文档内容
专题 23 几何法求空间角与距离
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
立体几何近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长
1、证明线面平行；
2023年全国乙（文科），第19题,12分
2、求三棱锥的体积；
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
2023年全国乙（理科），第9题,5分
面角的正切值
1、证明线面平行；
2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题
1、证明面面垂直；
2023年全国甲（文科），第18题,12分
2、求四棱锥的高
余弦定理解三
2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算
角形
2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节为高考必考知识点，选填题、解答题均有出现；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.考查点、线、面之间的距离；
3.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式.
2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积运算.
4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系.
5.能用向量方法解决空间中的距离问题.
6.能用向量方法求解空间中的角度问题.
【命题预测】1.考查点、线、面之间的距离；
2.考查异面直线所成角、线面角、面面角、二面角.
知识讲解
一、距离
1、点与面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的 垂线段 ,垂线段的长度叫
作这个点到该平面的 距离 .
2、直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上 任意一点 到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.
3、平面与平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都 相等 ,我们把它叫作这两
个平行平面间的距离.
1.点到平面的距离的常见解法
(1)定义法:找到(或作出)表示距离的线段,根据线段(所求距离)所在三角形求解.
(2)等积法:利用同一个三棱锥的体积相等求解.
(3)转化法:将点面之间的距离转化为线面之间(或面面之间)的距离求解.
2.线到平面的距离,平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解.
二、异面直线所成的角
1.异面直线
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.异面直线所成的角
过空间任一点 分别作异面直线 与 的平行线 与 ,那么直线 与 所成的 锐角或直角 叫作异面
直线 与 所成的角.
3.范围: .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求异面直线所成角的步骤
一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角形,
求出所作的角.
常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)
作平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角 的取值范围是 ,故若所作的角为钝角,则
其补角为异面直线所成的角.
三、直线和平面所成的角
1.平面的一条斜线和它在 平面上的射影 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.
2.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90 ° 和 0 ° .
3.范围: .
线面角的几何法解题步骤:
1.找直线上一点 作平面 的垂线;
2.连接垂足与斜足,得线面角;
3.解直角三角形,得到线面角.
四、二面角的有关概念
1.二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫作二面角.
2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线,则这两条
射线所成的角叫作二面角的平面角.
3.范围: .
找二面角常常采用垂线法:
第一步,找到两个面的交线;
第二步,从一个平面内找一点,向另一个平面作垂线;
第三步,从垂足再向交线作垂线,连线构造,得二面角的平面角或是补角;
第四步,解三角形,得二面角的大小.
五、平面与平面所成角
1.两个平面所成角.
2.范围: .
考点一、几何法求两点间的距离
1．（2023年甘肃省模拟数学试题）在矩形ABCD中， ， ，沿对角线AC将矩形折成一个直
二面角 ，则点B与点D之间的距离为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 在平面 内作 ，证明 ，利用余弦定理得到 ，再利用勾股定
理计算得到答案.
【详解】过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，如图，
因为二面角 的平面角为 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ， ，
在 中， ， ， ，则 ， ，
，则 ， ，
在 中， ，
则 ，所以 ，
所以 .
2．（2023年江苏省模拟数学试题）已知矩形 ， ， ，沿对角线 将 折起，若
二面角 的大小为 ，则 ， 两点之间的距离为 .
【答案】
【分析】过 分别作 由题意可求得
由二面角 的大小为 ，得到 再利用 可求得
结果.
【详解】过 分别作
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则
二面角 的大小为 ,
,
,
则 ,即 两点间的距离为 .
3．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知二面角 为 ，动点
P、Q分别在面 、 内，P到 的距离为 ，Q到 的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】分别作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，连接 ,则
，在三角形 中将 表示出来，再研究其最值即可．
【详解】如图分别作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，
连接 ， ，则 ，
， ，∴ ，
又∵ ，
当且仅当 ，即点 与点 重合时取最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023-2024学年湖北省新高考联盟联考数学试题）二面角 中， ， ， ，
且 ， ，垂足分别为A、C， ， ， ，已知异面直线 与 所成
角为 ，则 （ ）
A． B． C． 或5 D． 或
【答案】D
【分析】在 内做 ，且使 ，得四边形 为平行四边形，再由线面垂直的判定定理、
性质定理可得 ，分 、 讨论，由余弦定理求出 ，最后由勾股定理可得
答案.
【详解】在 内做 ，且使 ，连接 ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形， ， ，
由 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，可得 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为异面直线 与 所成角为 ， ，
所以直线 与 所成角为 ，
当 时，如下左图，由余弦定理可得
，
此时 ，即 ；
当 时，如下右图，由余弦定理可得
，
此时 ，即 ；
综上所述， 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023年江苏省模拟考试数学试题）将边长为 的正三角形 沿 边上的高线 折成 的二面
角，则点 到 边的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在三棱锥 中，取线段 的中点 ，连接 、 ，由题意可得 ，推导出
，并计算出线段 的长，即为所求.
【详解】翻折前，因为 是边长为 的等边三角形， 是 边上的高线，则 为 的中点，
且 ， ，且 ，
翻折后，则有 ， ，
在三棱锥 中，由二面角的定义可得 ，
如下图所示：
取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，因为 平面 ，所以， ，
在 中， ， ，则 ，
因为 为 的中点，则 ，且 ，
所以， ，
因为 ， 为 的中点，所以， ，因此，点 到 的距离为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，
Q为动点，则PQ的最小值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用 三点共线设出点 ， ，以及 ，
，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
，
可得 ，
∵ ， ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，
∴当且仅当 分别为 的中点时，
的最小值为 .
