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专题 10 位置与坐标（2）
题型一 求图形面积
1．已知点 ， ，且直线 与坐标轴围成的三角形面积等于28，则 的值是 ．
【解答】解： 点 ， ，
， ，
，
，
解得： ．
故答案为： ．
2．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，请回答下列问题：
（1）写出 关于 轴的对称图形△ 的顶点坐标．
（2）求 的面积．
【解答】解：（1） 关于 轴的对称图形△ 的顶点坐标为：
， ， ．
（2） 的面积为： ．3．如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半轴上一点，其中
满足方程 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）点 为 负半轴上一点，且 的面积为12，求点 的坐标；
【解答】解：（1）解方程 ，得到 ，
， ．
（2） ， ，
， ，
，
，
点 在 轴的负半轴上，
， ．
4．已知：在平面直角坐标系中， ， ，
（1）求 的面积；
（2）设点 在 轴上，且 与 的面积相等，求点 的坐标．【解答】解：（1）过点 作 轴， ，垂足分别为 、 ．
．
（2）设点 的坐标为 ，则 ．
与 的面积相等，
．
解得： 或 ．
所以点 的坐标为 或 ．
5．已知 ， ， ，则 的面积为 5 ．
【解答】解：如图所示：
的面积为： ．
故答案为：5．6．如图， 、 两点的坐标分别为 ， ，点 是 轴上一点，且 的面积为6，则点 的坐
标为 或 ．
【解答】解：如图，设 点坐标为 ，
根据题意得 ，
解得 或9，
所以 点坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
7．已知三角形 在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，则三角形 的面积为多少？
【解答】解： 的坐标是 ，1， ， 的坐标是 ， 的坐标是 ．则 ， ，则 ，
， ，则 ；
， ，则 ；
，
则 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足 ．
（1）填空： ， ；
（2）如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积；
（3）在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得 的面积与 的面积相等，请求
出点 的坐标．
【解答】解：（1） ，且 ，
解得： ， ，
故答案为： ，3；
（2）过点 作 轴于点 ，
， ，
，
又 点 在第三象限
；
（3）当 时，
，
点 有两种情况：①当点 在 轴正半轴上时，设点，
，
，
解得： ，
点 坐标为 ；
②当点 在 轴负半轴上时，设点 ，
，
，
，
解得：
点 坐标为 ，
故点 的坐标为 或 ．
9．如图，已知在平面直角坐标系中， 的面积为8， ， ，点 的坐标是 ．
（1）求 三个顶点 ， ， 的坐标；
（2）若点 坐标为 ，连接 ， ，则 的面积 2 ；
（3）是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？如果存在，请求出点 的坐标．【解答】解：（1） ，
，
，解得 ，
，
，
， ， ；
（2）作 轴于 ，如图1，
．
（3） ，
直线 的解析式是 ，
当 时， ，解得 ．
当点 在第一象限，即 ，作 轴于 ，如图2，
；
则 ，
解得 ．此时 点坐标为 ；
当点 在第二象限，即 ，作 轴于 ，如图3，
；
则 ，
解得 ．
此时 点坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．10 ． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， 其 中 ， 满 足
．
（1） 求 ， 的值；
（2） 如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
（3） 在 （2） 条件下， 当 时， 在坐标轴的负半轴上是否存在点 ，使得四边形
的面积与 的面积相等？若存在， 求出点 的坐标；若不存在， 请说明理由
．
【解答】解： （1） ， 满足 ，
， ，
解得 ， ．
故 的值是 2 ， 的值是 3 ；
（2） 过点 作 轴于点 ．
四边形 面积；
（3） 当 时， 四边形 的面积 ．
，
①当 在 轴负半轴上时，
设 ，则
，
解得 ；
②当 在 轴负半轴上时，
设 ，则
，
解得 ．
或 ．题型二 找规律
11．如图，将边长为1的正三角形 沿 轴正方向连续翻转2020次，点 依次落在点 ， ， ， ，
的位置，则点 的横坐标为 202 0 ．
【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出 、 的横坐标是1， 的横坐标是2.5， 、 的横坐
标是4， 的横坐标是 依此类推下去，
因为 ， ，所以 的横坐标为 2018.5． 、 的横坐标是
2020．
故答案为：2020．
