形的对角线
互相平分且相等求值即可．
(1)
∵二次函数 的图象过点B ，
∴ ，解得
∴二次函数解析式为
∴A点坐标为（-2,0）
设直线AC的解析式为
∴ ，解得：∴直线AC的解析式为
(2)
∵直线AC： 与二次函数交于点A、D
∴联立 ，解得 或
∴D点坐标为：
∵AB=4
∴
(3)
∵C（0,2），A点坐标为（-2,0）
∴
当Q在正半轴时，
∵ ，QA=QB
∴
∴AQ平分
过Q作PQ⊥AC于P
设OQ=x，则
∴
解得∴Q点坐标为
当Q在与轴负半轴时，根据对称性可得Q点坐标为
∴Q点坐标为 或
(4)
当AD是矩形边长时
过A作AM⊥AD交抛物线于M
∵直线AC的解析式为
∴设直线AM的解析式为
代入A点（-2,0）得
∴直线AM的解析式为
∴联立 ，解得 或
∴M点坐标为
∵此时MN平行且等于AD
∴由A（-2,0）平移到D（1,3）与由M 平移到N的平移方式一致
∴N点坐标为同理：:过D作DM⊥AD交抛物线于M，此时M（0,4），N（-3,1）
综上所述，存在，N点坐标为 或（-3,1）
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，
矩形的判定，分类讨论是解题的关键．
4．如图，在直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点 ，使 的面积等于6，求点 的坐标；
(3)对于（2）中的点 ，在此抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 点的坐标，也就求出了 的长，根据 的面
积可求出 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 点
的坐标，然后根据 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 点是否符合要求即可．
（3）根据 点坐标可求出直线 的解析式，由于 ，由此可求出 点的坐标特点，代入二
次函数解析式可得出 点的坐标．求 的面积时，可先求出 ， 的长度即可求出 的
面积．【详解】（1）解： 函数的图像与 轴相交于 ，
，
，
，
（2）解：假设存在点 ，过点 作 轴于点 ，
的面积等于6，
，
当 ，
，
解得： 或3，
，
，
即 ，
解得： 或 （舍去）．
又 顶点坐标为： 1.5， ．
，
轴下方不存在 点，
点 的坐标为： ；
（3）解： 点 的坐标为： ，
， ，
当 ，
，
设 点横坐标为： ，则纵坐标为： ，
即 ，
解得 或 （舍），
在抛物线上仅存在一点 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进
行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
5．如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积等于 面积的三分之二？若
存在，求出此时 的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线 绕着点C旋转 得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐
标．
【答案】(1)抛物线的解析式为： ；
(2)不存在这样的点P，理由见解析；
(3)M点坐标是 或 ．
【分析】（1）根据点A的坐标为 ， 可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入
抛物线 求出a，c的值即可；
（2）过点P作 轴分别交线段 于点N，利用待定系数法求出直线 的解析式，故可得
出 ，，再由 ，解一元二次方程即可得出结论；
（3）分当直线 绕着点C顺时针旋转 时，当直线 绕着点C逆时针旋转 时，两种情况
讨论，当直线 绕着点C顺时针旋转 时，过A作 交 于点K，作 轴于点
H，证明 ，可得 ，用待定系数法求出直线 的解析式，与抛物线联
立解交点即可得出M的坐标；当直线 绕着点C逆时针旋转 时，同样的方法可求解．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
把点A，C的坐标代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：不存在这样的点P，使得 的面积等于 面积的三分之二；
理由：如图，过点P作 轴分别交线段 于点N．
∵抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，由题意得 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
故直线 的解析式为： ．
设 ， ，
则 ，
∴ ，
整理得 ，
∵ ，
∴方程无实数根，
∴不存在这样的点P，使得 的面积等于 面积的三分之二；
（3）解：当直线 绕着点C顺时针旋转 时，如图，过A作 交 于点K，作
轴于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
同理求得直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 （舍去），或 ，
∴ ．
当直线 绕着点C逆时针旋转 时，如图，过A作 交 于点D，作 轴于点
E，
同理可证得 ，
得到 ，
同理求得直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 （舍去），或 ，
∴ ．
综上，M点坐标是 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积
的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系
数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 、 两
点，与y轴交于点C，连接AC，(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使 ，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)①若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此
时点P的坐标及PD的最大值；
②若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB＝45°，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)存在 ，理由见详解
(3)① ，PD的最大值为 ；② 、
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设 ，当 时， ，利用两点间距离公式求解即可；
（3）①过点P作 轴，垂足为E，交AC于点F，先求出直线AC的表达式为 ，判断
当PF最长时，PD的值最大，设 ， ，点P是直线AC下方的抛物线上的一
个动点，有 ，表示出 ，可得当 时，PF的值最大，最大值为 ，再
求出此时点P的坐标及PD的最大值即可；
②根据点P在x轴下方和上方分类讨论，当P在x轴下方时，∠APB最小时，P在二次函数图象顶