【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属
于中档题.
考点二、几何法求点到平面的距离
1．在三棱锥 中， 底面 ，则点 到平面 的距
离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据三棱锥等体积转换求解点 到平面 的距离.
【详解】 底面 ，
，又 ，且 平面 ，
平面 ，
平面
，
，
，
，
在 中， ，
令点 到平面 的距离为 ， ，
， ．
2．（2023年四川省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形； 为 的中
点．若 ， ， ，当三棱锥 的体积取到最大值时，点 到平面 的距离为
．
【答案】 /0.3
【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥 的体积，在根据等体积法可求解点 到平面
的距离.
【详解】由题可得，当 底面 时，三棱锥 的体积取到最大值
如图，取 中点 ，取 中点 ，连接
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 底面 ， 为 的中点． 为 的中点，所以 ，
所以 底面 ，则
又由 底面 ， 底面 ，所以
因为矩形 ，则 ，又 平面 ，所以 平面
又 为 的中点． 为 的中点，所以 ， ，则 平面
则
又
所以
又 ，因为 平面 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所
以 ，
设点 到平面 的距离为 ,
所以 ，则 .
故点 到平面 的距离为 .
1．（2023上海市模拟考试数学试题）在棱长为4的正方体 中，点 到平面 的距离
为 .
【答案】 /
【分析】根据 ，应用棱锥的体积公式列方程求点面距即可.
【详解】由 ，若 到平面 的距离为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正方体性质知： 为边长为 的等边三角形，
故 ，
所以 ，则 .
2．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）在直三棱柱 中， ， ，则
点A到平面 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用等体积法，容易求得．
【详解】
∵ ， ，
∴ 中， ，
∴ ， ，
设点A到平面 的距离为h，
则三棱锥 的体积为 ，
即 ，∴ ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
3．（2019年全国统一高考数学试题（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱
1 1 1 1
形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点.
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边形，进而证
得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据题意求得三棱锥 的体积，再求出 的面积，利用 求得点 到平面
的距离，得到结果.
【详解】（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
平面
（2）在菱形 中， 为 中点，所以 ，
根据题意有 ， ，
因为棱柱为直棱柱，所以有 平面 ，
所以 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设点 到平面 的距离为 ，
根据题意有 ，则有 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，
在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法
求点到平面的距离是文科生常考的内容.
考点三、几何法求直线到平面的距离
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））已知正四棱柱ABCD- A B C D 中 ，
1 1 1 1
AB=2，CC = E为CC 的中点，则直线AC 与平面BED的距离为
1 1 1
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．
平面 ，
到平面 的距离等于 到平面 的距离，由题计算得
，
在 中， ， 边上的高 ，
所以 ，所以 ，
利用等体积法 ，得: ,解得:
考点：利用等体积法求距离
2．如图，在长方体 中， ， ， .
(1)求直线 与平面 所成的角的大小；
(2)求直线 到平面 的距离.
【答案】(1) ;(2)
【分析】（1）说明 平面 ，则 即为直线 与平面 所成的角，解直角三角形，
可得答案;
（2）证明 平面 ，即说明点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，根据等体
积法求得答案.
【详解】（1）在长方体 中， 平面 ,
即 平面 ，则 即为直线 与平面 所成的角，
由于 ， ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即直线 与平面 所成的角为 ；
（2）在长方体 中，
由于 ,故四边形 是平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，则点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离.；
而 ,
故 ,设点 到平面 的距离为 ，
则 ,即 ,
则 ，即直线 到平面 的距离为 .
3．如图，在梯形ABCD中， ， ， ， 平面ABCD，且 ，
点F在AD上，且 ．
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD到平面PBC的距离．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）过点 作 于 ，利用线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理及面面垂直的
性质定理可得 平面 ，结合条件即求；
（2）过点 作 于 ，结合条件可得 的长为 到平面 的距离，即求.
【详解】（1）连接 ，因为 平面 ，又 平面 ，
∴ ，又 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 平面 ，又 平面 ，
∴平面 平面 ，平面 平面 ，
过点 作 于 ，则 平面 ，
故 即为所求，
∵在梯形 中， ， ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 ；
（2）∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
过点 作 于 ，又因为 平面 ，则 ，
又 ， ，
∴ 平面 ，则 ，又
∴ 平面 ，即 的长为 到平面 的距离，
在等腰直角三角形 中， ，
∴ ，故 到平面 的距离为 .
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））如图，在长方体ABCD-A B C D 中，
1 1 1 1
AB=2,AD=1,A A=1，证明直线BC 平行于平面DA C，并求直线BC 到平面D AC的距离.
1 1 1 1 1
【答案】见解析
【详解】因为 为长方体，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 为平行四边形，故 ，显然 不在平面 上，于是直线 平行于平面 ；
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离设为
考虑三棱锥 的体积，以 为底面，可得
而 中， ，故
所以， ，即直线 到平面 的距离为 ．
【考点定位】考查空间几何体的相关计算，属中档题．
2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，平面 平面 ， ，
，PD的中点为F.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 到面 的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，得 ，根据线面平行的判定可得 平面 ；
（2）根据线面平行，将线到面的距离化为点到面的距离，再根据等体积法可求出结果.
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，则 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以
平面 .
由于 平面 ，则 到平面 的距离，即 到平面 的距离.
又因为 为 的中点，点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 的中点 ，连接 ，
则 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为菱形 且 ， ，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，由 得
即直线 到平面 的距离为 .
3．（2023年北京市模拟数学（A卷）试题）如图，已知直三棱柱 ， ， ，
，点 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，将问题转化为点 到平面 的距离，再利用等体积法即可求得所求.
