文档内容
专题强化02：一元二次方程
【考点归纳】
考点一：一元二次方程的解
考点二：利用判别式求参数问题
考点三：换元法在一元二次方程的应用
考点四：根和系数的关系
考点五：实际问题与一元二次方程
考点六：动态几何问题
考点七：一元二次方程的综合问题
【技巧归纳】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
⑴如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ， ．
⑵涉及两根的代数式的重要变形：
① ； ② ；
③ ； ④
【题型归纳】
题型一：一元二次方程的解
1．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方
法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程 的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵ ，同理：
∴故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的
运算是解题的关键．
2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程 的根也是方程 的根，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为
求 （其中k为常数）的相应的系数间的关系．
设m是方程 的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程 ，也满足方程
，将m代入这两个方程，并整理，得 ．从而可知：方程
的两根也是方程 的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设m是方程 的一个根，
则 ，所以 ．
由题意，m也是方程 的根，
所以 ，
把 代入此式，得 ，
整理得 ．
从而可知：方程 的两根也是方程 的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（ （其中k为常数），
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
因此， ．
故答案为：
3．（21-22九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程 的解，
c、d是方程 的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， 的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得
，代入可得 ，同理可得 ，两式相减即可得 的值，进
而可得 的值．
【详解】解：由根与系数的关系得 ， ，两式相加得 ．
因为 是方程 的根，所以 ，又 ，
所以 ①
同理可得 ②
①-②得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
题型二：利用判别式求参数问题
4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，
且 ．下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ， ；
③ ；
④关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得 ，利用 消去 得到 ，
从而即可对①进行判断；由于 ， ，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的
判别式的意义得到 ，即 ，则可对③进行判断；利用
把方程 化为 ，由于方程 可变
形为 ，所以 或 ，于是可对④进行判断．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ ， ，
∴ ， ，所以②正确；
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，所以③错误；
∵ ，
∴方程 化为 ，
即 ，
∵方程 可变形为 ，
∴ 或 ，解得 ， ，所以④正确．
故选： ．
【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若 ， 是一元二次方程
的两根，则 ， ．
5．（22-23九年级上·重庆南川·期末）如果关于 的方程 有正整数解，且关于 的函数
与 轴有交点，那么满足条件的整数 的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点、分式方程的解，根据题意由分式方程的解和函数与 轴有交点求得 的
取值范围，即可得到整数 的个数，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
【详解】解：由方程 ，得 ，
∵关于 的方程 有正整数解，
∴ 且 ，
∵关于 的函数 与 轴有交点，
当 时， ，直线 与 轴有交点；
当 时， ，解得 ；
∴由上可得， 且 ，
∴ 的整数值是 ， ， ，
故选： ．
6．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程 的两个不相等的实数根 满足
，则实数p的所有值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到 ， ，进而推出
，则 ， ，即可推出
，然后代入 ， 得到
，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
【详解】解：∵ 是方程 的两个相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不符合题意，
∴
∴符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方
程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
题型三：换元法在一元二次方程的应用
7．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的方程 ，给出下列四个题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先将 分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【详解】解: 时， 或 ，
方程化为： ①
时，方程化为： ②
当 ，即 时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得 时，即： 时，有5个不相等的实根
时，
则
中， 不符合题意，故有2个实数根
中， ， 均不符合题意
故 时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当 ，即 时，
方程①的根为： ，
方程②的根为： ，
故共有4个不相等的实数根
当 ，即 时，
方程没有实数根
综上，方程可能有 个、 个、 个、 个实数根
