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专题 20 概率与统计常考小题归类
目 录
01 抽样方法与随机数表.......................................................................................................................2
02 统计图表及其数字特征...................................................................................................................3
03 传统线性拟合..................................................................................................................................6
04 非线性拟合处理...............................................................................................................................7
05 传统独立性检验...............................................................................................................................9
06 创新类定义统计.............................................................................................................................11
07 正态分布........................................................................................................................................14
08 超几何分布与二项分布.................................................................................................................16
09 随机变量的分布列、期望、方差..................................................................................................18
10 古典概型........................................................................................................................................21
11 条件概率与全概率.........................................................................................................................22
12 概统结合问题.................................................................................................................................2413 传统规则的概率问题.....................................................................................................................26
14 新赛制概率问题.............................................................................................................................30
15 递推型概率命题.............................................................................................................................31
01 抽样方法与随机数表
1．（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的
情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别
为（ ）
A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义，知男生共抽取 （人），女生共抽取
（人）．
故选：D．
2．（2024·广东·高三统考学业考试）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽
取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是（
）
A．1，11，21，31，41，51 B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56 D．3，9，13，27，36，54
【答案】A
【解析】由 知组距为10，
当第一组抽到的编号为i时，根据系统抽样方法可知，第k组取的编号为 ，
当 时可知A正确，易知BCD错误.
故选：A
3．（2024·全国·高三专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 019名学生中选取50名组成志愿团，若先
用简单随机抽样的方法从2 019名学生中剔除19名，再从剩下的2 000名学生中按分层抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（ ）
A．都相等且为 B．都相等且为
C．不完全相等 D．均不相等
【答案】A
【解析】根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，
所以每个个体被抽到的概率都等于 ，故A项正确.
故选：A.
02 统计图表及其数字特征
4．（多选题）（2024·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下
面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关
数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比超过
B．2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过
C．2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
D．2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数
据用其中间值作代表）
【答案】BC
【解析】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比为，故A正确；
由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为 ，故B错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
，故C错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为
，故D正确.
故选：BC
5．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消
费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次
扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
【答案】BC
【解析】每周都消费新式茶饮的消费者占比 ,A错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比 ，B正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比 ，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比 ,D错误．
故选：BC
6．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的中位数为0.1%
C．环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的下四分位数为1.55%
【答案】ACD
【解析】由题意得，同比涨跌幅从小到大排列依次为0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，
2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%；
环比涨跌幅从小到大排列依次为－0.2%，－0.2%，－0.1%，0%，0%，0%，0.1%，0.3%，0.4%，0.4%，
0.5%，0.6%．-
选项A中：环比涨跌幅的极差为 ，
同比涨跌幅的极差为 ，因为 ，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的中位数为 ，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的下四分位数为 ，所以D正确.
故选：ACD.
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）记男生样本 的平均数为 ，方差为 ；女生样本
的平均数为 ，方差为 ；男女总样本 的平均数记为 ，方差为 ，则
下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．
【答案】BCD
【解析】对A， ，可得 ，则 或 ，A不正确．
对B， ，所以 ，若 ，则 ，B正确．
对C，因为 ，所以 ，
则 ．
又 ，
所以 ，C正确．
对D，
，
所以 ，D正确．
故选：BCD
03 传统线性拟合8．已知一组数据点 ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 ，若 ，
则 ．
【答案】
【解析】根据题意可知该组数据点 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
9．（2024·广西·模拟预测）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下
表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年借阅量 万
4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
册
根据上表，可得 关于 的线性回归方程为 .则 .
【答案】
【解析】根据表格可知，
， ，
代入 ，可得 .