【详解】（1）连结 交 于 ，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为在直三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
所以 是 的中点，又因为 为 的中点，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）由（1）知 平面 ，
所以直线 与平面 的距离等价于点 到平面 的距离，不妨设为 ，
因为 ， ，所以 ， ，则
，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为在直三棱柱 中， 面 ，故 ，
所以在 中， ， ，
在 中， ，
所以在 中， ，则
，
故 ，
所以由 得 ，即 ，解得 ，
所以直线 与平面 的距离为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点四、几何法求平面与平面间的距离
1．直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱 ， 分别为
的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系 ，
通过证明 ，再由面面平行的判定定理即可证明.
（2）法一: 平面 与平面 的距离 到平面 的距离 ,再由等体积法即可求出答案. 法二:求
出平面 的法向量, ，平面 与平面 的距离等于 到平面 的距离 ，由点到
平面的距离公式即可求出答案.
【详解】（1）法一:证明：连接 分别为 的中点，
分别是 的中点，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平行且等于 ，
是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 平面 ；
（2）法一:平面 与平面 的距离 到平面 的距离 ．
中， ， ， ，
由等体积可得 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点，EF与 相交于H．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面EGF与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得 ,进而推出 ，再结合
的边长，利用勾股定理即可推出 ，最后结合线面垂直的判定定理即可完成证明；
（2）根据 是 的中位线，即可证明 ，再利用 ，即可证明 ，再根据题意条
件，证明 ，最后利用面面平行的判定定理即可完成证明；
（3）由（2）可知，平面 平面 ，而 ，因此平面EGF与平面 的距离就是两条平行线
之间的距离，再结合四边形 的边角关系，可得 是 的公垂线，即为两个平面之
间的距离，求出 即可完成距离的求解.
【详解】（1） 在直三棱柱 中, ，交线为 ，而 ，
， ， ，
根据已知条件可得， 为 的中点， ， ，结合勾股定理可得 ，
，所以 平面 .
（2）如图所示，取 的中点 ，连接 ， ， ， 为 的中点，而 为 的中点，
为 的中位线， ，又 ，且 ， ， ，
， ，
、 分别是 、 的中点， 是 的中位线， ，
在直三棱柱 中， ， ， ， ，又
， 平面 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由平面 平面 ， 与 相交于 ，
又 平面 ， 平面 ，
两平面之间的距离即为 到平面 的距离，即 ，
， ∽ ，
， ，
故平面 与平面 的距离为 .
3．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 在
棱 上，且 ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 的距离.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【分析】（1）利用勾股定理证得 ，证明 平面 ，根据线面垂直的性质证得 ，
再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，可得 为 的中点，证明 ，四边形 是平行四边形，
可得 ，再根据面面平行的判定定理即可得证；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）设 ，由（1）（2）可得 即为平面 与平面 的距离，求出 的长度，即可
得解.
【详解】（1）证明：在直三棱柱 中，
为 的中点， ， ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ；
（2）证明：取 的中点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 ， 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
（3）设 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 即为平面 与平面 的距离，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，所以 ，
，
所以 ，
即平面 与平面 的距离为 .
1．如图，棱长为2的正方体ABCD –ABC D 中，E，F分别是棱AA，CC 的中点，过E作平面 ，使得
1 1 1 1 1 1
//平面BDF.
(1)作出 截正方体ABCD - ABC D 所得的截面，写出作图过程并说明理由；
1 1 1 1
(2)求平面 与平面 的距离.
【答案】(1)答案见解析;(2)
【分析】（1）根据平面与平面平行的性质可得 经过 ，可得截面；
（2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.
【详解】（1）连接 ，由正方体性质可得 ， ；
又 ，所以平面 平面 ；
因为 //平面 ，且 ，所以平面 与平面 重合，即平面 就是 截正方体ABCD -
A1B1C1D1所得的截面.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可知平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离；
设点 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，所以 的面积为 ；
的面积为 ；
由 可得 ，解得 .所以平面 与平面 的距离为 .
2．如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，
D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）由已知条件得 平面 ，从而 ，又 ，由此能证明 平面
．
（2）由已知条件推导出 平面 ， 平面 ，由此能证明平面 平面 ．由已知条件
推导出 为平行平面 与 之间的距离，由此能求出结果．
【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 平面 ，
又 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
，
在 和 中， ，
，即 ，
又 ， 平面
平面 ．
（2）解：由题意知 ，
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
、 分别为 、 的中点，
，又 ，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
为平行平面 与 之间的距离，
，
即平面 与 之间的距离为 ．
3．如图所示的斜三棱柱 中， 是正方形，且点 在平面 上的射影恰是AB的中
点H，M是 的中点．
(1)判断HM与面 的关系，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求斜三棱柱两底面间的距离．
【答案】(1)直线 与平面 平行，证明见解析;(2)
【分析】（1）取 的中点 ．连接 ．通过证明四边形 为平行四边形，得到
，再根据线面平行的判定定理可证直线 与平面 平行；
（2）设斜三棱柱两底面间的距离为 ，根据 可求出结果.
【详解】（1）直线 与平面 平行．
证明如下：取 的中点 ．连接 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 是 的中点，所以 ，且 ．
又 是正方形，点 是 的中点，
所以 ， ．
所以 ， ．
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为点 在平面 上的射影是 的中点 ，
（3）所以 平面 ．
连接 ， ，则 ， ．
由正方形 的边 ，
得 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
设斜三棱柱两底面间的距离为 ，
即 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
解得 ，
即斜三棱柱两底面间的距离为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点五、几何法求异面直线所成角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体 中， 为棱
的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，
在 中进行计算即可.
