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专题 20 概率、随机变量与分布列
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 随机事件的概率与古典概型
1、事件的相关概念
2、频率与概率的关系
（1）频率：在 次重复试验中，事件 发生的次数 称为事件 发生的频数，频数 与总次数 的比
值 ，叫做事件 发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，并且在它附近
摆动，这时，就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件 ，由于事件 发生的频率 随着试验次数的增加稳
定于概率 ，因此可以用频率 来估计概率 ．
3、事件的关系与运算
（1）包含关系：一般地，对于事件 和事件 ，如果事件 发生，则事件 一定发生，这时称事件 包
含事件 （或者称事件 包含于事件 ），记作 或者 ．
（2）相等关系：一般地，若 且 ，称事件 与事件 相等．
（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生或事件 发生，则称此事件为事件 与事件
的并事件（或和事件），记作 （或 ）．
（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件 发生且事件 发生，则称此事件为事件A与事件
B的交事件（或积事件），记作 （或 ）．
（5）互斥事件：在一次试验中，事件 和事件 不能同时发生，即 ，则称事件 与事件 互斥；
如果 ， ，…， 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件 ，． ．，…， 彼此互斥．
（6）对立事件：若事件 和事件 在任何一次实验中有且只有一个发生，即 不发生，
则称事件 和事件 互为对立事件，事件 的对立事件记为 ．
4、概率的基本性质
（1）对于任意事件 都有： ．
（2）必然事件的概率为 ，即 ；不可能事概率为 ，即 ．
（3）概率的加法公式：若事件 与事件 互斥，则 ．
推广：一般地，若事件 ， ，…， 彼此互斥，则事件发生（即 ， ，…， 中有一个发生）
的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即： ．
（4）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 ， ，且
．
（5）概率的单调性：若 ，则 ．
（6）若 ， 是一次随机实验中的两个事件，则 ．
5、古典概型
（1）古典概型的定义：一般地，若试验 具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（2）古典概型的概率公式：一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件 的概率 ．
知识点2 相互独立事件与条件概率、全概率
1、相互独立事件
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件 ， ，如果 ，则意味着事件 的发生不影响事件 发生的概率．设
，根据条件概率的计算公式， ，从而 ．
由此可得：设 ， 为两个事件，若 ，则称事件 与事件 相互独立．
（2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件 与 ，若 ，则
．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质：如果事件 ， 互相独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立
性，即若事件 ， ，…， 相互独立，则这 个事件同时发生的概率 ．
2、条件概率
（1）条件概率的定义：一般地，设 ， 为两个事件，且 ，称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和1之间，即 ．
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为 ．
③如果 与 互斥，则 ．
3、全概率公式（1）全概率公式： ；
（2）若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意事件 ，都有 ，且
．
4、贝叶斯公式
（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理 若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
知识点3 随机变量的分布列、均值与方差
1、随机变量的有关概念
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2、离散型随机变量分布列
（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量 可能取的不同值为 ，
取每一个值 的概率 ，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列．有时为了简单起见，也用等式
， 表示 的分布列．（2）分布列的性质：（1） ， ；（2） ．
3、离散型随机变量的均值与方差
（1）均值： 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了离散型随
机变量取值的平均水平．
（2）均值的性质
C
① （ 为常数）．
②若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
③ ．
④如果 相互独立，则 ．
（3）方差： 为随机变量 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离
程度，称其算术平方根 为随机变量 的标准差．
（4）方差的性质
①若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
②方差公式的变形： ．
知识点4 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称 X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概
率．
X 0 1
P 1－p p
2、二项分布
（1） 次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 次试验称为 次独立重复试验．
【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都
只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
（2）二项分布的表示：一般地，在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事
件 发生的概率为 ，不发生的概率 ，那么事件 恰好发生 次的概率是 （
， ， ，…， ），于是得到 的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，记作 ，并称 为成功概
率．
（3）二项分布的期望、方差：若 ，则 ， ．
3、超几何分布：在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则事件 发生的
概率为 ， ，其中 ，且
，1，2，…， ， ， ， ，
，称分布列为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超
几何分布．
0 1 …
…
4、正态曲线与正态分布
（1）正态曲线：我们把函数 ， （其中 是样本均值， 是样本标准
差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 处达到峰值（最大值） ；
④曲线与 轴之间的面积为1；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定． 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； 越大，
曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，
（3）正态分布：一般地，如果对于任何实数 ， ，随机变量 满足 ，
则称随机变量 服从正态分布．正态分布完全由参数 ， 确定，因此正态分布常记作 ．如果
随机变量 服从正态分布，则记为 ．
其中，参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变
量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
（4） 原则
若 ，则对于任意的实数 ， 为下图中阴影部分的
面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越小， 落在区间 的
概率越大，即 集中在 周围的概率越大特别地，有 ； ；
．
由 ，知正态总体几乎总取值于区间 之内．而在此区间
以外取值的概率只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际
应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的值，并简称之为
原则．
重难点01 二项分布中的最值问题
记 ，则当 时， ，pk递增；当 时， ， 递减.