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键．
8．（23-24九年级上·四川南充·期中）若实数x满足 ，则 的值是 ．
【答案】5
【分析】根据方程特点设 ，则原方程可化为 ，接下来解一元二次方程求y，即为
的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法．
【详解】解：方程整理得： ，
设 ，
则原方程变形为： ，
，
， ，
当 时， ，
，
，
则 ，
故答案为：5
9．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个相
等的实数根，那么 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程判别式，根据题意得 ，整理可
得 ，两边同时除 得 ，由 ，通过换元法即可求
解．
【详解】解：由题意得：化简得：
∴
两边同时除 得：
两边同时除2得：
∵
令 ，
∴ 可转化为 ，
化简得： ，即 ，解得： ，
∴ ，
故答案为：1．
题型四：根和系数的关系
10．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程 有两个根 和 ，且 ，那
么方程 的较小根 的范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出 ， ，再设方程 的为 ， ，根据根与系数的关系得出 ， ，从而得出方程 的两根为 ， ，然后由 ，
求出 ， 的取值范围，从而得出结论．
【详解】解： 方程 有两个根 和 ，
， ，
设方程 的两根为 ， ，
则 ， ，
， ，
，
方程 的两根为 ， ，
， ，
， ，
， ，
，
方程 的较小根 的范围为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系．
11．（2022·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积 ，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得 ，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与 轴的交点等知识，理解题意，熟
练运用所学知识是解题的关键．
12．（18-19九年级上·全国·单元测试）若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 的值是（ ）
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论：①当a=b时，可直接得出答案；②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2
﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解．
【详解】解：①当a=b时，原式=2；
②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，
∴a+b=8，ab=5．
则 =
= ，
把a+b=8，ab=5代入得：
=
=﹣20．
综上可得： 的值为2或﹣20．
故选C．【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，然后根据根与系数的关
系解题．
题型五：实际问题与一元二次方程
13．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市 天内，帮助“幸
福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第 天（ 为整数）的售价为 （元/斤），日销售额为 （元）．据销售记
录知：
①第 天销量为 斤，以后每天比前一天多卖 斤；
②前 天的价格一直为 元/斤，后 天价格每天比前一天跌 元，
(1)当 时，写出 与 的关系式；
(2)当 为何值时日销售额 最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于 元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款 元，用于捐资助学，若“幸
福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买 元的图书，求 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)当 为第 天时日销售额 最大，最大为 元
(3) 元
【分析】（1）根据前 天的价格一直为 元/斤，后 天价格每天比前一天跌 元，可求出当 时，
与 的关系；
（2）根据日销售额 售价 日销售量，分类讨论在 的取值范围内 的最大值即可得到结论；
（3）根据日销售额 售价 日销售量，分类讨论在 的取值范围内 的最大值，再和 作比较，从而确定能获
得较大利润的天数，即可求解．
【详解】（1）解：∵前 天的价格一直为 元/斤，后 天价格每天比前一天跌 元，
∴当 时， ，
∴当 时，写出 与 的关系式为： ；
（2）由题意得，销售量为： ，
当 时，
，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为： ，
当 时，，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为 ，
综上所述，当 时， 取最大值为 ，
答：当 为第 天时日销售额 最大，最大为 元；
（3）当 时，
，
当 时， 取最大值为： ，
∵ ，
∴ 时不可能获得较大利润．
当 时， ，
当 时， 取最大值为 ，得： ，
当 时，
解得： 或 ，
∴当 时， ，
∴获得较大利润天数为 天，
∴ ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最小值为 元．
【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一
元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意
判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
14．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价
不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销
售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元
时，求m的值．【答案】(1)
(2)该商品的销售单价为25元
(3)m的值为5
【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价 元，则销量减少 件，由此可得y与x之间的关系
式为 ，整理即可．
（2）根据总利润=每件利润 销售量，可得方程 ，求出方程的解，再根据题意选择合适
的x的值即可．
（3）根据总利润=（售价 进价 m） 销售量，得 ，求出其对称轴，再根据二次函数