【详解】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角
所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的
余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
3．（2008年高考全国卷Ⅱ理科数学试题）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的
中点，则 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：设 的交点为 ，连接 ，则 为 所成的角或其补角；设正四棱
锥的棱长为 ，则 ，所以
．
考点：异面直线所成的角．
1．如图，在正方体 中， 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，则异面直
线 与 所成的角等于（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】连接 ，证明异面直线 与 所成的角是 或其补角，由正方体性质即可得
结论．
【详解】如图，连接 ，
由题意 ， ，所以异面直线 与 所成的角是 或其补角，
由正方体性质知 是等边三角形， ，
所以异面直线 与 所成的角是 ．
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））直三棱柱ABC－ABC 中，∠BCA
1 1 1
＝90°，M，N分别是AB，AC 的中点，BC＝CA＝CC ，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，直线 为 轴，则设 ，则
， ， ， ，故 ， ，所以
.
考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本
能力，考查分析问题与解决问题的能力.
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体 中，已知 与平面 和平面
所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设 ，依题以及长方体的结构特征可知， 与平面 所成角为 ，
与平面 所成角为 ，所以 ，
即 ， ，解得 ．
对于A， ， ， ，A错误；
对于B，过 作 于 ，易知 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ，因为 ，
所以 ，B错误；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， 与平面 所成角为 ， ，
而 ，
所以 ．D正确．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点六、几何法求直线与平面所成角
1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））已知正四棱柱 中，
，则CD与平面 所成角的正弦值等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：设 ，
面积为
考点：线面角
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如图在正方体 中，点
为线段 的中点. 设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正方体的棱长为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
.
又直线与平面所成的角小于等于 ，而 为钝角，所以 的范围为 .
【考点定位】空间直线与平面所成的角.
3．如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ，
若二面角 为 ，则 与平面 所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】取 中点 ，连接 ，证明 为二面角 的平面角，所以 ，由
余弦定理求得 ，得 ，由线面垂直判定定理和性质定理证明 两两垂直，建立空间直
角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，则由已知得 ， ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，
又 ， ，
中， ， ，所以 ，
由 ， 平面 ，得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
，所以 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
，平面 的一个法向量是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所
在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一
个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边
长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体 中，
平面 与线 所成的角是相等的，
所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积为 .
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位
置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面
积的求法，应用相关的公式求得结果.
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正三棱锥底面边长为 ，则侧棱长为 ，作图确定侧棱与底面所成角，解直角三角
形即可得答案.
【详解】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设正三棱锥 底面边长为 ，
则侧棱长为∶ ，设顶点 在底面的射影为 点，连接 并延长交 于 ，
则 为 的中点，则 为侧棱与底面所成角，
由于 为正三角形，则 为其中心， ， ，
在 中， ，即侧棱与底面所成角的余弦值等于 .
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学）正方体ABCD- 中，B 与平
面AC 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为 ，所以 与平面 所成角的余弦值等价于 与平面 所成
角的余弦值．设正方体棱长为 ，易知 平面 且设垂足为 ，所以 即为所求角．由已
知可得 ，从而 ，所以 ．
考点：斜线与平面所成的角．
考点七、几何法求二面角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以平面
与平面 为面的二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二面角平面角的定义确定以 为棱，以平面 与平面 为面的二面角的的平面角，解
三角形求其大小即可.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，因为 与 全等，又 ， ， 所以
， ，因为 为 的中点，所以 ， ，所以 为以 为棱，以
平面 与平面 为面的二面角的平面角，在 中 ， ， ，所以
，同理可得 ，在 中，因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，所以以 为棱，以平面 与平面 为面的二面角的大小为 .
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）因为 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体
，如图所示，
过 作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为 ， 分别为 和 的中点，所以 是 的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
（2）如图所示，延长 交 的延长线于点 ，联结 交 于点 ，则平面 平面
．
作 ，垂足为 ，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与平面 所成
二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点 ．
由 得 ．
又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以，当 时， ．
【整体点评】第一问，常规方法，不过这道题常规方法较为复杂第二问：利用空间线面关系找到，面
与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；
3．如图，二面角 等于 ，A、 是棱l上两点，BD、AC分别在半平面 、 内， ，
，且 ，则CD的长等于 .
【答案】4
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】由二面角的平面角的定义知 ，
∴ ，
由 ， ，得 ， ，又 ，
∴
，所以 ，即 .
1．（2011年湖南省普通高等学校招生统一考试理科数学）已知点 分别在正方体 的
棱 、 上，且 ， ，侧面 与面 所成的二面角的正切值等于 .
【答案】
【分析】由题意画出正方体的图形，延长 交点为 连接 ，过 作 连接 ，所以面
与面 所成的二面角就是 ，求出 与正方体的棱长的关系，然后求出面 与面
所成的二面角的正切值．
【详解】由题意画出图形如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 分别在正方体 的棱 、 上，
延长 交点为 连接 ，过 作 连接 ，
所以面 与面 所成的二面角就是 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
设正方体的棱长为 ，所以 ， ， ，
在 中， .
【点睛】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出
二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
2．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若正四棱锥的底面边长为 ，体积
为 ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．
【答案】 /
【分析】先根据正四棱锥的结构特征、垂直关系的转化得到 是侧面 与底面 所成的二面
角的平面角，再利用 进行求解.
【详解】如图，过点 作 平面 ，则 为底面正方形 的中心，
取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 是侧面 与底面 所成的二面角的平面角，
由题意，得 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，又因为 ，所以 ，所以 ，
即该正四棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小是 .