故 最大值在 时取得（此时 ，两项均为最大值；
若 非整数，则k取 的整数部分时， 最大且唯一）.
【典例1】（24-25高三上·河北沧州·月考）某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次
文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为 ，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道
试题后结束比赛，记该同学答对 道试题的概率为 ，则当 时， 取得最大值.
【答案】13或14
【解析】由题意得 ， 且 ，
则 ，即
故 又 ，所以 或 ，
故当 或 时， 取得最大值.
故答案为：13或14.【典例2】（24-25高三上·江西新余·月考）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”
两种状态，某种险情发生时每个报警器都有 的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量
为 .
(1)求 的分布列与数学期望；
(2)求 的值使某次险情发生时有最大的概率有 个报警器发出警报.
【答案】(1)分布列见解析， ；(2)
【解析】（1）根据题意， , 可以取0、1、2、3、4，
，
，
，
，
所以， 的分布列：
X 0 1 2 3 4
P
故
（2）
则： ，化简得 ,继续化简得到 ，
解得： ，又由于 ，故
重难点02 概率在决策中的应用
利用随机变量的数学期望与方差可以帮助我们做出科学的决策，其中随机变量X的数学期望的意义在于描
述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、预报的
准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有 ， ， 三类问题，考生
可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回
答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问
题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答 ， ， 三类问题的概率分别为 ， ，
，且每个问题的回答结果相互独立.
(1)若小张按照 在先， 次之， 最后的顺序回答问题，记 为小张的累计答题数目，求 的分布列；
(2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；
(3)设 ，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析；(2)不会，理由见解析；(3)应按 的顺序答题，理由见解析
【解析】（1）按 的顺序答题， 的可能取值为 ，
则 , ， ，
所以 的分布列为：
（2）小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下：
由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错，
所以小张考试通过的概率均为
（3）应按 的顺序答题，理由如下：
设 ， ，
.
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，由（1）得 .
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，
则 ，
所以 ，
则
，
则 .
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，
同理可得 .
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，
同理可得 .
，
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，
同理可得 .
若按 的顺序答题，设 为此时小张的累计答题数目，
同理可得 .
.
所以累计答题数目的均值最小的，是 、 、 中最小的一个，
，
，
所以 ，
，
所以 ，
所以最小的是 ，
所以应按 的顺序答题.
【典例2】（23-24高三下·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，
则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题
中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 .在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明
该题得分X的数学期望为3，求p；
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选
A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3个.若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1) ；(2)②
【解析】（1）根据题意可知， ，
若该题有2个选项正确，则 ，
若该题有3个选项正确，则 ，
则分布列如下：
X 0 4 6
P
所以 ，解之得 ；
（2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，
“有3个选项正确”为事件 ，
若小明选择方案①，
记小明该题得分为 ，则 的可能取值为2，3，对应概率为：
，
故 ；
若小明选择方案②，
记小明该题得分为 ，则 的可能取值为 ，对应概率为：
，，
故 ，
若小明选择方案③，
记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为 ，对应概率为：
，
.
故 ，
，
故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.
重难点03 概率统计与函数、导数的综合问题
（1）根据题目所求或题干给出的条件确定自变量及其取值范围；
（2）根据题意构建函数模型，写出函数的解析式；
（3）对构造的函数进行求导或利用函数单调性，求解目标函数的最值或最优解．
【典例1】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有 个大小、质地均相同的小球，
并且各箱中 是红球， 是白球.
