文档内容
专题20 数列中常见的求和问题
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条
对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规
格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
3、（2023年全国甲卷数学（理））已知数列 中， ，设 为 前n项和， ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前n项和 ．
4、【2021年新高考1卷】已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记 表示不超过实数 的最大整数，记 ，则 的值为（
）
A．5479 B．5485 C．5475 D．5482
1-2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号.设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且，若 数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
题组二、裂项相消求和
2-1、（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列
的前n项和 ______.
2-2、（2023·江苏泰州·统考一模）在① 成等比数列，② ，③ 这三个条件
中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，且满足__________，__________.
(1)求 的通项公式；
(2)求 .
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
2-3、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .题组三、分组求和
3-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 分别是数列 的前 项和，
且 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 ，前n项和为 ，且满足 ，
， ， ， ，等比数列 中， ，且 ， 成等差数列．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为区间 中的整数个数，求数列 的前n项和 ．3-3、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满
足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；
题组四、错位相减
4-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
__________
4-2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 是公差为1的等差数列，且 ， ， 成等比
数列．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和．
4-3、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；（2）若 ，求数列 的前 项和．
题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列 满足 ， ．
(1)记 ，证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前2n项和 ．
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
(10分)已知等差数列满足，n∈N*．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前2n项和．1、（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何
学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳
成一条定律，即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第 颗行星与太阳
的平均距离(以天文单位 为单位).现将数列 的各项乘以10后再减 ，得到数列 ，可以发现数列
从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 的第2021项为
C．数列 的前 项和
D．数列 的前 项和
3、（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列 的前 项和为 , , .(1)求数列 的通项公式.
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列 的前n项和为 （b为常
数）．
(1)求b的值和数列 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前n项和 ．
5、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
正项等比数列 中， ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．6、（2023·安徽·统考一模）已知在递增数列 中， 为函数 的两个零点，数列
是公差为2的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： .