3．如图60°的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在二面角两个半平面内，且垂直于 ，
， ，则 ．
【答案】10
【分析】过点 作 ，且 ，连接 ， ，先证明 为等边三角形，从而得到
，再证明 ，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，且 ，连接 ， ，
则 ，又 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
则四边形 为矩形，即 ，
由 ，则 ，又 ，且 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则由勾股定理得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点八、几何法求平面与平面所成角
1．如图，P为长方体 的对角线 上的一点，平面 平面 ，若 ，则
平面PAB与平面CAB夹角的正切值为 ．
【答案】2
【分析】设 ， 分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接 ， ， ，由平面 平
面 ，结合正方体的性质可得 ，作 ，垂足为 ， ，垂足为 ，连接 ，
可证得 为平面 与平面 的夹角，然后在 中求解即可.
【详解】设 ， 分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接 ， ， ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．又 ，所以 ， ， 三点共线，因此 ．
如图，作 ，垂足为 ， ，垂足为 ，连接 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 为平面 与平面 的夹角．
由 ， ，可得 ， ．
所以 ，即平面 与平面 夹角的正切值为2．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) ；
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【详解】（1）
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则
// ，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
（2）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 .
由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，
则 平面 .
由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是 平
面 ，
由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 .
又 ， ，则 ，故 ，在 中，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 ，
于是
（3）[方法一：几何法]
过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 .
由题干数据可得， ， ，根据勾股定理， ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面
，于是 平面 .
又 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故 平面
.
在 中， ，
又 ，故点 到平面 的距离是 到平面 的距离的两倍，
即点 到平面 的距离是 .
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设点 到平面 的距离为 .
，
.
由 ，即 .
3．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 底面 ， ，
是 的中点，作 交PB于点 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 的夹角的大小.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，易知 且 底面 ，由此即可求出答案；
（2）由题意易证 面 ，则可得 ，再结合 ，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（3）由题意易知 是平面 与平面 的夹角，且 ，分别求出 的值，利用
，即可求出答案.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
在 中， 分别为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴
∵ 底面 ，
∴ 底面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ；
（2）∵ 底面 ，且 面
∴ ，
∵底面 是正方形，
∴ ，
又 , 面 ,
∴ 面 ,
又 面
∴
∵ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，又 是斜边 的中线，
∴ ，
又 , 面 ,
∴ 面 ，
∵ 面
∴ ,
∵ ,
又 , 面
∴ 平面 ；
（3）由（2）可知 ，
故 是平面 与平面 的夹角，
∵
∴ ，
在 中， ， ， ，
又 面 ，
∵ 面
∴ ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，∴ ，故平面 与平面 的夹角的大小 .
1．如图，棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；(2) ;
【分析】（1）求出 ，得到底面 是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线
面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，
底面 是矩形，所以由勾股定理得： ，所以底面 是正方形，所以
，又 ，所以 平面 .
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所
以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 是平面
和平面 的夹角，由于 ， ，所以 ，所以 ，
所以平面 与平面 的夹角余弦值为 .
2．（2023届浙江省名校新高考研究联盟联考数学试题）如图，在四棱锥 中，已知 ，
， ， ， ， ， 为 中点， 为 中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理即得；
（2）延长 与 交于 ，由题可得面 面 ，过 作 ，过 作 ，进而可得
即为面 与面 所成二面角的平面角，结合条件即得；
【详解】（1）连接 ，∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，又 面 ， 面 ，
∴ 面 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，∴ ， ，
在 中， ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵F为AB中点，∴ ， ，
∴ ，又∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，又∵ ，CF， 面 ，
∴平面 平面 ；
（2）延长 与 交于 ，连 ，则面 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ， ， ，所以 ，
又 ， ， ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴面 面 ，
在面 内过 作 ，则 面 ，
∵ 面 ，∴ ，
过 作 ，连 ，∵ ， 面 ， 面 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴ ，
∴ 即为面 与面 所成二面角的平面角，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，又 ，
∴ ， ， ，
∴ .
3．（2023届广东省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中， PAD是以AD为斜边的等腰直角三
角形， △
(1)求证： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，可证明 ， ，进而可证 平面 ，则
结论成立；（2）过 做 平面 ，过 做 于 ，则 为平面 与平面 所
成角，根据题中所给条件计算 ， 的长，求出正切值，进而求出正弦值.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，即 ，
因为 ，所以 ；
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以 ；
，所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）过 做 平面 ，过 做 于 ，
（3）则 为平面 与平面 所成角，
由（1）可知： 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
则 直线 ，由题意可知 ， ，又 ，
所以 ，在直角三角形 中， ，
所以 ， ，
过 做 于 ，则 ，
在 中， ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．（2023年云南省教育学业质量监测数学试题）如图，已知在矩形ABCD中， ， ，M为边
BC的中点，将 ， 分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面
MAD的距离为 ．
【答案】 /
【分析】由题意可得 平面 ，设点 到平面 的距离为 ，然后利用等体积法可求得结果.
【详解】因为 为矩形，所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，
所以 ，
，
点 到平面 的距离为 ， ，
所以 ，解得 ．
2．（2023-2024学年陕西省联考文科数学试题）在直三棱柱 中，侧面 为正方形，
， ， 分别为 和 的中点， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）根据给定条件，证明 ∽ ，进而证得 ，再利用线面垂直的性质判定推
理作答.
（2）由（1）的信息，求出 长即可作答.