的性质及增减性可得当 时， ，由此得 ，求出m的值即可．
【详解】（1）由题意得： ，
整理得： ．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴ ．
（2）由题意，得： ，
解之得： ， ，
∵ ，
∴ ．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为： ．
∵ 在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．当 时， ．
∴ ，
解得 ．
答：m的值为5．
题型六：动态几何问题
15．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，动点 ， 分别从
点 ， 同时出发，点 以 的速度向终点 移动，点 以 的速度向点 移动，当有一点到达终点时，
另一点也停止运动，设运动的时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是 ？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)4；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【分析】（1）当 时，可以得出 ， ，就有 ，由矩形的面积就可以得出四边
形 的面积；
（2）如图1，作 于 ，在 中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作 于 ，在
中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当 时，如图4，当 时，如图5，当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】（1）如图， 四边形 是矩形，
， ， ．
， ，
．
．
∴四边形 面积是 ，
故答案为：4；
（2）如图1，作 于 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ．
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得： 或 （舍去）．
如图2，作 于 ，．
，
四边形 是矩形，
， ．
，
在 中，由勾股定理，得
，
解得： 或 （舍去），
综上所述： ；
（3）如图3，当 时，作 于 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ．
，
． ．
，
．
在 中，由勾股定理，得，
解得： ．
如图4，当 时，作 于 ，
， ．
，
四边形 是矩形，
． ，
，
．
，
解得： ；
如图5，当 时，
， ，
，
．
在 中，由勾股定理，得，
解得 ， （舍去）．
综上所述： 或 或 或 ．
16．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在 中， ，点P从A开始沿边 向
点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动．点P，Q同时出发，当
点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．
(1)填空： ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）根据路程=速度×时间， ， ，结合已知解答即可．
（2）根据勾股定理 ，列式计算即可．
（3）根据 列式计算即可．
【详解】（1）∵ ，点P从A开始沿边 向点B以 的速度移动，点Q从点B开始
沿边 向点C以 的速度移动．
∴ ， ，∴ ，
故答案为： ， ．
（2）∵ ， ，
，
∴ ，
整理，得 ，
解得 ，
当运动时间为 或运动时间为 时， 的长度等于 ．
（3）∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 （舍去），
故当运动时间为2秒时，四边形 的面积等于 面积的 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是
解题的关键．
题型七：一元二次方程的综合问题
17．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于 的分式方程 ①和一元二次方程
②中， 、 、 均为实数，方程①的根为非负数．
(1)求k的取值范围；
(2)当方程②有两个实数根 ， ，且满足 ， 为负整数时，试判断 是否成立，并说明理由．
【答案】(1) 且 ， ；
(2)成立，见解析
【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式．
（1）分式方程的根 是非负数，即 ，得到 ，再利用一元二次方程的定义得到 ，
据此求解即可；
（2）一元二次方程 的二次项系数 的值不为0，一元二次方程
的两根为 、 ，则 ， ，本题中 是 ， 是 ， 是 ．利用根与系数的关系和判
别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可．
【详解】（1）解：解分式方程①得 ．
方程①的根为非负数，
，解得 且 ．
又一元二次方程 中， ，所以 ．
综上所述可知 且 ， ；
（2）解： 成立．理由如下：
是负整数， 且 ，2，
．
方程②有两个实数根 ， ，．
化简 ，得 ，
将 代入，得 ，
， ③，
△ ④，
把③代入④得 ，
整理，可得 ．
18．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出
一元二次方程 （ ， ）的两根x，x 有如下的关系（韦达定理）： ，
1 2
；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足： ， 则 _______， _______；
(2)若 是方程 两个不等实数根，且满足 ，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足： ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键：
（1）根据题意，得到实数a，b是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到 ，进而得到 ，代入 ，求出 的值，再根据根与
系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程 ，得到 是它的两个实数根，得到 ，将
进行配方，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程 的两个根，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ；
（3）∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ 是一元二次方程 的两个实数根， ，
∴ ，
∴
；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
