专题10因式分解的概念及基本方法（解析版）-重难点突破八年级数学下册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 10 因式分解的概念及基本方法 题型一 因式分解的定义 1．下列从左到右的变形是因式分解的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； 、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； 、左边的多项式不能用完全平方公式分解，因式分解错误，故此选项不符合题意； 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选： ． 2．若 能分解为 ，求 的值． 【解答】解： ， ， 则 ． 3．若多项式 可分解为 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， 解得： ， ， 则 ． 4．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同 学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式． 【解答】解：设原多项式为 （其中 、 、 均为常数，且 ．， ， ； 又 ， ． 原多项式为 ，将它分解因式，得 ． 5．（1）试说明代数式 的值与 、 的值取值有无关系； （2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值； （3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 【解答】解：（1）代数式的值与 的值取值无关系，与 的值取值有关系． ， 代数式的值与 的值取值无关系，与 的值取值有关系． （2） ， 积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ， ， ， ， ． ． （3）设另一个因式为 ．根据题意得， ， ， ， ， ， ， ， 另一个因式： ， 是20． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式为 ，得 则 ． 解得： ， 另一个因式为 ， 的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 【解答】解：设另一个因式为 ，得（1分） （2分） 则 （4分）（6分） 解得： ， （8分） 故另一个因式为 ， 的值为20（9分） 题型二 提取公因式法 7．分解因式： ． 【解答】解： ． 故答案为： ． 8．已知 ， ，则代数式 的值是 ． 【解答】解： ， ， ， ． ， ． ． ． ．故答案为： ． 9．已知 ， ，则 的值为 ． 【解答】解： ， 故答案为： ． 10．已知 可分解因式为 ，其中 、 均为整数，则 的 值为 ． 【解答】解： ， 可分解因式为 ， ， 则 ， ， 故 ． 故答案为： ． 11．若长方形的长为 ，宽为 ，周长为16，面积为15，则 的值为 12 0 ． 【解答】解：由题意得： ， ， 则原式 ， 故答案为：120 12．多项式 的公因式是 ，另一个因式是 ． 【解答】解：； 多项式 的公因式是 ，另一个因式是 ． 故答案为： ； ． 13．已知 可分解因式为 ，其中 ， 均为整数，则 等 于多少？ 【解答】解： ， 则 ， ， 故 ． 14．分解因式： ． 【解答】解：原式 ． 15．已知 ， ，则 ． 【解答】解： ， ，． 故答案为： ． 16．认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题： （1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ； （2）分解因式： ； （3）猜想： 分解因式的结果是 ． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法； 故答案为：提公因式法； （2）方法一： ； 方法二： ； （3） 分解因式的结果是： ．故答案为： ． 题型三 公式法——平方差公式 17．分解因式： ． 【解答】解： ． 18．分解因式： ． 【解答】解： ． 19．分解因式： ． 【解答】解： ． 20．分解因式 （1） （2） ． 【解答】解：（1） ； （2）． 21．已知 ， ， ，求 的值． 【解答】解： ， ． 22．已知 ， ，则 的值． 【解答】解：原式 ， 当 ， 时，原式 ． 23．已知 ，则 的值为 ． 【解答】解： ， ，解得 ， ． 故答案为： 题型四 公式法——完全平方公式 24．若 ，则代数式 的值是 ． 【解答】解： ， ． 故答案为 ．25．已知 且 ，求 的值． 【解答】解： ， ， ， ，即 的值是 ． 26．已知 是一个完全平方式， 求 的值 ． 【解答】解： 是完全平方式， ， ，即 ， 解得 ， ． 或 时， 是一个完全平方式 ． 27． 能被7整除吗？为什么？ 【解答】解： ， 所以能被7整除． 28．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 原式 （第一步）（第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．提取公因式法 ．平方差公式 ．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解． 【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择 ， 故答案为： ； （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为 ； 故答案为：不彻底； ； （3）原式 ． 29．下面是某同学对多项式 进行分解因式的过程． 解：设 ． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的 ． ．提取公因式 ．逆用平方差公式 ．逆用完全平方公式 （2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为 ． （3）试分解因式 ． 【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的逆用完全平方公式； 故选 ； （2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为 ； 故答案为： ； （3）设 ，原式 ． 30．已知 ，你能用完全平方公式求出 ， 的值吗？ 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ． 31．阅读下列材料，并解答相应问题： 对于二次三项式 这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成 的形式，但是对于二次 三项式 ，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式 中先加上一 项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是有：． （1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是． 配方法 （2）这种方法的关键是． （3）用上述方法把 分解因式． 【解答】解：（1）配方法； （2）配成完全平方式； （3） ．