【详解】（1）在直三棱柱 中，由侧面 为正方形，得 ，
而 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，即有 ，即 ， ，则 ，
因为 ，则 ， ，
由E，F分别为AC和 的中点，得 ，
于是 ，而 ，则 ∽ ，有 ，
又 ，即有 ，则 ，即 ，
由 ， 为 的中点，得 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，则 ，
因为 ， 平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，
所以 .
（2）由（1）知 平面 ，则 长即为点 到平面 的距离，
在 中， ，则 ，
所以点 到平面 的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023年上海市模拟考试数学试题）若正四棱柱 的底面边长为 ， 与底面
成 角，则 到底面 的距离为 .
【答案】
【分析】确定 到底面 的距离为正四棱柱 的高，即可求得结论．
【详解】∵正四棱柱 ，
∴平面 平面 ，
平面 ，
平面 ,
到底面 的距离为正四棱柱 的高
∵正四棱柱 的底面边长为 ， 与底面 成 角， ．
4．若正四棱柱 的底面边长为1，直线 与底面 所成角的大小是 ，则 到底
面 的距离为 ．
【答案】
【分析】根据正四棱柱的几何性质由直线 与底面 所成角的大小是 ，确定线段 的长，则则
到底面 的距离即可求.
【详解】解：如图，连接
正四棱柱 的底面边长为1，则 ，所以
且 底面 ，则直线 与底面 所成角即
则
则在正四棱柱 中， 到底面 的距离为即 到到底面 的距离 .
5．在长方体 中，已知 ， ， 与平面ABCD所成角的大小是 ，那么平面
ABCD到平面 的距离是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】在长方体 中,根据 与平面 所成角的大小是 ，解直角三角形，求得
棱 的长，即可得答案.
【详解】如图，连接 ,
因为 平面 ,故 即为 与平面 所成角，
则 ，
又因为 ， ，则 ,
故在 中， ，
在长方体 中, 平面 到平面 的距离即为棱 的长，
即平面 到平面 的距离为 .
6．在长方体 中，E，F，G，H分别为 ， ， ， 的中点， ，则平面
ABCD与平面EFGH的距离为 .
【答案】2
【分析】由平面 平面 ,又 平面 可得答案.
【详解】如图
平面 平面
又 平面 .
平面 与平面 的距离为 .
【点睛】本题考查平面与平面间的距离,属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体 的棱长为 ，则平
面 与平面 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图形，可得 平面 ，结合面面平行可知 平面 ，求出正方体的棱长，再
由等体积法求得 ，则可求得所求距离.
【详解】由题意知：正六面体 是棱长为 的正方体，
， ， ， ，
平面 平面 ，
连接 ，
， ， ， 平面 ，
又 平面 ， ，同理可证得： ，
又 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，
设垂足分别为 ，则平面 与平面 间的距离为 .
正方体的体对角线长为 .
在三棱锥 中，由等体积法求得： ，
∴平面 与平面 间的距离为： .
【点睛】本题考查立体几何中平面与平面间距离的求解问题，关键是能够找到两面的公垂线，进而可知夹
在两平面间的公垂线段的长度即为所求距离；本题中同时涉及到三棱锥高的求解问题，解决此类问题通常
采用等体积法.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公
式求出结果.
【详解】因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为
的面积为 ，设母线长为 所以 ，
因为 与圆锥底面所成角为 ，所以底面半径为 ，
因此圆锥的侧面积为 ．
【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式
求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．
9．（2021年山东省春季高考数学真题）如下图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
平面 ， ， ．
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】(1)由题意可得 即为 与 所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
【详解】【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为 ，因此 即为 与 所成的角，在 中， ，
又在正方形 中 ，因此 ，
因此 与 所成角的余弦值是 ．
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，在正方形 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此 平面 ，又因为 平面 ，因此 ．
10．（2023年福建省模拟考试数学试题）在矩形ABCD中， ，沿AC将 折起，当二面角
为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .
【答案】 /0.2
【分析】沿 将 折起后 位置为 ，根据题设条件易知所求角为 或其补角，作
于 ，连接 ，根据直二面角证 ，求得 ，最后应用余弦定理求异面直线夹角余弦
值.
【详解】沿 将 折起后 位置为 ，且 为矩形，则 ，
所以异面直线 与 所成角，即为 与 所成角 或其补角，
作 于 ，连接 ，显然 ，
由二面角 为直二面角，即面 面 ，面 面 ，
面 ，则 面 ，而 面 ，故 ，
由 ，且 ，故 ，则 ，
所以 ，又 ，
则 .
11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））在长方体 中，
， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先画出长方体 ，利用题中条件，得到 ，根据 ，求得
，可以确定 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】在长方体 中，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据线面角的定义可知 ，
因为 ，所以 ，从而求得 ，
所以该长方体的体积为 .
【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高
的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要
明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
12．（2023年云南省质量检测数学试题）已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， ，底面半径为2，
， 是底面圆周上两点，且 ，则二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连 ，可证 是二面角 的平面角，再根据已知条件计算可
得结果.
【详解】取 的中点 ，连 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以二面角 的大小为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023年山东省模拟考试数学试题）长方体 中， ，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 中点 ，连接 、 ，则 即为二面角 的平面角，在 中利用
余弦定理求解即可.
【详解】
取 中点 ，连接 、 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 即为二面角 的平面角，连接 ，
因为长方体 中， ，
所以 ， ，
所以 ，又因为 ，
在 中， ，
所以二面角 的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【能力提升】
1．（2023年重庆市模拟考试数学试题）在四面体 中， 平面 于点 ，点 到平面 的
距离为 ，点 为 的重心，二面角 的大小为 ，则
．
【答案】 .