12．如图，正方形 的顶点 ， ，规定把正方形 “先沿 轴翻折，再向左平移1个
单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形 的顶点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 正方形 的顶点 ， ，
，
，一次变换后，点 的坐标为 ，
二次变换后，点 的坐标为 ，
三次变换后，点 的坐标为 ，
，
次变换后的正方形在 轴下方，
点 的纵坐标为 ，其横坐标为 ．
经过2019次变换后，正方形 的顶点 的坐标为 ．
故选： ．
13．如图，将边长为1的正方形 沿 轴正方向连续翻转2020次，点 依次落在点 、 、 、
的位置上，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意 ， ， ， ， ， ， ， ，
，
每4个一循环，
则2020个应该在 轴，坐标应该是 ，
故选： ．14．如图，将边长为 1 的正三角形 沿 轴正方向连续翻转 2019 次，点 依次落在点 ， ，
的位置，则点 的横坐标为 2018. 5 ．
【解答】解：由题意可知 、 的横坐标是1， 的横坐标是2.5， 、 的横坐标是4， 的横坐标是
，
依此类推下去， 、 的横坐标是2017， 的横坐标是2018.5，
故答案为2018.5．
15．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 坐标是 ，经过第
1次变换后所得的 坐标是 ，则经过第2020次变换后所得的点 坐标是 ．
【解答】解：点 第一次关于 轴对称后在第四象限，
点 第二次关于 轴对称后在第三象限，
点 第三次关于 轴对称后在第二象限，
点 第四次关于 轴对称后在第一象限，
即点 回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
，
经过第2020次变换后所得的 点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为 ．
故答案为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 、 分别落在点
处，点 在 轴上，再将△ 绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴上，将△
绕点 顺时针旋转到△ 的位置，点 在 轴上，依次进行下去 若点 ， ，则点
的坐标为 ．
【解答】解： 点 ， ，
， ，
，
，
的横坐标为：4，且 ，
的横坐标为： ，
点 的横坐标为： ．
点 的纵坐标为： ．故点 的坐标为 ．
故答案为： ．
17．一只跳蚤在第一象限及 轴、 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到 ，然后接着按图中箭头
所示方向跳动 即 ， ， ， ， ，且每秒跳动一个单位，那么第2020秒时跳
蚤所在位置的坐标是 ．
【解答】解：由图可得， 表示 秒后跳蚤所在位置；
表示 秒后跳蚤所在位置；
表示 秒后跳蚤所在位置；
表示 秒后跳蚤所在位置；
表示 秒后跳蚤所在位置，
则 表示第2020秒后跳蚤所在位置．
故答案为： ．
18．如图，等边 的顶点 ， ，规定把等边 “先沿 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后， 顶点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 是等边三角形 ，
点 到 轴的距离为 ，
横坐标为2，
，
第2021次变换后的三角形在 轴下方，
点 的纵坐标为 ，
横坐标为 ，
所以，点 的对应点 的坐标是 ，
故选： ．
19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如 ， ，
， ， ， ， ，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是 ．【解答】解：把第一个点 作为第一列， 和 作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第 列有 个数．则 列共有 个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．
因为 ，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．
因而第2021个点的坐标是 ．
故答案为： ．
20．如图，点 ，点 ，点 ，点 ，按照这样的规律下去，点 的坐标为
． ．
【解答】解：观察图形可得， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
是奇数，且 ，
，，
故答案为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形 ，边 、 分别在 轴、 轴上，如果以
对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形 ，照此规律作下去，
则点 的纵坐标为 ．
【解答】解： 正方形 边长为1，
，
正方形 是正方形 的对角线 为边，
，
点坐标为 ，