(1)当 时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知，当总量 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中
不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作 ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率
记作 .
①求 ， .
②当 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分布近似为
二项分布？（参考数据： ）.
【答案】(1) ；(2)① ， ；②145
【解析】（1）当 时，甲箱中有3个红球，2个白球，从甲箱中随机抽出2个球，基本事件总数 ，
记事件 表示“抽出的两个球的颜色不同”，则事件 包含的基本事件个数 ，
则2个球的颜色不同的概率为 .
（2）① ，
，
② ，即 ，即 ，
即 ，
由题意知 ，
从而 ，
化简得 ，
又 ， ，
令 ，则 ，
所以当 时，f'(x)<0，当 时f'(x)>0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，
从而 在 时单调递增，
考虑到 ， 都是整数，则 一定是5的正整数倍，
当 时， ，
又 ， ，
当 时，符合题意，则 至少为145.【典例2】（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球
多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是
和 ，且每人进球与否互不影响.
(1)若 ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若 ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期
望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】(1) ；(2)12.
【解析】（1）设事件 表示甲在一轮比赛中投进 个球，
表示乙在一轮比赛中投进 个球，
则 ， ，
， ；
， ，
， .
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
.
（2） ， .
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然 ，故 ，要满足题意，则 ，即 ，
又 ，故 ，
令 ， ，则 在 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 的最大值为 ，
则 的最大值为 ， 的最小值为 ，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
重难点04 概率统计与数列的综合问题
1、概率统计与数列的综合问题涉及的三个方面
（1）以数列为背景考查概率问题．此类问题表面看来是数列问题，但实际上常考查互斥事件和相互独立
事件的概率，解决这类问题，首先要清楚基本的概率模型的定义，再选择恰当的概率公式解决问题．
（2）以期望为背景考查数列求和．此类问题求解的关键是确定变量的所有可能取值及对应的概率，深入
考查了数列求和的方法．
（3）以概率为背景考查数列通项公式．此类问题的求解关键是通过对概率关系的研究，构造数列．
2、题型识别
此类问题的特征是第n次操作的情况会影响第n+1次操作的情况,解题步骤如下:
（1）设出第n次操作后需要求解的概率P；
（2）根据题目中的条件得到数列{P }所满足的递推关系式;
n
（3）通过数列递推关系式求通项或数列的和解决问题．
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·模拟预测）菏泽牡丹栽培始于隋，兴于唐，盛于明清，自古享有“曹
州牡丹甲天下”的美誉.四月，菏泽大地上牡丹次第绽放，观赏牡丹拥有9大色系､10大花型､1280余个品
种，以最亮眼的姿态恭迎八方游人.某旅行团带游客来菏泽观赏牡丹，游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡
丹园的一处游览，若每位游客选择曹州牡丹园的概率是 ，选择中国牡丹园的概率是 ，游客之间选择意
愿相互独立.
(1)从游客中随机选取 人，记 人中选择曹州牡丹区的人数为 ，求 的分布列､均值与方差；(2)现对游客进行问卷调查，若选择曹州牡丹园记 分，选择中国牡丹园记1分，记已调查过的累计得分为
分的概率为 ，求 .
【答案】(1) 的分布列见解析；均值为 ；方差为 ；(2)
【解析】（1）随机变量 的可能取值为 ，且 ，其中 ，
所以 ， ，
， .
所以随机变量 的分布列为
所以均值为 ，
方差为 .
（2）由题意可知， ， ,
所以当 时， ，
则 ，
所以 为常数数列，且 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
当 时， 成立，
故 .【典例2】（23-24高三下·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．
盒中装有 个除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时
从盒中随机取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可
领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列 的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)4
【解析】（1）设第 位顾客中“特等奖”为事件 ，第 位顾客中“参与奖”为事件 ，
， ，
故 ，
所以在第 位顾客中“参与奖”的条件下，第 位顾客中“特等奖”的概率为 .
（2）由题意得 ， 个顾客参与后来的顾客不再有机会中“特等奖”
表示最后一位顾客中“特等奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列 的通项公式为 .
（3）设第 个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率 ，
要使 最大，即使 最大，所以 ，
即 ，化简得 ，且 ，
又 在(0,+∞)上单调递减，
所以 ，综上所述， .