【分析】综合应用立体几何中线线垂直、线面垂直、点到平面距离、二面角等知识即可解决问题.
【详解】设 ，连结 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又
， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
故 ，所以 是二面角 的平面角，所以 ，又 ，所以 为
中点，又点 为 的重心，故 在 上，过 作 于 ，由 到平面 的距离为 ，可
得 ，于是 ， ， ，在 中，由余弦定理可得，
，所以 .
2．（2023年江苏省模拟考试数学试题）如图，将边长 的正方形 沿对角线BD折起，连接AC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】构成一四面体，使得 ，则点 到平面 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】设点 到平面 的距离为 ，则 ，求 可得结论.
【详解】由已知可得 ， ， ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，由 平面 ， ，
所以 平面 ，
所以点 到平面的距离为 ，又 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
又 ，
因为 ，所以 的面积为 ，
所以 ，
所以 .
所以点 到平面 的距离为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．如图，正四棱柱 的底面边长为2， ，E为 的中点，则 到平面EAC
的距离为 ．
【答案】 /
【分析】由于 ∥平面 ，所以只要求出点 到平面 的距离即可，然后利用等体积法求解.
【详解】连接 ，
因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，
因为正四棱柱 的底面边长为2， ，
所以 ，
因为E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，
,
因为 ，
所以 ,
所以 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023年辽宁省模拟考试数学试题）如图，已知四棱锥 外接球O的体积为 ， ，侧
棱 与底面 垂直，四边形 为矩形，点M在球O的表面上运动.当四棱锥 体积的最
大时，点A到面 的距离为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出球 的半径并确定球心 的位置，再求出四棱锥 体积取最大时，
矩形 的特征，然后用等体积法求解作答.
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，由矩形 ，得 ，
而 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，同理
，
取 中点 ，连接 ，则 ，因此点 是四棱锥 的外接
球球心 ，
显然 ，而 ，于是 ，
令 ，连接 ，则 平面 ， ，
要使四棱锥 的体积最大，点 必为射线 与球 的表面的交点， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时四棱锥 的体积 ，当且仅当
时取等号，
， 底边 上的高 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，
即 ，有 ，解得 ，
所以点 到面 的距离为 .
5．（2023届江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（理）试题）如图，正三角形ABC中，D，E分别为
边AB，AC的中点，其中 ，把 沿着DE翻折至 的位置，得到四棱锥 ，则当
四棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .
【答案】 /
【分析】由题意确定当平面 平面 时，四棱锥 的体积最大，作出图形，依次确定
的外接圆的圆心 ，四边形 的外接圆的圆心 ，再确定四棱锥 的外接球的球心
，解外接球的半径 ，再求解 外接圆的半径 ，设四棱锥 外接球的球心到平面 的
距离为 ，根据 即可求解.
【详解】
由题意可知，当平面 平面 时，四棱锥 的体积最大，如图所示，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
则 的外接圆的圆心 位于 且靠近点 的三等分点处，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 为四边形 的外接圆的圆心，
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，
则两垂线的交点即为四棱锥 的外接球的球心 ，
连接 ，则四边形 为矩形，
所以 ，
连接 ，在 中， .
设四棱锥 的外接球的半径为 ，则 .
连接 ， ， ，
， ，
连接 ，则 ，所以 外接圆的圆心在 上，令其半径为 ，
在 中， ，
所以 ，即 ，解得 ，
设四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故四棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .
【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长
方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下
底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球
心.
6．（2023届山东省高考适应性训练数学试题）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中
国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为
2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出
截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可.
【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图
所示，由题意可知： ，所以 .
故该正方体的棱长为 ，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该小三棱锥几何体的体积为 ，
所以该三棱锥的顶点 到面 的距离 .
易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线 垂直于该两面，故该两面的距离
.
7．（2023届湖南省三模数学试题）已知平行六面体 的各棱长都为 ，
， 、 、 分别是棱 、 、 的中点，则（ ）
A． 平面
B．平面 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．平面 与平面 间的距离为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】A
【分析】证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可判断A选项；利用反证法结合面面垂直的
性质定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接 、 、 ，
在平行六面体 中， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
同理可证 且 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，故 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ，A对；
对于B选项，连接 、 、 ，
由题意可知， ， ，则 为等边三角形，
所以， ，同理可得 ，故三棱锥 为正四面体，
设点 在平面 内的射影点为点 ，则 为等边 的中心，
易知点 不在直线 上，
若平面 平面 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】但过点 作平面 的垂线，有且只有一条，矛盾，假设不成立，B错；
对于C选项，连接 ，则 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
故 ，
故平面 与平面 间的距离为 ，C错；
对于D选项，连接 ，因为 平面 ，
所以， 与平面 所成的角为 ，且 ，
所以，直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，D错.
8．（2023届浙江省原创预测卷一（全国1卷））如图，在三棱锥 中，
，二面角 的平面角 ， ， ，则直
线 与直线 的所成最大角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，根据题意得到当 时，得到直
线 与直线 的所成最大角的正切值，即可得到答案.
【详解】取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 为 中点， 为 中点， 交 于 ，则 为 的重心.
即： .
因为 ，
又因为 ，即 ，所以 ， .
，
，即 .
因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ， .
因为直线 与直线 的所成角为 ，
当 时， 取得最大值，
当 时，即 ， 平面 ，即 .
所以直线 与直线 的所成角正切值最大为 .
9．已知二面角 为 ， ， ， 为垂足， ， ， ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】作出图形，设 ， ， ，然后以 、 为邻边作平行四边形 ，可知
为二面角 的平面角，异面直线 与 所成角为 或其补角，计算出 三边边长，
利用余弦定理计算出 ，即可得解.
