文档内容
专题 10 圆的概念与圆的对称性
考点一 圆的基本概念 考点二 求圆中弦的条数
考点三 判断点与圆的位置关系 考点四 利用点与圆的位置关系求半径
考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证
考点一 圆的基本概念
例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆的有关定义分别判断即可．
【详解】
解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆
有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【解析】
【分析】
根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的
任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫
做劣弧进行分析．
【详解】
解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；
经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；
圆有无数条对称轴，符合题意；
没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；
正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，关键是掌握直径、弧的定义，注意在同圆或等圆中，优弧的长度一定大于劣弧
的长度．
2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
考点二 求圆中弦的条数
例题：（2022春·九年级课时练习）如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一
个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦 共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·湖南长沙·九年级校考期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在 中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共
有_______条弦，它们分别是_____________．
【答案】 三##3 ， ，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有 ， ， 共三条．
故答案为：三； ， ， ．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
考点三 判断点与圆的位置关系
例题：（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为8，则点 在
______（填“内”“上”或“外”）．
【答案】外
【分析】点与圆的位置关系有3种．设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：①点 在圆外
；②点 在圆上 ；③点 在圆内 ，由此即可判断；
⇔【详解】解： ，⇔ ， ⇔
，
点 在 外，
故答案为：外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点 在圆外 ；②点 在圆上 ；③点 在圆
内 是解题的关键． ⇔ ⇔
⇔【变式训练】
1．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）已知⊙O的半径为8，点 到点 的距离为8，则点 在
⊙O____．（填“上、内或外”）
【答案】上
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的大小关系来判断，当 时，点在圆外；当 时，
点在圆上；当 时，点在圆内．依此即可求解．
【详解】解： ⊙O的半径为8，
，
∵点 到点 的距离为8，
，
点A在 上．
故答案为：上．
【点睛】此题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系的条件是解此题的关键．
2．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点
在 ______（填内、上、外）．
【答案】内
【分析】根据 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，即可判定．
【详解】解： 的半径 ，点 到圆心 的距离为 ，
点 在 内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握和运用点与圆的位置关系的判定方法是解决本题的关键．
考点四 利用点与圆的位置关系求半径
例题：（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt 中， ， ，分别以点
为圆心画圆，如果点 在 上， 与 相交，且点 在 外，那么 的半径长 的取值范围是
________．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出斜边 ，根据点和圆的位置关系求出 的半径，再求出 的半径的取值范
围即可．
【详解】解：在Rt 中， ， ，由勾股定理得： ，点 在 上，
的半径是6，
设 交 于 ，则 ，
∵ 与 相交，
∴ ，
点 在 外，，
的半径小于10，
即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边 的长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）平面直角坐标系中，以点 为圆心的 ，若该圆上有且仅有两个点
到 轴的距离等于 ，则 的半径 的取值范围是______．
【答案】
【分析】到 轴的距离等于 的点在直线 或直线 上，当 上有且仅有两个点到 轴的距离等于
时，则直线 与 相离，直线 与 相交，由此即可求出 的半径 的取值范围．
【详解】解：如图，到 轴的距离等于 的点在直线 或直线 上，
当 与直线 相切时，设切点为点 ，则 ，
此时 上只有一个点到 轴的距离等于 ；
当 与直线 相切时，设切点为点 ，则 ，
此时 上有三个点到 轴的距离等于 ，
由此可知，当 上有且仅有两个点到 轴的距离等于 时，则直线 与 相离，直线 与 相
交，的半径 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系等知识，正确理解到 轴的距离等于 的点在直
线 上或在直线 上是解题的关键．
2．（2022春·九年级单元测试）矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、
C、D三点有两个点在 内，有一点在 外，则 的半径 的取值范围是____．
【答案】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出对角线 的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解．
【详解】解：连接 ，
矩形 ，
， ，
在 中，
，
当点 在 上时，半径 ，
当点 在 上时，半径 ，当点B、 、 三点有两个点在 内，有一点在 外需满足 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解
题的关键．
考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解
例题：（2021秋·广东江门·九年级校考期中）如图，弦 的长等于 的半径，那么弦 所对的圆心角
的度数__________．
【答案】 ## 度
【分析】由 的弦 等于半径，可得 是等边三角形，继而求得 所对的圆心角的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，在 中， 弧 与弧 相等， ，则 _______°．
【答案】30
【分析】由弧 与弧 相等推得弧 和弧 相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出 的度数．
【详解】解：∵弧 与弧 相等，
∴弧 和弧 相等，
∴ ；
故答案为：30．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，AB，CD是 的直径， ，若 ，则 的度
数是________．
【答案】 ##64度
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出 ，再根据对顶角相等，可推
出 ，最后用 即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解
题的关键．
考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证
例题：（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知如图所示， 为直径 上一点， ， 为过点 的两条
弦，且 ；(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据弧长之间的关系，可证 ；
（2）由 推出 ．
【详解】（1）证明：作 ， ，
；
，
，
， ，
即 ．
（2）证明： ，
．
【点睛】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系，掌握圆心角与弦和弧的关系式解题的关键
【变式训练】
1．（2020秋·九年级统考期末）如图，在 中，弦 ．求证： ．【答案】见解析
【分析】在 中，弦 ，推出 ，得到 ，进而得出 ．
【详解】证明：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是
正确解答的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，已知 是 的直径，弦 ．
(1)求证：弧 弧 ；
(2)若弧AC的度数为 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，，求出 ，根据圆心角与弧的关系即可得证；
（2）求出 ，求出 ，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
， ，
，
；