一、随机事件的频率与概率
1、频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时
也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2、随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率
会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
【典例1】（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘
里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20
尾鱼，则品种A约有（ ）
采样
品种A 品种B
点
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾
【答案】C
【解析】因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品种A约所占比为： ，
所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 尾，故选：C
【典例2】（24-25高三上·江西·开学考试）（多选）某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸皮奶，同
时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：
日销售量/杯
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（ ）
A．估计平均每天销售50杯酸皮奶（同一组区间以中点值为代表）
B．若当天准备55杯酸皮奶，则售罄的概率为
C．若当天准备45杯酸皮奶，则卖不完的概率
D．这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯
【答案】BCD
【解析】对于A，平均每天酸皮奶的销售量为 （杯），A错误；
对于B，日销售量不小于55杯的概率为 ，B正确；
对于C，日销售量小于45杯的概率为 ，C正确；
对于D， ，因此这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确.故选：BCD
二、判断互斥、对立事件的两种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个
事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
【典例1】（24-25高三上·河北秦皇岛·一模）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
【答案】A【解析】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，
对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，
对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确，
对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确，故选：
A.
【典例2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）（多选）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编
号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和小于
5”，事件 “摸出的两个球的编号都大于2”，事件 “摸出的两个球中有编号为3的球”，则
（ ）
A．事件 与事件 是互斥事件 B．事件 与事件 是对立事件
C．事件 与事件 是相互独立事件 D．事件 与事件 是互斥事件
【答案】ACD
【解析】列举各事件如下： ， ， ，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即 ，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1， ， ， ，故B错误；
C：因为 ，故C正确；
D：事件 ，事件 ，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
三、复杂事件的概率的两种求法
（1）直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
（2）间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”
“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
【典例1】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为 ，该疾病检测的漏诊率（患病者判
定为阴性的概率）为 ，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为 ，则某人检测成阳性的概率
约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，未患病者判定为阳性的概率为 ，患病者判定为阳性的概率为 ，某人检测成阳性包含两种情况：
①非患者检测为阳性的概率为 ；
②患者检测为阳性的概率为 ，
所以某人检测成阳性的概率为 ．故选：D.
【典例2】（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有
三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题
目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．
(1)求李想第二次答题通过面试的概率；
(2)求李想最终通过面试的概率.
【答案】(1)0.24；(2)0.936.
【解析】（1）记李想同学第i次抽到题目并答对的事件为 ， ，
李想第二次答题通过面试的事件为 ， ，
所以李想第二次答题通过面试的概率为0.24.
（2）李想没有通过面试的事件 ，且 ，
所以李想最终通过面试的概率为 .
四、古典概型的概率
用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个
数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)＝求值．
【典例1】（23-24高三上·四川内江·月考）从甲、乙等 名志愿者中随机选 名参加社区服务工作，则甲、
乙都入选的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，试验的基本事件总数为 种，它们等可能，
甲、乙都入选的事件 含有的基本事件数为 ，
所以甲、乙都入选的概率 .故选：A【典例2】（23-24高三下·湖南·模拟预测）九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲
同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的
选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有2种情况，
所以一共有 种情况，
他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为 .故选：B.
五、求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【典例1】（23-24高三上·山西大同·月考）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，
D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，
当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为
（ ）
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
【答案】A
【解析】设能听到声音为事件 ，
则
,
所以听不到声音的概率 .故选：A
【典例2】（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是 ，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设甲，乙，丙通关分别为事件 ，三人中恰有两人通关为事件 ，
则
，
．故选：D．
六、求条件概率的两种方法
（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得 ，这是求条件概率的通法．
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含
的基本事件数n(AB)，得 .
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件
实施打击，该构件有 两个易损部位，每次打击后， 部位损坏的概率为 ， 部位损坏的概率为 ，
则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑 两个易损部分）的条件下， 两个部位都损坏的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解题分析记事件 ：第一次打击后就有部位损坏，事件 两个部位都损坏，
则 ，
由条件概率公式可得 .故选：A
【典例2】（24-25高三上·辽宁·开学考试）某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这 个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求
两人选择的景点不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件两人中至少有一人选择大理为 ，事件两人选择的景点不同为 ，则
， ，
，故选：B.