19．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)3；
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得： ，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程 的两个实数根，则有 ，再利用分式的化简求值的方法进行
运算即可；
【详解】（1）解： 一元二次方程 的两个根为 ， ，
，
故答案为：3； ．
（2）解： 一元二次方程 的两根分别为m，n，
，
．
（3）解： 实数s，t满足 ，且 ，
s，t是一元二次方程 的两个实数根，
．
，．
【高分强化】
一、单选题
20．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程 ，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的
关键．
根据已知方程 ，分 ， ， ，三种情况讨论求根，取所有根的和即可．
【详解】解：①当 时，
方程化为： ，
即 ，
∴ ，
解得 （舍去）， ；
②当 时，
方程化为： ，
即 ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
③当 时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：
．
故选：A．
21．（23-24九年级上·重庆北碚·阶段练习）已知正整数m，n，p，q满足 ，且
，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ）
① ， ， ， 是该四元方程的一组解；②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解；
③若 ，则该四元方程有15组解；
④若 ，则该四元方程有504组解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为 ，代入方程判断②，利用配
方法将方程转换为： ，得到当 时，方程成立，判断③和④．
【详解】解：把 ， ， ， ，代入方程，得：
，
方程的左边等于右边；故①正确；
设四个连续的奇数为 ，代入方程得：
方程左边等于 ，
方程右边
左边不等于右边；故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，方程成立，
且m，n，p，q为正整数时：
当 时， ， 为别为： 或 或 或 或 共5组方程的解；
当 时， ， 为别为： 或 或 或 共4组方程的解；当 时， ， 为别为： 或 或 共3组方程的解；
当 时， ， 为别为： 或 共2组方程的解；
当 时， ， 为别为： 共1组方程的解；
综上：当 时，共有 组方程的解；故③正确；
由③可知：当 时，方程成立，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有 组，
又∵ ，
∴ 这一组数不是方程的解，
∴共有503组解；故④错误；
综上：正确的是①③，共2个；
故选B．
【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为
．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题．
22．（23-24九年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于代数式A、B，定义新运算 ，则下列说法正
确的个数为（ ）
①若 ，则 的值为3或 ；②若方程 的解为a、b，则 的值为 ；③若关于x
的方程 有两个不相等的实数解，则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据新定义得 ，则 得出 或 ，代入 ，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ，则 ，求出 ，即可
判断②；根据新定义和绝对值可得 ，根据一元二次方程的判别式，即可判断③．
【详解】解：① ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故①正确，符合题意；
② ，
∵方程 的解为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为 或 ，
故②不正确，不符合题意；
③∵ ，方程 有两个不相等的实数解，
∴ ，
当 时，整理得： ，
∴ ，解得： ；当 时，整理得： ，
∴ ，解得： ；
∴ ，
故③不正确，不符合题意；
综上：正确的有①，共1个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程
根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程
根与系数关系： ， ；当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
23．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊
香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香
液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过
一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降
价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设
一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为 元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为 元，列
出方程解出即可；
【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为 元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进
价为 元，由题意得：
，
解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润 元
设每套驱蚊器降价a元，由题意得：
，
解得： , （舍去），故选：A.
24．（22-23九年级上·重庆万州·期末）已知两个多项式 ， ，x为实数，将A、B进行加减
乘除运算：
①若A+B=10，则 ；
② ，则x需要满足的条件是 ；
③ ，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数( )，且 为整数，则 1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用 可求出 ，故①错误；对 分情况讨论可知②正确；若 ，
则 或 ，利用根的判别式可知 ， 时，方程无解，故③正确；由 为整数，可得 是整
数，可求出 ，2，4，5，故④正确．
【详解】解：∵ ， ，
∴①当 时，则 ，解得： ，故①错误；