（2）解： 的度数是 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键．
一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期中）若 的半径为 ，点 到圆心O的距离为 ，则点 与 的
位置关系为（ ）
A．点 在圆外 B．点 在圆上 C．点 在圆内 D．不能确定【答案】C
【分析】根据半径和点到圆心的距离确定点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点 到圆心O的距离为 ，
∴ ，
∴点 在圆内，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
2．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习） 的半径为5，点A到圆心O的距离为d，已知点A在
的外部，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点在圆外，其到圆心的距离大于半径即可得出答案．
【详解】解：根据题意即可知 ．
故选：B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握①当点在圆外时，其到圆心的距离大于半径；②
当点在圆上时，其到圆心的距离等于半径；③当点在圆内时，其到圆心的距离小于半径．
3．（2022春·九年级课时练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么
它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据弧的定义，等圆，等弧，弧、圆心角、弦之间的关系等知识一一判断即可．
【详解】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量也相等．4．（2022秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径， ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对圆心角相等是解题的
关键．
5．（2022春·九年级课时练习）如图，在 中，半径 ， ，求 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， ，首先计算 ，然后再由 ，可知
，结合三角形外角的性质计算 的度数即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识，熟练掌握相
关性质并灵活运用是解题关键．
6．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等
C．长度相等的弧不一定是等弧
D．坐标系中，以原点O为圆心， 为半径作 ，则点 在⊙O外
【答案】D
【分析】由直径的概念可判断A，由弦，弧，圆心角的关系可判断B，由等弧的概念可判断C，由点圆的
位置关系的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：过圆心的弦是圆的直径，表述正确，故A不符合题意；
同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等，表述正确，故B不符合题意；
长度相等的弧不一定是等弧，表述正确，故C不符合题意；
坐标系中，以原点O为圆心， 为半径作 ，如图，
，
则点 在 上，故D表述错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是圆的基本概念，弧，弦，圆心角之间的关键，点与圆的位置关系，熟记以上基本概
念是解本题的关键．二、填空题
7．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）已知 的面积为 ，若 ，则
点P在圆____________．
【答案】外
【分析】先求出圆的半径，再根据点和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为25π，
∴ ，解得 ．
∵ ，
∴点P在圆外．
故答案为：外
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，判断点和圆的位置关系时，关键是比较点到圆心的距离与圆的半
径的大小，再根据大小关系进行作答． 若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外，当
d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
8．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的
位置关系是 _____．
【答案】在圆外
【分析】根据由⊙O的半径为3，而点A到圆心O的距离为3，得到点A到⊙O的距离大于圆的半径，根据
点与圆的位置关系即可判断点A与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵⊙O的半径为2，
又∵点A到圆心O的距离为5，
∴
∴点A与⊙O的位置关系是在圆外．
故答案为：在圆外．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系
完成判定．
9．（2022秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考期中）如图， 是 的直径，C是 的中点，
若 ，则 的度数为___________．【答案】 ##40度
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出 的度数，进而可得 的度数．
【详解】解：∵C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
10．（2022秋·九年级课时练习）已知矩形 中， ， ，以点B为圆心r为半径作圆，且
与边 有唯一公共点，则r的取值范围是__________．
【答案】
【分析】连接 ， ，利用勾股定理求出 的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且 与边
有唯一公共点，就可求出 的半径r的取值范围．
【详解】解：连接 ， ，∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∵以点B为圆心作圆， 与边 有唯一公共点，
∴ 的半径r的取值范围是： ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理．注意若半径为r，点到圆心的距离为
d，则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内．
11．（2022春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E
的度数是___________．
【答案】
【分析】先运用等弧对等角得出 ，再利用三角形外角性质即可求解．
【详解】解：由 、 是 的两个等分点， 知， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
12．（2022秋·九年级单元测试）圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，
固定的端点 叫做_______．线段 叫做_______．
（b）圆是所有点到定点 的距离________定长 的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的________叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的
弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫_______（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对
圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够_______的弧叫等弧．
（5）等圆：能够________的两个圆叫等圆，半径________的两个圆也叫等圆．
【答案】 圆心 半径 等于 线段 弧 完全重
合 完全重合 相等
【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答．
【详解】（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，
固定的端点 叫做圆心．线段 叫做半径．
（b）圆是所有点到定点 的距离等于定长 的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周
角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．
（5）等圆：能够完全重合 的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．
故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．
【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键．
三、解答题
13．（2022秋·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）在 中，弦 ，求证 ．【答案】见解析
【分析】在 中，由弦 ，可得 ，根据等式的性质可得 ，即
，进而得出 ．
【详解】解∶在 中，
即
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是
正确解答的关键．
14．（2022秋·九年级单元测试）如图， 是⊙O的直径，点M是 的中点，连接 ．求证：
；
【答案】见解析
【分析】利用圆中半径都相等，以及等弧对等角和三角形的外角的性质，推出 ，即可得证．【详解】证明：∵M是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等弧对等角，以及等边三角形等边对等角和三角形外角的性质，以及平行线的判定．熟
练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是
______．
【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外
(2)6