故答案为：
10．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 (单
位：吨）与相应的生产能耗 （单位：吨）的几组对应数据：
3 4 5 6
2.5 t 4 4.5根据上表提供的数据，求得 关于 的线性回归方程为 ，那么表格中 的值为 ．
【答案】3
【解析】 ．
因为回归直线过样本中心点 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：
04 非线性拟合处理
11．（2024·湖南·校联考模拟预测）若需要刻画预报变量 和解释变量 的相关关系，且从已知数据中知
道预报变量 随着解释变量 的增大而减小，并且随着解释变量 的增大，预报变量 大致趋于一个确定
的值，为拟合 和 之间的关系，应使用以下回归方程中的（ ， 为自然对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着 的增大而增大，不合题意，故A
错误；
对于B：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着 的增大而减小，当解释变量 ，
，不合题意，故B错误；
对于C：因为 在定义域内单调递增且 ，所以 随着 的增大而减小，当解释变量 ，
，不合题意，故C错误；
对于D：因为 在定义域内单调递减且 ，所以 随着 的增大而减小，当解释变量 ，
，故D错误；
故选：D．
12．（2024·广东梅州·统考一模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续
增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模
型 （其中e为自然对数的底数）拟合，设 ，得到数据统计表如下：年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程 ，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
即经验回归方程 ，
当 时， ，
所以 ，
即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为 ，
故选：B
13．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）以模型 去拟合一组数据时，为了求
出回归方程，设 ，将其变换后得到经验回归方程 ，则 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，设 ，可得 .
又经验回归方程为 ，
所以 ，故 .
故选：B05 传统独立性检验
14．（2024·全国·高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有
关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 人，男生中喜欢短视频的人数占男生
人数的 ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 .零假设为 ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据
的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为（ ）
附： ，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设 ，
于是 ，
由于依据 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知 ，解得 ，于是 最小值为 .
故选：C
15．（2024·全国·高三专题练习）2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政
策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，
为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互
联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师
教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25
名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别
之间（ ）
认真上网课 不认真上网 合计课
男生 5 20 25
女生 15 10 25
合计 20 30 50
参考数据：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
A．不能根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的 的 独立性检验认为两者无关
【答案】B
【解析】由数表知， ，而 ，
所以根据小概率的 的 独立性检验认为两者有关．
故选：B
16．（2024·全国·高三专题练习）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现
随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合计 30 100
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”（ ）附： ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．0.001 B．0.05
C．0.01 D．0.005
【答案】B
【解析】完善2×2列联表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合计 30 70 100
零假设为H：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．
0
因为χ2＝ ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断H 不成立，
0
即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．
故选：B.
06 创新类定义统计
17．（多选题）为了估计一批产品的不合格品率 ，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为 的样本
，定义 ，于是 ， ， ，记
（其中 或1， ），称 表示 为参数的似然函数．极大似
然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有
若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也
即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．
根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽
取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼
的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D． 达到极大值时，参数 的极大似然估计值为
【答案】BCD
【解析】极大似然是一种估计方法，A错误；
设鲤鱼和草鱼的比例为 ，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为 ，
设
，
时， ， 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 最大，故B正确；
根据题意， （其中 或1， ），
所以 ，可知C正确；令 ，解得 ，且 时 ， 时 ，故 在
上递增，在 上递减，故 达到极大值时，参数 的极大似然估计值为 ，故
D正确.
故选：BCD
18．高一模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各
批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成
绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科
对总分上线贡献率” 和“学科有效分上线命中率” 这两项评
价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十
分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学
成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数
点后一位有效数字）
学
生
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
编
号
数
学 12 11 12 10 10 11 11 10 10 11 10
99 89 98 92 84 94 97 85 85
成 0 7 2 1 0 2 1 2 0 3 4
绩
总
分 49 49 49 48 48 48 48 48 47 47 47 47 46 45 45 45 44 44 44 44
成 5 4 3 5 3 3 2 0 9 5 1 0 3 7 4 3 8 8 1 0
绩
A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%
C．41.7%，35% D．60%，35%
【答案】A
【解析】由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；“学科对总分上线贡献率”为 ，
“学科有效分上线命中率”为 ，
故选：A．
19．（2024·河北·高三学业考试）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记
载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（ ）
A．600石 B．800石 C．1600石 D．3200石
【答案】C
【解析】设这批米大约为 石，
根据题意，可得 ，解得 石.