②当 ，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 ， ，解得： ；
当 ， ，解得： （舍去）；
综上所述： ，故②正确；
③若 ，则 或 ，
当 时， ， ，无解；
当 时， ， ，无解；
∴ ，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵ ，若 为整数，则 是整数，
∵x为正整数( )，解得： ，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故选：C
【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键．
25．（2022·重庆·模拟预测）关于x，y的二次三项式 （m为常数），下列结论正确的有
（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ，则
④满足 的正整数解 共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①将 代入代数式，计算即可；②又 可得 ，再根据题意求解即可；③
两方程相加，令 ，可化为 ，求解即可；④根据题意可得 ，列出正整数解
，即可．
【详解】解：将 代入 可得， ，即
解得 或 ，即 或 ，①错误；
由 可得 ，
∵无论x取任何实数，等式 都恒成立，
∴ ，②正确；
两式相加可得：即
令 ，则 ，解得 ，
即 或 ，③错误；
由 可得
正整数解为：
，总共有 个，④错误
正确的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟
练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．
26．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）已知两个多项式 、 ，（其中x为实数），
①若 ，则 ；
②存在实数x，使得 ；
③已知 ，则 的值为1562；
④当 时，若 ，则 的值为 ．
以上结论中正确的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】①根据题意列出方程求解即可判断；②求出 可知恒大于0，从而判断；③分别令x=1和x=-1，再
把所得式子相减化简即可判断；④由 可得 ，从而得到 ，继而推出
，由此判断．
【详解】解：①∵ 、 ，
∴ ，
化简得： ，解得： ，
故①错误；
②∵ 、 ，
∴ ，
∴不存在实数x，使得 ，
故②错误；
③∵
即
令x=1得： ①，
令x=-1得： ②，
由①-②得： ，
∴ ，
故③正确；
④∵ ，
即 ，
化简得：
∵
∴两边除以x并整理得： ，
∴ ，
∴
故④错误．
正确的为③，共1个，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法的应用，加减消元法，利用完全平方公式计算等知识，综合能力
要求较高，掌握相关基础知识并融会贯通是解题的关键．
二、填空题
27．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形 （长方形的对边相等，每个角都是 ），
， ，动点 、 分别从点 、 同时出发，点 以2厘米/秒的速度向终点 移动，点 以1
厘米/秒的速度向 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为 ．
（1）当点 和点 距离是 时， ．
（2）当 ， 为直角三角形（ ）．
【答案】 或 或 或
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运
用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
（1）作 于E，在 中，由勾股定理建立方程求出其解即可，作 于E，在 中，由
勾股定理建立方程求出其解即可；
（2）分情况讨论，当 时，当 时，由勾股定理建立方程可以得出结论．
【详解】解：（1）如图1，作 于 ，，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得： ，
如图2，作 于 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得： ，综上： 或 ．
（2）如图，
点P，Q，D为顶点的三角形是直角三角形且 ．
当 ，
， ，
由（1）可知 ，
，
，
解得： 或 ；
如图，当 时，
， ，
，
解得： ，
综上所述， 或 或 时， 为直角三角形．28．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 有两个根 ， ，且满足 ．
记 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得， ，
，得到 ，由 可得 ，即得到 ，
即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
29．（2024九年级·全国·竞赛）若关于 的一元二次方程 至少有一个整数根，且 为正整
数，则满足条件的 共有 个．
【答案】3
【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式 ，建立关于a的不等式，求出根的判别
式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元
二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有整数根，
∴ 且 ，解得 且 ，
∴方程的根为 ，
根据根与系数的关系可得 ， ，且 为正整数，
∴ ，
∵ 为完全平方数且 为正整数，
∴ 或 或 ，
解得 或6或13，
即满足条件的 共有3个，
故答案为：3．
30．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果关于 的一元二次方程 有实数根，且关于 的分式方
程 有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于 的一元
一次不等式，解之得到 的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到 的值，结
合 取值范围确定符合条件的所有整数 ，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合条件的所有
整数 是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得 ，
解分式方程 得， ，
∵关于 的分式方程 有正整数解，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴符合条件的整数 有 ，
∴为 ，
故答案为： ．
三、解答题
31．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求
的值.
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，
∴ ，∵ ，∴ .