【详解】如下图所示：
设 ， ， ，以 、 为邻边作平行四边形 ，
在平面 内， ， ， ，则 ， ，
， ， ， ，
所以， 为二面角 的平面角，即 ，
， 为等边三角形，则 ，
四边形 为平行四边形， ，即 ，
， ， ， ， ， 平面 ，
平面 ， ，则 ，
在平行四边形 中， 且 ，
所以，异面直线 与 所成角为 或其补角，
在 中， ， ，由余弦定理可得 .
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直
线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面
直线所成的角．
10．已知正方体 ，则正确的有（ ）
①．直线 与 所成的角为 ②．直线 与 所成的角为
③．直线 与平面 所成的角为 ④．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】①②④
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成
的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，①正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故②正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故③错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故④正确.
11．（2019年天津市高考数学（文科）试题） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（I）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平
行的判定定理证得结果；
（II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得
到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得结
果.
【详解】（I）证明：连接 ，易知 ， ，
又由 ，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，
依题意，得 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ，
又已知 ， ，
所以 平面 .
（III）解：连接 ，
由（II）中 平面 ，
可知 为直线 与平面 所成的角.
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，又 ，
在 中， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力和推理能力.
12．（2023年四川省阶段性测文科数学试题）在 中， ， .若空间点 满足
，则直线 与平面 所成角的正切的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据题意可推出 点到 的距离为 ，即可确定 点在在以 为轴，以 为底面半径的圆
柱的母线 所在直线上，进而作图分析，利用垂直关系说明直线 与平面 所成最大角为 ，解
直角三角形即可求得答案.
【详解】由题意 中， ， ，
故 ，
又 ， ，故 的边 上的高为 ，
即 点到 的距离为 ，故 点在以 为轴，以 为底面半径的圆柱的母线 所在直线上，
要使直线 与平面 所成角的正切最大，即直线 与平面 所成角最大，
则 必须垂直于圆柱的母线 所在直线，且与 相切于点 ，
设切点 对应的半径为 ， 在直线 上，则 垂直于 所在直线，且 ，
而 平面 ，故 平面 ，
又母线 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ，即平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 平面 ，即 为 在平面 内的射影，
故直线 与平面 所成的最大角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
即 点为平面 内的点，且 垂直于 所在直线，垂足为 ，
由 ，得 ，
又 ，故 ，
而 ，故 ，
故 ，
即直线 与平面 所成角的正切的最大值是 .
13．（2023年河北省模拟考试数学试题）在三棱锥 中，底面 是边长为3的等边三角形，
， ，若此三棱锥外接球的表面积为 ，则二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，则 ，取 的中点 ，则 为 的外 心，进而可
得球心 在过底面 的外心（中心） 且垂直底面 的直线上，也在过 外心 且垂直侧面
的直线上，由三棱锥外接球的表面积为 ，解得 ，取 的中点 ，连接 ，可得
是二面角 的平面角，再计算余弦值, 即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为直角三角形，取 的中点 ，则 为 的外心，
所以球心 在过底面 的外心（中心） 且垂直底面 的直线上，也在过 外心 且垂直侧
面 的直线上，如下图，
因为三棱锥外接球的表面积为 ，即 ，解得 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 都与 垂直，
所以 是二面角 的平面角，
又 ， ，
在 中， ，
在 中,
，
所以 ，
所以 ，
在 中， ，
由 平面 得 ，
又 ，
所以 平面 ，
由 面 得 ，
又 ，
所以 平面 ，
又平面 ，平面 有公共点 ，
所以 四点共面，
所以
即二面角 的大小为 ，
其余弦值为 .
14．（2023届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为矩形，
且 为 的中点， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）连接 与 交于点 ，连接
为三棱柱， 为平行四边形，点 为 的中点
又 为 的中点，则 ，
又 平面 平面 ， 平面 ．
（2）设点 为 的中点，点 为 的中点，
连接 交 于点 ，连接 ，
设点 为 的中点，连接
点 为 的中点，点 为 的中点
且 ，点 为 的中点
为矩形，
又 平面 ，
在 中， ，可得
为等腰直角三角形，其中
而点 为 的中点， 且
点 为 的中点，点 为 的中点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ，
又 在Rt 中， ，点 为 的中点，
在 中， ，且点 为 的中点
且
即为平面 与平面 的夹角
在 中，
．
平面 与平面 的夹角的余弦值是 ．
【真题感知】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三
角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，则有 ，
又 是等边三角形，则 ，从而 为二面角 的平面角，即 ，
显然 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，显然平面 平面 ，
直线 平面 ，则直线 在平面 内的射影为直线 ，
从而 为直线 与平面 所成的角，令 ，则 ，在 中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐角， ，
所以直线 与平面 所成的角的正切为 .
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平面
．
(1)证明：平面 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设 ，求四棱锥 的高．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【分析】(1)由 平面 得 ，又因为 ，可证 平面 ，从而证得平面
平面 ；
(2) 过点 作 ，可证四棱锥的高为 ,由三角形全等可证 ，从而证得 为 中点，设
，由勾股定理可求出 ，再由勾股定理即可求 .
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ,
所以 ,
又因为 ，即 ，
平面 ， ,
所以 平面 ，
又因为 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）如图，
过点 作 ，垂足为 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以四棱锥 的高为 .
因为 平面 ， 平面 ,
所以 , ,
又因为 ， 为公共边，
所以 与 全等，所以 .
设 ，则 ，所以 为 中点， ,
又因为 ,所以 ,
即 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以四棱锥 的高为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