故选：C.
07 正态分布
20．（2024·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机
变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量 ，
当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似地替代，且正态随机变量 的期望和方差与
二项随机变量 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了 时这个结论是
成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数 都
成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正
态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若 ，则 ，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为 ，
则 .
由题意 ，且 ，
因为 ，即 ，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为
.
故选：B.
21．（2024·全国·高三专题练习）老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公
交车有A，B两条路线可以选择．乘坐路线A所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，下车后步
行到家，要5分钟，乘坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正态分布 ，下车后步行到家要12
分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（ ）
（参考数据： ，则 ， ，
）
A．若乘坐路线A，则在17:48前到家的可能性超过1%
B．若乘坐路线B，18:00前一定能到家
C．乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样
D．乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更小
【答案】C
【解析】设乘坐路线A所需时间为 ，乘坐路线B所需时间为
对于A，由 知， ，
因为 ，所以 ，所以A选项错误；
对于B，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，可能不发生，所以B选项错误；
对于C， ， ， ，
，
因此乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样，选项C正确．
对于D， ， ，乘坐路线B
比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更大，选项D错误．
故选：C.
22．（2024·江苏镇江·高三统考开学考试）已知某工厂生产零件的尺寸指标 ，单位为 .
该厂每天生产的零件尺寸在 的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以
上的数量为（ ）
参考数据：若 ，则 ， ，
.
A．1587 B．2275 C．2700 D．1350
【答案】D
【解析】由已知 ， ， ，
零件尺寸在15.15以上的概率为 ，
设零件尺寸在15.15以上的零件数为 ，
则 ， ，故选：D．
08 超几何分布与二项分布
23．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”
活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花
盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共
种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【解析】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为 ，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为 ，且被评为“阳光小组”的盆数 服从二项分布
，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有 .
故答案为：410
24．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄
球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是 .
故选：B.
25．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华
文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十
背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概
率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ；
若任取的3个数中有1个阴数，则概率为 ；
故这3个数中至多有1个阴数的概率为 .
故选：A.
26．（2024·湖北十堰·高三统考期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随
机取两次，每次取1张卡片． 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”， 表示事件“第二次取出的
卡片上的数字为1”， 表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”， 表示事件“两次取出的卡片上
的数字之和为7”，则（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 相互独立
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
【答案】B
【解析】由题意知 ， ，
，，
因为 ，所以A错误，
因为 ，所以B正确，
因为 ，所以C错误，
因为 ，所以D错误．
故选：B
09 随机变量的分布列、期望、方差
27．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 ，且 ，记随机变量 为x，y，z中的最大值，
则 .
【答案】17
【解析】由题意可得： 的可能取值为 ，
用隔板法可求得：事件总情况为 种，
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 ，则有 种，故 ；
故 的分布列为：
4 5 6 7 8故 .
所以
故答案为： .
28．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量 的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则 ； .
【答案】 2.8 10.4
【解析】 ,
.
故答案为：2.8；10.4.
29．（2022上·浙江湖州·高三校考期末）用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数，则其中0和4不相
邻的四位数有 个，设这些无重复数字的四位数的各数字之积为 ，则 ．
【答案】
【解析】当 在 不在时，此时有 个，
当 不在 在时，此时有 个，
当 都在时，
若 在千位， 可在十位或百位，此时有 个，
若 在百位， 只能在个位，此时有 个，
若 在十位， 无合适位置，故不成立，
若 在个位， 只能在百位，此时有 个，
所以 和 不相邻的四位数有 个；当四位数中含有 时，此时有 个，此时
当四位数中不含有 时，此时有 个，此时 ，
由上可知 可取 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： ； .
30．（2023·安徽·校联考模拟预测）随机变量 有3个不同的取值，且其分布列如下：
则 的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意知 ，则 ，则 ，
设 ，则 ，
故 ，所以 ，
当 时， 取最小值 ，
故答案为：
10 古典概型
31．（2024·河北邢台·高三统考期末）保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲
可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为 ．【答案】 /0.8
【解析】利用分步乘法原理计算出一共有25种结果，其中两个班抽到不同歌曲的个数为20种，
则根据古典概型的概率公式计算： .
