专题强化02：二次函数综合应用学生版_人教版数学九年级上册_版本二_九年级数学上册（人教版）_考点题型技巧高分突破-U360_2026版

专题强化02：二次函数综合应用 【题型归纳】  题型一：动点问题  题型二：线段问题  题型三：周长问题  题型四：面积问题  题型五：角度问题  题型六：特殊三角形问题  题型七：特殊四边形问题  题型八二次函数与其他知识交汇综合 【题型探究】 题型一：动点问题 【例1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ， ，正方形 的边 与 在同一条直线上， ，将 沿 平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B 平移的距离为x， 与正方形 重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在菱形 中， ，连接 ，点 从 点 出发沿 方向以 的速度运动至点 ，点 同时从点 出发沿 方向以 的速度运动至 点 ．设运动的时间为 ， 的面积为 ．已知 与 之间的函数图象如图2所示，则 的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形 的三边上，分别取点 ，使 ．若 ， 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 题型二：线段问题 【例2】．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象 与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点，点P是直线 下方的抛 物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线 于点E，求线段 的最大值．【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交 于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．已知点 ． (1)求抛物线的解析式． (2) 是线段 上的一个动点，过点 作 轴，延长 交抛物线于点 ，求线段 的最大值及此时点 的 坐标． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，抛物线 与 轴交于点 ， ． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当 时，y的取值范围为________； (3)已知点 是该抛物线的顶点，若点 是线段 上的一动点，求 的最小值．题型三：周长问题 【例3】．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知，如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ，顶点为 ． (1)求此函数的解析式； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求出 点坐标． 【变式1】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线 经过 、 、 三 点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求 的面积； (3)设点P是直线l上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标．【变式2】．（25-26九年级上·安徽六安）已知抛物线 与 轴交于 点，顶点为 ． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图， 点坐标 ， 为抛物线对称轴上一动点，过点 的直线 平行 轴交抛物线于 、 两点（点 在点 的左侧）． ①若 ，求点 坐标； ②若以 为边构造矩形 （ 、 在线段 、 上），求该矩形周长的最大值． 题型四：面积问题 【例4】．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象过点 和 ． (1)求该二次函数的解析式； (2)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线 经过A，C两点，在抛物线上找一点P（异于点B）， 使得 ，求点P的坐标．【变式1】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与 轴交于点 ． (1)求二次函数的表达式及 点坐标； (2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积的最大值； 【变式2】．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交 ， 两点， 直线 与抛物线交于 ， 两点，其中 点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式和点 的坐标； (2) 是线段 上的一个动点，过 点作 轴的平行线交抛物线于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长度为 ，求 与 之间的函数关系式，并求出 的最大值和此时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段 取得最大值时，请直接写出四边形 的面积．题型五：角度问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 （m是常数，且 ）的 图象与 轴交于A，B两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含 的式子表示），并求 的度数； (2)若 ，点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C，抛 物线 经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线 下方抛物线上一动点，求四边形 面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且 ，请直接写出点M的坐标．【变式2】．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，抛物线 与 轴交于点 ，点 ， 是抛物线 的顶点． (1)求抛物线 所对应的函数解析式； (2)设直线 所在的函数解析式为 ，请直接写出不等式 的解集； (3)抛物线 上是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由． 题型六：特殊三角形问题 【例6】．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴 交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为 ，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为 ，连接 ．(1)求抛物线及直线 的解析式； (2)若点F在x轴上，则当 的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得 为等腰三角形，求点P的坐标． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线的顶点为 ，其坐标为 ，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，已知 ． (1)求抛物线的表达式； (2)连接 ， ，判断 的形状； (3)若点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线 与y轴交于点 ，与x轴正半轴交于点 ，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端 点）．其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时， 面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接 ，抛物线上是否存在点Q，使得 是以 为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的 坐标，不存在，请说明理由． 题型七：特殊四边形问题 【例7】．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线 与 、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ． (1)求该抛物线的解析式与点 的坐标； (2)当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值； (3)连接 ，点 在 轴上，点 在对称轴上，是否存在点 ， ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平 行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ． (1)求直线 的解析式． (2)若点E是直线 下方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点 的坐标． (3)在（ ）的条件下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上一动点，在 抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线 与直线 都经过 ， 两点，该抛物线的顶点为 ． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段 上存在点 ，使得 取得最小值，求此时 点坐标及 的最小值． (3)在（2）条件下，点 为直线 上一点，过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，是否存在点 ，使点 ， ，， 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 的坐标，若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 【例8】．（2024·湖北荆州·一模）如图，已知经过点 和 的抛物线 与y轴交于点C，过点C作 轴交抛物线于点D． (1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标； (2)设直线 垂直平分 ，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接 ， ， ，求m的值； (3)若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线 的距离分别是 ，且 ，①求d关于t的函数解析式；②当 时，直接写出t的取值范围． 【变式1】．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴 交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线 与抛物线 关于 轴对称，抛物线 与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线 的顶点坐标；(2)求线段 的长； (3)如果 ，平移抛物线 ，使所得新抛物线的顶点E在其关于 轴对称抛物线 的对称轴上，当 时，求平移后新抛物线的表达式． 【变式2】．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 （ 、 为常数）经过 点 ，其对称轴为直线 ，点 、 在该抛物线上（点 与点 不重合），且点 、 的横坐标分别为 、 ，将此抛物线在 、 两点之间的部分（包含 、 两点）记为 ． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象 的最低点是抛物线 的最低点时，求 的取值范围． (3)当点 、 到直线 距离相等时，求 的值． (4)设点 、 的坐标分别为 、 ，连接 ，当线段 与图象 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 【专题强化】 1．（20-21九年级上·河南·期中）如图，在 中， ，动点P从点A开始沿边 向点B以 的速度移动，动点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动，如果P、Q两点分别从 A，B两点同时出发，设运动时间为t，(1) ， ， ； (2)t为何值时 的面积为 ？ (3)t为何值时 的面积最大？最大面积是多少？ 2．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足 ，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐 标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接 ，点P是直线 上方抛物线上的一动点，若有 ，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线 方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当 时，有最大值为0，直接 写出抛物线L的对称轴． 4．（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左方）， 与 轴相交于点 ，直线 经过点 、 ． (1)求 的长度； (2)点 为直线 下方抛物线上一点，当四边形 面积最大时，求点 的坐标． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是 、 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B左侧），与 y轴交于点C，且当 和 时，y的值相等，直线 与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另 一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段 上一点（P不与点 重合），作 轴于点Q，连接 ，设 ，四边形 的面积 为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形 的面积最大，求出这个最大值．7．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点， 点A在点B左侧．点B的坐标为 ， ． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得 的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m， 的面积为S，求出S与m的函数关系式，并 直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 2 8．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线y x2bxc与x轴交于 A1,0， B 两点（点 A 在点 3 C0,2 CD:yx2 B 的左侧）， 与y轴交于点 ，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作 MPx轴，垂足为P，交直线CD于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平 行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标．3 25 9．（2025·山东聊城·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点 C0,4 ，顶点坐标为  2 , 4  ． (1)求抛物线的表达式； BC,CD,BD △BCD (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接 ，求 的面积的最大值； yx²bxc 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 1,0 C0,3 BC OB 点A的坐标为 ，与y轴交于点 ，作直线 ．动点P在线段 上运动（不含O、B），过点P作 PM x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (2)求四边形ABMC面积的最大值； △QBC (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使 为直角三角形的点Q的坐标．yax2bx3 a,b a0 x A,B 11．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，抛物线 （ 是常数，且 ）与 轴交于 两点，与 C A,B A1,0,B3,0 y轴交于点 ．并且 两点的坐标分别是 ． (1)①求抛物线的解析式； ②顶点D的坐标为___________； ③直线BD的解析式为___________； P BD P PQx Q PQOC S (2)若 为线段 上的一个动点，过点 作 轴于点 ，求四边形 面积 的最大值； (3)若点M 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M 作MN∥AC交x轴于点N ．当点M 的坐标为___________ 时，四边形MNAC是平行四边形． yax2bxca0 x1 x 12．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线 的抛物线 与 轴相交 A,B A 3,0 yax2bxc 于 两点，其中点 的坐标为 ，且点（2，5）在抛物线 上．(1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与 y 轴的交点； S 4S ①点 P 在抛物线上，且 POC BOC，求点 P 点坐标； ②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D ，求 S ACD的最大值和此时点 D 坐标． y=ax2+bx+3 (a� 0) A1,0 B3,0 13．（25-26九年级上·广东·期中）抛物线 与 x 轴交于 ， 两点，与 y 轴交 于点 C． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得三角形 MAC的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由． (3)点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 B， C 重合），过点 P 作 PDx轴于点 D，交 BC于点 E．设点 P 的横坐标为 m，求线段 PE的最大值及此时点 P 的坐标．