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，
若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足 ，求 的值；
(2)设a，b满足等式 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设 ，则 ，解得： ，由 ，得 ，即可
求解，
（2）设 ，则 ， 或 ，由 ，得 ，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则 ，即： ，设 ，则，解得： ， ，由x为正整数，得 ，解得 ，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某
些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，
（3）解：设最小正整数为x，则 ，即： ，
设 ，则 ，
解得： ， ，
∵x为正整数，
∴ ，解得 ， （舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
32．（23-24九年级上·吉林·期末）如图 ，矩形 纸片， ， ，动点 ， 分别从点 同时
出发，均以 的速度，点 沿 方向，到终点 停止运动：点 沿 方向，到终点 停止运动，
连接 ，将矩形 在 左下方的部分纸片沿 折叠得到如图 ，设点 运动的时间为 ，重叠部分图形
的面积为 ．
(1)当点 落到 边上时，求 的值；
(2)求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)当 时，若 以 为腰的等腰三角形，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（ ）当点 落到 边上时，则点 与点 重合，从而有 ，即可求出 得值；
（ ）分 当 时， 当 时， 当 时情况讨论即可求解；
（ ）当 时（ ） 时，（ ） 时（ ） 时，（ ） ，
讨论即可求解；
此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）当点 落到 边上时，则点 与点 重合，
∴ ，
∴ ；
（2） 当 时，如图，
，
当 时，如图，
，
当 时，如图，
，综上可知： ；
（3）如图， ，
（ ） 时，即 ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
（ ） ，即 ，
无解，
如图，当 ，延长 交于点 ，
（ ） 时，即 ，
解得： ， ，
以上解均不符合题意，（ ） ，即 ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
综上可知： 或 ．
33．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程 中，a，b，c是 的三条
边，其中 ．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 ， ，且 ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与系数关系
是解题的关键．
（1）先把方程变为一般式，得到 ，根据勾股定理，即可得出 ，即可证明结论；
（2）由 ，得出 ，根据根与系数的关系得出 ，结合
化简得到 ，再代入 得出 ，即得答案．
【详解】（1）证明：化简一元二次方程得， ，
，
a，b，c是 的三条边，
， ，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 ， ，， ，
，
，
即 ，
，
，
，
化简得 ，
，
，
．
34．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ， ， ，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．
（1）计算一元二次方程根的判别式 ，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）利用公式法求出方程的解为 或 ，根据 得到 ，把 变形为 ，根据
为整数， m为整数即可得到 或 ，即可求出m的值．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
∵ ，
∴方程都有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 也为整数，
∵m为整数，
∴ 或 ，
∴整数m所有可能的值为 ， ， ， ．
35．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方
式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即 ．例如二次三项式 通过配
方法可以变成三种形式：① （余常数项），② （余一次项），③ （余二次
项）．
诸根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：将二次三项式 配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）；
(2)已知方程 的两根是 和 ，不解方程，求下列代数式的值；
① ． ② ；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2)① ；②
(3)4
【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记 ，掌握配方法是
解题的关键．
（1）仿照例题写出三种不同形式的配方；
（2）利用根与系数的关系公式，求得 的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答；
（3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得 的值，进而即可求解．
【详解】（1）解： ；
；
，
故答案为： ； ； ；
（2）解：由 得：
， ，
①根据完全平方公式可得 ；
② ；（3）解： ，
可得 ，
解得 ，
．
36．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程 有两个实数根 ，其中 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)一次函数 的图像上有两点 ，若 ，求m的值；
(3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为 和 ，求该直角三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)该直角三角形的面积为30或24
【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“ ”，根与系数关系“ ”，
一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，
解题的关键是分类谈论思想的运用；
（1）将 代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到 ，将 转化即可
求解；
（2）根据点 在函数图像上，得出 ，再根据根与系数关系得到
，根据 即可求解；
（3）根据直角三角形两直角边 为整数，得出 ，令 ( 为正整数)，得
出 ，又 ，然后分三种情况取值即可解答；
【详解】（1）当 时，方程为 ，，
，
即 ；
（2）将 代入 可得 ，
又 ，
故 ，
，
即 ， ，
，
，
，
；
（3）∵直角三角形两直角边 为整数，
为平方数，
不妨令 ( 为正整数)，
，
，
，
当①∴ ，解得 （不合题意舍去）；
当② ，
解得 ，
∴方程 ，
，则斜边为13，
即 ；
当③ ，
解得 ，
∴方程 ，
，则斜边为10，
即 ，
综上所述：该直角三角形的面积为30或24．