点处，当P在x轴上方时，过点P作 轴，垂足为K，过点A作 ，交BP于点I，过点I作 轴，垂足为J，计算可得 ，不符合题意；当P在x轴上方时，过点P作
轴，垂足为K，过点A作 ，交BP于点I，过点I作 轴，垂足为J，证明
，可得 ， ，设 ，则 ，
， ， ，再证明 ，可得 ，将含n的
式子代入，即可求出n的值，即为点P的横坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于 、 两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：存在 使得 ，理由如下：
∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为 ， ，
设： ，当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
（3）解：①如图，过点P作 轴，垂足为E，交AC于点F，∵ ， ，
∴ ，直线AC的表达式为 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ 轴
∴ ，
∴ ，
又∵PD⊥AC，
∴ 是等腰直角三角形，
∴当PF最长时，PD的值最大，
设： ， ，
∵点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点， ，
∴
∴当 时，PF的值最大，最大值为 ，
∴ ， ，
∴ ，PD的最大值为 ；
②当P在x轴下方时，∠APB最小时，P在二次函数图象顶点处，
∵抛物线的解析式为 ，∴顶点的坐标为 ，
过点A作 交BP于点G，
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴当P在x轴下方时，不符合题意；
当P在x轴上方时，过点P作 轴，垂足为K，过点A作 ，交BP于点I，过点I作
轴，垂足为J，当 时， 为等腰直角三角形， ，
∵ 轴， ， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设： ，则 ， ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P的横坐标为 、 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及三角形全等的判定和性质，相似的判定和性质，正
确求解函数解析式、将二次函数解析式与函数图像结合起来，利用数形结合的思想是解答本题的
关键．
7．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQ y轴交直线BC于Q（P在Q上方），
再过点P作PR x轴交直线BC于点R，若 PQR的面积为2，求P点坐标；
(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使△∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) ；
(2)P（1，3）；
(3)存在，D点坐标为（ ， ）．
【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由顶点M（0，4），A（−2，0）可得B（2，0），则OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝
45°，根据平行线的性质得∠PQR＝∠PRQ＝45°，则PQ＝PR，根据 PQR的面积为2可得PQ＝
△
2，求出直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m， ），则Q（m，−m＋2），PQ＝
，解方程求出m的值即可；
（3）过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，证明 MNE≌△ANF
（AAS），可得NE＝NF，设N（n，−n＋2），则n＝−n＋2，求出n＝1，可得N△（1，1），求出
直线AN的解析式为y＝ ，联立 即可求解．
（1）
解：∵抛物线的顶点M（0，4），∴设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线与x轴交于A（−2，0），
∴4a＋4＝0，
解得a＝−1，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）
解：∵顶点M（0，4），A（−2，0），
∴B（2，0），
∵点C（0，2），
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQ y轴，PR x轴，
∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，
∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，
∴PQ＝PR，
∵△PQR的面积为2，
∴ PR·PQ＝ ＝2，
∴PQ＝2，
∵C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，
代入B（2，0）得：0＝2k＋2，
解得：k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，
设P（m， ），则Q（m，−m＋2），
∴PQ＝ ，
解得：m＝1或0（舍去），
∴P（1，3）；
（3）
解：存在；过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，
∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，
∴∠MNE＝∠ANF，
∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，
∴MN＝AN，
∴△MNE≌△ANF（AAS），
∴ME＝AF，NE＝NF，
设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，
∴4－n＝n＋2，
解得：n＝1，
∴N（1，1），
∵A（−2，0），
设直线AN的解析式为y＝kx＋b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AN的解析式为y＝ ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴D点坐标为（ ， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数
的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函
数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其
中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线
段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上
以每秒 个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