同理可知 ，
点坐标为 ，
同理可知 ， 点坐标为 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
， ，， ，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来
的 倍，
，
的横纵坐标符号与点 相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
的纵坐标为 ．
故答案为： ．
22．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点 从原点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ ”的路线
运动，设第 秒运动到点 为正整数），则点 的坐标是 ．
【解答】解：每6个点的纵坐标规律： ，0， ，0， ，0，
，
点 的纵坐标为0，
点的横坐标规律： ，1， ，2， ，3， ， ，
点 的横坐标为1010，
点 的坐标 ，故答案为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点 ，
， ， ， ， ，则 的坐标是 ．
【解答】解：由图可得， ， ， ， ， ，
，
，即 ，
， ， ， ， ，
故答案为： ．
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为 1的正方形 （记为第1个正方形）的顶点 与原点重合，
点 在 轴上，点 在 轴上，点 在第一象限内，以 为顶点作等边△ ，使得点 落在 轴上，
轴，再以 为边向右侧作正方形 （记为第2个正方形），点 在 轴上，以 为顶
点作等边△ ，使得点 落在 轴上， 轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第 2021个
正方形的边长为 ．【解答】解： 正方形 （称为第1个正方形）的边长为1，
，
为等边三角形，
，
轴，
，
，
同理得 ，
，
由上可知第 个正方形的边长为： ，
第2021个正方形的边长为： ．
故答案为： ．
25．把自然数按如图的次序在直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点 对应的自然数
是1，点 对应的自然数是14，那么点 对应的自然数是 6 0 ；点 对应的自然数是【解答】解：观察图的结构，发现这些数是围成多层正方形，从内到外每条边数依次 ，所有正方形内
自然数个数即（每边自然数个数的平方数）都在第四象限的角平分线上（正方形右下角）． 其规律为
表示的数为 ，而且每条边上有 个数，
点 在第四层正方形边上，该层每边有 个数，右下角 表示的数是81，
所以点 表示的是第四层从左下角开始顺时针（从81倒数）第21个数，即为 ，
点 在第 层正方形边上，该层每边有 个数，右下角 表示的数是 ，
点 是正方形右上角的数，是从左下角开始顺时针（从 倒数）第 个数，即为
．故答案为：60， ．
26．如图，小球起始时位于 处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于
处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是 ，那么小球第2020次碰到球
桌边时，小球的位置是
A． B． C． D．
【解答】解：由图可得，
点 第一次碰撞后的点的坐标为 ，
第二次碰撞后的点的坐标为 ，
第三次碰撞后的点的坐标为 ，
第四次碰撞后的点的坐标为 ，
第五次碰撞后的点的坐标为 ，
第六次碰撞后的点的坐标为 ，
，
，
小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是 ，
故选： ．27．如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成△ ，第二次将△ 变换成△ ，第三次
将△ 变换成△ ，已知 ， ， ， ； ， ， ．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按次变化规律再将△ 变换成△ ，则
的坐标是 ， 的坐标是 ．
（2）若按第（1）题找到的规律将 进行了 次变换，得到△ ，比较每次变换中三角形顶点坐
标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 ． 的坐标是 ．
【解答】解：（1）因为 ， ， ， 纵坐标不变为3，
同时横坐标都和2有关，为 ，那么 ；
因为 ， ， ， 纵坐标不变，为0，
同时横坐标都和2有关为 ，那么 的坐标为 ；
（2）由上题第一问规律可知 的纵坐标总为3，横坐标为 ， 的纵坐标总为0，横坐标为 ，
的坐标是 ， ， 的坐标是 ， ．故答案为（1） ， ，（2） ， ， ， ．
28．如图所示，把多块大小不同的 角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 的一条直
角边与 轴重合且点 的坐标为 ， ，第二块三角板的斜边 与第一块三角板的斜边
垂直且交 轴于点 ，第三块三角板的斜边 与第二块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ，第四块
