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专题 10 圆的概念与圆的对称性
考点一 圆的基本概念 考点二 求圆中弦的条数
考点三 判断点与圆的位置关系 考点四 利用点与圆的位置关系求半径
考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证
考点一 圆的基本概念
例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆
有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 求圆中弦的条数例题：（2022春·九年级课时练习）如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式训练】
1．（2021秋·湖南长沙·九年级校考期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在 中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共
有_______条弦，它们分别是_____________．
考点三 判断点与圆的位置关系例题：（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知 的半径为5，点 到圆心 的距离为8，则点 在
______（填“内”“上”或“外”）．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）已知⊙O的半径为8，点 到点 的距离为8，则点 在
⊙O____．（填“上、内或外”）
2．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点
在 ______（填内、上、外）．
考点四 利用点与圆的位置关系求半径
例题：（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt 中， ， ，分别以点
为圆心画圆，如果点 在 上， 与 相交，且点 在 外，那么 的半径长 的取值范围是
________．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）平面直角坐标系中，以点 为圆心的 ，若该圆上有且仅有两个点
到 轴的距离等于 ，则 的半径 的取值范围是______．
2．（2022春·九年级单元测试）矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、
C、D三点有两个点在 内，有一点在 外，则 的半径 的取值范围是____．考点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解
例题：（2021秋·广东江门·九年级校考期中）如图，弦 的长等于 的半径，那么弦 所对的圆心角
的度数__________．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，在 中， 弧 与弧 相等， ，则 _______°．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，AB，CD是 的直径， ，若 ，则 的度
数是________．
考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证
例题：（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知如图所示， 为直径 上一点， ， 为过点 的两条
弦，且 ；(1)求证： ；
(2)求证： ．
【变式训练】
1．（2020秋·九年级统考期末）如图，在 中，弦 ．求证： ．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，已知 是 的直径，弦 ．
(1)求证：弧 弧 ；
(2)若弧AC的度数为 ，求 的度数．一、选择题
1．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期中）若 的半径为 ，点 到圆心O的距离为 ，则点 与 的
位置关系为（ ）
A．点 在圆外 B．点 在圆上 C．点 在圆内 D．不能确定
2．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习） 的半径为5，点A到圆心O的距离为d，已知点A在
的外部，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·九年级课时练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么
它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径， ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·九年级课时练习）如图，在 中，半径 ， ，求 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）下列说法中，不正确的是（ ）A．过圆心的弦是圆的直径
B．同圆中两个圆心角相等，则它们所对的弦也相等
C．长度相等的弧不一定是等弧
D．坐标系中，以原点O为圆心， 为半径作 ，则点 在⊙O外
二、填空题
7．（2022秋·浙江杭州·九年级萧山区党湾镇初级中学校考期中）已知 的面积为 ，若 ，则
点P在圆____________．
8．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的
位置关系是 _____．
9．（2022秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考期中）如图， 是 的直径，C是 的中点，
若 ，则 的度数为___________．
10．（2022秋·九年级课时练习）已知矩形 中， ， ，以点B为圆心r为半径作圆，且
与边 有唯一公共点，则r的取值范围是__________．
11．（2022春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E
的度数是___________．12．（2022秋·九年级单元测试）圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，
固定的端点 叫做_______．线段 叫做_______．
（b）圆是所有点到定点 的距离________定长 的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的________叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的
弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫_______（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对
圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够_______的弧叫等弧．
（5）等圆：能够________的两个圆叫等圆，半径________的两个圆也叫等圆．
三、解答题
13．（2022秋·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）在 中，弦 ，求证 ．
14．（2022秋·九年级单元测试）如图， 是⊙O的直径，点M是 的中点，连接 ．求证：
；15．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是
______．
16．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图， 为 直径， 是弦，以 为边构造平行四
边形 ，点E在半径 上．
(1)已知 ．求证： ．
(2)延长 分别交直线 ， 于点F，G．求证： ．