故答案为：
32．（2024·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外
完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．
（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜
色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个
球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
【答案】 / /
【解析】放回的抽取时，两次抽取共有 种情况，
其中两次抽取颜色相同共有 种情况，
其中黑色相同的有 种，白色相同的共有 种，
故所求概率为 ；
当不放回的抽取时，颜色相同的有 种情况，
其中其中黑色相同的有 种，白色相同的共 种，
所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，
第一次抽取的球是白球的概率为 .
故答案为： ；
33．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小
组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 .
【答案】
【解析】一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生,
从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为 ,选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为 ,
则所求事件的概率为 ，
故答案为： .
34．（2024·重庆·高三统考期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为
1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为
．
【答案】 /
【解析】由题意取出的球颜色不同的取法数有 ，若球的编号之和为奇数，
当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白球，
当选编号为2的黑球时，可以选编号为1，3的白球，
即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有 种，
所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 .
故答案为： .
11 条件概率与全概率
35．（2024·广东东莞·高三统考期末）用试剂 检验并诊断疾病 ， 表示被检验者患疾病 ， 表示判断
被检验者患疾病 ．用试剂 检验并诊断疾病 的结论有误差，已知 ， ，且人群
中患疾病 的概率 ．若有一人被此法诊断为患疾病 ，则此人确实患疾病 的概率
．
【答案】
【解析】由条件概率公式可得 ，
，由条件概率公式可得 ，
所以， ，
所以， .
故答案为： .
36．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市
的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，
4），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的
任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的
3个外卖店取单，设事件 {第 次取单恰好是从1号店取单}， 是事件 发生的概率，显然
， ，则 ， ．
【答案】
【解析】依题意， ，
所以 ，
又 ，因此 ；
；
.
故答案为： ； .
37．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交
通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑
共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是 .
【答案】
【解析】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为 ，小明上班不迟到的事件为 ，
则 ，且 两两互斥，依题意， ，
，
因此 ，
所以某天上班他迟到的概率 .
故答案为：
12 概统结合问题
38．（2024·辽宁大连·高三统考期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功
构建 光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要 秒，而目前世界最快
的超级计算机要用 亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题
名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是
英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰
好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白
球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又
碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③
个格子的概率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向
右的概率均为 ，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
39．（2024·河南·高三校联考阶段练习）如下表，根据变量 与 之间的对应数据可求出 .其
中 .现从这 个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由表中的数据可知， ，
设 的最后一个数据为 ，则 ， ，
将 ， 代入 得 ，
这 个样本点对应的残差分别为：
，
，
，
，
，
所以残差不大于 的概率为 .故选： .
40．（2024·全国·校联考模拟预测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校
学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2.6小时
C．估计该地初一年级学生的平均做作业的时间超过2.6小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【解析】由直方图得超过3小时的频率为 ,所以A正确；
设直方图的中位数为x，则有 ，
解得 ，故B正确；
直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：
所以平均数大
于中位数，所以C正确；
做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为 ，所以D错误,
故选:D．
13 传统规则的概率问题
41．（多选题）（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若
取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且 ， ，
故 ；
从而 ，故选项A正确；
， ， ，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
42．（多选题）（2024·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校考阶段练习）袋中有8个大小相同的球，
其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球
的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论
中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 ， 均服从于超几何分布，且 ， ，
， ，对选项A： ，错误；
对选项B： ， ，正确；
对选项C： ，正确；
对选项D： ，正确；
故选：BCD.
43．（2024·浙江·高二统考阶段练习）现有n（n>2, ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其它
无区别的小球，第k（k=1,2,3…n）个袋子中有k个红球， 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个
袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为 ，则n=
（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为 ，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第 k个袋子中连取三次球第三次取出的球是白球的概率为： ，
因为选取第k个袋的概率为 ，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：当 时， .