设运动时间为t秒． 连接PQ，PC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在点P，Q运动过程中，当 的面积为 时，求点Q坐标；
(3)在（2）条件下， 时，在直线PQ上是否存在点M，使 ？若存在，请直接求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， ，【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可；
（2）过 作 轴于 ，利用 求出 的长，从而用t表示出 ，列
出方程即可得出答案；
（3）由（2）及 可知 ，代入求得 、 ，即可得出直线 的解析式为
，设 ，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，
由 的直角三角形即可推出 ，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案．
（1）
解：将点 、点 的坐标分别代入 ，得
，
解这个方程组，得 ，
则二次函数表达式 ．
（2）
过 作 轴于 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 、 ，
∴ ,
∴ ．∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q
从点A出发，在线段AC上以每秒 个单位长度的速度向点C作匀速运动，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
解得， ， ．
∵Q的横坐标为 ，
∴ 或 ．
（3）
存在，理由如下：
由（2）可知： ， ，
∵ ，
∴ ．∴ ，此时点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点P、Q坐标代入 中，得：
，解得： ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴设 ，
∵ , ,
∴ , ,
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ , ，
∴ ，∴
∴ ， ．
故答案为：存在， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆
定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的
关键．
9．函数y＝ ，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G．
(1)图象G经过3个定点，分别为 ， ， ；
(2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值；
(3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值．
【答案】(1) ， ， ．
(2) 或 ．
(3) ．
【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点 ，根据抛物线的对称性求解．
（2）求出函数在 及 时抛物线顶点坐标，分类讨论 与 两种情况求解．
（3）过点 作 延长线于点 ，作 轴交 轴于点 ， 于点 ，由
可得 为等腰直角三角形，用含 代数式求出 所在直线解析式，求出点 坐
标，进而求解．
(1)
解：当 时，抛物线 的对称轴为直线 ，
把 代入 得 ，抛物线经过定点 ，
由抛物线对称性可得抛物线经过定点 ，
当 时，同理可得抛物线经过定点 ，
故答案为： ， ， ．
(2)
函数 顶点坐标为 ，
函数 顶点坐标为 ，
时，如图，顶点 在直线 上满足题意，
令 ，
解得 ．
当 时，如图，顶点 落在直线 满足题意，
令 ，
解答 ．综上所述， 或 时，图象 与直线 有2个交点．
(3)
由（2）得点 坐标为 ，点 坐标为 ，
时，如图，过点 作 延长线于点 ，作 轴交 轴于点 ， 于点 ，
，
，
为等腰直角三角形，从而可得 ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
点 坐标为 ， ，
设 所在直线为 ，将 代入解析式得 ，
解得 ，
，
把 ， 代入 得 ，
解得 （舍 ， ．
当 时，如图，同理可得 ．综上所述， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握全等
三角形的判定及性质，根据数形结合求解．
10．如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足 ，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、
C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，对称轴为直线
(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或 或
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，证明△BOC≌△MBE，可得点E
（2，-1），然后求出直线CR的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解；
（3）设 ，点Q（m，n），分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC为边时，当AC为
对角线时，即可求解．
(1)
解：∵抛物线 交x轴于 ， 两点，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线 ；
(2)
解：当x=0时， ，
∴OC=3，
∵点B（-1，0），
∴OB=1，
如图，过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，∵∠BCR=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，
∴BM=BC，
∵∠EBM+∠BME=90°，
∴∠CBO=∠BME，
∵∠BEM=∠BOC=90°，
∴△BOC≌△MBE，
∴EM=BO=1，BE=OC=3，
∴OE=2，
∴点E（2，-1），
设直线CR的解析式为
把点C（0，3），M（2，-1）代入得：
，解得： ，
∴直线CR的解析式为 ，
联立得： ，解得： 0 或 （舍去），
∴点R（4，-5）；
(3)
解：存在．设 ，点Q（m，n），
当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和
距离相同，且AP=CQ（或AQ=CP），
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴此时点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）
如图，当AC为对角线时，AC=PQ，且PQ与AC的中点重合，如图，
PQ=AC ，∴ ，解得： 或 ，
∴此时点Q的坐标为 或 ；