七、全概率公式与贝叶斯公式的使用
1、全概率公式 在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复
杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．
2、利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算 ，即 ；
第二步：计算 ，可利用 求解；
第三步：代入 求解．
3、贝叶斯概率公式反映了条件概率 ，全概率公式 及乘法公式
之间的关系，即 ．
【典例1】（24-25高三上·河北沧州·月考）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大
贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂
生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、
3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位
小数）
【答案】0.36
【解析】设B表示事件：取得次品． 表示事件：该产品由第i家工厂生产（ ，2，3）．
第i家工厂（ ，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂．
， ， ．， ， ，
．
故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
故答案为：0.36.
【典例2】（24-25高三上·福建莆田·月考）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开
辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用
于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中
甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙
箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）记事件 表示“抽出的2个球中有红球”，事件 表示“两个球都是红球”，
则 ，故
（2）设事件 表示“从乙箱中抽球”，则事件 表示“从甲箱中抽球”，事件 表示“抽到红
球”，
则 ，
可得
（3）在（2）的条件下 .
八、求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值．
（2）求X取每个值时的概率．（3）写出X的分布列．
（4）由均值的定义求E(X)．
（5）由方差的定义求D(X)．
【典例1】（24-25高三上·贵州·月考）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢
答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一
人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答
题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为 ，甲､乙两人答对每道题的概率分别为
，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1)求第一题结束时甲获得1分的概率；
(2)记 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求 的分布列与期望.
2
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
3
【解析】（1）设每道题的抢答中，记甲得1分为事件 .
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴ ，
∴ 甲率先得1分的概率为 .
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为 ，
设两人共抢答了 道题比赛结束，根据比赛规则， 的可能取值为 .
，
，
，
2 4 5
.【典例2】（24-25高三上·福建福州·月考）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，
踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投
入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分 的分布列及数学期望．
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
【解析】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件 ， ， ，
由题意知 ， ， ，
因为每次投篮为相互独立事件，
故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为 .
（2）两次投篮后得分 的可能取值为0，2，3，4，5，6,
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，则 ；
表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮则 ；
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，则 ；
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，则 ；
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，则
；
表示两次都是3分线外侧投入，则 ，
故 的分布列为
0 2 3 4 5 6
所以 .九、独立重复试验与二项分布
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的
本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果
发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试
验中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密
后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃
听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态 ， ， 等可能
地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.
原始信息的单光子的偏振状
0 1 2
态
解密信息的单光子的偏振状
， ， ， ， ， ，
态
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.
(1)已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种
偏振状态的概率.
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态
为1的个数为 ，求 的分布列和数学期望 .
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
【解析】（1）若窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1，
则发送者原始信息的单光子的偏振状态为0，1，2的概率均为 ，
故所求概率 .
（2）易知发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，
窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的概率为 ，
且 的所有可能取值为 ， ， ， .
， ，， ，
所以 的分布列如下.
0 1 2 3
数学期望为 .
【典例2】（22-23高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工
作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能
正常工作的设备数为 ．
(1)求 的分布列；
(2)求 和 ；
(3)求计算机网络不会断掉的概率．
【答案】(1)分布列见解析；(2) ， ；(3)0.992
【解析】（1）由题意得 的可能取值为0，1，2，3，且 ，
，
，
，
，
所以 的分布列如下．
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
（2）因为 ，所以 ， ．
（3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即 ，
因此所求概率为 ．
十、求超几何分布的分布列的步骤
第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 的值；第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步：用表格的形式列出分布列。
【典例1】（23-24高三下·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个
白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在
最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
2
【答案】(1) ；(2)
3
【解析】（1）由题意得 的可能取值为： ，
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 ；
（2）设事件 “最后得分为8分”；事件 “恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球，
所以 ， ，
所以 .
【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分
子，重水分子，超重水分子的比例为 .
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分
离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为 ，求 的数学期望.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设事件 “至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为 ，
分离出1个非轻水分子的概率为 ，
所以 ，
故至少分离出2个轻水分子的概率为 .
（2）因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，
则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量 的所有可能取值为 ，
则 ， ，
， .
故 .
十一、关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P(μ－σ