故选：B.
44．（2024·浙江绍兴·高三统考学业考试）一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（ ，
），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设 表示取出的红球个数， 表示取出的白球个数，
则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：随机变量 的分布列如下图所示：
0 1
P
所以有 ,
，
随机变量 的分布列如下图所示：
0 1
P
，
，因为 ，所以 ，因此有 ，故本题选D.
45．（2024·浙江·高三专题练习）甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再
胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：
①第一局甲队获胜，此时的概率为 ；
②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为 ，
综上所述，甲队获胜的概率为 ，
故选：D.
46．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,
甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为 ,前2局中乙队以 领先,则最后乙队获胜的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲
胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为
；
第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为 ；
第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜 ；
故最后乙队获胜的概率 ，
故选：B.14 新赛制概率问题
47．（2024·浙江宁波·高一统考期末）2022年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3:2逆转击败韩国女足，
成功夺冠.之前半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足.假设罚点球的球员等可能地随机选
择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而
且即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门
就扑出点球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为 ，
故选：B
48．（2024·福建漳州·高三校考期末）已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随
机均分为 组，同组 人先进行一场比赛， 组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为 ，
则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所有人在比赛中获胜的概率均为 ，所以甲、乙、丙、丁四人进入决赛的可能性相等.
所以进入决赛可能出现的情况有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6种情况，
甲乙在决赛中相遇的情况只有（甲乙）1种，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在决赛中相遇的概率为 .
故选：B.
49．（2024·全国·模拟预测）为了丰富同学们的业余生活，增强体质，培养团队意识，甲、乙两校举行乒
乓球比赛．比赛采取5局3胜制．假设每局比赛甲校胜乙校的概率都为 ，没有平局，且各局比赛的结果互不影响，则甲校以3：0获胜或以3：1获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲校以3：0获胜表示比赛进行3局结束，甲校胜3局，概率为 ，
甲校以3：1获胜表示比赛进行4局结束，甲校胜3局，且第4局甲校胜，概率为 ，
所以所求概率为 ，
故选：C．
15 递推型概率命题
50．（2023·全国·高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强
拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传
球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，
接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
【答案】
【解析】设第 次由乙同学传球的概率为 ，显然 ，
第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为 ，
如果球传到乙，则乙不能传到乙，
故第 次由乙传球的概率 与第 次由乙传球的概率 的关系为：
，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，则 ，故 .
故答案为： .
51．（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、
第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为 ，若一枚棋子开始在第1站，棋
手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳
两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜
的概率为 ．
【答案】 /0.75
【解析】由题 ，因为 ，故 ，由 ，所
以 ，累加可得：
．
故答案为： ； .
52．（2022下·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）五名运动员 、 、 、 、 相互传球．每
个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由 开始进行第 次传球，那么恰好在第 次传球把球
传回到 手中的概率是 （用最简分数表示）．
【答案】
【解析】设第 次传球把球传回到 的手中的概率为 ，第 次传球 将球传给其他运动员，故 ；
表示第 次传球把球传回到 的手中，故传球前球不在 手中，
而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为 ，由乘法原理，故 ．
于是 ，且 ，
故数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，
于是 ，即 ， ，
故 .
故答案为： .
53．（2022·天津·天津市蓟州区第一中学校联考一模）某高中食堂鲜奶站提供 、 两种鲜奶，他们经过
统计分析发现：第一次购买的人购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率为 ，而前一次购买 种
鲜奶的人下一次来购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率为 ，前一次购买 种鲜奶的人下一次
来购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率也是 ，如此往复．记某人第 次来购买 种鲜奶的概
率为 ．则 ﹔经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800人，假定这800人都已
购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备 种鲜奶 份．
【答案】 320
【解析】解:根据题意, ,所以
由题知， ，所以 ，
所以 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ，即 ，
因为假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，
所以当 时， ，
所以公司每天应该准备 种鲜奶 份
故答案为： ； .