综上所述，点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）或 或
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握二
次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，
是中考的压轴题．
11．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点 ， 两点，对称轴为直线 ，对称轴
与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当 时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存
在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或【分析】（1）由对称轴为直线 则设抛物线 代入点A、C的坐标求出解析式；
（2）过 作 ，且 ，过 作 ，过C作 于 ，过 作
于 ，构建 ，即可得出 ，求得直线 的解析式为：
与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；
（3）设 ， ，分以AF为对角线时以AN为对角线时， 以 为对角线时，
进行讨论，列出方程组，即可解答问题．
（1）
解：∵抛物线对称轴为直线 ，
∴设抛物线 ，
把 ， 代入 得：
，
∴ ，
∴ ；
（2）
如图过 作 ，且 ，过 作 ，过C作 于 ，过 作
于 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
（3）
∵ ，
∴ ，
依题意设 ， ，
∵ ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
当以AF为对角线时， ，
∴ ，
∴ ，
当以AN为对角线时， ，
∴ ，
∴ ，
当以 为对角线时， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，构造全等三角形的判定和
性质，平行四边形存在性问题，是一道有关二次函数的综合题，掌握以上知识点是解题的关．
12．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于
点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)① ；② 或5
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得
G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y= x+3，联立方程组，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求
解．
（1）
解：∵B(3，0)在抛物线y=−x2+bx+3上，
∴y=−32+3b+3，
解得b=2，
∴所求函数关系式为y=−x2+2x+3；
（2）
解：①作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI⊥x轴于点I，连接CG交抛
物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，如图：令x=0，y=3；
令y=0，−x2+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∵A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴OB=OC，AB=4，
∴ OCB是等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，
∴△∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°，
∴HI= AI=BI= AB=2，
∴H(1，2)，
∴G(3，4)，
设直线CG的解析式为：y=kx+3，
把G(3，4)代入得：4=3k+3，
解得：k= ，
∴直线CF的解析式为：y= x+3，
∴ ，解得： ，
所以F点的坐标为( ， )；
②当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，∵点B（3，0），点C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠CBO=∠BCO=45°，
∵点A（-1，0），
∴OA=1，∵∠FCE+∠ACO=45°，∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°，
∴∠ACO=∠CNO，
又∵∠COA=∠CON=90°，
∴△CAO∽△NCO，
∴ ，
∴ ，
∴ON=9，
∴点N（9，0），
同理可得直线CF解析式为：y=- x+3，
∴- x+3=-x2+2x+3，
∴x=0（舍去），x= ，
1 2
∴点F的横坐标为 ；
当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，∵∠FCE+∠ACO=45°，∠OCM+∠FCE=45°，
∴∠ACO=∠OCM，
又∵OC=OC，∠AOC=∠COM，
∴△COM≌△COA（ASA），
∴OA=OM=1，
∴点M（1，0），
同理直线CF解析式为：y=-3x+3，
∴-3x+3=-x2+2x+3，
∴x=0（舍去），x=5，
1 2
∴点F的横坐标为5，
综上所述：点F的横坐标为5或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解
决问题是本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，且
经过点 ，点 是抛物线 的顶点，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，且点 在抛物线
上．(1)求抛物线 的表达式；
(2)在抛物线 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或 ．
【分析】（1）将 与 ，代入 的表达式，求出 ， 即可．
（2）根据题意设 的表达式为 ，将点 的坐标代入，求出 的表达式，再设法
求出直线 的表达式，将直线 的表达式与抛物线 的表达式联立，即可求得点 的坐标．
(1)
解： 抛物线 ： 经过点 ， ，
，解得 ，
抛物线 的表达式为 ．
(2)
解：存在，理由如下：抛物线 ，
，又 ， ．
设抛物线 向右平移了 个单位得到抛物线 ，
则 ： ，
点 在抛物线 上，
，解得 ，
的表达式为： ．
设直线 与 轴交于点 ，则 ， ，
，
又 ，
，
是等腰直角三角形，
，
．
设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的表达式为 ．联立 ，解得 ，或 ．
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的平移变换，等腰
直角三角形的性质与判定，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