三角板斜边 与第三块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ．按此规律继续下去，则线段 的长
为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
， ，
，
， ，
，
， ，，
， ，
线段 的长为 ．
故选： ．
题型三 等腰三角形存在性问题
29．如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 在 轴上，若 是等腰三角形，则满
足条件的点 共有 个．
A．3 B．4 C．5 D．8
【解答】解：如上图：满足条件的点 共有 ， ， ， ， ．
故选： ．30．如图，在平面直角坐标系 中，分别平行 、 轴的两直线 、 相交于点 ．连接 ，若在
直线 上存在点 ，使 是等腰三角形．那么所有满足条件的点 的坐标是 或 或
或 ， ．
【解答】解：
，
当 为等腰三角形一条腰，则点 的坐标是 ， ， ， ；
当 为底边时，
，
直线 的解析式为 ，
过线段 的中点且与直线 垂直的直线解析式为： ，
点 的坐标是 ， ．
故答案为： 或 或 或 ， ．31．如图，在平面直角直角坐标系 中， 、 ．点 在 轴上，若在线段 （包括两个端
点）上找点 ，使得点 、 、 构成等腰三角形的点 恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点
的坐标不可能是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，
当点 坐标为 时，只能作以 、 为腰的等腰三角形，
当点 坐标为 时，可以作以 、 为腰的等腰三角形也可以作 、 为腰的等腰三角形，
当点 坐标为 时，只能作以 、 为腰的等腰三角形，
当点 坐标为 时，只能作以 、 为腰的等腰三角形，
故选： ．
32．如图，在平面直角坐标系中， 、 ，在坐标轴上找一点 ，使 为等腰三角形，则这
样的点 有 7 个．【解答】解：如图，使得 是等腰三角形，这样的点 可以找到7个．
故答案为：7．
33．如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，在 轴上确定一点 ，使 为一个等腰三角形，
则 点的坐标可以是 ， 或 或 或 ．
【解答】解：①以 为底边时，
作 的垂直平分线交 轴于点 ，
则
设点 的坐标为
则解得：
，
②当以 为腰 为顶点时，
如图2，以 为圆心，以 的长为半径作圆，交 轴于点 ，
此时 ，
故 的坐标为
③以 为腰 为顶点时，如图3，以 为圆心以 的长为半径作圆交 轴于点 和 ，
此时 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为
故答案为： ， 或 或 或34．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，四边形 是矩形，顶点 、 、 、 的坐标分
别为 ， ， ， ，点 ，点 在 边上运动，使 为等腰三角形，则满
足条件的点 有 4 个．
【解答】解：如图，使 为等腰三角形的 点有：
， ， ， ， ， ，
点 不在矩形 的边 上，
满足条件的点 有4个．
故答案为：4．
35．如图，矩形 的顶点 ， 分别在坐标轴上， ， ，点 是边 或边 上的一点，
连接 ， ，当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ， ．【解答】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
点 是边 或边 上的一点，
当点 在 边时， ，
，
，
．
当点 在边 上时，只有 ，此时 ， ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 ， ．
故答案为 或 ， ．
36．在平面直角坐标系中，已知点 ，线段 轴于 点，线段 轴于 点，且
．
（1）求 ， ， 三点的坐标．
（2）若点 是 的中点，点 是线段 上一动点，记点 的横坐标为 ，请用含 的代数式表示
的面积．
（3）在（2）的条件下，当点 运动到 的中点处时，请在 轴上确定一点 ，使得 为等腰三角
形，直接写出 点坐标．【解答】解：（1） ，
， ，
， ，
线段 轴于 点，线段 轴于 点，
， ， ；
（2） 线段 轴于 点，线段 轴于 点，
四边形 是矩形， ， ，
点 是 的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分 ，
的横坐标为 ，
的纵坐标为 ，
设 与 的交点 ，
当点 在线段 上时，如图1所示：
当点 在线段 上时，如图2所示：
；
（3）作 于 ，如图3所示：四边形 是矩形， ， ， 是 的中点，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
分三种情况：
① 时，点 的坐标为 或 ；
② 时， ，
， ；
③ 时，点 在 的垂直平分线上，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，即 ，
，
；
综上所述， 为等腰三角形时， 点坐标为 或 或 或 ．
